Справочник от Автор24
Высшая математика

Конспект лекции
«Подгруппы»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по высшей математике / Подгруппы

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Подгруппы», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Подгруппы». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Подгруппы», текстовый формат

Лекция 8. Подгруппы Определение Непустое подмножество H группы А называется подгруппой группы А, если H само является группой относительно групповой операции в А. Теорема 1. Единица 1H и обратный aH-1 к а Н в подгруппе Н группы А совпадают с единицей 1 и обратным а-1 в самой группе А. Доказательство. Действительно, 1H = 1H · 1 = 1H · а · а-1 = а · а-1 = 1 и аH-1 = аH-1 · а · а-1 = а-1 где а - произвольный элемент из H. При доказательстве того, что некоторое подмножество Н группы А является подгруппой, удобнее всего бывает пользоваться следующей теоремой: Теорема 2.(Критерий подгруппы). Для того, чтобы непустое подмножество Н группы А являлось подгруппой группы А необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись 2 условия: 1) Н должно быть замкнуто относительно групповой операции в А: ( а, b Н)а·b Н; 2) Н должно быть замкнуто относительно операции взятия обратного элемента: ( ( а-1 Н). a Н) Примеры подгрупп 1. Множество Н = {2к, где k Z} является подгруппой мультипликативной группы <Q*, ·>так как Н критерия подгруппы: 1) 2) a · b = 2k+t ,H Q* и выполняются два условия H; (где k, t, k+ t, - k Z). 2. Несобственные подгруппы. Каждая группа имеет единичную подгруппу {1} и сама является своей подгруппой. 3. Циклические подгруппы. Зафиксируем элемент а в группе А. Подмножество (а) = {аk | k Z} группы А, состоящее из всевозможных целых степеней элемента а, является подгруппой в А, называемой циклической подгруппой группы А, порождённой элементом а. Сам элемент а называется образующим (порождающим) циклической подгруппы (а). 4. Подгруппы в аддитивной группе Z. Пусть Н - ненулевая подгруппа в Z и п наименьшее положительное число из Н. Возьмём в Н произвольный элемент а разделим его с остатком на п, получим а= п · к + р (0 р< п). Т.к. а, п Н, то п · к Н, - п · к Н и р = а + (- пк) Н. В силу минимальности п, р = 0, т.е. а = пк п Z - множеству всех целых чисел, делящихся на п, которое, очевидно, является циклической подгруппой в Z, пZ = (n). Таким образом, Н = пZ. Итак, подгруппами в Z являются следующие циклические подгруппы: нулевая подгруппа (0)= {0}и бесконечные подгруппы пZ, порождённые различными натуральными числами п. 5. Некоторые подгруппы аддитивной группы С(комплексных чисел). 1) Множество всех чисел, изображаемых точками, лежащими на произвольной прямой, проходящей через начало координат. 2) Имеет место следующая цепочка: тZ < Z < Q < R< С. 3) {а + b · i | а, b А}, где А - любое из множеств п.2). 6. Некоторые подгруппы в мультипликативной группе С* всех ненулевых комплексных чисел. 1) Q* - множество всех ненулевых рациональных чисел; 2) R*- множество всех ненулевых действительных чисел; 3) R*· i - множество всех ненулевых чисто мнимых чисел; 4) Cn- множество всех комплексных корней n-ой степени из 1 (п 5) К- множество всевозможных комплексных корней из 1; N);

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Высшая математика

Группы. Основные определения. Подгруппы

Группы. Основные определения. Определение. Множество объектов произвольной природы G ≠ ∅, где операция *, называется группой, если: 1. Замкнутость: ∀ ...

Химия

Элементы VII Б-подгруппы

Элементы VII Б-подгруппы. (Читается 3 лекции за 2 пары, это 2-я лекция) (n-1)5ns2 Наиболее вероятная С.О. для Mn+2 устойчивая Для Tc и Re энергетическ...

Высшая математика

Группы в математике

Группы §1. Определение группы Пусть   произвольное непустое множество,   множество алгебраических операций на множестве . Определение. Множество ...

Химия

Периодический закон Д.И.Менделеева

ЛЕКЦИЯ №4 ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ЗАКОН Д.И.МЕНДЕЛЕЕВА После утверждения атомно-молекулярного учения важнейшим событием в химии было открытие периодического зак...

Высшая математика

Алгебра:группы, кольца, поля

В.В. Беняш-Кривец, О.В. Мельников ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ: ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Учебное пособие для студентов математических специальностей МИНСК 2008 УДК 5...

Автор лекции

В.В. Беняш-Кривец, О.В. Мельников

Авторы

Экономика предприятия

Методы начисления амортизации основных фондов

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ти...

Автор лекции

Меньшикова Е.А.

Авторы

Машиностроение

Штамповка

Штамповка Штамповка – обработка металлов давлением с помощью штампа. Штамп – это технологическая оснастка, по средствам которой заготовка приобретает ...

Педагогика

Развитие научных исследований в россии за рубежом

ЛЕКЦИЯ 2 РАЗВИТИЕ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В РОССИИ ЗА РУБЕЖОМ 1.Методические основы определения уровня науки в различных странах мира. 2. Организация нау...

Статистика

Статистика государственных финансов

Оглавление 2. Статистика государственных финансов 2 2.1. Организация и информационные источники статистики государственных финансов 2 2.2. Бюджетная к...

Инновационный менеджмент

Амортизационная политика и управление основным капиталом корпорации

ЛЕКЦИЯ 9. АМОРТИЗАЦИОННАЯ ПОЛИТИКА И УПРАВЛЕНИЕ ОСНОВНЫМ КАПИТАЛОМ КОРПОРАЦИИ Амортизационная политика (depreciation politic) – составная часть общей ...

Смотреть все