Предел функции

1 Предел функции Пусть функция y = f ( x ) задана в некоторой окрестности точки x0 , кроме, может быть, самой точки x0 . 1. Число А называется пределом функции f ( x ) в точке x = x0 (или при x → x ), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число δ > 0 , что для всех x ≠ x0 и удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ выполняется неравенство f ( x ) − A < ε . Этот предел обозначается lim f ( x ) = A . x → x0 2. Число А1 называется пределом функции f ( x ) слева в точке x = x , если для любого ε >0 числа существует x ∈ ( x0 − δ , x0 ) выполняется неравенство вают так: lim x → x −0 ( число δ > 0 такое, что при f ( x ) − A < ε . Предел слева записы1 ) f ( x ) = A либо f x − 0 = A . 1 1 3. Число А2 называется пределом функции f ( x ) справа в точке x = x ,если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 такое, что при x ∈ ( x0 , x0 + δ ) выполняется неравенство f ( x ) − A < ε . Предел справа записывают 2 так: lim f ( x ) = A2 либо f ( x0 + 0 ) = A . 2 x → x0 + 0 Из существования lim f ( x ) = A следует, что существуют оба односто- x → x0 ронних предела, причём А1 = А2 = А и, наоборот, если существуют оба односторонних предела и А1 = А2 = А, то существует lim f ( x ) = A . Если А1 ≠ А2, то x → x0 lim f ( x ) не существует. x → x0 4. Пусть функция y = f ( x ) определена на промежутке ( −∞ ; ∞ ) . Число А называется пределом f ( x ) при x → ∞ , и обозначается A = lim f ( x ) , если для любого x→ ∞ числа ε > 0 существует число M > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих 2 неравенству x > M , выполняется неравенство f ( x ) − A < ε . Это определение предполагает неограниченное возрастание x по абсолютной величине. Если x → +∞ , то пишут A = lim f ( x ) , x → +∞ если x → −∞ , то пишут A = lim f ( x ) . x → −∞ Производная функции Производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора и характеризует скорость изменения функции. Пусть функция y = f ( x ) определена на промежутке Х. Возьмём точку x ∈ X . Дадим значению x приращение ∆x , тогда функция получит приращение ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) . (1) Производной функции y = f ( x ) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производную обозначают y′ , y′ , f ′ ( x ) , x dy df ( x ) , . Т.о. по определеdx dx нию производной имеем: f ′ ( x ) = lim f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x → 0 (2) ∆x ∆y . ∆x → 0 ∆x y′ = lim или (3) Функция, имеющая производную в каждой точке интервала, называется дифференцируемой, а операция нахождения производной − дифференцированием. Выясним геометрический смысл производной. Пусть на плоскости Оху да- ( ) на непрерывная кривая y = f ( x ) . Возьмём на кривой две точки: M x , f ( x ) и ( ) M1 x + ∆x , f ( x + ∆x ) . Прямую ММ1 , проходящую через эти точки, называют секущей. Касательной к кривой y = f ( x ) в точке М называется предельное по- 3 ложение секущей при ∆x → 0 . Обозначим φ − угол между секущей ММ1 и осью Ох, α − угол между касательной и осью Ох. Из ∆MM N : tg ϕ = f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x 1 . При ∆x → 0 секущая ММ1 переходит в ка- сательную и ϕ → α т.е. α = lim ϕ . Следовательно, lim tg ϕ = tg α т.е. ∆x → 0 tg α = lim ∆x → 0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x ∆x → 0 = f ′( x) . Геометрический смысл производной: производная f ′ ( x ) в точке х равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f ( x ) в этой точке. Механический смысл производной Пусть материальная точка М неравномерно движется по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует расстояние OM = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от времени, т.