Математика. Теория пределов и непрерывность функций

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА Направления подготовки: 180100 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры» 150700 «Машиностроение»; Профили подготовки: 1.180100.62.02 «Техническая эксплуатация судов и судового оборудования», 1.180100.62.07 «Судовые энергетические установки», 1.180100.62.08 «Судовое оборудование». Направления подготовки: 150700 «Машиностроение» Профили подготовки: 1.150700.62.01 « Оборудование и технология сварочного производства»; Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр техники и технологии Форма обучения: очная Санкт-Петербург 2011 Раздел 2. Теория пределов и непрерывность функций 2.1. Теория пределов Окрестность конечной и бесконечно удаленной точки. Предельные и изолированные точки множества. Определение предела функции. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности. Основные теоремы о пределах: единственность предела, предельный переход в неравенстве, теорема о “cжатой” функции, первый замечательный предел, предел суперпозиции. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Неопределенности. Ограниченные и неограниченные функции. Ограниченность функции, имеющий конечный предел. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций, порядок и главная часть. Монотонные функции. Теоремы об односторонних пределах монотонной функции. Второй замечательный предел, число е, натуральные логарифмы, гиперболические функции. 2.1.1. Множества на числовой оси Определение 2.1.1 Окрестностью радиуса h  0 конечной точки называется множество чисел множество x0 или h – окрестностью точки x0 x , удовлетворяющих неравенству x0  h  x  x0  h , т. е. ( x0  h ; x0  h) (рис. 2.1). Обозначается: U h ( x0 ) . x x0  h x0 x0  h Рис. 2.1. Из определения следует, что если x U h ( x0 ) , то x удовлетворяет неравенству x  x0  h   h  x  x0  h  x0  h  x  x0  h . Расширим систему вещественных чисел, добавив к ним два символа   и   , которые назовём бесконечно удалёнными точками числовой оси. Определим для этих точек следующие свойства: 1) Если x  R и является конечным числом, то x     ; x     ; x x   0;   2) Если x  0 , то x  ()   , x  ()   ; 3) Если x  0 , то x  ()   , x  ()   ; Определение 2.1.2 h  0 . h –окрестностью точки () называется множество чисел x , удовлетворяющих неравенству x  h , т. е. множество (h;  ) (рис. 2.2), которое Пусть обозначается U h () . x h 2  Рис.2.2. Из определения следует, что: x U h ()  x  h . Определение 2.1.3 h  0 h –окрестностью точки () называется множество чисел x , удовлетворяющих неравенству x  h , т. е. множество (;  h) (рис. 2.3), которое Пусть обозначается U h () . x  h Рис. 2.3. Из определения следует, что: x  U h ()  x  h . Определение 2.1.4 Пусть h  0 . Проколотой h –окрестностью точки x0 называется множество чисел, для которого справедливо  x U h ( x0 ) и x  x0 (рис. 2.4) и которое обозначается U h ( x0 ) . x x0  h x0  h x0 Рис. 2.4. Из определения следует, что:  x U h ( x0 )  x  x0  h, x  x0  0  x  x0  h . Определение 2.1.5 Точка x0 называется предельной точкой множества X , если в любой проколотой окрестности точки x0 находится хотя бы один элемент данного множества X . ЗАМЕЧАНИЕ 1 Можно показать, что в любой окрестности точки сгущения находится бесконечное множество элементов множества X . ЗАМЕЧАНИЕ 2 Предельная точка может принадлежать множеству, но может ему и не принадлежать. Например, для множеств (1; 2) и [1; 2] точки 1и2 являются предельными точками. Определение 2.1.6 Точка, принадлежащая множеству и не являющаяся его предельной точкой, называется изолированной. Например, во множестве натуральных чисел N каждая конечная точка является изолированной. Множество имеет Действительно, в окрестности любой единственную предельную x0   , точки т.е. точку в x0   . окрестности U h ()  (h;  ) находится бесконечное множество натуральных чисел (рис. 5). x 1 2 3 4 5 6h 7 8 Рис. 2.5. 3 9  2.1.2. Определение предела функции Пусть задана функция f (x) , множества X – её область определения, x0 – предельная точка X. Определение 2.1.7 f (x) при х  x0 , если для любой Число А называется пределом функции окрестности U  точки А найдётся такая окрестность U  точки x0 , что для всех х из  области определения X и найденной проколотой окрестности U  точки x0 значения функции f (x) попадают в окрестность U  точки А. Обозначение: lim f ( x)  A или f ( x)  A . x  x0 x  x0 Запишем это определение в другой форме, используя символы:  – существует (найдётся); : – такая что;  – следует; равносильно.  – для любого;  –  lim f ( x)  A  U  ( A) U  ( x0 ) : x U  ( х0 )  Х  f ( x) U  ( A) . x x0 Если известно, что x0 и А – конечные числа или равны   , то можно дать определение предела функции, заменив записи  x U ( x0 ) и f ( x) U  ( A) соответствующими неравенствами. Рассмотрим некоторые случаи значений x0 и А.  