Поверхностные поляритоны на границе раздела двух диэлектриков

Лекция N 16 Поверхностные поляритоны на границе раздела двух диэлектриков - I 1.Введение Поверхностные поляритоны (ПП) это коллективные возбуждения, возникающие на границе резонансного диэлектрика при определенных условиях. В настоящее время ПП играют особую роль при анализе свойств материалов и состояния границы. ▀ Поверхностные поляритоны характеризуются убывающей по экспоненте зависимостью электромагнитного поля при удалении от границы раздела по обе стороны от нее. Ниже будет определена электромагнитного конкретная поля. Здесь зависимость же напомним такого поведения выражение для диэлектрической проницаемости резонансного диэлектрика, полученного ранее и которое нам понадобится в дальнейшем. Первое выражение имеет вид: ( )= Ω − + После введения продольной частоты ( (1) , которая находится из выражения: ) = 0, = + Ω , (2) мы получили еще одно выражение для диэлектрической проницаемости: ( )= − − (3) Из этой формулы отчетливо видно, что диэлектрическая проницаемость среды может изменять знак при вариации частоты, при этом: ( )>0 при условиях > , < Если же частота находится в промежутке < < то диэлектрическая проницаемость такого кристалла отрицательна: ( )<0 ⟹ Следовательно, если частота воздействующей электромагнитной волны находится в промежутке между продольной и поперечной частотами ионного кристалла, то диэлектрическая проницаемость кристалла будет отрицательной величиной. Как мы увидим в дальнейшем, такой вывод имеет далеко идущие следствия и находит важные применения в наноплазмонике. В частности, в этой частотной области, как мы увидим в дальнейшем, возможно возбуждение поверхностных поляритонов, которые нашли широкое применение в современных наноустройствах. 2. Поверхностные поляритоны: случай p - поляризации Рассмотрим теперь возбуждение поверхностных поляритонов на границе воздух - резонансный диэлектрик. В основе рассмотрения лежат уравнения Максвелла ⃗= 1 ⃗ (4) ⃗ 1 ⃗=− (5) Как известно, в случае p – поляризации расчет удобно проводить с помощью вектора магнитной напряженности электромагнитного поля ⃗, который будет иметь только одну составляющую – вдоль оси Oy (см., Рисунок 1). ⃗ || X || ⃗ Z Рисунок 1. Распространение поверхностного поляритона вдоль границы раздела z = 0 двух диэлектриков Магнитное поле поверхностного поляритона (ПП) в вакууме представляется в виде = Здесь exp( )⋅ ( ∥ − ) -постоянная затухания ПП в вакууме (z<0), постоянная распространения ПП вдоль границы раздела z=0. Магнитное поле ПП в среде 2 имеет вид (6) - частота, k|| - exp(− = Здесь )⋅ ( ) − ∥ (7) -постоянная затухания ПП в среде 2 (z>0). Получим, далее, уравнение, которому должна удовлетворять пространственная часть полей (6) и (7). Имеем из (4), если взять операцию ротора от обеих его частей: ⃗ 1 ⃗= ⃗ = ⃗ = − Расписывая ⃗= ⃗−∆ ⃗ ⃗= для случая изотропной однородной среды ( ⃗ = 0), получим уравнение Гельмгольца: ∆ ⃗+ ⃗=0 (8) Здесь, как всегда, = Учитывая приведенную (9) выше координатную зависимость поля поверхностного поляритона, получаем для каждой из сред: ∆ ⃗ = ∆⃗ exp( )⋅ ( exp( = ⃗ = ⃗ ∥ )= )⋅ − || ( + ) + exp( ∥ )⋅ exp( )⋅ ∥ ) )⋅ ( ∥ ( ( ) = ⟹ Следовательно, ∆ ⃗ = ⃗ Подставляя − || ( + ∥ ) (10) теперь полученное выражение в уравнение Гельмгольца, получим: − Откуда заключаем || + + ⃗ exp( )⋅ ( ∥ )=0 (11) ⟹ Для выполнения уравнений Максвелла параметры поверхностных волн (6), (7) должны удовлетворять уравнению: = || − (12) ⟹ Следовательно, из приведенных выше формул можно получить выражения для постоянных затухания поверхностных плазмонов в каждой среде = || = || − (13) − (14) При получении этих выражений мы предположили, что среды немагнитные: = =1 Далее необходимо воспользоваться граничными условиями о непрерывности тангенциальных составляющих векторов поля ⃗ на границе раздела двух сред. Для магнитного поля получаем ( = 0) = ( = 0) (15) Подставляя сюда поля (6) и (7), получим: = ≡ (16) Тем самым, амплитуды полей (6) и (7) одинаковые и мы их обозначили буквой Для . записи второго граничного условия необходимо выразить в каждой среде через поле H. Для этого тангенциальные компоненты поля необходимо воспользоваться уравнением Максвелла (4) в проекции на ось Ox: ⃗ = 1 ⃗ − ⃗ = = − =0− Следовательно, = (17) С учетом знака «–» в экспоненте выражения (7) для поля ( ) ( ) ( = 0) = (18) ( = 0) = − (19) Граничное условие для компоненты поля ( ) , получаем: ( ) ( = 0) = имеет вид ( = 0) (20) =0 (21) Подставляя сюда (18) и (19), получаем: 1 + Из (21) вытекает следующая связь между параметрами затухания + и = (22) ⟹ Соотношение (22) – одно из самых важных в теории поверхностных поляритонов. Давайте посмотрим, какие из него вытекают следствия. Следствие 1 Перенося второе слагаемое в (22) направо, получим: =− (23) ⟹Если учесть, что у нас первая среда – вакуум, для которой также тот факт, что величины и = ,а по своему физическому смыслу являются положительными (они в формулах (6) и (7) обеспечивают затухание волны по оси Oz), то из (23) вытекает требование на диэлектрическую проницаемость второй среды – она должна быть < 0. отрицательной Следствие 2 Подставляя (13) и (14) в (23), получим: || − || − =− (24) Возведя в квадрат (24), получим: || − = || − Откуда вытекают равенства: || || − = − = − ( )= − || || = || ( − )= − − || − || ( || − )( + ) ⟹ Из последнего равенства получаем дисперсионное уравнение для поверхностного поляритона ∥ = ⋅ + (25)