Понятие симметрии; линейные преобразования плоских кривых

СОДЕРЖАНИЕ 1. Понятие симметрии ............................................................................................................................4 2. Структурирование на основе симметрий .........................................................................................8 3. Линейные преобразования плоских кривых ..................................................................................11 4. Примерные задания на практические занятия ...............................................................................16 5. Задание на курсовую работу............................................................................................................17 Литература .............................................................................................................................................19 Приложение А. Варианты курсовой работы. .....................................................................................21 3 1. Понятие симметрии Понятие симметрии пронизывает буквально всю историю творчества человечества. Его уже можно увидеть у истоков человеческого знания, его широко используют в современной науке, технике, искусстве. Как было сказано одним из крупнейших ученых XX в. Г. Вейлем [1]: «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Симметрия: что же это такое? Почему именно она пронизывает окружающий нас мир? Понятие «симметрия» (др.-греч. συµµετρία «соразмерность», от µετρέω – «меряю») появилось в Древней Греции (V в. до н.э.) и связано, прежде всего, с понятием гармонии, красоты, уравновешенности: нечто гармоничное, соразмерное, пропорциональное. Поэтому представление о симметрии в античной культуре связано с пропорциями и «обозначает тот вид согласованности отдельных частей, которая объединяет их в единое целое. Красота тесно связана с симметрией. Об этом говорит, например, в своей книге о пропорциях Поликлет – ваятель, скульптуры которого служили предметом восхищения древних за их гармоническое совершенство, и Дюрер следует за ним при установлении канона пропорций человеческого тела» [2]. Такого же контекста определения симметрии придерживался А.Д. Михельсон в 1865 г.: «СИММЕТРИЯ (греч. symmetria, от syn, вместе, и metron, мера). Соответственная равномерность». Это наиболее древнее представление симметрии оставалось наиболее распространенным в описании гармонии всего окружающего: и природного, и созданного человеком. Разработка понятия симметрии началась лишь в XIX в. в кристаллографии, где И. Гессель (Франция), А. Шёнфлис (Германия) и русские учёные А.В. Гадолин и Е.С. Фёдоров создали учение о пространственной симметрии: было выделено 230 возможных групп симметрии. Немецкий математик Ф. Клейн, который рассматривал различные геометрии как теории инвариантов определенных групп преобразований, внёс существенный вклад в формирование современного понятия симметрии, тесно связанного с понятием инвариантности и 4 теорией групп. Теоремы Э. Нётер (Германия) позволили связать пространственновременную симметрию (инвариантность) уравнений математической физики с сохранением фундаментальных физических величин – энергии, импульса, момента количества движения. Исследование взаимосвязи принципов симметрии с законами сохранения стало одним из магистральных направлений развития физики. Новые аспекты физического содержания симметрии в рамках теоретикогруппового подхода были вскрыты специальной (СТО) и общей (ОТО) теориями относительности, а также квантовой механикой и квантовой теорией поля. Наряду с получением других выдающихся конкретных результатов в физике, концепция симметрии изменила представление о том, что следует считать исходными законами физики, это привело к перевороту в философских основаниях физики. Если со времен Ньютона законы природы формулировались в виде дифференциальных уравнений, то сейчас ситуация существенно изменилась [3]. Уже в начале ХХ в. можно встретить более подробное определение симметрии, например, в словаре иностранных слов, вошедших в состав русского языка, А.