Подгруппы
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Лекция 8. Подгруппы
Определение Непустое подмножество H группы А называется подгруппой группы А, если
H само является группой относительно групповой операции в А.
Теорема 1. Единица 1H и обратный aH-1 к а Н в подгруппе Н группы А совпадают с
единицей 1 и обратным а-1 в самой группе А.
Доказательство. Действительно, 1H = 1H · 1 = 1H · а · а-1 = а · а-1 = 1 и аH-1 = аH-1 · а · а-1 =
а-1 где а - произвольный элемент из H.
При доказательстве того, что некоторое подмножество Н группы А является подгруппой,
удобнее всего бывает пользоваться следующей теоремой:
Теорема 2.(Критерий подгруппы). Для того, чтобы непустое подмножество Н группы А
являлось подгруппой группы А необходимо и достаточно, чтобы одновременно
выполнялись 2 условия:
1) Н должно быть замкнуто относительно групповой операции в А:
(
а, b
Н)а·b
Н;
2) Н должно быть замкнуто относительно операции взятия обратного элемента: (
( а-1 Н).
a
Н)
Примеры подгрупп
1. Множество Н = {2к, где k
Z} является подгруппой
мультипликативной группы так как Н
критерия подгруппы:
1)
2)
a · b = 2k+t
,H
Q* и выполняются два условия
H;
(где k, t, k+ t, - k
Z).
2. Несобственные подгруппы. Каждая группа имеет единичную подгруппу {1} и сама
является своей подгруппой.
3. Циклические подгруппы. Зафиксируем элемент а в группе А. Подмножество (а) = {аk | k
Z} группы А, состоящее из всевозможных целых степеней элемента а, является
подгруппой в А, называемой циклической подгруппой группы А, порождённой элементом
а. Сам элемент а называется образующим (порождающим) циклической подгруппы (а).
4. Подгруппы в аддитивной группе Z. Пусть Н - ненулевая подгруппа в Z и п наименьшее положительное число из Н. Возьмём в Н произвольный элемент а разделим
его с остатком на п, получим а= п · к + р (0 р< п). Т.к. а, п Н, то п · к Н, - п · к Н и
р = а + (- пк) Н. В силу минимальности п, р = 0, т.е. а = пк п Z - множеству всех целых
чисел, делящихся на п, которое, очевидно, является циклической подгруппой в Z, пZ = (n).
Таким образом, Н = пZ. Итак, подгруппами в Z являются следующие циклические
подгруппы: нулевая подгруппа (0)= {0}и бесконечные подгруппы пZ, порождённые
различными натуральными числами п.
5. Некоторые подгруппы аддитивной группы С(комплексных чисел).
1) Множество всех чисел, изображаемых точками, лежащими на произвольной прямой,
проходящей через начало координат.
2) Имеет место следующая цепочка: тZ < Z < Q < R< С.
3) {а + b · i | а, b
А}, где А - любое из множеств п.2).
6. Некоторые подгруппы в мультипликативной группе С* всех ненулевых комплексных
чисел.
1) Q* - множество всех ненулевых рациональных чисел;
2) R*- множество всех ненулевых действительных чисел;
3) R*· i - множество всех ненулевых чисто мнимых чисел;
4) Cn- множество всех комплексных корней n-ой степени из 1 (п
5) К- множество всевозможных комплексных корней из 1;
N);
