Повернутый стержень. Преобразование смещений узлов и сил в узлах. Расчет напряжений

ПОВЕРНУТЫЙ СТЕРЖЕНЬ а б Рис. 1 Преобразование смещений узлов и сил в узлах. Рассмотрим случай, когда стержневой элемент длиной L составляет с осью абсцисс произвольный угол . Введем две прямоугольные системы координат: локальную (xOy), связанную со стержнем, и глобальную (XOY). Проекции вектора перемещения левого конца (i) стержня в локальной системе координат на оси Ox и Oy обозначим соответственно uiлок и viлок, а на оси OX и OY глобальной системы – uiглоб и viглоб соответственно. Аналогичные обозначения введем для проекций вектора перемещения правого конца (j) стержня: ujлок, vjлок, ujглоб и vjглоб. Связь введенных проекций вектора в локальной системе с его проекциями в глобальной системе поясняет рисунок 1. Из треугольника с высотой h на рис.1-а имеем: uiлок = + uiглоб cos + viглоб sin (1) Из треугольника АВС на рис.1-б получаем: viлок = + viглоб cos – uiглоб sin Введем обозначения: cos = l = (Xj–Xi)/L, sin= m = (Yj–Yi)/L , поменяем местами слагаемые во втором уравнении, и запишем полученную систему в матричном виде: (2) где: Тi – матрица трансформации узла. Получим аналогично систему для j-го узла стежня и объединим ее с системой (2): где: (3) Здесь Т – матрица трансформации стержня. Введя аналогичные сокращения для матриц-столбцов, запишем систему (3) в сжатом виде: u лок= Т u глоб. Векторы сил, приложенных в узлах стержня (f лок), так же, как и смещения, могут быть разложены по осям локальной и глобальной систем координат. Отсюда, сразу имеем следующую систему уравнений в матричном виде, связывающую локальные и глобальные представления указанных векторов: f лок = Т f глоб Матрица жесткости повернутого стержня. Рассмотрим вначале часть стержня в локальной системе координат в виде, представленном на рисунке 2. Эта часть ограничена узлами i и j и представляет один конечный элемент. В узлах i и j приложены силы fi и fj, которые вызывают смещения ui и uj соответственно. Рис. 2 Пусть k – сила сжатия на единицу длины. Если действует только сила в i–м узле, и стержень подчиняется закону Гука, то fi = k  (ui – uj ). Сила в j–м узле вызовет удлиннение (uj – ui ), то есть: fj = k  (uj – ui). Записывая оба равенства в матричной форме, получим: (4) Ранее получено выражение для жесткости стержня: k =EA/L, поэтому система уравнений (4) может быть переписана в форме: Добавляя в систему 2 уравнения для учета локальных перемещений vi и vj , имеем: (5) Введем обозначения для локальных матриц жесткости (k лок) и нагрузки (f лок) стержня: , Тогда, поскольку u лок= Т u глоб и f лок = Т f глоб, опуская индекс (глоб) при записи в глобальной системе координат векторов перемещений и сил, запишем систему (5) в виде: k локu лок= f лок или: k лок  Т u = Т f Умножая обе части полученного равенства на ТТ, имеем: ТТ k лок  Т u = ТТ Т f = f, то есть матрица жесткости (k) элемента в глобальной системе координат примет вид: k =ТТ k лок  Т Перемножив матрицы, получим выражение для матрицы жесткости повернутого стержня в глобальной системе координат: (6) Расчет напряжений в повернутом стержне. Сдесь задача ставится так: на основе известных глобальных проекций векторов перемещений в узлах, рассчитать напряжения в повернутом стержне. Совместим начало координат локальной системы с левым концом стержня (i–й узел) и запишем интерполяционный полином, апроксимирующий перемещения во внутренних его точках: (7) Запишем, далее, закон Гука в дифференциальной форме и подставим в него выражение (7): Заменяя здесь, на основании формулы (1), локальные перемещения глобальными имеем:  = E (–uiглобl – viглобm + ujглобl + vjглобm) / L или окончательно в матричной форме: (8) Пример 1 Плоский кронштейн состоит из двух одинаковых стержней длиной L. Площадь поперечного сечения стержней А, модуль упругости Е. Кронштейн нагружен силами Р1 и Р2, как показано на рисунке 2. Определить: смещение узла 2 и напряжение в каждом стержне. Решение: Исследуемую конструкцию кронштейна можно моделировать двумя линейными симплекс–элементами 1 и 2. Согласно выражению (4), в локальных системах координат матрица жесткости первого (k1 лок) и второго (k2 лок) элементов одинаковы и равны: Рис.3 Рис.4 Рис.5 Рис.6 Эти две матрицы