Пусть x 0 и А – конечные числа, тогда lim f ( x)  A    0  ()  0 : x X и 0  x  x0    f ( x)  A   . x x0 lim f ( x)  A означает, что для любого положительного Иными словами, равенство x  x0 числа  существует такое число   0 , зависящее от  , что для любых x  X и удовлетворяющих неравенству 0  x  x0   выполняется неравенство "   " ). у А+ ) (определение на языке f ( x)  A   А ) А- ( х о-  х х х )+  о о х Рис. 2.6. На рисунке 2.6 проиллюстрировано определение предела функции f (x) при х  x0 . Для построения этого рисунка необходимо выполнить следующие действия:  построить график функции у  f (x) и отметить точки x0 и А;  построить окрестность точки А, выбрав произвольное число   0 ;  по точкам А   , А   и графику функции построить  -окрестность точки x0 . Расстояния от точки x0 до точек x0   и x0   должны быть равными, поэтому 4 из двух полученных отрезков следует взять меньший и отложить его в обе стороны от точки x0 ;   взять произвольную точку х  х0 , принадлежащую окрестности точки x0 , и по графику функции найти f (x) , которое должно попасть в построенную окрестность точки А. Пусть x0 – конечное число, A   (рис. 2.7), тогда lim f ( x)      0  ()  0 : x X и 0  x  x0    f ( x)   . x x0 у )  ( х о-  х х о ) х х о+  Рис. 2.7. Задача 2.1.1 1 х  0 .  x 2 Доказать, что lim Решение Областью определения функции является множество R, для которого   есть предельная точка. Покажем, что   0  ()  0 :  x     12 x  0   . у ( ( 1 2 ) 1  х (  )  х х Рис. 2.8. На рисунке 2.8 изображен график функции 2 х у 1 и проиллюстрировано определение предела. Рассмотрим равносильные неравенства  12 x  0     12 х    x  log 1 2 . Если взять 0    1 , то log 1   0 и при ()  log 1  будет выполнено: 2 2   0  ()  log 1   0 :  x    2 5  12 x  0 ,   0 существует такое ()  log 1   0 , что при x  log 1    т.е. для любого 2 2 выполняется неравенство   1 x 2 0   х   , а это и доказывает, что lim 1 x   2 0. 2.1.3. Односторонние пределы Правосторонней h –окрестностью точки x0 называется множество точек х, таких, что x  ( x0 ; x0  h) , где h  0 (рис. 2.9). Обозначение: U h ( x0 ) . ( ( хо Рис. 2.9. Левосторонней х х о+ h h –окрестностью точки x0 называется множество точек х, таких ,что x  ( x0  h ; x0 ) , где h  0 (рис. 2.10). Обозначение: U h ( x0 ) . ( ( х о- h хо х Рис. 2.10. Сформулируем определения правостороннего и левостороннего пределов в терминах окрестностей. Определение 2.1.8 Число А называется правосторонним пределом функции f (x) при х  x0  0 (х стремится к x0 справа), если для любой окрестности точки А найдётся такая окрестность точки x0 , что для всех х из области определения Х и найденной правосторонней окрестности точки x0 соответствующие значения функции f (x) попадают в заданную окрестность точки А. А f ( x)  U  ( A)  U  ( x0 ) : x U  ( x0 )  X  f ( x) U  ( A) . lim x x0 0 Определение 2.1.9 Число А называется левосторонним пределом функции f (x) при х  x0  0 (х стремится к x0 слева), если для любой окрестности точки А найдётся такая окрестность точки x0 , что для всех х из области определения Х и найденной левосторонней окрестности точки x0 соответствующие значения функции f (x) попадают в заданную окрестность точки А. А  lim x x0 0 f ( x)  U  ( A)  U  ( x0 ) : x U  ( x0 )  X  f ( x) U  ( A) . Если число А конечное, то можно дать равносильные определения односторонних пределов на языке «    »: lim f ( x)    0  ()  0 : x  ( x0 ; x0  h)  X  f ( x)  A   ; А  lim f ( x)    0  ()  0 : x  ( x0  h; x0 )  X  f ( x)  A   . А x x0 0 x x0 0 Задача 2.1.2 Доказать, что lim log 2 x   . x00 6 Решение Областью определения функции является множество (0  ) , для которого 0 есть предельная точка. Покажем, что   0  ()  0 :  0  x    log2 x   (рис. 2.11). у 2 х ( ) )  х 1 Рис. 2.11. На рисунке 2.11 изображен график функции у  log 2 x и проиллюстрировано определение предела. Рассмотрим равносильные неравенства log 2 x    0  х  2  . Если взять ()  2  , то будет выполнено:   0  ()  2  :  0  x    2   log2 x   , а это и доказывает, что lim log 2 x   . x00 2.1.4. Основные теоремы о пределах Теорема 2.1.1. (Единственность предела) Если функция f (x) имеет предел при x  x0 , то он единственный. Доказательство. (От противного) Пусть lim f ( x)  A и lim f ( x)  B . Тогда по определению конечного предела x  x0 x  x0    0  U  ( x0 ) : x U  ( x0 )  X  f ( x)  A    и f ( x)  B  . 