Понятие интеграла от функции комплексного переменного

( продолжение ) К элементарным однозначным функциям комплексного переменного относятся также: - линейная функция ω=az+b, a≠0, - дробно- линейная функция ω = - степенная функция ω= z n , n , a,b,c,d , ad–bc≠0, . Заметим, что: – общая показательная функция комплексного переменного определяется формулой: az = e zLn a, a, z , a≠0 (17); – общая степенная функция определяется формулой za = e aLnz , a, z , z≠0. §7. Понятие интеграла от функции комплексного переменного 7.1. Пусть ω= f(z) − однозначная функция комплексного переменного z ,определенная и непрерывная в некоторой области D комплексной плоскости z. Рассмотрим в области D произвольную гладкую кривую с началом в точке A и концом в точке B. Выберем на кривой одно из возможных направлений, например, из точки A в точку B, тогда кривую, имеющую противоположную ориентацию , будем обозначать . Подчеркнем, что имеет конечную длину s ,т.е. – спрямляемая кривая . Разобьем дугу AB на n частей( дуг) последовательно в направлении от A к B: с помощью точек zk , располагая их A= z0, z1, z2, ….., zn =B . На каждой частичной дуге (zk-1 zk) выберем произвольную точку ck: ck (zk-1 zk), (k= 1,….n) Рис.1 Введем обозначение ∆ zk = zk − zk-1 и составим сумму Sn = (1) Опр.1 Если при max →0 существует предел суммы (1), не зависящий ни от способа разбиения кривой , ни от выбора точек ck , то этот предел называется интегралом от функции f(z) по кривой и обозначается (2) Пусть на комплексной плоскости z кривая γ определяется уравнением z= z(t), t , t [α,β] , тогда для точек z = (x,y) этой кривой получаем x=x(t), y=y(t) , t [α,β]. Обозначим f(z) = u(x,y) + v(x,y) и найдем: ∆ zk = zk − zk-1 = ( xk +iyk) − ( xk-1 +iyk-1)= ∆xk +i∆yk (3) f( )= u( где + iv , (4) ) – это координаты точки в системе координат {Oxy} на плоскости. Тогда Sn = + ∆xk +i∆yk ) + = − v ) +i + u ) (5) Из формул (5) следует , что действительная и мнимая части суммы Sn = S(zk , ck) являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов второго рода . Следовательно, переходя в равенстве (5) к пределу при max = +i γ →0 , получим (6) γ или = (6’) +i γ γ или = (7) γ Следовательно, вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению двух криволинейных интегралов от действительных функций двух действительных переменных. Так как вдоль кривой выполняются равенства ω= f(z)= f(z(t))= u(x(t),y(t)) + i v(x(t),y(t)), dx+ idy= x’(t)dt +iy’(t)dt, то получаем ещё одну формулу: = (8) Если кривая является кусочно- гладкой кривой , состоящей из n гладких кривых 2,…… n, то по определению полагают = 1 , (9) k Из определения и формулы (6) следует ряд свойств интеграла от функции комплексного переменного, которые являются следствием соответствующих свойств криволинейных интегралов: 1). 2). =– ; = (10) g(z)] dz ; 3). Если a– комплексная постоянная , то =a ; (12) γ (11) 4). + = 1 ; (13) 1 5). │ │ γ , (14) γ где - дифференциал длины дуги кривой ( т.е. - криволинейный интеграл 1-ого рода). γ Доказательство. Воспользуемся определением интеграла от функции комплексного переменного и получим : │ где │ │ │ , (*) - длина дуги ( zk-1 zk ) кривой γ. Переходя в неравенстве (*) к пределу при max →0 , получаем утверждение (14). 6) (формула замены переменной интегрирования) Пусть аналитическая функция z= φ( ) комплексного переменного устанавливает биекцию между двумя гладкими кривыми и , тогда выполняется равенство = (15) Отсюда, в частности, получается формула (8), где z= z(t) есть параметрическое задание кривой γ, а z(α) ,z(β) – это начальная и конечная точки кривойγ . Конечно, эта формула рассматривается как обобщение известных формул из теории интегрального исчисления функций действительных переменных. Напомним, что в теории криволинейных интегралов устанавливается формула для вычисления криволинейного интеграла 2-ого рода взятого вдоль кривой в направлении возрастания параметра: dx + Q(x,y)dy= + Q(x(t),y(t))y’(t)]dt (16) Поэтому , в силу установленной ранее формулы (6) , получаем следующую формулу (17), которая фактически сводит вычисление интеграла от функции комплексного переменного к вычислению обыкновенного интеграла: = +i + (17) Пример1.