Предел и непрерывность функции

ГлаваI Предел и непрерывность функции §1. Теория множеств Множеством называется совокупность или набор некоторых объектов произвольной природы. Объекты, входящие в данное множество, называются элементами множества. Обозначения: А, В,С,…, X, Y, Z– множества. а, в, с,...,x,y,z- элементы множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Если множество В состоит из части элементов множества А, или совпадает с ним, то множество В является подмножеством А. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Основные действия с множествами: Пусть даны два произвольных множества: Суммой или объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из элементов множеств А и В А В Произведением или пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов одновременно принадлежащих множествам А и В А В 1 Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из элементов множества А, которых нет во множестве В. А В Примеры: { { } { } } { } { } { } §2. Множество действительных чисел { } - множество натуральных чисел { } - множество целых чисел , ( ) – множество рациональных чисел - множество иррациональных чисел Произвольные числа, иррациональные рациональные образуют – множество действительных чисел (R). Свойства множества действительных чисел: 1. R- упорядоченное множество; т.е. для любой пары действительных чисел а и b существует одно и только одно соотношение : аb,или а= b. 2. R- плотное множество; т.е. между двумя числами а и b, какова бы ни была разница между ними, содержится множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству а1 x 3. Логарифмическая: y a> 1 x 00 на а единиц вдоль оси ОХ. y π π/2 9 x 2. График функции y=f(x)+b-есть график функции y=f(x), сдвинутый вверх при b>0, вниз при b<0 на b единиц вдоль оси oy. y 2 1 π π/2 x 3. График функции y=m·f(x)-есть график функции y=f(x), растянутый в m раз при n>0,и сжатый в n раз, при 01, и растянутый в k раз, если 0x1, то f(x2)>f(x1) Функция называется убывающей в интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если x2>x1, то Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. 3. Чѐтность и нечѐтность Функция называется чѐтной, если при изменении знака у любого значения аргумента значение функции не меняется, то есть Функция называется нечѐтной, если при изменении знака у любого значения аргумента меняется только знак функции, абсолютная же величина этого значения остается неизменной, т.е. Замечание. График четной функции симметричен относительно оси oy, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. 4. Периодичность Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число Т, что для любого значения x справедливо равенство Наименьшее положительное число Т, при котором это условие соблюдается, называется периодом функции. §11. Числовая последовательность и еѐ предел Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел а1,а2,..аn,…,следующих одно за другим в одном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого n задается как функция целочисленного аргумента. Пример 2 3 4 , , ,... 3 1 1 11 Число а называется пределом последовательности { }, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число n, что для любых номеров последовательности, для которых n>N верно | неравенство | Обозначения: ⇒ | ), ⇔,( ( | Пример Доказать, что , (указать N(ε)), если | Доказательство: По определению| | | | | | Пусть ε=0.1, тогда | ; n>10, следовательно, начиная с 11номера данная последовательность имеет предел, равный 1. Геометрический смысл определения предела последовательности | | x a-ε an | | a+ε Число a называется пределом последовательности { },если для любой окрестности точки a существует такой номер члена последовательности, после которого все значения последовательности попадут в ε-окрестность. 12 Последовательностью называется сходящейся, если она имеет только один предел. Теоремы для сходящихся последовательностей: 1. 2. 3. 