Н. Чудинова (1910 г.): «СИММЕТРИЯ (греч. Symmetria – соразмерность, от syn – вместе, и metron – мера). Соответствие между собою величины и формы частей, которым предназначено быть вместе». Как считал американский физиктеоретик Ю. Вигнер, законы природы не могут существовать без принципов инвариантности. На исключительное значение выявления инвариантов указывал физик М. Борн: «Наука – это не что иное, как попытка конструировать... инварианты там, где они не очевидны». Борн выражал убежденность в том, что «идея инвариантов является ключом к рациональному понятию реальности». Найти инвариант в классе объектов – значит выявить их общее структурное основание. В наше время каждый значительный шаг в естественных науках так или иначе связан с установлением или инвариантов известных групп преобразований, или группы преобразований, известные элементы которой неизменны. В середине ХХ в. Н.Ф. Овчинников в своей книге «Принципы сохранения» напишет: «Только наличие определенной группы движений и одновременно сохранение определенных параметров в процессе этих движений дает основание 5 говорить о симметрии». Ю.А. Урманцев, доктор филологических наук, дает следующее определение симметрии: «Симметрия – это категория, обозначающая сохранение признаков П объектов О относительно изменений И». Поскольку относительно другой совокупности изменений рассматриваемое множество признаков {П} не будет инвариантным, то необходимое дополнение любой симметрии – соответствующая ей асимметрия. По определению Ю.А. Урманцева, «асимметрия – противоположность симметрии; это категория, обозначающая не сохранение признаков П объектов О относительно изменений И». Так как относительно любой совокупности изменений {И} существуют инвариантные признаки, то необходимое дополнение любой асимметрии – соответствующая ей симметрия. Следует выделить аспекты, без которых симметрия невозможна: 1) объект – носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т. д.; 2) некоторые признаки объекта: величины, свойства, отношения, процессы, явления, – которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными, или инвариантами; 3) изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии; 4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений [1]. По современному определению, «симметрия – понятие, характеризующее переход объектов в самих себя или друг в друга при осуществлении над ними определенных преобразований (преобразований симметрии); в широком плане – свойство неизменности (инвариантности) некоторых сторон, процессов и отношений объектов относительно некоторых преобразований» [4]. Гениальный математик и философ XVII в. Лейбниц предположил, что кроме имен координат и алгебраических методов расчета в геометрии, открытых Декартом, существуют особые отображения (связи) в евклидовой плоскости (пространстве), определяющие ее законы. Поскольку решением прикладных задач 6 и компьютерным моделированием в различных предметных областях занимается вычислительная геометрия, в данной книжке будем рассматривать именно её, не забывая, впрочем, что раньше она называлась аналитической геометрией. В прошлом веке выдающийся немецкий математик Г. Вейль предложил свою таблицу автоморфизмов пространства [1, с. 104]: (n = 1, 2, 3, K), Cn , Cn , C2 n Cn Dn′ , Dn′ , Dn′ Cn , D2′ n Dn′ (n = 2, 3, 4, K), T , W , P; T , W , P; WT . – циклическая группа с поворотом на угол 360o n ; где Cn Dn′ – диэдральная группа (зеркальное отражение) с поворотом на тот же угол; T, W и P – группы, оставляющие инвариантными соответственно правильный тетраэдр, куб (или октаэдр) и додекаэдр (или икосаэдр). Так как работа ориентируется на евклидову плоскость, последняя строка таблицы для нее избыточна. Кроме данной таблицы симметрий, описано понятие симметрии переноса [1, с. 73–74]. Она определена как последовательность повторений на числовой оси, в том числе с зеркальной (знаковой) симметрией: ai +1 = ai + ε , где i ∈ Z , a0 – фиксировано, ε – шаг (ритм) симметрии. Основным недостатком данной таблицы является несвязанность групп симметрий между собой и избыточность, совмещенная с неполнотой. 