Вычислить интеграл по параболе : y= x2, соединяющей точки z1 = 0 и z2 = 1+i. Решение . f(z)= (1 2x) +i(1+2y). Следовательно, u(x,y)= 1 2x, v(x,y)= 1+2y. Вдоль параболы y= x2 имеем dy=2x dx, причем x [0, 1]. Тогда в силу формулы (6) получаем (1+2 x2) 2x] dx +i = + (1 2 x) 2x] dx = = 2 + i. Пример2. Вычислить интеграл , : =1, -π argz 0. Решение . Заметим, что - дуга окружности с центром в точке z=0 и радиусом r=1, причем это нижняя полуокружность. Итак, f(z)= 2x2y + 2xy2i = -2x dy + = │x=cost, y=sint, dx= -sintdt, dy= cos tdt, = +i + 2y dy = t │= dt= Пример3. Вычислить интеграл по окружности γ часовой стрелки. с центром в точке z0 радиуса r, ориентированной против Решение. Рассмотрим функцию f(z)= . Сделаем замену z- z0 = r и получим dz= z’(φ) dφ= r idφ. Тогда = =i =2πi γ Итак , в этом параграфе мы показали , что значение интеграла от непрерывной функции комплексного переменного зависит не только от подынтегральной функции, но и от пути интегрирования. Значит, должны быть какие- то дополнительные условия, чтобы не было этой зависимости от пути интегрирования. §8. Теорема Коши 8.1. Область D на плоскости называется односвязной, если её граница∂D является связным множеством. Другими словами, область является односвязной , если любая непрерывная самонепересекающаяся кривая , принадлежащая этой области D, ограничивает в ней некоторую другую область , целиком принадлежащую области D. Рис.1 На рис.1а изображена односвязная область, на рис.1б- двусвязная. Подчеркнем, что граница односвязной области состоит из одной компоненты. Заметим, что кусочно- гладкую замкнутую кривую γ , не имеющую точек самопересечения , называют замкнутым контуром. Теорема 1( интегральная теорема Коши). Если однозначная функция f(z) комплексного переменного z является аналитической в некоторой односвязной области D, то интеграл от этой функции f(z) по любому замкнутому контуру γ , лежащему в области D , равен нулю: =0 (1) Доказательство. Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y) - аналитическая функция в односвязной области D, причем её производная f’(z) непрерывна в этой области. Тогда функции u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные в области D , удовлетворяющие условиям Коши- Римана = ; =- (*) Рассмотрим произвольный замкнутый контур γ некоторую область G D. в области D, пусть он ограничивает Тогда по формуле (6) из предыдущего параграфа для заданной функции f(z) запишем = +i γ . γ Далее заметим, что к криволинейным интегралам и γ можно применить формулу Грина . Тогда = =0 G = =0 G Следовательно, =0. Ч.т.д. Следствие1.Если f(z) – аналитическая функция в односвязной области D, то для любых двух кусочно- гладких кривых γ и γ’, соединяющих точки z0 и z1, выполняется равенство: = (2) Доказательство. Составим замкнутую кусочно- гладкую кривую L из кривых γ’ и γ – Тогда интеграл вдоль этого замкнутого контура будет равен нулю: = L + γ’ = γ - - γ’ =0 γ Отсюда и следует утверждение следствия 1. Замечание.1) Теорема1 доказана при условии непрерывности производной f’(z), но теорема справедлива и в общем случае , только доказательство значительно труднее . 2) односвязность области D – существенное требование. В примере 3 из предыдущего параграфа это условие нарушается и интеграл уже не равен нулю. Теорема 2. Если область D ограничена ориентированным контуром γ, то для любой функции f(z) , аналитической в замкнутой области , выполняется равенство =0. Доказательство. Пусть контур L является положительно- ориентированным, т.е. при обходе по этому контуру область остается слева. Докажем теорему для случая, когда контур γ состоит из двух компонент L1 и L2 , т.