не могут быть связаны вместе потому, что они составлены для элементов, расположенных в различных координатных системах. Поэтому их необходимо пересчитать в одну и ту же (глобальную) систему координат. • для первого элемента: =45О; l = m  0,705, поэтому, согласно (6) матрица его жесткости в глобальной системе примет вид, показанный на рисунке 4. Сверху и справа от матрицы показаны имена составляющих глобальных векторов смещений, соответствующих строкам и строкам матрицы. • для второго элемента: =135О; l  – 0,705, m 0,705, и его матрица жесткости в глобальной системе примет вид, показанный на рисунке 5. Складывая обе матрицы по методу прямой жесткости, получим глобальную матрицу жесткости кронштейна, показанную на рисунке 6. Поскольку узлы 1 и 3 закреплены, то: u1 = v1 = u3 = v3= 0 и строки и столбцы в глобальной матрице жесткости, соответствующие этим смещениям, можно вычеркнуть. Получим решающую систему из двух уравнений с двумя неизвестными: Найденные перемещения узла 2 (u2 и v2) являются глобальными. Напряжения в стержнях вычислим по формуле (8): • для 1-го стержня: uiглоб = u1 = 0; viглоб = v1 =0; ujглоб = u2 ; vjглоб = v2 , следовательно: • для 2-го стержня: uiглоб = u2; viглоб = v2; ujглоб = u3= 0; vjглоб = v3=0, следовательно: Пример 2 Для плоской стержневой конструкции, показанной на рис.7, дано: Р=1000кН, L=1м, Е=210ГПа=210109[н/м2], А=610–4м2 (для КЭ 1 и 2), А=610–4м2 (для элемента 3). Требуется определить перемещения в узлах и реакции опор. Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10 Решение: 1. Вычисляем глобальную матрицу жесткости всей стержневой конструкции (размерность элемента глобальной и каждой локальной матриц жесткости = Н/м): • для 1-го стержня:  = 90 О; l = 0; m = 1, EA/L = 210109 [Н/м2] 610–4 [м2] /1 [м], то есть E1A1 /L1 = 1,26 108 [Н/м], следовательно, согласно (6), матрица его жесткости в глобальной системе примет вид, показанный на рисунке 8; • для 2-го стержня:  = 0 О; l = 1; m = 0, EA/L = 210109 [Н/м2] 610–4 [м2] /1 [м], то есть E2A2 /L2 = 1,26 108 [Н/м] матрица жесткости в глобальной системе показана на рисунке 9; • для 3-го стержня:  = 45 О; l =m = (/2) ; E3A3 /L3 = E2A2 /2L2 [Н/м] матрица жесткости в глобальной системе показана на рисунке 10; • искомую матрицу жесткости всей стержневой конструкции (k) получим, складывая матрицы k1, k2 и k3 по методу прямой жесткости (рис.10). 2. Решающая система уравнений (рис.11) получается после умножения матрицы k на глобальный вектор перемещений и приравнивания полученного произведения глобальному вектору нагрузки. Рис. 10 Рис. 11 На рисунке 11 индексы X и Y вектора сил соответствуют глобальной системе координат. 3. Записываем выражения для граничных условий: • так как узел 1 жестко закреплен, то: u1глоб = v1глоб = 0; • так как перемещение узла 2 ограничено по вертикали, то: v2глоб = 0; • так как к узлу 2 приложена внешняя горизонтальная сила, то: F2X=P; • так как направление вектора перемещений узла 3 совпадает с осью Оxлок, то v3лок= 0; • так как узлу 3 разрешено свободно перемещаться по оси Оxлок, то F3Xлок=0. 4. С учетом нулевых перемещений: u1глоб , v1глоб и v2глоб вычкиваем из глобальной матрицы жесткости соответствующие им строки и столбцы (с номерами 1, 2 и 4), – в результате получим систему, показанную на рис.12. Рис.12 Рис.13 В полученной системе из трех уравнений имеется 5 неизместных. Для сокращения их числа необходимо использовать связи между глобальными и локальными перемещениями, наложенные граничными условиями: • поскольку в повернутом на угол 45О стержне: viлок = + viглоб cos – uiглоб sin , то v3лок = + v3глоб cos – u3глоб sin. Но в пункте 3 мы установили, что v3лок= 0, следовательно: v3глоб = u3глоб; • кроме того, ранее установлено, что в повернутом на угол 45О стержне: f лок = Т f глоб то F3xлок = F3X глоб cos + F3Y глоб sin. Но, как установлено в пункте 3, F3xлок = 0 , следовательно: F3X+ F3Y = 0; • итак, подставляя полученые связи (v3 =u3 и F3X = –F3Y) в систему (рис.12) приходим к системе из трех уравнений с тремя неизвестными (рис.13) или эквивалентную ей, (рис.14). Ее решение дает: u3  0,004 [м], u2  0,012 [м], F3X = – 504 [кН] • наконец из глобальной системы: имеем: F1X= F1Y=1,26 108 (–0,004) = – 504 [кН]; F2Y=0; F3Y=+504 [кН].