2 2 Найдём A  B  A  B  f ( x)  f ( x)  ( A  f ( x))  ( f ( x)  B)     A  f ( x)  f ( x)  B  f ( x)  A  f ( x)  B     2 2 Получили, что A  B     0 . Поскольку модуль – число не отрицательное, то неравенство при A  B     0 может быть выполнено только в случае A  B  0 , т. е. A B. Теорема 2.1.2. (Предельный переход в неравенстве) Если в некоторой окрестности точки существуют конечные пределы x0 выполняется неравенство f ( x)  g ( x) и lim f ( x)  A и lim g ( x)  B , то A  B . x  x0 x  x0 Доказательство Пусть X ― общая область определения функций определению предела функции 7 f (x) и g (x) . Тогда по  lim f ( x)  A    0  U 1 ( x0 ) : x  U 1 ( x0 )  X  f ( x)  A   , x  x0  lim g ( x)  B    0  U 2 ( x0 ) : x  U 2 ( x0 )  X  g ( x)  B   . x  x0 Если в обоих случаях взять одно и то же   0 и из найденных окрестностей и U  2 ( x0 ) выбрать наименьшую, т. е. U  ( x0 )  U 1 ( x0 )  U  2 ( x0 ) , U 1 ( x0 ) то для  x  U  ( xо )  X выполняются оба неравенства одновременно, т. е. A    f ( x)  A   , B    g ( x)  B   . Выберем  A B , предположив противное, т. е. пусть A  B . Тогда 2 A B A B 3A  B  A B  A  2  f ( x)  A  2  2  f ( x)  2   A  B A  B B   3B  A  g ( x )  A  B  g ( x)  B    2 2 2 2 A B  g ( x)   f ( x) , 2 из последнего неравенства следует, что g ( x)  f ( x) , что противоречит условию теоремы, значит наше предположение A  B неверно. Тогда верным является неравенство A  B . Теорема 2.1.3. (Предел суперпозиции, т. е. сложной функции) Если: 1) f ( y ) и g (x) таковы, что можно образовать их суперпозицию 2) существует lim g ( x)  A , точка 3) существует A - является точкой сгущения области x  x0 определения функции F ( x)  f ( g ( x)) , f ( y) , lim f ( y)  B , то существует y A lim f ( g ( x))  B . x  x0 Доказательство Пусть X – область определения функции g (x) , Y – область определения функции f ( y) . По определению предела функции  lim g ( x)  A  U h1 ( A)  U  ( xo ) : x  U  ( x0 )  X  g ( x)  U h1 ( A) , x x0  lim f ( y)  B  U  ( B)  U h2 ( A) : y  U h2 ( A)  Y  f ( y)  U  ( B) . y A Возьмём h  min h1; h2 . Тогда получим  U  ( B)  U  ( xo ) : x  U  ( xo )  X  f ( g ( x))  U  ( B) . Значит, по определению предела функции B  lim f ( g ( x)) . x x0 8 Теорема 2.1.4. (О сжатой функции) Если в некоторой окрестности точки x0 три функции связаны неравенством ( x)  f ( x)  g ( x) и существуют конечные пределы lim ( x)  lim g ( x)  A , то x  x0 существует x  x0 lim f ( x)  A . x  x0 Доказательство Пусть X - общая область определения трёх функций, тогда  lim ( x)  A  U  ( A)  U 1 ( x0 ) : x  U 1 ( x0 )  X  ( x)  A   , x  x0  lim g ( x)  A  U  ( A)  U 2 ( x0 ) : x  U 2 ( x0 )  X  g ( x)  A   . x  x0 Найдём окрестность U  ( x0 )  U 1 ( x0 )  U 2 ( x0 ) , тогда для  x  U  ( x0 )  X выполняются оба неравенства одновременно: A    ( x)  A   и A    g ( x)  A   . Но так как ( x)  f ( x)  g ( x) , то A    ( x)  f ( x)  g ( x)  A   , а это означает, что существует lim f ( x)  A . x  x0 Теорема 2.1.5. (Первый замечательный предел)  выполняется неравенство sin x  x  tg x . 2 Возьмём  четверть тригонометрического круга и отложим угол x радиан (рис. 2.12). Сначала докажем, что при 0 x Рис. 2.12. Очевидно, что SOAC  Sсек .OAC  SOBC , найдём эти площади, зная, что радиус окружности равен 1 .  1 1 1 1  OA  OC  sin(OA ; OC)   1  1  sin x , Sсек .OAC   R 2  x   x , 2 2 2 2 1 1 1 S OBC   OC  BC   1  tg x   tg x . 2 2 2 1 1 1 Значит, sin x   x   tg x  sin x  x  tg x x  (0; 2 ) . 2 2 2 S OAC  Теперь докажем, что 9 sin x  1 ― первый замечательный предел. x 0 x lim Рассмотрим     x  , x  0 . Тогда в силу нечётности справедливо неравенство 2 2 sin x  x  tg x , ( x  0),  1  x 1  . sin x cos x  и V четвертях все выражения под знаком модуля положительные (в V x 1 sin x четверти x  0 и sin x  0 ), то 1   1  cos x . Так как sin x cos x x sin x  1. lim cos x  1 , то по теореме о сжатой функции существует lim x 0 x x 0 Так как в 2.1.5. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Неопределенности При вычислении пределов функций необходимо знать следующие теоремы: lim С  С , где С  const ; (1) x x0 lim Сf ( x)  С lim f ( x) , где С  const . x x0 (2) x x0 Если существуют конечные пределы lim f ( x)  A и lim g ( x)  B , то x x0 x x0 lim ( f ( x)  g ( x))  A  B ; (3) lim ( f ( x)  g ( x))  A  B ; (4) f ( x) A  , где В  0 ; B x x0 g ( x) (5) x x0 x x0 lim lim g ( x )   x x lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  0 x x0  x x0  . (6) Кроме того, мы будем пользоваться тем, что для основных элементарных функций f (x) в любой точке их области определения имеет место равенство   lim f ( x)  f  lim x  . x x0  x x0  Теоремами (1) – (6) можно пользоваться и в том случае, если (7) lim f ( x)   или x  x0 lim g ( x)   . Однако в этом случае использование теорем о пределах может привести к x  x0 неопределенным выражениям. Рассмотрим все возможные случаи, которые могут встретиться при вычислении пределов. Пусть lim f ( x)  A и lim g ( x)  B . x  x0 x  x0 1. Вычисление предела суммы f ( x )  g( x ) . 