Поляритоны в анизотропной среде

Лекция N 7 Поляритоны в анизотропной среде I 1.Дисперсионное уравнение для нормальных электромагнитных волн в анизотропной среде. В линейной анизотропной среде связь между векторами поля ⃗ и ⃗ является тензорной ⃗= ̂⃗ Здесь - (1) тензор 2-го ранга, который называется тензором диэлектрической проницаемости среды. В электродинамике по определению между поляризацией среды ⃗ и вектором индукции ⃗ существует связь ⃗= ⃗+4 ⃗ (2) Между векторами и связь согласно (1) и (2) имеет вид ⃗= ̂⃗ (3) Если подставить (3) в (2), то получим ⃗ = ⃗+4 ⃗ = ⃗+4 ̂ ⃗ = (1 + 4 ̂) ⃗ (4) Откуда мы находим связь между тензорами ̂ и ̂ : ̂ =1+4 ̂ (5) Получим основное уравнение для нормальных электромагнитных волн в анизотропной среде – дисперсионное уравнение. Нормальные волны ищем в виде (⃗ ⃗ ⃗= ⃗ ) (6) Здесь ⃗ - постоянный вектор, задающий направление вектора поля ⃗, - амплитуда поля. Уравнения Максвелла имеют вид ⃗=− ⎨ ⎪ ⎩ 1 ⃗= ⃗ 1 ⎧ ⎪ (7) ⃗ Волновой вектор ⃗ представим следующим образом ⃗= ⃗ (8) Здесь ⃗ единичный вектор направления распространения световой волны. Найдем ⃗ для поля вида (6). Это поле имеет следующую зависимость от радиуса вектора ⃗ ⃗= ⃗ ⃗⃗ = ⃗ (9) ⃗⃗ (10) Здесь = ⃗⃗ = ∗ В этой формуле мы временно ввели обозначение ∗ для мнимой единицы, так как дальше буква выступает в качестве индекса. Вычислим ⃗. Имеем, ⊗ ⃗= ⃗ = ⃗ = ⃗ = ⏞ Учтем, что производная от сложной функции вычисляется следующим образом = = ∗ (11) Здесь мы учли следующее соотношение ∗ = ⃗⃗ = ∗ = ∗ = ∗ = ∗ Продолжим равенство ⊗ = ⏞ ∗ ⃗ = ∗ ⃗ = ∗ ⃗× ⃗ = ⃗× ⃗ Следовательно, мы доказали справедливость следующего соотношения для нормальной волны вида (9): ⃗= ⃗× ⃗ (12) ⃗ и Применим такую формулу для векторов ⃗, входящих в уравнения Максвелла (7), получим ⃗× ⃗= ⃗ ⃗× ⃗=− Исключим вектор (13) ⃗ (14) ⃗ из уравнений (13) и (14), для этого умножим обе части (13) векторно слева на вектор ⃗ и учтем уравнение (14) ⃗× ⃗× ⃗ = ⃗× ⃗=− ⃗ (15) Подставим в (15) выражение (8) для ⃗, а также тот факт, что длина вектора ⃗ равна единице, получим: ⃗× ⃗× ⃗ = − ⃗ (16) Введем величину n - показатель преломления следующим образом = (17) Тогда ⃗× ⃗× ⃗ = − ⃗ (18) Двойное векторное произведение распишем в следующем виде ⃗× ⃗× ⃗ = ⃗ ⃗⃗ − ⃗= ⃗ ⃗⃗ − ⃗ (19) Подставляя (19) в (18), получим ⃗= ⃗− ⃗ ⃗⃗ (20) Продолжим наши преобразования. Учтем, что в общем случае тензор ̂ имеет вид ̂= (21) В главной системе координат этот тензор буде диагональным, т.е. ̂= (22) Перейдем далее в главную систему координат. Проецируя уравнение (18) на оси координат этой системы, получим для k-й оси = − ⃗⃗ (23) Получим далее дисперсионное уравнение для показателя преломления волны. Из (23) следует: ⃗⃗ =( − ) (24) Отсюда следует = ⃗⃗ − (25) Для дальнейших рассуждений удобно ввести, как это мы уже ранее делали, следующие обозначения для индексов координат, входящих в выражения для проекций векторов и тензоров: → 1, → 2, →3 (26) Учтем, что скалярное произведение, входящее в (25), расписывается следующим образом ⃗⃗= + + = + + = Умножим обе части (25) на соответствующие (27) и сложим полученные результаты. Мы получим = ⃗⃗ − (28) С учетом (27), получим ⃗⃗= В анизотропной среде векторы ⃗⃗ − (29) ⃗ и ⃗ уже не перпендикулярны друг другу, мы это далее увидим, поэтому можно сократить выражение (29) на ⃗ ⃗. В результате получим: =1 − (30) Распишем (30) подробно: − + − + − =1 (31) ⟹ Уравнение (31) является дисперсионным уравнением для нормальных электромагнитных волн в анизотропной среде. 