е. область D является двусвязной: Рис. Введем ещё одну гладкую кривую L0 , которая соединяет данные кривые L1 и L2 , и составим новый контур , используя все эти кривые: γ= L1 + L0 + L2 + (L0)Получим односвязную область , ограниченную новым положительно ориентированным контуром γ . Тогда по теореме Коши получаем =0. Отсюда, используя свойства интеграла от функции комплексного переменного , находим , что = γ + = L1 L2 =0. L Теорема 3. Пусть область D ограничена внешним контуром L и внутренними контурами L1, … Ln , ориентированными против часовой стрелки. Тогда, если функция f(z) является аналитической на замкнутой области , то выполняется равенство = (3) L L k Доказательство. Так как = - L , L то по теореме 2 получаем + =0 L ( Lk)- Отсюда следует утверждение теоремы. 8.2. Из интегральной теоремы Коши следует, что интеграл от аналитической функции на односвязной области не зависит от пути интегрирования, а определяется начальной и конечной точками этого пути. только Поэтому , если кривая γ соединяет точки z0 и z1 , то интеграл от этой функции вдоль кривой γ, т.е. интеграл γ можно обозначить через . Тогда ,если в области D зафиксировать точку z0, однозначная функция F(z)= а точку z1 менять, то получится , определенная в области D. Можно доказать, что эта функция является аналитической и ее производная F’(z) равна f(z) для любой точки z из D . Опр. Функция (z) называется первообразной для функции f(z) в области D, если =f(z) для z D. Совокупность всех первообразных интегралом от функции f(z). для функции f(z) Покажем, что любая первообразная функция называется неопределенным (z) имеет вид + C, C- const. (4) Обозначим ω(z)= u(x,y) +iv(x,y) функцию ω’(z)= 0 и ω’(z)= +i = Следовательно, = = = Поэтому в области D получаем: u(x,y) = с1 , v( x,y) =c2, (z) - F(z) и найдем ω’(z). Тогда -i =0. (z) . где с1 ,c2 - const ω(z)= C, C- const. Следовательно, (z) - F(z) = C, C- const Таким образом, понимая под равенство (4): (z) = (z) одну из первообразных для функции f(z), получаем +C, C- const Полагая в формуле (4) z0 = z, найдем C= (z0). Тогда = (z) - (z0). (5) Формула (5) позволяет сводить вычисление интеграла от аналитической функции f(z) к нахождению какой- нибудь первообразной этой функции. Другими словами, известная в действительном анализе формула Ньютона – Лейбница получила обобщение на случай аналитических функций комплексного переменного. 8.3. Интегральная формула Коши. Доказанная теорема Коши( т.1) позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области её аналитичности и значениями функции в граничных точках этой области. Теорема 4. Пусть f(z)- аналитическая функция в области G, кривая γ-замкнутая положительно- ориентированная кусочно –гладкая кривая , принадлежащая области G вместе с ограничиваемой ею областью D . Тогда для любой точки z0 D справедлива формула f(z0)= (6) γ Заметим, что интеграл, стоящий в правой части формулы (6), называют Коши. интегралом Формулу (6) называют интегральной формулой Коши. Эта формула (6) является одной из основных формул теории функций комплексного переменного. Она позволяет находить значения аналитической функции в точках области D, зная её значения на границе этой области. Теорема 5. Если функция f(z)-аналитическая в области D, то она дифференцируема в этой области. бесконечно Доказательство. В условиях предыдущей теоремы 4 получаем, что для z0 – произвольной точки z0 области D, ограниченной положительно- ориентированным кусочно –гладким контуром γ , выполняется равенство (6). Последовательно дифференцируя обе части этого равенства по переменной z0 , получим f’(z0)= , f’’(z0)= f(n)(z0)= ,….. (n=1,2,…) (7) Следовательно, справедливо утверждение теоремы. Пример1. Вычислить интеграл: = z2 +z │ =-2(1+i) Пример2. Вычислить интеграл = I , где γ - окружность , которая обходится против часовой стрелки. γ Решение. = 2πi I= = 2πi = πi γ Пример3. Вычислить интеграл = I , где γ - окружность , которая обходится против часовой стрелки. γ Решение. f(z)= cos z, n=2, f’(z)=- sinz, f”(z)= - cosz I= = γ f”(0)= - πi