4. §12. Предел функции Число A называется пределом функции при х→х0, если для любого малого положительного числа ε существует положительное число δ, зависящие от ε, что для всех значений х отличных от х0 и удовлетворяющих неравенству |х-х0|< δ, будет выполняться неравенство | | Символьная запись: | ⇔ (A= ⇒ | у А+ε А | | y=f(x) ε ε А-ε х x0-δ х x0+δ Число A называется пределом функции y= при х→∞, если для любого, сколько угодно малого положительного числа ε, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству (х)>S будет выполняться неравенство | | Символьная запись: 13 | | ⇔ ⇒ | | y A-ε A ε ε A-ε x Если функция стремится к пределу так, что значение х при этом меньше значения х0, то пишут , и называют левым пределом функции в точке. Если же х принимает значения только большие x0 , то пишут , и называют правым пределом. §13. Бесконечно большие величины и их свойства Функция y= (х) называется бесконечно большой величиной при х→х0 , если для любого сколь угодно большого положительного числа M можно найти такое положительное число δ, зависящие от М, что для всех значений х, отличных от х0 и удовлетворяющих неравенству (х-х0) <δ, будет выполнено неравенство | (х)|>M | Обозначение: или y=f(x)→∞ при x→x0 или y=f(x)→∞ - бесконечно большая величина y M δ x0-δ x0 x0+δ x 14 | ⇒| | Свойства бесконечно больших величин 1. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая. 2. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от 0, есть величина бесконечно большая. 3. Частное от деления бесконечно большой величины и функции, имеющей предел, отличный от нуля, есть величина бесконечно большая. §14.Бесконечно малые величины и их свойства Величина α = α(x) – называется бесконечно малой величиной при x→x0 или x→∞ ,если еѐ предел равен нулю. Согласно определению §12 (Символьная запись): | При x→x0 При x→∞ | | | | ⇒ | | | Свойства бесконечно малых величин: 1. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая. 3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от 0, есть величина бесконечно малая. §15. Связь бесконечно малой с пределами функции. Основная теорема о пределах. Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины Теорема. Если α(x) есть бесконечно малая величина, то обратная ей величина f(x)=1/α(x ) есть величина бесконечно большая. Доказательство случая x→x0: так как по условию α(x) есть бесконечно малая величина, то по определению в §14 имеем: 15 ,⇒ | | | | ⇒ | | | | ⇒ | | ⇒ - бесконечно большая величина. (см.§12) Теорема. Основная теорема о пределах (выражающая связь бесконечно малых величин с пределами функций) Если то f(x)=A+α, α- бесконечно малая величина. Доказательство: По условию значит по определению в §12: | | Обозначим | | Из определения в §14 следует, что α(x)- бесконечно малая величина. И это неравенство верно при любых значениях x,⇒,f(x)- A-бесконечно малая величина,⇒,f(x)-A=α(x),⇒,f(x)=A+α Обратная теорема для данной. Если f(x)=A+α, где α(x)- бесконечно малая величина, то Доказательство: для случая x→x0. По условию теоремы f(x)=A+α,⇒,f(x)-A=α, гдеα=α(x)- бесконечно малая величина. Но по определению из §14 | определению из §12 | ⇒ | | ,то по §16. Теоремы о пределах функции Теорема 1: Предел алгебраической суммы двух, трѐх и вообще любого конечного числа функции, равен алгебраической сумме пределов этих функций 16 Доказательство: (для двух слагаемых) Пусть u1 = a u2 = b 1. Тогда по основной теореме о пределах (§15) u1 = a +  u2 = b +  u1  u2   a  b       2. По обратной теореме о пределах: (§15) (u1 + u2) = a  b = u1 + u2 что и требовалось доказать Теорема 2: Предел произведения двух, трѐх и вообще любого конечного числа функций, равен произведению их пределов Доказательство: для двух сомножителей Путь u1= a u2= b Тогда по основной теореме о пределах (§15) u1 = a+α α,β – бесконечно малые величины u2 = b + β по обратной теореме о пределах (§15) Теорема 3: Предел частного двух функции равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от 0 Доказательство: Пусть Тогда по основной теореме о пределах (§15) u =a + α v= b + β Найдѐм отношение u к v По обратной теореме о пределах(§15) 17 , что и требовалось доказать Теорема 4: Если между соответствующими значениями функции u=u(x), z=z(x), v=v(x) выполняется неравенство u(x)≤z(x)≤v(x), и предел крайних функций стремится к одному и тому же пределу при х→х0 или х→∞, то есть то и функция z(х)→ к тому же пределу, т.е. Следствие из теоремы 2: Константу можно выносить за знак предела § 17. Предел функции Первый замечательный предел Докажем, что Доказательство: Рассмотрим часть окружности с центром в начале координат радиуса R = 1, расположенной в I четверти: х>0 (0