7 2. Структурирование на основе симметрий Гильберт формулируя аксиомы для евклидовой плоскости, предположил, что следует рассматривать конструкцию языковых правил. Мы получаем евклидову плоскость в виде текста по аналогии с семиотическим анализом рисунков по методу сходства Лейбница. Уровнями изучения текста являются внутренние отношения в плоскости. В качестве основных постулатов были использованы: перестановка, зеркальная и с унитарной матричной симметрии по Дьедонне; табличные автоморфизмы и трансферная симметрия Г. Вейля; определение симметрии М. Борном; бинарные автоморфизмы Ф. Бахмана . Декартово произведение изучалось в рамках теории ZF-множеств (ZermeloFraenkel. ZF-теория была построена на основе автоморфного правила a∈ A. Это правило бессмысленно безотносительно ∈ . Реляционная алгебра не используется, если A≡∅. Следовательно, реляционная алгебра является частью ZF-теории. Основное внимание в исследовании было уделено симметрии перестановок. Евклидова плоскость является таблицей отношений. Доказательство легко, потому что алгебра отношений может работать с конечной и определенной таблицей. Поведение симметрии рассматривалось алгеброй отношений и семиотическим анализом. Применение метода к автоморфизму Дьедонне показывает, что бинарная симметрия принадлежит двум математическим дисциплинам: теории множеств и универсальной алгебре. Расширенная таблица симметрий Дьедонне была построена на основе симметрии знаний и реляционной алгебры: 1. Существование множества ( A ≠ ∅ Цермело). 2. Существующие отношения ( a1Ra2 Кодд). 3. Член элемента множества ( a ∈ A Френкель). 4. Универсальное отношение ( f : Ω → Ω′ импликация). 5. Лингвистическое описание множества (Декарт). 6. Лингвистическое представление отношения (Декарт). 8 7. Постоянство кардинальности ( m( A) = const Лагранж). 8. Постоянство порядка C1 x n + C 2 y n + C3 x n −1 y n −1 + .... + C k −1 x + C k y + C0 отношений ( n = const и Клейн). 9. Лингвистический порядок ( vr = xi + yj + zk + w Гамильтон). 10. Математический порядок ( ai p ai +1 , где ai , ai +1 ∈ R Кантор). 11. Перестановка ( ai ↔ a j ). 12. Зеркало ( ai • −1 = −ai ). Таблица симметрий аналогична структуре ДНК. Возможно существование других видов симметрий. Давайте сравним ее с базовыми функциями двоичной логики. Давайте рассмотрим зависимость булевых двуместных функций от количества операндов подробнее (таб. 1). Структура таблица по данному параметру отличается от таблицы автоморфизмов евклидовой плоскости на первый взгляд. Давайте предположим, что булевы функции расположены в трехмерном пространстве. Пусть их порядок определяет двойная спираль, аналогичная структуре ДНК. Тогда не ортогональная проекция на некоторую плоскость дает чередование аналогичное таблице автоморфизмов. Особый случай расположения функций с значениями семь и восемь. Мы имеем дело с дополнительной симметрией. Она позволят производить обход как сверху вниз так и обратно. Таким образом, можно предположить, что симметрии в пространстве вырождаются в Булевские функции в точке [8]. Можно рассматривать информатику как базу естественных наук. Под информатикой мы понимаем некоторую область математики гармонично сочетающую теорию множеств и универсальную алгебру. 9 Таблица 1 Функции двоичной логики Значение Имя функции 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Зависимость от двух высказываний + + +s + + + + + - Identical zero Pierce's arrow Inversion of direct implication Inverse of the second operand Inversion reverse implication Inversion of the first operand Excluding or Sheffer's stroke Conjunction Equivalence First operand Backward implication Second operand Implication Disjunction Tautology 10 3. Линейные преобразования плоских кривых 3.1. Метод обратной матрицы Пусть имеется фигура Φ, симметричная относительно начала координат, описываемая каноническим уравнением. Пусть данное уравнение преобразовано к общему виду: Ax 2 + Cy 2 + F = 0 . преобразование a P= g h  b Произведем над фигурой линейно независимое и получим квадратичную форму для фигуры Φ′ : A′x 2 + 2 B′xy + C ′y 2 + D′x + E ′y + F ′ = 0 . Необходимо найти каноническую формулу для новой фигуры. Пусть имеется точка преобразования P вектор ( x, y ) ∈ Φ . Рассмотрим радиус-вектор r r r r r r r r x′ = Px , P −1 x′ = PP −1 x , P −1 x′ = Ex , P −1 x′ = x , где r  x x =  .  