1. A, B – конечные числа  lim ( f ( x)  g ( x))  A  B . 2. A  , B    lim ( f ( x)  g ( x))  [  ]   . xx0 xx0 10 3. A  , B    lim ( f ( x)  g ( x))  [  ]   . 4. A  , B – конечное число  lim ( f ( x)  g ( x))  [  В]   . 5. A  , B    lim ( f ( x)  g ( x))  [  ] . xx0 x x0 x x0 Последнее выражение не определено, его принято называть неопределённостью вида [  ] . Задача 2.1.3 Вычислить предел lim (3x 2  5 х  1) . x1 Решение Из формул (2), (4), (1) и (3) следует, что 2 lim (3x 2  5 х  1)  3 lim х   5 lim х  lim 1  3  12  5  1  1  7 .  x1  x1 x1 x1 2. Вычисление предела произведения f ( x )  g( x ) . 1. A, B – конечные числа  lim ( f ( x)  g ( x))  A  B . 2. A  0, B    lim ( f ( x)  g ( x))  [ A  ]   . x x0 x x0  lim ( f ( x)  g ( x))  [0  ] – неопределённость вида 3. A  0, B   x  x0 [0   ] . 4. A  , B    lim ( f ( x)  g ( x))  [  ]   . xx0 Задача 2.1.4 Вычислить предел   lim e1 x tg 2x . x1 Решение Из формул (4), (7), (1), (2) и (3) следует, что  x1  lim1 lim х lim e1 x tg 2x  е x1 x 1  tg 2 lim x   e11  tg 2  1  1     .  x1  3. Вычисление предела отношения f ( x) . g( x ) f ( x) A  . B x x0 g ( x) 1. A, B – конечные числа, B  0  lim 2. A  0, B  0  lim 3. A – конечное число, B    lim 4. A  , B – конечное число  lim f ( x)  A    x x0 g ( x)  0  f ( x)  A    0. x x0 g ( x)    f ( x)     . x x0 g ( x)  B  f ( x)     . g x x0 ( x)  0  5. A  , B  0  lim 6. A  0, B    lim f ( x)  0    0. x x0 g ( x)    11 f ( x)  0     – неопределённость вида x x0 g ( x) 0 f ( x)       – неопределённость вида  lim x x0 g ( x)    lim 7. A  0, B  0 8. A  , B   0  0  .      . Задача 2.1.5 Вычислить предел lim x 2  3х  1 x0 2x 2  х . Решение Из формул (5), (4), (1), (2) и (3) следует, что lim x0 x 2  3х  1 2x 2  х lim х 2  3 lim х  1  x0 x0 2 lim х 2  lim х x0 4. Вычисление предела функции 1. A, B – конечные числа  x0 g( x )  f ( x )  lim ( f ( x)) x x0 0  3  0  1 1  . 20 0 0 . g ( x)  AВ .   3. A  1 , B    lim ( f ( x)) g ( x)  A     . x x 4. 0  A  1 , B    lim ( f ( x)) g ( x)  A     . x x  lim ( f ( x)) g ( x)  A    0 . 5. A  1 , B   x x 6. A  1 , B    lim ( f ( x)) g ( x)  1  – неопределенность вида 1  . x x  lim ( f ( x)) g ( x)  0 0  – неопределенность вида 0  . 7. A  0 , B  0 x x 8. A   , B  0  lim ( f ( x)) g ( x)   0  – неопределенность вида  . x x 9. A – конечное число, B    lim ( f ( x)) g ( x)  А   – не существует. x x 2. 0  A  1 , B    lim ( f ( x)) g ( x)  A   0 . x x0  ЗАМЕЧАНИЕ Из приведенных решений примеров видно, что на практике в простейших случаях вычисление предела сводится к подстановке в данное выражение значения х  x0 . Результат подстановки записывают в квадратных скобках. Задача 2.1.6 1  х  1  х 1 Вычислить предел lim   . x1  2 x 2  х  Решение Из теорем о пределе функции следует, что 1 1 1    х  1  х 1  1  1  11   2  0   2   lim             0 .   x10  2 x 2  х   2  12  1    3    3     12 2.1.6. Ограниченные и неограниченные функции Определение 2.1.10 Функция f (x) называется ограниченной на множестве X , если  k  0 : x  X  f ( x)  k или существуют числа M , N : x  X  M  f ( x)  N . f ( x)  sin x – ограниченная функция на (;) , т.к. sin x  1 при Например, любых x. Если функция не является ограниченной на множестве X , то её называют неограниченной. Следовательно, f (x) не ограничена на X , если для любого сколь угодно большого k  0 существует хотя бы один x*  X : f ( x*)  k . Теорема 2.1.6 Если функция имеет конечный предел при окрестности предельной точки x  x0 , то функция ограничена в x0 . Доказательство  lim f ( x)  A    0  U  ( x0 ) : x U  ( x0 )  X  f ( x)  A   x  x0  A    f ( x)  A   . A  M Обозначим и A  N .  x  U  ( x0 ) Тогда выполняется M  f ( x)  N , т. е. f (x) – ограниченная. Теорема 2.1.7 Если существует конечный ненулевой предел функции 1 ограничена в окрестности предельной точки f ( x) f (x) при x  x0 , то функция x0 . Доказательство Пусть lim f ( x)  A , где А  0 . Тогда справедливо x  x0    0  U  ( x0 ) : x  U  ( x0 )  X  f ( x)  A   , или A    f ( x)  A   . Так как A  0 , то для достаточно малого   0 все части последнего неравенства 1 1 1 1    имеют одинаковые знаки  - ограничена в окрестности A   f ( x) A   f ( x) предельной точки. Теорема 2.1.8 Если функция имеет бесконечный предел, то она неограниченна в окрестности предельной точки. Доказательство  lim f ( x)      0  U  ( x0 ) : x  U  ( x0 )  f ( x)   . x  x0 13 Последнее неравенство и означает, что функция в окрестности предельной точки x0 является неограниченной. 2.1.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (б.м. и б.б.) Определение 2.1.11 Функция (x) называется бесконечно малой (б.м.) в точке x0 , если lim ( x)  0 . x  x0 Теорема 2.1.9 Для существования конечного предела чтобы функцию точке lim f ( x)  A , необходимо и достаточно, x  x0 f (x) можно было представить в виде f ( x)  A  ( x) , где (x) - б.