Конспект лекции по дисциплине «Понятие функции комплексной переменной. Аналитические функции.», pptx
Файл загружается
Благодарим за ожидание, осталось немного.
Конспект лекции по дисциплине «Понятие функции комплексной переменной. Аналитические функции.», текстовый формат
Понятие функции комплексной переменной. Аналитические функции Лекция 12 Понятие функции комплексной переменной z Если каждому значению по определенному правилу ставится в соответствие комплексное число , то в области задана функция комплексного переменного. Модуль функции - рельеф функции изображается как поверхность в пространстве. w Степенная функция В полярной системе координат: Отображение степенной функцией приводит к повороту на угол и растяжению в раз. Пример 1: ; y V 2 Пример 2. ; Показательная функция. Логарифмическая функция ; Свойства. 1. Поскольку то функция становится периодической с периодом 2. Функция может принимать любые комплексные значения. Уравнение имеет решение Логарифмическая функция, обратная к показательной функции, является многозначной = Пример1: Пример 2: Тригонометрические и гиперболические функции Выражаются через показательную функцию: ; ; ; Новое свойство. Функции не являются ограниченными на всей комплексной плоскости ) Профиль функции = = = Интегрирование функций : интеграл по кривой Интеграл от функции комплексного переменного вводится как интеграл от векторной функции вдоль кривой: 𝑧𝑘 𝑧 𝑧 𝑘+1 = ) + Если кривая задана параметрически то интеграл вычисляют по формуле Пример. Найдем интеграл по окружности 1) 2) Понятие аналитической функции Однозначную непрерывную функцию называют аналитической в области на плоскости комплексного переменного, если выполняются условия: 1.Сохраняется наиболее важный результат анализа – формула Ньютона – Лейбница Интеграл не зависит от контура интегрирования; 2. Интеграл по любому замкнутому контуру , лежащему в односвязной области равен нулю (теорема Коши): 3. Функция имеет непрерывные частные производные функций удовлетворяющие условиям Коши-Римана: Эти условия равносильны. Взяв одно из них за исходное, можно доказать все остальные Для аналитических функций сохраняются все формальные правила дифференцирования Теорема Коши D C • • • • C Если функция аналитична в односвязной области области ,то интеграл по любой замкнутой кусочногладкой кривой, лежащей в этой области равен нулю ; 𝐶1 𝐶 Интегральная формула Коши. Теорема Коши для односвязной области устанавливает связь между значениями аналитической функции внутри области и на ее границе Пусть функция аналитична в области . Замкнутая кривая и ориентирована положительно. Тогда справедливо: 𝑧 В точке нарушается аналитичность подынтегральной функции (особая точка) Дифференцируя последнее выражение раз по получаем выражение для производной в точке (