y После ( x′, y ′) ∈ Φ ′. Для получения канонического уравнения последний результат должен выполняться в каноническом базисе преобразования M −1  m22  ∆ =  −m21   ∆ где ∆ ∆= m11 m21 m M =  11  m21 e1 0e2 . m12   m22  Матрица обратного преобразования для определяется по формуле [5, с. 96]: −m12  ∆  , m11   ∆  – определитель матрицы, который вычисляется: m12 = m11m22 − m12 m21 . m22 Подставляя коэффициенты матрицы P −1 M −1 P в матрицу M −1 , получим, что матрица будет равна:  b  ab − gh P −1 =   −g   ab − gh −h  ab − gh  . a   ab − gh  В классическом методе [5; 22] приведения к каноническому виду уравнения линии второго порядка с центром в начале координат на плоскости 11 рассматривается уравнение характеристических чисел λ1,2 Оно Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 = H . через уравнение решается λ 2 − ( A + C )λ + ( AC − B 2 ) = 0 . квадратичная форма поворачивается на собственный угол tg 2α = 2B A−C нахождением α Далее , определяющийся как [6, с. 90–91]. Заметим к сведению, что классический метод может быть употреблен только для конических сечений. За 400 лет не было предложено точного аналитического метода и в науке и технике используются исключительно аппроксимация. 3.2. Прямой метод преобразования Предлагается рассмотреть неортогональный базис, собственного вектора e1 и симметричного относительно прямой Угол наклона вектора e1 – собственный угол симметрии α β. состоящий AB вектора . Угол наклона вектора Базис назван из e1′ e1′ . – угол собственным неортогональным постоянным (СНОП), в отличие от базиса Картана псевдоевклидовой плоскости. На основе базиса исследован прямой аналитический метод (ПАМ) линейных преобразований на R2 для жордановых кривых [7, гл. 6]. Впервые метод был обнаружен для задачи сжатия эллипса, у которого полуоси не совпадают с осями координат [7, с. 50]. Рис. .1. Неортогональный базис Пусть имеется произвольная фигура Φ – жорданова кривая в декартовой системе координат, определяемая параметрическим уравнением x, y , t ∈ R . Функции задано в виде f x (t ) y = f ( x) , и f y (t )  x = k x f x (t ),   y = k y f y (t ), где кусочно-непрерывные. Если уравнение фигуры то всегда можно записать 12  x = t,   y = f (t ). Пусть над фигурой по  a h  ,  g b матрице осуществлено произвольное линейное преобразование Φ где a , b, g , h ∈ R . Из СНОП-базиса углы наклона трансформированной фигуры вычисляются по формулам: tg 2β = или 2(ah + bg ) 2 2 2 , tg α1 = , tg 2α = 2 (( a − h ) − (b − g )) tg α 2 = b sin β + g cos β a cos β + h sin β a sin β − h cos β b cos β − g sin β (a 2 ( bh + ag ) 2 ) ( + h2 − b 2 + g 2 ) . Результирующая жорданова кривая будет получена с параметрами: k%x = k x (a cos β + h sin β ) / cos α или k%x = k x (b sin β + g cos β ) / sin α k%y = k y (a sin β − h cos β ) / sin α или k%y = k y (b cos β − g sin β ) / cos α . Доказано, что новые параметры, в том числе за исключением двух случаев: b cos β − g sin β = 0 , αi , ; будут равны между собой, a cos β + h sin β = 0 . Исследования показали, что метод может употребляться для центрально-симметричных конических сечений, вырожденных, и трех групп неортогональных преобразований для жордановых кривых, заданных каноническим уравнением. В отличии от классического метода мы рассматриваем преобразование не в ортогональном базисе, а в базисе у которого вектора орта не образуют прямой угол в общем случае. Поэтому логично рассмотреть метод перехода к ортогональному базису [9]. Для решения задачи предполагалось, что для жордановых кривых, кроме метода нахождения параметров линейного преобразования, необходимо