м. в x0 . Доказательство  lim f ( x)  A    0  U  ( x0 ) : x  U  ( x0 )  X  f ( x)  A   x  x0 f ( x)  A  ( x)  ( x)   , иначе говоря Обозначим    0  U  ( x0 ) : x  U  ( x0 )  X  ( x)  0    lim ( x)  0 . x  x0 Следовательно (x) ― б. м. в точке x0 , где ( x)  f ( x)  A  f ( x)  A  ( x) . Определение 2.1.11 Функция называется f (x) бесконечно большой (б.б.) в точке x0 , если lim f ( x)   . x x0 ЗАМЕЧАНИЕ. f (x)   , это значит, что f (x)   . Однако можно привести В определении б.б. функции f (x)   стремится к или  или   . Например, f ( x)  tg x существует. Действительно не равны. Однако lim tg x   x 2 0 и пример б.б. функции, которая не - б.б. в точке x lim tg x   . x 2 0 lim tg x   , т. е. f ( x)  tg x x 2 охватываются случаи стремления - б.б. в точке  , хотя 2 lim f ( x) x 2 не Односторонние пределы x . 2 Свойства б.м. и б.б. функций Теорема 2.1.10 Если (x) б.м. в точке x0 , то 1 – б.м. в точке f ( х) 1 – б.б. в точке ( х) x0 . 14 x0 и если f (x) б.б. в точке x0 , то Доказательство 1 ( х) (x) б.м. в точке x0 . Обозначим Пусть  f ( x) и X - область определения (x) . Возьмём E  0 - сколь угодно большое число, тогда функции малое число. Так как (x) б.м. в точке x0 , то для   1 0 E  U  ( x0 ) : x  U  ( x0 )  X  ( x)    f ( x)  Итак, 1   - сколь угодно E 1 ( õ)  1  ( õ)  1 E     0  U  ( x0 ) : x  U  ( x0 )  X  f ( x)  E , т. е. f (x) ― б.б. в точке x0 . Аналогично доказывается и второе утверждение теоремы. Теорема 2.1.11 Произведение функции, б.м. в точке точки x0 , на ограниченную функцию в окрестности x0 есть б.м. функция в той же точке. Доказательство Пусть (x) - б.м. в точке x 0 , а (x) - ограниченная в U  ( x0 ) , т.е. ( x)  k для всех значений x  U  x0  . Обозначим f ( x)  ( x)  ( x) . Пусть X - область  . Так как (x) k    б.м. в точке x0 , то по 1  найдём U  ( x0 ) : x  U  ( x0 )  X  ( x)  1  . k k определения для функций (x) и (x) . Возьмём   0 и найдём 1   Тогда для x  U  ( x0 )  X справедливо неравенство:   k    f (x) б.м. в точке x0 . k sin x 1  0 , т. к. sin x – ограниченная для всех x , а Например, lim – б.м. в точке x  x x . f ( x)  ( x)  ( x)  ( x)  ( x)  Следствия: 1). Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть б.м. в той же точке. Действительно б.м. функция является ограниченной, т. к. имеет конечный предел. 2). Произведение конечного числа бесконечно больших функций есть б.б. в той же точке. Действительно, если 1 ( x),..., n ( x) - б.б., то f ( x)  1 ( x)  ...   n ( x)  1 1 1 ( õ)  ...  1 1 ï ( õ)  1 , 1  ...  1  ( õ)  ( õ) 1 ï 1 откуда следует, что функции f x  представляет собой , то есть б.б. á.ì. Теорема 2.1.12 Сумма конечного числа функций, б.м. в точке точке. 15 x0 , является б.м. функцией в той же Доказательство 1 ( x),  2 ( x) - б.м. в точке x0 . Тогда возьмём любое сколь угодно малое Пусть 1   2  0 , для которого  U 1 ( x0 ) : x  U  ( x0 )  X  1 ( x)   и 2  U 2 ( x0 ) : x  U  ( x0 )  X   2 ( x)  2 .       0 U  ( x0 )  U 1 ( x0 )  U 2 ( x0 ) : x  U  ( x0 ) Тогда  1 ( x)  2 ,  2 ( x)   2  1 ( x)   2 ( x)  1 ( x)   2 ( x)  Таким образом,  2  2   f ( x)  1 ( x)  2 ( x) – б.м. в точке x0 . Сформулируем еще два свойства для бесконечно больших функций: 1) Сумма конечного числа функций, б. б. в одной точке, и имеющих одинаковый знак, является б.б. того же знака в той же точке. 2) Сумма функции, б.б. в точке x0 , и ограниченной функцию в окрестности точке x0 есть б.б. функция в той же точке. 2.1.8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций (б.м. и б.б) Определение 2.1.12 Пусть (x) и (x) ― б.м. в точке x0 , тогда ( x)  0 , то (x) называется б.м. более высокого порядка x x0 ( x) относительно б.м. (x) .Обозначение: (x)  о(( x)) . ( x ) 2) Если lim  C , где C  0, C   , то (x) и (x) называется б.м. x x0 ( x) 1) Если lim одинакового порядка. 3) Если ( x) не существует, то (x) и (x) называются несравнимыми. x  x0 ( x) lim Задача 2.1.7 Сравнить ( x)  x 2  1 и ( x)  x  1 в точке x  1 . Решение Так как x2 1  lim ( x  1)  2  (x) и (x) одного порядка. x1 x  1 x1 lim Определение 2.1.13 Две б.м. функции называются эквивалентными при Обозначается : ( x) ~ ( x) . x x0 16 ( x) 1. x x0 ( x) x  x0 , если lim Примеры sin x  1. x0 x x0 tg x sin x 1  sin x 1  2) tg x ~ x , так как lim  lim    lim 1 .   lim x0 x0 x x0 x cos x  x0 x x0 cos x 1) sin x ~ x , так как lim x2 3) 1  cos x ~ , так как x0 2 lim 1  cos x x2 2 x0  lim 2  sin 2 x0 x2 2 2x   lim sin 2 2x   lim  sin2x  2  1 . x0 x2 4 x0  x 2   arcsin x y  lim  1. x0 y 0 sin y x 4) arcsin x ~ x , так как lim 5) arctg x ~ x , так как lim x0 arctg x y  lim  1. x0 y 0 tg y x x0 Свойства эквивалентных б.м. 1. Сумма функций, б.м. в точке порядка, поскольку если для x0 , разного порядка эквивалентна б.