Понятие случайной величины. Функция распределения

1.8. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие случайной величины – одно из важнейших в теории вероятностей. Определение 1.8.1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: с.в.) обозначают большими латинскими буквами , а принимаемые ими значения – маленькими буквами Понятию случайной величины можно дать и более строгое определение. Определение 1.8.1(а). Случайная величина есть числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий . Таким образом, случайная величина каждому элементарному событию ставит в соответствие действительное число . Для того чтобы получить полное представление о данной случайной величине, недостаточно знать, какие значения она принимает – важно еще знать, насколько часто они принимаются этой величиной («выпадают») в результате испытаний. Для этой цели используют понятие закона распределения. Определение 1.8.2. Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий (в частности, вероятности того, что данная случайная величина примет конкретное значение или попадет в заданный интервал). Если для случайной величины задан закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону. Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения является функция распределения. Определение 1.8.3. Функцией распределения случайной величины называется функция , которая для любого числа равна вероятности события , то есть . Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. ; 2. – неубывающая функция, то есть , если ; 3. , ; 4. непрерывна слева, то есть , для любого ; 5. . Дискретные случайные величины Определение 1.8.4. Дискретной случайной величиной (кратко: д.с.в.) называется случайная величина , если множество ее возможных значений конечное или счетное (то есть элементы множества могут быть перенумерованы натуральными числами). Закон распределения д.с.в. удобно задавать с помощью таблицы, называемой рядом распределения. … … … … При этом возможные значения с.в. в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке (чаще всего по возрастанию значений), а в нижней – соответствующие вероятности (). Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения (см. рис.1.8.1). Функция распределения д.с.в. имеет вид: , Рис.1.8.1 где суммирование ведется по всем индексам , для которых . Пусть заданы д.с.в., принимающая значения с вероятностями () и д.с.в., принимающая значения с вероятностями (). Определение 1.8.5. Суммой (соответственно, разностью или произведением) д.с.в. и называется д.с.в. (соответственно, или ), принимающая все значения вида (соответственно, или ) с вероятностями . Определение 1.8.6. Произведением д.с.в. на число называется д.с.в. , принимающая значения с вероятностями . Определение 1.8.7. Квадратом (соответственно, -ой степенью) д.с.в. называется д.с.в., принимающая значения (соответственно, ) с вероятностями . Определение 1.8.8. Дискретные с.в. и называются независимыми, если независимы события и при любых и . Непрерывные случайные величины Определение 1.8.9. Непрерывной случайной величиной (кратко: н.с.в.) называется с.в., если множество ее возможных значений непрерывно заполняют конечный или бесконечный промежуток на числовой оси. Более строгое определение н.с.в. можно дать, используя понятие функции распределения. Определение 1.8.9(а). Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей числовой оси. В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: , для любого . Поэтому для н.с.в. имеем: . Помимо функции распределения для непрерывных случайных величин, существует еще один удобный способ задания закона распределения – плотность вероятности. Определение 1.8.10. Пусть функция распределения данной н.с.в. непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек. Тогда производная ее функции распределения называется плотностью распределения непрерывной с.в. (или плотностью вероятности): . График плотности распределения называется кривой распределения. Плотность распределения обладает следующими свойствами: 1. (свойство неотрицательности); 2. (свойство нормированности); 3. ; 4. ; 5. . 1.9. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН При решении многих задач теории вероятности вовсе необязательно знать закон распределения данной случайной величины, полностью ее описывающий. Иногда достаточно иметь под рукой лишь несколько числовых характеристик этой случайной величины, то есть числовых параметров, характеризующих наиболее важные черты ее закона распределения. Наиболее важными среди них являются характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) и характеристики рассеяния (дисперсия, среднее квадратическое отклонение). Определение 1.9.1. Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам: – для дискретной случайной величины; – для непрерывной случайной величины. Геометрически математическое ожидание как непрерывной, так и дискретной случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограниченной кривой (или полигоном) распределения и осью абсцисс. Поэтому при симметрии кривой (или полигона) распределения относительно некоторой прямой, параллельной оси ординат, математическое ожидание совпадает с абсциссой точки пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс. Точка оси , имеющая абсциссу, равную математическому ожиданию случайной величины, часто называется центром распределения этой случайной величины. Математическое ожидание обладает следующими свойствами: 1. , где – постоянная величина; 2. ; 3. ; 4. ; 5. , если и – независимые с.в. Определение 1.9.2. Случайная величина называется центрированной, если . Определение 1.9.3. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания : . Из определения вытекает часто используемая формула: . Таким образом, дисперсию можно вычислить по формулам: , – для д.с.в.; , – для н.с.в. Вообще говоря, дисперсия случайной величины есть мера рассеяния ее значений около ее математического ожидания. Дисперсия обладает следующими свойствами: 1. , где – постоянная величина; 2. ; 3. . 4. , если и – независимые с.в. Определение 1.9.4. Случайная величина называется нормированной, если . Определение 1.9.5. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется число , определяемое равенством . Величина неотрицательна и имеет ту же размерность, что и с.в.. Определение 1.9.6. Мода дискретной с.в. есть ее наиболее вероятное значение. Мода непрерывной с.в. с плотностью вероятности есть то ее значение, при котором функция достигает максимума. Определение 1.9.7. Медиана случайной величины есть такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли с.в. меньше или больше , то есть . 1.10. ОСНОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Дискретные распределения Название распределения Формула вычисления вероятностей Математическое ожидание и дисперсия Биномиальное , где , , , Распределение Пуассона , Геометрическое , где , , , Замечание 1.10.1. Распределение Пуассона является предельным для биномиального, если число опытов n стремится к бесконечности, вероятность события p стремится к нулю, а их произведение остается постоянным. При этих условиях вероятность , определяемая по формуле Бернулли, стремится к вероятности , вычисляемой по закону Пуассона. Замечание 1.10.2. Дискретная величина, распределенная по геометрическому закону, принимает счетное число значений с соответствующими вероятностями . Эту величину можно трактовать как число опытов, проведенных по схеме Бернулли до первого положительного исхода. Непрерывные распределения Название распределения Плотность вероятности Функция распределения Математическое ожидание и дисперсия Равномерное Показательное где , Нормальное , Замечание 1.10.3. К случайным величинам, имеющим равномерное распределение (~), относятся случайные величины, все значения которых лежат внутри некоторого отрезка и при этом одинаково возможны (например, время ожидания транспорта). Замечание 1.10.4. График функции плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону (~), называется кривой Гаусса (см. рис.1.11.1). Если и , то соответствующее нормальное распределение (~) называется стандартным. Функция распределения для такой случайной величины имеет вид Рис.1.11.1 и обладает (помимо обычных свойств функции распределения) свойством , . В общем случае функция распределения нормального закона выражается формулой: =, где функция есть функция Лапласа (свойства функции Лапласа см. §1.7). Связь функции с функцией Лапласа выражается формулой: . Вероятность попадания случайной величины ~ в заданный интервал определяется формулой: ==. В условиях задач может быть не указана одна из границ интервала . В случае, если требуется определить вероятность того, что случайная величина окажется больше (меньше) некоторого значения, то правую (левую) границу полагают равной . Вероятность попадания случайной величины ~ в интервал , симметричный относительно центра рассеяния , находится по формуле: ===. В частности, , то есть практически достоверно, что случайная величина ~ принимает свои значения в промежутке . Это утверждение называется «правилом трех сигм».