рассмотреть обратное преобразование из локальной неортогональной линейной системы координат в ортогональную. Пусть углы векторов базиса имеют значения α и β , а затем для возврата точки в прямоугольную линейную систему координат 1 cos α sin β + sin α cos β необходимо  cos α   − sin β sin α   cos β  произвести [9]. Ортогональный преобразование базис определяет неортогональный базис, полагал Александров. Давайте предположим обратное. Лемма 13 Каждая произвольная неособая матрица h / b   a 0  1   T =  g / a 1   0 b   a T =  g h  b  может быть представлена – произведением матрицы симметрии и сжатия. Эти утверждения позволили найти метод линейных преобразований для комплексных кривых. Шаг 1. Разобьем матрицу преобразования на произведение двух матриц:  a 0   0 b h / b  1  . g /a 1  и  Шаг 2. Найдем параметры преобразования симметричного конического сечения: угол симметрии перестановок α h / b  f x (t )   1       g / a 1  f y (t )  в виде центрально- - собственный угол (угол первого орт); - (второй орт); а и k ′x k ′y - β скаляры характеристического уравнения (п.2). Шаг 3. Рассмотрим новую систему описания кривой: Шаг 4. Выполним дополнительное преобразование β P  x = ak x f x (t ) .   y = bk y f y (t ) в зависимости от угла . Если угол отрицательный, то преобразование равно  cos β P =   cos α sin β  , − sin α  если положительное, то  − cos β P =   cosα sin β   sin α  или  cos β P =   cos α  cos β P =   − cosα − sin β   sin α  sin β  . sin α  или Это переход от неортогонального базиса к ортогональному базису. Шаг 5. Выполняем преобразование уравнений  x = k x f x (t )   y = k yt и преобразование  −1 0    0 1 1 0     0 − 1 для параметрической системы если система имеет альтернативное описание. Преобразование не может быть выполнено в программе, но направление движения точки должно быть изменено на противоположное. Шаг 6. Давайте повернем кривую на свой угол и умножим ее на скаляры k ′y k ′x и из шага 2. Найдена аналитическая формула преобразованной комплексной кривой  x = k x′ f x (t + α ) .   y = − k ′y f y (t + α ) 14 Лемма не верна для групп преобразований  0 h  T1 =   g b и a T2 =  g h . 0  Давайте посмотрим на форму характеристического уравнения для решения этой проблемы. Давайте преобразуем матрицу h 0  T1′ =  b g  вид T1 и h a  T2 используя симметрию перестановок  , тогда решение будет найдено, но полученная система примет и T2′ =  0 g   x = −k ′y f y (t + α ) .   y = k ′x f x (t + α ) 15 4. Примерные задания на практические занятия Базовый структуры ИТ: дерево, граф, список, стек, кольцо, структура и т.д. Симметрия у Евклида, Витрувия, Дюрера, Декарта, Френкеля, Бахмана, Де Соссюра (г. 1). Модифицированная таблица симметрий по Дьедонне. Таблица Вейля (г. 2) Связь булевых функций двоичной логики и таблицы симметрий. Симметрии как основа естественных наук (гл. 2). Практические занятия по решению характеристического уравнения для центрально-симметрических конических сечений методом обратной матрицы (гл. 3.1). Практические занятия по прямому преобразований (гл. 3.2). 16 методу нахождения линейных 5. Задание на курсовую работу Пусть имеется плоская кривая, заданная уравнением  x = f x (t ) .   y = f y (t ) Пусть над ней произведено преобразование по матрице  a h   .  g b Всего таких преобразований в курсовой должно быть 8. 5.1. Вывод кривой, как последовательность отрезков. 5.1.1. Задаем промежуток для t и шаг перемещения 5.1.2. Вычисляем текущую точку по формуле ∆t .  x = af x (t ) + hf y (t ) .   y = gf x (t ) + bf y (t ) 5.1.3. Выводим толстой сплошной линией отрезок от предыдущей точки до текущей. 5. 1.4. Получаем все кривую. 5.2. Вывод с использованием нового метода. 5.2.1. Задаем промежуток для t и шаг перемещения ∆t аналогично 5.1.1. 5.2.2. Осуществляем 6 шагов из главы 3.2. 5.2.3. Выводим тонкой сплошной линией отрезок аналогично п. 5.1.3. 5.2.4. Выводим все кривую. 5. 