м. меньшего (x) – б.м. в точке x0 более высокого порядка, чем (x) , то ( x)  ( x)  ( x) справедливо  ( x)   ( x) ( x)  ( x)   1 0  1,  lim  lim 1  x x0 ( x) x x0 x x0  ( x ) ( x)  то есть ( x)  ( x) ~ ( x) . lim x x0 2. Предел отношения двух б.м. функций в точке x0 не изменится, если числитель и знаменатель заменить на эквивалентные им б.м. функции. Иначе говоря если 1 ( x ) ( x )  lim , т.к. x x0 ( x) x x0 1 ( x) ( x) ~ 1 ( x) и ( x) ~ 1 ( x) , x  x0 , то lim  ( x) 1 ( x) 1 ( x)   ( x) ( x )   lim 1  lim    . x x0 ( x) x x0  1 ( x) 1 ( x) ( x)  x x0 1 ( x) lim 3. Если ( x) ~ 1 ( x) и ( x) ~ 1 ( x) , x  x0 , то ( x)  ( x) ~ 1 ( x)  1 ( x) , т.к. 1 ( x) ( x)  ( x) ( x)  lim  lim 1. x x0 1 ( x)  1 ( x) x x0 1 ( x) x x0 ( x) lim 4. Сумма б.м. функций эквивалентна сумме эквивалентных им б.м., если заданная сумма не является разностью эквивалентных б.м. Например, tg x  sin x ~ x  x , x0 поскольку ноль является конечным числом, а не бесконечно малой функцией. В этом случае следует разложить заданное выражение на множители, т.е. x2  1  cos x  x3 2  ~ x  tg x  sin x  sin x    . 2  cos x  x0 1 Определение 2.1.14 Пусть U (x) и V (x) – б.б. в точке x0 . Тогда: 17 1) если U ( x)   , то U (x) называется б.б. высшего порядка относительно x x0 V ( x) lim V ( x)  0. x x0 U ( x) V (x) , а V (x) – б.б. низшего порядка относительно U (x) . Очевидно lim 2) если U ( x)  C , где C  0 , C   , то U (x) и x x0 V ( x) lim V (x) называются б.б. одинакового порядка. U ( x) , то U (x) и V (x) называются несравнимыми. x x0 V ( x)  lim 3) если 4) если U ( x)  1 , то U (x) и V (x) называются эквивалентными б.б. что x x0 V ( x) lim обозначается: U ( x) ~ V ( x) . x x0 Свойства эквивалентных б.б. функций 1) Сумма б.б. функций разного порядка эквивалентна б.б. высшего порядка. 2) Предел отношения б.б. не изменится, если числитель и знаменатель заменить на эквивалентные б.б. Иначе: если U ( x) ~ U1 ( x) и V ( x) ~ V1 ( x) , x  x0 , то U 1 ( x) U ( x)  lim . x x0 V ( x) x x0 V1 ( x) lim 3) Сумма б.б. функций можно заменить на сумму эквивалентных б.б., если заданная сумма не является разностью эквивалентных б.б. 4) Если U ( x) ~ U1( x) и V ( x) ~ V1( x) , x  x0 , то U ( x)  V ( x) ~ U1( x)  V1( x) . 2.1.9. Главная часть б.м. и б.б. функций Для каждой б.м. или б.б. функции существует бесконечное множество эквивалентных функций. Например, при x  0 б.м. функция tg x ~ sin x; ~ arcsin x; ~ x и т. д. Естественно при вычислении пределов использовать замену на простейшую эквивалентную функцию. Определение 2.1.14 Пусть Если (x) – простейшая б.м. в точке x0 , а (x) – другая б.м. в той же точке x0 . ( x) ~ C (( x)) k , где C, k – постоянные числа, C  0 , то бесконечно малую x x0 C (( x)) k называют главной частью (x) . Число k называют порядком функции (x) относительно (х) . 18 ЗАМЕЧАНИЕ Вид главной части зависит от того, конечным или бесконечным является число (x) – б.м. в точке x0  a 1) Если Пусть x 0 , то (x) – конечное число, то главная часть функции x0   , то главная часть функции (x) 2) Если x0 . имеет вид имеет вид 1 C    x C  ( x  a) k . k . Определение 2.1.15 Пусть U (x) – простейшая бесконечно большая в точке x0 , V (x) – другая бесконечно x0 . Если V ( x) ~ C (U ( x)) k , где C, k - постоянные числа, большая в той же точке x x0 C  0 , k  0 , то бесконечно большую C (U ( x)) k называют главной частью V (x) . Число k называют порядком V (x) относительно U (х) . ЗАМЕЧАНИЕ. Пусть V (x) – б.б. в точке x0 . Тогда: 1) если x0  a 2) если x0   , то главная часть функции V (x) – конечное число, то главная часть функции имеет вид V (x) имеет вид C  x  k  1  C    xa k . . Задача 2.1.8 Выделить главную часть функции f ( x)  cos x  e 3x при x  0 и установить ее порядок относительно х. Решение   lim cos x  e 3x  0 . Следовательно, функция f (x) является бесконечно малой и ее x0 главная часть при x  0 имеет вид C  ( x  0) k  С  х k , где k – порядок функции f (x) относительно 1  cos ( х) ~  ( x ) 0 х.  ( х ) 2 2 Воспользуемся и e ( х) соотношениями эквивалентностей  1 ~ ( х) , для этого приведем f (x) к виду  ( x ) 0   f ( x)  cos x  e 3x  cos x  e 3x  1  (1  cos x)  e 3x  1 ~  12 x 2  3x . x0 Меньший порядок имеет слагаемое  3х  , поэтому f ( x)  cos x  e 3x ~  12 x 2  3x ~  3х . x0 x0 1 Главная часть функции f (x) имеет вид  3х , где k  1 – ее порядок относительно х. Определение 2.1.16 Числом «е» называют основание такой показательной касательная к графику которой, проведенная в точке с абсциссой   45 с осью абсцисс (рис. 2.13). 