Понятие производной. Геометрическая интерпретация производной

Лекция 2 «Производная функция» 1.1. Понятие производной. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки некоторое приращение . Дадим аргументу (положительное или отрицательное). Тогда функция получит приращение . Рассмотрим отношение . Определение 1.1. Конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии называется производной функции точке в . Этот предел обозначается символом : . (15.1) Наряду с обозначением производной другие обозначения: , , в произвольной точке x употребляются и . Конкретные значения производной при обозначаются через , , . Формулу (15.1) можно записать в виде . (15.2) Пример 1.1. . 1.2. Геометрическая интерпретация производной. Пусть на плоскости xOy задана кривая, описываемая уравнением . Проведём касательную к кривой в точке . Возьмём на кривой точкуM1 и проведём секущую M0M1 (рис. 15.1). При изменении точки M1 положение секущей будет меняться. Рис. 15.1. Определение 1.2. Если при стремлении точки к фиксированной точке секущая не зависимо от способа стремления точки к точке стремится к одному и тому же предельному положению, то прямая, являющаяся этим предельным положением, называется касательной к кривой в точке . Получим уравнение этой касательной. Обозначим координаты точки M1 через и пусть – угол наклона секущей к оси Ox. Тогда (см. рис. 15.1) угловой коэффициент секущей M0M1 равен . (15.3) Если же устремить точку M1 к точке M0, то есть устремить существования производной пределу , где положительным направлением оси Ox угол касательной. Её угловой коэффициент угол к нулю, то в случае будет стремиться к некоторому . Следовательно, прямая, составляющая с и проходящая через точкуM0 и будет . Запишем уравнение касательной к графику в точке : . (15.4) Определение 1.3. Прямая называется перпендикулярной к кривой в точке она перпендикулярна касательной к кривой в точке нормалью к этой кривой. Угловой коэффициент нормали к кривой в точке M0 , если . Эта прямая называется также при уравнение нормали к графику функции, проходящему через точку в следующем виде: ,и запишется . (15.5) Если , то уравнение нормали . ☼ Замечание 1.1. Если в точке в точке и , то касательная к кривой существует, она вертикальна и её уравнение Уравнение соответствующей нормали . .☼ 1.3. Физический смысл производной. 1) Пусть задан закон движения точки . Средняя скорость движения Мгновенная скорость движения Среднее ускорение движения . . . Мгновенное ускорение движения . 2) Сила тока в момент времени t: электричества. 3) , где – количество – количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t. Скорость химической реакции в момент времени t: 4) . – масса неоднородного стержня между точками плотность стержня в точке x есть и . Линейная . 5) Барометрическая формула (зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря). –давление воздуха на высоте h –давление воздуха на высоте –плотность воздуха на высоте h , С учётом закона Менделеева-Клапейрона ( – количество вещества, m – масса воздуха, M – молярная масса воздуха, R – универсальная газовая постоянная), получаем . Обозначая , , получаем далее: , . Так как производные равны, то , где – давление воздуха на уровне моря. Окончательно, барометрическая формула выглядит как . 1.4. Односторонние производные. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Определение 1.4. Если существует предел отношения при ), то этот предел называется правой производной функции обозначается символом . (то есть в точке , и : . (15.6) Определение 1.5. Если существует предел отношения при (то есть ), то этот предел называется левой производной функции обозначается символом в точке , и : . (15.7) ☼ Замечание 1.2. Для того чтобы существовала производная в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовали левая и правая производные в этой точке и они были бы равны. ☼ 1.5. Необходимое условие существования производной. ♦ Теорема 1.1. Если функция в этой точке. имеет производную в точке Доказательство. Пусть существует производная в точке , то она непрерывна , то есть . Тогда по замечанию 12.3 , где . Следовательно, . Но тогда . Это означает, что функция непрерывна в точке .■ ☼ Замечание 1.3. Обратное утверждение не всегда верно, то есть не всякая непрерывная в точке функция имеет производную в этой точке. ☼ Пример 1.2. Функция непрерывна в точке . Найдём , . Таким образом, у функции в точке но они не равны и, следовательно, функция существуют односторонние производные, не имеет производной в точке . Если функция имеет производную в точке дифференцируема в этой точке. , то говорят, что