2.Уравнение волновых нормалей Френеля Учтем, что вектор ⃗ является единичным, т.е. его длина равна единице, поэтому + + =1 (32) Подставляем (32) в (31) и преобразуем полученное выражение после переноса единицы в левую часть. Покажем, как преобразуется только одно слагаемое (остальные – тема домашнего задания) 0= − − +⋯= − ∙ ∎ + +⋯= − Умножим обе части этого выражения на − ∎ = ⏞ ∙ (− ) − +⋯= − ∙ − +⋯ = ⏞ и продолжим преобразования 1 1 ∙ − 1 = ∙ 1 1 − 1 +⋯ Следовательно, мы получаем следующий результат ∙ 1 1 − 1 + ∙ 1 1 − 1 + ∙ 1 1 − 1 =0 (33) Далее вводятся следующие константы, описывающие данный анизотропный материал = , = , = √ (34) Фазовая скорость плоской гармонической электромагнитной волны, как известно, выражается через величину следующим образом = = = = (35) С учетом сказанного, уравнение (33) преобразуется к виду − + − + − =0 (36) Уравнение (36) фактически играет роль дисперсионного уравнения в терминах фазовой скорости. ⟹ Уравнение (36) называется уравнением волновых нормалей Френеля. Если умножить теперь (36) на общий знаменатель, то получим − ( − )+ + ( ( Мы видим, что это квадратное уравнение относительно )( − − ) − − ) + =0 . Следовательно, можно сделать такой вывод: ⟹ в каждом направлении, характеризуемом единичным вектором могут распространяться две волны с различными ⃗, фазовыми скоростями. Этот вывод принципиально отличается от случая изотропной среды, где возможна только одна волна. Замечание. Мы не учитываем здесь волны, распространяющиеся в противоположном ⃗ направлении. В завершении лекции рассмотрим ориентацию векторов поля в анизотропной среде. Из уравнений (13) следует, что вектор ⃗ перпендикулярен как вектору ⃗, так и вектору ⃗. Следовательно, вектор ⃗ перпендикулярен плоскости, образованной векторами ⃗ и ⃗. Из (14) вытекает, что вектор ⃗ перпендикулярен вектору ⃗ и вектору ⃗ . Вектор Пойтинга, который равен ⃗= 4 ⃗× ⃗ (37) Из (37) следует, что вектор Пойтинга перпендикулярен векторам ⃗ и ⃗. Взаимное расположение векторов поля показаны на Рисунке 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Рисунок 1. Взаимное расположение векторов поля в анизотропной среде. Выделены две правые тройки векторов ⃗ , ⃗, ⃗ и ⃗, ⃗, ⃗. Направления векторов ⃗ и ⃗ не совпадают. Домашние задания Д.З.-1. Доказать равенство (13). Д.З.-2. Доказать равенство (14). Д.З.-3. Почему из (20) вытекает (23)? Д.З.-4. Почему вектора ⃗ и ⃗ не перпендикулярны ? Д.З.-5. Какие вектора перпендикулярны вектору ⃗? Д.З.-6. Какие вектора перпендикулярны вектору ⃗ ? Д.З.-7. Получить уравнение (33). Д.З.-8. Получить уравнение (36). Д.З.-9. Вывести уравнение волновых нормалей Френеля? Д.З.-10. Сколько волн может распространяться в заданном направлении в анизотропной среде и почему? Д.З.-11. Пояснить ориентацию векторов поля на Рисунке 1.