19 функции f x   a x , x0  0 , составляет угол y  ex ex 1  1 x x  1 x Рис. 2.13. Из определения следует, что ex  1 ex  1 , lim tg  lim  tg  tg 45  1 (рис. 2.13). x 0 x 0 x x ex  1  0  Следовательно, lim     1  ex  1 ~ x . x 0 x 0 x 0 Выяснено, что e ― это иррациональное число (оно называется числом Непера). Это число вычислено e  2,7182818284... Натуральными называются логарифмы, за tg  основание которых принято число е . Обозначение: ln x  log e x . Пользуясь вычисленным пределом, докажем несколько эквивалентностей: 1. 2. lim x 0 lim ln(1  x) y  lim y 1 y  x e 1 x0 log a (1  x) x ln a  ln(1 x ) lim lnxa x0 ln a  ln(1  x) ~ x . x 0 ln(1  x) 1 x0 x  lim  x . x0 ln a log a (1  x) ~ ах 1 e x ln a  1  lim  1  a x  1 ~ x ln a . x  0 х ln a x  0 x ln a x0 3. lim 4. lim x 0 1  x a  1  lim ea ln(1 x )  1  lim a ln(1  x)  lim ax  1  x 0 ax ax x 0 x 0 ax ax (1  x) a  1 ~ ax . x0 5. lim 1  x   lim e 1 x x 0 1 ln 1 x  x x 0  lim e 1 ln 1 x  x x 0 e lim x 0 ln 1 x  x  e. Из последнего соотношения можно вывести: x 1  1 lim 1    lim 1  y  y  e – второй замечательный предел. x  y 0 x  Полученные соотношения эквивалентности можно внести в таблицу. Этой таблицей пользуются при выделении главных частей б.м. и б.б. функций, а также при вычислении пределов. Таблица 2.1.1.. Таблица эквивалентных бесконечно малых 1 sin x ~ x 5 2 tg x ~ x 6 x0 x0 x2 x0 2 1  cos x ~ x x0 ln a log a (1  x) ~ 20  ln(1  x) ~ x x0 3 arcsin x ~ x 4 arctg x ~ x a x  1 ~ x ln a  e x  1 ~ x 7 x0 x0 x0 (1  x) a  1 ~ ax 8 x0 x0 Задача 2.1.9 lim 1 1  x sin x  2  1  lim  lim 1  x sin x  1 2 x0 x0 ex 1 x 2 1 2 x0 x sin x x  2 1 . 2 Задача 2.1.10 2 е х  е 2х Вычислить предел lim . x0 cos 4 x  cos 2 x Решение 2 2 2 е 2 х  е х 2 x  1 е 2 х  е х 2 x  1 е х  е 2х    . lim     lim  lim x0 cos 4 x  cos 2 x  0  x0  2 sin 4 x  2 x sin 4 x 2 x x0  2 sin 3 x sin x 2 2 Поскольку е х 2 x  1 ~ х 2  2 x ~  2 х , а sin 3x sin x ~ 3x  x  3x 2 , то 2 x0 x0 x0 2 е 2 х  е х 2 x  1 2х е х  е 2х    lim е  2 x   lim  lim x0 cos 4 x  cos 2 x x0  2 sin 3x sin x x0  2  3x 2 2 е 2х  1    . x0 3x 0  lim 2.1.10. Показательные неопределенности Функция вида Так как u( x)v( x) y  u( x)v( x) , где u( x)  0 называется показательно степенной. v( x)  e lnu ( x)   e v( x)lnu ( x) , то lim u ( x)  v( x) x  x0 lim v ( x ) ln u ( x )  lim ev ( x )ln u ( x )  e xx0 . x  x0 При вычислении пределов показательно степенных функций возможны следующие неопределенности: 1 , если u  1, v   . Тогда lim u v  1  elim v ln u  e0 ,      , если u  , v  0 . Тогда lim u     e 0 , если u  0, v  0 . Тогда lim u  0   e v v 0  0   , . Задача 2.1.11  x 1  lim   x   x  2x   lim 2 x ln xx1  1  e x Задача 2.1.12 1 Вычислить предел lim cos x  x0 arctg 2 x . 21  lim 2 x ln 1 1x  e x    lim 2 x  1x  e x  e 2 . Решение   е 1 lim cos x  arctg 2 x x0  1 lim е lim 1 x 0 arctg2 1 x 0 arctg2 х х ln(cosx )  ln(1(cos x 1)) lim 2 cos x 1 lim  x2 2  е x0 х  е 0,5 . 2  е x0 х 2.2. Непрерывность функций Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке (арифметические операции над непрерывными функциями, непрерывность сложной и обратной функции). Непрерывность элементарных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функций на промежутке. Свойства функций, непрерывных на промежутке. 2.2.1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций. Определение 2.2.1 Пусть дана функция Разность y  f (x) . Рассмотрим два значения ее аргумента x и x0 . x  x0  x называется приращением аргумента x в точке x0 . Разность у  у0  f ( x)  f ( x0 )  y называется приращением функции y  f (x) в точке x0 . Из определения следует, что если обозначить x  x0  x , то x  x0  x и y  f ( x0  х)  f ( x0 ) . Определение 2.2.2 Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в некоторой окрестности точки x0 и lim y  0 , т.е. если бесконечно малому x0 приращению аргумента x соответствует б. м. приращение функции Поскольку y . y  f ( x)  f ( x0 ) , то lim y  lim  f ( x)  f ( x0 )   0  lim f ( x)  f ( x0 ) . x0 x х0 x х0 Таким образом, получаем эквивалентное определение: Определение 2.2.3 Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в некоторой lim xх0 0 окрестности f ( x)  lim x х0 0 x0 точки и lim f ( x)  f ( x0 ) x х0 или f ( x )  f ( x0 ) . ЗАМЕЧАНИЕ Это равенство можно переписать в виде lim f ( x)  f ( lim x) , x х0 x х0 то есть под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу. Приведем две важные теоремы о непрерывных функциях. Теорема 2.2.1 Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x0 , то непрерывны в этой же точке их сумма, произведение и частное (при g ( x0 )  0 ). 22 Доказательство Найдем lim F ( x)  lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )  F ( x0 ) xõ0 xõ0 x õ0 xx0  функция F ( x)  f ( x)  g ( x) ― непрерывная в точке x0 . Аналогично доказываются теоремы для произведения и частного. Теорема 2.2.1 Если функция g (x) непрерывна в точке x0 , а функция f (u ) ― в точке u0  g ( x0 ) , то сложная функция f ( g ( x)) непрерывна в точке x0 . Доказательство lim f ( g ( x))  lim f (u )  f (u0 )  f ( g (u0 )) . x х0 u u0 Определение 2.2.4 Функция y  f (x) называется непрерывной слева (справа) в точке x0 , если она определена в точке x0 и lim x х0 0 f ( x)  f ( x0 ) (или lim x х0 0 f ( x)  f ( x0 ) ). 