Понятие неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла

Лекция 3. Неопределённый интеграл. 3.1. Понятие неопределённого интеграла. Пусть известна производная от функции и требуется найти саму функцию С физической точки зрения это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон её движения. Определение 3.1. Функция на интервале называется первообразной функцией для функции , если дифференцируема на и Аналогично можно определить первообразную и на отрезке рассматривать односторонние производные.  Пример 3.1. 1) . , но в точках a и b надо – первообразная функция для функции так как на этом интервале на этом интервале Доказательство. Имеем , то на , так как на интервале , то .■ и на Доказательство. – две первообразные для функции , где на интервале . . Составим функцию производную: , то есть , . ♦ Теорема 3.1. Если – первообразная для функции – также первообразная, где . ♦ Теорема 3.2. Если на . – первообразная функция для функции 2) для и найдём её . Следовательно, .■ Таким образом, из теорем 21.1 и 21.2 вытекает, что если , то любая другая первообразная для на Определение 3.2. Произвольная первообразная для функции – первообразная для имеет вид на . на интервале называется неопределённым интегралом от функции и обозначается –подынтегральное выражение, а –подынтегральная функция. Если . – одна из первообразных для , то , где , где . Операцию нахождения неопределённого интеграла от интегрированием функции . Если – первообразная для функции дифференциалом функции будем называть , то подынтегральное выражение является : . 21.2. Свойства неопределённого интеграла. 1°. . Доказательство. , то есть знаки d дифференциала и 2°. интеграла взаимно сокращаются. ■ . Доказательство. , то есть знаки интеграла иd дифференциала также взаимно сокращаются, но к нужно добавить некоторую постоянную C. ■ 3°. . 4°. . Доказательство аналогично для случаев 3°, 4°. и , следовательно формула 3° верна. и , следовательно формула 4° верна. ■ 5°. Доказательство. . .■ 3.3. Таблица интегралов. Запишем таблицу интегралов, вытекающую из основных формул дифференциального исчисления. № 1. 2. , 3. , 4. , , 5. 6. на интервалах, где подынтегральные функции непрерывны 7. , 7a. , 8. № 8a. 9. 10. , 11. , 11a. 12. , 12a. , Справедливость приведённых формул проверяется непосредственно дифференцированием (см. определение 21.1). Например, формула (2) верна, так как равна подынтегральной функции (2). Докажем (3). Пусть , , тогда . Если же и , то есть (3) доказана. Докажем (11a): . , то С другой стороны, как , то , по теореме 21.2 и . Так . Формулы 7, 8, 12 докажем позднее. Таблицу интегралов необходимо пополнять нетривиальными примерами в процессе изучения методов интегрирования. Применяя свойство 5° неопределённого интеграла, можно написать более сложную таблицу интегралов, включающую, например, и т.п. интегралы. ☼ Замечание 3.1. Операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям, операция интегрирования может привести к неэлементарным функциям, то есть к функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций. Например, следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях: –интеграл Пуассона1, , – интегралы Френеля2, –интегральный логарифм, –интегральный косинус, –интегральный синус. Указанные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. Имеются другие способы для их вычисления. Например, интегральный синус можно представить в виде ряда: так как , то и .☼ 1Пуассон Симеон Дени (1781-1840) – французский математик, механик и физик, один из основоположников математической физики. 2Френель Огюстен Жак (1788-1827) – французский физик и математик.