е. S = S ( t ) . Найдём скорость движения точки. Если в момент времени t точка занимает положение М, то в момент t + ∆t она займёт положение М1, где OM1 = S + ∆S . Значит перемещение точки за время ∆t 4 будет ∆S = S ( t + ∆t ) − S ( t ) . Отношение ния точки за время ∆t : v ср = ∆S выражает среднюю скорость движе∆t ∆S . Предел средней скорости при ∆t → 0 называ∆t ется скоростью движения точки в данный момент времени или мгновенной скоростью. Обозначая её v , получим v = lim S ( t + ∆t ) − S ( t ) ∆t ∆t→0 = S′ ( t ) . Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равна производной от пути S по времени t. В экономике производная равна скорости изменения экономического процесса относительно исследуемого фактора, например, производительность труда в момент времени t равна производной объёма выпущенной продукции по времени. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: Непрерывность − необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции. Вычисление производных Производную функции y = f ( x ) можно найти по следующей схеме: 1. Даём аргументу х приращение ∆ x ≠ 0 и находим значение функции f ( x + ∆x ) . 2. Вычисляем ∆y = f ( x + ∆ x ) − f ( x ) . 3. Составляем отношение ∆y . ∆x ∆y . ∆ x→ 0 ∆ x 4. Находим предел этого отношения при ∆ x → 0 , т.е. y′ = lim По указанной схеме получена таблица производных. В ней u = u ( x ) , c = const . 1. c ′ = 0 3. 2. x ′ = 1 ( u )′ = α ⋅ u α α −1 ⋅ u′ 4. ( e )′ = e u u ⋅ u′ 5 5. ( a )′ = a 7. 9. 6. ( sinu)′ = cosu ⋅ u′ ( cosu)′ = − sinu ⋅ u′ 8. (tg u)′ = cos1 u ⋅ u′ ( ctg u)′ = − sin1 u ⋅ u′ 10. ( arc sinu)′ = 12. ( arc tg u)′ = 1 +1u 14. ( lnu)′ = u1 ⋅ u′ u u ⋅ ln a ⋅ u′ 2 11. ( arc cosu)′ = − 13. ( arc ctg u)′ = − 1 +1u 15. ( log u)′ = uln1 a ⋅ u′ 1 1 − u2 2 ⋅ u′ ⋅ u′ 2 1 1− u 2 2 ⋅ u′ ⋅ u′ a Правила дифференцирования Пусть u = u ( x ) , v = v ( x ) , w = w ( x ) , y = f ( u ) , c = const . Тогда 1. ( u ± v )′ = u′ ± v′ 2. ( u ⋅ v )′ = u′v + uv′ 3. ( c ⋅ u)′ = c ⋅ u′  u ′ u′v − uv′ 4.   = v2 v Если функция y = f ( x ) задана параметрически, т.е. x = x ( t ) , y = y ( t ) , то y ′ = x y′ t x′ . t Дифференцирование сложной функции:  f ( u) ′ = f ′ ⋅ u′ или y′ = y ′ ⋅ u′ . u x u x Эластичность функции Пусть y = f ( x ) . Эластичностью E ( y ) функции у относительно х называется x 6 предел отношения относительного приращения функции приращению аргумента ∆y к относительному y ∆x при ∆ x → 0 : x  ∆y ∆ x  x ∆y x Ex ( y ) = lim  : = lim = ⋅ y′ ,  ∆ x→0 ∆ x→0 ∆ x y x y y   Ex ( y ) = x ⋅ y′ . y Эластичность приближённо показывает процентное изменение функции при изменении аргумента на 1% и используется в экономике при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса (или количества покупаемого товара) “у” относительно цены товара (или дохода) “х” показывает, на сколько % изменится спрос (или объём потребления) при изменении цены (или дохода) на 1 %. Спрос называют эластичным при E ( y ) > 1 и неэластичным при E ( y ) < 1 . x x При E ( y ) = 1 говорят о спросе с единичной эластичностью. x Эластичный спрос означает, что малому процентному изменению цены соответствует большее процентное изменение спроса, т.е. ∆y ∆ x , а неэластичный − что > y x малое процентное изменение цены приводит к ещё меньшему процентному изменению спроса. Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции “у” (тыс. руб.) и выпуском продукции “х” (млн. руб.) выражается функцией y = − 0. 5 x + 80 . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб. Решение. E ( y ) = x − 0. 5 x x x x ⋅ y′ = ⋅ ( − 0. 5 x + 80 )′ = = . y − 0. 5 x + 80 − 0. 5 x + 80 x − 160 При x = 60 , Ex=60 ( y ) = 60 = −0.6 , т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн. 60 − 160 руб., увеличение выпуска на 1 % приведёт к снижению себестоимости на 0.6 %.