Правило Верещагина

ЛЕКЦИЯ №17 Правило Верещагина. Решение интеграла Мора, сводится к вычислению интеграла типа l ∫ M F M i dx. Но эпюра Mi всегда состоит из отрезков прямых линий. Рассмотрим участок балки, где эпюра произвольное очертание (рис. 17.1). Mi прямолинейна, а эпюра MF имеет Рис. 17.1 Положим, на участке длиной l нужно взять интеграл от произведения двух функций f1 ( z ) ⋅ f 2 ( z ) : l J = ∫ f1 (z ) ⋅ f 2 ( z )dz , (17.1) при условии, что по крайней мере одна из этих функций – линейная. Пусть f 2 ( z ) = b + kz . Тогда выражение (17.1) примет вид l l J = b ∫ f1 ( z ) dz + k ∫ z f1 ( z ) dz. Первый из написанных ограниченную кривой эпюры M F : интегралов представляет собой площадь, f1 (z ) (см. рис. 13.5), или, короче говоря, площадь l ∫ f (z )dz = Ω 1 1 . Второй интеграл характеризует относительно оси координат, т.е. l ∫ z f (z )dz = Ω z 1 1 c .t . статический момент этой площади , где zc.t. – координата центра тяжести первой эпюры. Теперь получаем J = Ω1 (b + k z c.t . ). Но b + k z c.t . = f 2 ( z c.t . ). Следовательно, J = Ω1 f 2 (zc.t . ). Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры, лежащей под центром тяжести первой. В случае, если обе функции f1 (z ) и f 2 (z ) – линейные, операция перемножения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой. Кажется на первый взгляд, что способ Верещагина не дает серьезных упрощений, так как нахождение площадей некоторых эпюр может быть достаточно трудоемким. Однако на практике подавляющее число эпюр может быть разбито на простейшие составляющие: прямоугольник, треугольник и отсеченная часть параболы, площадь и положение центра тяжести которых известны (табл. 17.1). Таблица 17.1 № Эпюра Площадь Ω Координаты центра тяжести 1. z1 z2 1 l 2 1 l 2 Прямоугольник h⋅l 2. 3. 4. Треугольник Параболический треугольник 1 ⋅h⋅l 2 1 l 3 2 l 3 1 ⋅h⋅l 3 1 l 4 3 l 4 ql 3 12 1 l 2 1 l 2 Фрагмент балки При перемножении эпюр необходимо соблюдать несколько правил: 1. Обе эпюры на участках перемножения должны существовать. 2. На участках перемножения обе эпюры должны быть знакопостоянны. 3. На участках перемножения обе эпюры не должны иметь переломов. 4. Одна из эпюр должна быть линейной. В случае, если какое, то из правил не соблюдается, то необходимо или разбивать на более маленькие участки перемножения, или использовать другой метод. Рассмотрим на примере применение способа Верещагина и интегрирование дифференциального уравнения упругой линии балки.