Одноосный антиферромагнетик

Лекция N 14 Поляритоны в магнитных материалах I 1.Одноосный антиферромагнетик Рассмотрим теперь поляритоны в магнитных средах. В качестве примера возьмем антиферромагнетик из группы MnF2, FeF2, CoF2. Для них диэлектрическая проницаемость = const, а магнитная проницаемость является тензором, компоненты которого вычисляются по следующим формулам: = ( ) = (1) =1 (2) Ω Ω − (3) Здесь: ( ) =1+ Рассмотрим, далее, уравнения Максвелла: ⃗=− ⃗= 1 ⃗ 1 ⃗ (4) (5) Решение ищем в виде нормальных гармонических электромагнитных волн: ⃗= ⃗ (⃗ ⃗ ) , В⃗ = В⃗ (⃗ ⃗ ) (6) Учтем, что в этом случае ⃗=− ⃗× ⃗ (7) ⃗= ⃗× ⃗ (8) ⃗ ⃗ ⃗, =− =− ⃗ (9) Тогда ⃗× ⃗=− ⃗× ⃗ = ⃗ с с (10) ⃗ (11) Далее, умножим обе части уравнения (10) векторно на ⃗. Получим: ⃗× ⃗× ⃗ =− ⃗× ⃗ =− ⃗ (12) z ⃗ y x Рисунок 1. Ориентация волнового вектора ⃗. Воспользуемся далее векторным тождеством: ⃗ × ⃗ × ⃗ = ⃗( ⃗ ⃗) − ⃗ ⃗ ⃗ Получим: (13) ⃗ ⃗ ⃗ − ⃗=− ⃗ (14) Это базовое уравнение. Рассмотрим ориентацию вектора ⃗ как показано на Рисунке 1: = = 0 = (15) Скалярное произведение запишется в виде: ⃗⃗= + (16) Далее, с учетом (1) и (2), материальные уравнения для магнитной составляющей электромагнитного поля запишутся в виде: = , = , = (17) Тогда запишем проекции базового уравнения (14) на декартовые оси координат. Ось Ox: ( )− + == − Раскрывая скобки и учитывая материальные уравнения (17), мы получим: + − − =− Или: − =− Ось Oy: − Следовательно, =− (18) = (19) Ось Oz: ( )− + =− Раскрывая скобки и учитывая материальные уравнения (17), получаем: − =− (20) Следовательно, мы получили систему линейных однородных алгебраических , уравнений относительно трех проекций ( 0∙ ) − +( +0∙ , +0∙ − ) + ( : + + 0∙ − ) =0 =0 =0 (21) 2.Вывод дисперсионного уравнения для одноосного антиферромагнитного кристалла Поскольку мы ищем нетривиальное решение системы уравнений (21), то, как известно из линейной алгебры, такое решение существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы (21) обращается в ноль: − = − (22) − Расписываем определитель по второй строке: 0 = 0 + (−1) =0+( ( − − )[( − ) = − − )( − )− ] ⟹ Следовательно, нетривиальное решение системы (21) существует при выполнении следующего равенства: − − − − = (23) Очевидно, здесь возможны 2 случая, когда по очереди каждая из скобок превращается в ноль. Случай 1. Обыкновенная волна. Имеем дисперсионное уравнение = (24) Подставляя сюда выражение для = по формуле (3) получаем окончательно: + − (24) ⟹ Уравнение (24) есть дисперсионное уравнение для обыкновенных волн в анизотропной среде – магнитного поляритона. В данном случае мы видим, что получилось дисперсионное уравнение, похожее на дисперсионное уравнение для поляритона в диэлектрической среде, только резонансом сейчас обладает магнитная проницаемость антиферромагнетика. При этом, название «обыкновенная волна» связано с тем, что здесь волновое число не зависит от направления распространения волны. Проведем расчет дисперсионных кривых для параметров кристалла MnF2 . Введем, как и ранее, приведенную частоту = Ω (24) Преобразуем выражение для магнитной проницаемости, введя понятие продольной частоты магнитного поляритона. Для этого найдем частоту Ω , при которой магнитная проницаемость превращается в ноль: (Ω ) = 0 → 1 + Ω =0 Ω −Ω (25) Откуда получаем: Ω = Ω +Ω (26) Ω Ω (27) Обозначим: = Тогда ( ) =1+ Ω Ω − Ω Ω =1+ 1− Следовательно, магнитная проницаемость частоты =1+ (28) 1− Ω , как функция относительной имеет вид: ( )=1+ (29) 1− Оценки дают следующий результат для в случае кристалла MnF2 : ≅ 0.2 (30) Преобразуем теперь дисперсионное уравнение для обыкновенных магнитных поляритонов = = 1+ 1− = Ω 1+ 1− (31) Представим это уравнение в следующем безразмерном виде, удобном для вычислений: Ω √ = 1+ 1− Расчет по полученной формуле будет проведен на следующей Лекции. (32)