2.2.2. Классификация точек разрыва Если функция f (x) не является непрерывной в точке x0 , то говорят, что она терпит в этой точке разрыв. Чтобы классифицировать точки разрыва функции дадим определение непрерывной в точке функции в развернутом виде. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если: 1) f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 ;Устранимый разрыв 2) существуют конечные односторонние пределы lim x x0 0 f ( x)  f ( x0  0) и lim x x0 0 f ( x)  f ( x0  0) ; 3) эти пределы равны значению функции в точке x0 , т.е. lim x х0 0 f ( x)  lim x х0 0 f ( x)  f ( x 0 ) . Если в точке x0 хотя бы одно из условий непрерывности нарушается, точка x0 является точкой разрыва данной функции. 1. Устранимый разрыв Пусть существуют конечные односторонние пределы: lim x x0 0 f ( x)  f ( x0  0) и lim x x0 0 f ( x)  f ( x0  0) . Если А  f ( x0  0)  f ( x0  0)  f ( x0 ) , то точка x0 называется точкой устранимого разрыва (рис. 2.1). у А = f ( х о - 0) = = f ( х о + 0) хо Рис. 2.1. 23 х Для того, чтобы устранить разрыв, нужно доопределить (или переопределить) функцию в самой точке x0 , т.е. ввести новую функцию  f ( x), если х  x0 . у  А, если х  x0 2. Неустранимый разрыв первого рода Пусть существуют конечные односторонние пределы: lim x x0 0 f ( x)  f ( x0  0) и lim x x0 0 f ( x)  f ( x0  0) . Если f ( x0  0)  f ( x0  0) , то точка x0 называется точкой неустранимого разрыва первого рода (рис. 2.2). Величина   f ( x0  0)  f ( x0  0) называется скачком функции f (x) в точке x0 . у f ( х о + 0) f ( х о - 0) х хо Рис. 2.2. 3. Неустранимый разрыв второго рода Если в точке x0 хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен  , то точка x0 называется точкой неустранимого разрыва второго рода (рис. 2.3). у х хо Рис. 2.3. Задача 2.2.1  x  1, если 0  х  3, на непрерывность:  3  х, если 3  х  4. Исследовать функцию f ( x)   Решение Изобразим график этой функции (рис. 2.4). у 2 34 -1 х Рис. 2.4. Для функции f (x) точка х  3 является точкой разрыва первого рода, так как 24 lim f ( x)  lim ( x  1)  2   x30   разрыв первого рода, скачок   2 . lim f ( x)  lim (3  x)  0  x30 x30 Следует отметить, что в точке х  0 функция непрерывна справа, так как x30 lim f ( x)  lim ( x  1)  1  f (0) . x00 x00 А в точке х  4 функция непрерывна слева, так как lim f ( x)  lim (3  x)  1  f (4) . x40 x40 Задача 2.2.2 Исследовать функцию y  sin x на непрерывность. x Решение Функция f (х) не определена в точке x  0 . Эта точка является точкой устранимого разрыва, так как sin x sin x  lim 1. x00 x x00 x у 1 lim х Рис. 2.5. График функции y  sin x изображен на рисунке 2.5. x Доопределить функцию по непрерывности – это значит задать f (0)  1 , т.е. получить  sin x , x  0  функцию y   x  1, x  0 , которая непрерывна в точке x  0 . Задача 2.2.3 Исследовать функцию y  sin 1 на непрерывность. x Решение Точка x  0 является точкой разрыва второго рода, так как пределы существуют. у Рис. 2.6. 25 х lim sin 1x не x00 График функции y  sin 1x (рис. 2.6) колеблется между числами  1 и 1 , не приближаясь ни к какому значению. Задача 2.2.4 1 Исследовать функцию y  е х 1 на непрерывность. Решение Данная функция имеет разрыв в точке x  1 . Найдем в этой точке односторонние пределы 1 lim е х 1  е x10 10   е  0 , 1 lim е х 1  е x10 10   е   . у 1 х 1 Рис. 2.7. Следовательно, x  1 является точкой разрыва второго рода, так как предел справа бесконечный (рис. 2.7). 2.2.3. Непрерывность функций на промежутке. Свойства функций, непрерывных на промежутке Определение 2.2.5 Если функция y  f (x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала а; b  , то функция называется непрерывной на этом интервале. Определение 2.2.6 Функция y  f (x) называется непрерывной на замкнутом интервале a; b, если она а; b , и непрерывна справа в точке непрерывна в каждой точке интервала а и слева в точке b . Рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. 1. Непрерывная на отрезке a; b функция достигает на этом отрезке по крайней мере один раз наибольшего значения Ì и наименьшего значения ò , т.е. m  f ( x)  M (рис. 2.8). y M m a b Рис. 2.8. a; b функция является ограниченной на этом отрезке. М  f ( x)  m х  а; b . 2. Непрерывная на отрезке Это следует из неравенства x 26 3. Если функция f x  непрерывна на замкнутом промежутке a, b и принимает на концах промежутка значения разных знаков, то она имеет хотя бы один корень на этом промежутке (рис. 2.9). y a x0 Рис. 2.9. 27 b x