Понятие функции комплексной переменной. Аналитические функции.

Понятие функции комплексной переменной. Аналитические функции Лекция 12 Понятие функции комплексной переменной z Если каждому значению по определенному правилу ставится в соответствие комплексное число , то в области задана функция комплексного переменного. Модуль функции - рельеф функции изображается как поверхность в пространстве. w Степенная функция В полярной системе координат: Отображение степенной функцией приводит к повороту на угол и растяжению в раз. Пример 1: ; y V 2 Пример 2. ; Показательная функция. Логарифмическая функция ; Свойства. 1. Поскольку то функция становится периодической с периодом 2. Функция может принимать любые комплексные значения. Уравнение имеет решение Логарифмическая функция, обратная к показательной функции, является многозначной = Пример1: Пример 2: Тригонометрические и гиперболические функции Выражаются через показательную функцию: ; ; ; Новое свойство. Функции не являются ограниченными на всей комплексной плоскости ) Профиль функции = = = Интегрирование функций : интеграл по кривой Интеграл от функции комплексного переменного вводится как интеграл от векторной функции вдоль кривой: 𝑧𝑘 𝑧 𝑧 𝑘+1 = ) + Если кривая задана параметрически то интеграл вычисляют по формуле Пример. Найдем интеграл по окружности 1) 2) Понятие аналитической функции Однозначную непрерывную функцию называют аналитической в области на плоскости комплексного переменного, если выполняются условия: 1.Сохраняется наиболее важный результат анализа – формула Ньютона – Лейбница Интеграл не зависит от контура интегрирования; 2. Интеграл по любому замкнутому контуру , лежащему в односвязной области равен нулю (теорема Коши): 3. Функция имеет непрерывные частные производные функций удовлетворяющие условиям Коши-Римана: Эти условия равносильны. Взяв одно из них за исходное, можно доказать все остальные Для аналитических функций сохраняются все формальные правила дифференцирования Теорема Коши D C • • • • C Если функция аналитична в односвязной области области ,то интеграл по любой замкнутой кусочногладкой кривой, лежащей в этой области равен нулю ; 𝐶1 𝐶 Интегральная формула Коши. Теорема Коши для односвязной области устанавливает связь между значениями аналитической функции внутри области и на ее границе Пусть функция аналитична в области . Замкнутая кривая и ориентирована положительно. Тогда справедливо: 𝑧 В точке нарушается аналитичность подынтегральной функции (особая точка) Дифференцируя последнее выражение раз по получаем выражение для производной в точке (