3. При расчете новым методом следует осуществлять проверки: k ′x1 = k x′ 2 , k ′y1 = k ′y 2 . α1 = α 2 , Если хотя бы один параметр не совпадает, то используемые в программе формулы не правильны ( в том числе по функции тангенса). В программе используем функцию вычисления тангенса по двум аргументам! 5.4. Формируем таблицу результатов: вид кривой, матрица преобразования, матрица перехода, картинка. Если достигнут новый научный результат, то ждем публикации. 5.5. Пишем отчет по КР, а именно: ВВЕДЕНИЕ; 1. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ; 2. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ; 3. ОПИСАНИЕ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ; 17 ЗАКЛЮЧЕНИЕ; ЛИТЕРАТУРА; ПРИЛОЖЕНИЕ А. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ; ПРИЛОЖЕНИЕ В. ТАБЛИЦА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. Разрешается писать на любом языке программирования, но если магистр хочет получить публикацию [10-15], то картинки в таблице должны быть типографского качества и следовательно язык программирования должен быть AutoLisp. Варианты индивидуальных заданий на курсовую работу помещены в приложение А. 18 Литература 1. Вейль Г. Симметрия. – М.: Наука, 1968. – 192 с. 2. Цветков В.Д. Сердце, «золотое сечение» и симметрия. – Пущино: ПНЦ РАН, 1997. – 148 с. 3. Философский энциклопедический словарь. – М.: Сов. энцикл., 1989. – С. 603. 4. Борн М. Моя жизнь и взгляды. – М.: Прогресс, 1973. – 176 с. 5. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1972. – 160 с. 6. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. – М.: Наука, 1969. – 640 с. 7. Ложкин А.Г. Вычислительная планиметрия с вырожденными преобразованиями. – Екатеринбург: Изд-во Института экономики УрО РАН, 2009. – 158 с. 8. P. Bozek, A. Lozhkin, A. Galajdova, I. Arkhipov, K. Maiorov Information technology and pragmatic analysis Computing and informatics. Vol. 37(4), September 2018. – Pp. 1011-1036. 9. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. – М.: Наука, 1968. – 912 с. 10. Lozhkin А.G., Kantorovich S.A About the graphic primitive presentation/ 5th International Conference of Computer Graphics and Visualization in Russia, Vol. 2, St. Petersburg, 1995, p. 15. 11. Ложкин А.Г. ., Масленникова М.С., Горбашева Е.А., Черных А.В. Канонические формулы при исследовании системы двух линейных параметрических уравнений с тригонометрическими функциями/ Вестник ИжГТУ №3(35), Изд-во ИжГТУ, Ижевск, 2007 – С. 123-128. 12. Ложкин А.Г. , Тимофеев А.И. О едином повороте двух эллипсов перед разными преобразованиями/ Вестник ИжГТУ №1(45), Изд-во ИжГТУ, Ижевск, 2010 – С. 131-135. 19 13. Ложкин А.Г., Валеев О.Ф., Андреев В.А. Об обмене геометрическими моделями/ Сборник научных трудов Всероссийской конференции «Проведение научных исследований в области обработки, хранения, передачи и защиты информации» в 4 т. Т. 3. – Ульяновск: УлГТУ, 2009. – Стр. 3-9. 14. Lozhkin A.G., Shubin V.A., Suslov Y.B., Bimakov E.V. In the issue of robots design / Proceedings of the 2017 IEEE Russia Section Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering ElConRus 2017, 3 February 2017, Pp. 930-933. 15. Lozhkin A.G., Grebnev S.N., Trubitsin A.A., Popov A.A. On the possibility of analytical calculations of complex curves /В сборнике: Технические университеты: интеграция с европейскими и мировыми системами образования Материалы VIII Международной конференции. В 2 т.. Ижевск, 2019. Т. 1, С. 190-196. 20 Приложение А. Варианты курсовой работы. A. Вид кривой 1. Лемниската Жеромо:  x = cos(t ) .   y = sin( 2t ) Рис. ПА.1 Лемниската Жеромо 2. Астроида  x = (1 − a) cos at + ab cos(1 − a )t ,   y = (1 − a) sin at − ab cos(1 − a)t где a = 1/ 4 , b = 1. Рис. ПА.2 Лемниската Астроида В. Матрицы преобразования. 1.  1 1.1   , 0 1  2.  1 0 .6    0 1  3.  1 0.6    1 . 1 1  4.  1 1.1    0 .6 1  5. 0  1    − 1.1 1  6. 0  1    − 0.6 1  7. − 0.6   1   1   − 1.1 8. − 1.1  1  . 1   − 0.6 В приложении даны два варианта на курсовую работу. Конкретные матрицы преобразования и виды кривых выдаются дополнительно в начале семестра и 21 зависят от состояния решения научной проблемы. Электронный вариант высылается старосте группы. 22