Плоское движение твердого тела

233 Лекция 3. Плоское движение твердого тела 10.1. Определения. Уравнения плоского движения твердого тела Плоским (или плоско параллельным) движением твердого тела называют такое его движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Пусть этой неподвижной плоскостью будет плоскость По (рис. 19.1). Любая прямая n  n , перпендикулярная Рис. 10.1 этой плоскости и жестко скрепленная своими точками с движущимся телом, будет двигаться поступательно, т.е. все точки на этой прямой будут двигаться одинаково. Тогда движение всего тела будет известно, если известно движение любого сечения тела (П). Следовательно, изучение плоского движения тела сводится к изучению точек на сечении, строго говоря – двух точек этого сечения. В дальнейшем будем совмещать плоскость Оху с плоскостью (П), а вместо всего тела изображать только его плоское сечение (рис. 9.2). При этом это сечение П будет имеет три степени свободы: оно может вращаться и перемещаться в плоскости Oxy. Рис. 10.2 Выберем на сечении (П) точку А и проведем прямую АВ, которая составляет угол  c осью Ox. Тогда уравнения движения сечения будут иметь вид: t  0,   x  x A  t  ,   y  yA t  ,   =   t  . 234 Здесь координаты точки A : x A t , y A t  , отрезок АВ, жестко связан с сечением и проходит через точку A . Точку А принято называть полюсом. Плоское движение является геометрической суммой двух простейших движений: поступательного, уравнения которого определяют движение полюса А: x A  x t , y A  y t  и вращательного, уравнение которого определяет вращение сечения вокруг неподвижного полюса в плоскости O x y :     t  (рис. 10.3). Рис. 10.3 При изучении движения можно в качестве полюса выбирать любую точку тела, скорость которой известна. Рассмотрим, что получится, если вместо точки А выбрать в качестве полюса точку С. Тогда положение сечения (П) образующим определяется с осью отрезком Ох угол СВ, 1 (рис. 10.4). В общем случае скорости полюсов (точки A и точки C ) не равны друг другу ( VC  V A ), Рис. 10.4 иначе движение поступательным. Однако  ( t )   было бы и  ( t )   не зависят от выбора полюса. Действительно, проведя через точку С прямую CB  , параллельную АМ, видим, что в любой момент времени угол 1     , где =const. 235 Отсюда 1   1  ; 1    1   . Следовательно, вращательная часть движения от выбора полюса не зависит. 10.2. Скорости точек твердого тела при плоскопараллельном движении Скорость любой точки М тела при его плоском (плоскопараллельном) движении геометрически складывается из скорости полюса V A и скорости точки М в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса VM ( A ) : VM  V A  VM ( A ) . Это утверждение базируется на независимости параметров x A t , y A t  и Рис. 10.5  t  ) (рис. 10.5). Имеем: VA  x t  i  y t  j – скорость полюса, VM ( A )   ( t ) AM – скорость точки М, которую она получает при вращении тела вокруг неподвижного полюса А, причем: VM ( A )  AM ,   Oxy . Итак, VM  V A  VM ( A ) (10.1) 236 Направление скорости V M можно найти геометрически построением соответствующего параллелограмма (рис. 9.5). Пример 10.1. Колесо радиусом R катится без скольжения по линейному рельсу. Центр С колеса движется согласно уравнению xc  Vc  t . Вычислить скорости точек Р, М, К, N расположенных на ободе колеса, как показано на рис. 10.6. Рис. 10.6 Решение. За полюс выберем точку C . Получим уравнения движения колеса. Имеем (рис. 10.6): x t  xC  t   R    t     t   c . R Тогда, уравнения движения колеса примут вид t  0;   xc  t   Vc  t ;   yc  t   R;   x t    t   c .  R Вычислим скорость полюса и угловую скорость вращения колеса  вокруг полюса. Имеем  xc  t   Vc  t ; Vc  xc  t  ;    yc  t   R;   Vc      t   . xc ( t ) R .    t    R Применим к точкам Р, К, N, М, лежащих на ободе колеса, теорему о скоростях при плоском движении, рис. 10.7. 237 Рис. 10.7 1. Точка Р: VP  Vc  VP( c ) ; здесь VP( c )  CP  R , VP( C )    PC  Vc  R  Vc . R Так как векторы Vc и VP( c ) лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, имеем (рис. 10.7, рис. 10.8, а): VP  VC  VP( C )  VC  VC  0 . 2. Точка К: VK  VC  VK ( C ) , здесь VK( C )  KC  R, VK( C ) VC , VK( C )    R  VC . Так как векторы VC и VK( C ) лежат на одной прямой и направлены в одну сторону, имеем (рис. 10.7, рис. 10.8, а) VK  VC  VC  2VC . 3. Точка М: VM  Vc  VM ( c ) здесь VM ( C )  MC  R , VM ( c )    R  Vc . Так как векторы VC  VM ( C ) , имеем (рис. 10.7, рис. 10.8, а) VM  Vc2  VM2 ( c )  Vc 2 . Направление VM находим по правилу сложения векторов. 238 4. Точка N: VN  VC  VN( C ) здесь VN( C )  NC  R , VN( C )    R  VC . Так как векторы Vc  VM ( c ) , имеем (рис. 10.7, рис. 10.8, а) 2 VN  Vc2  VN( c )  Vc 2 . Направление VN находим по правилу сложения векторов. Отметим, что перпендикуляры, проведенные к векторам скорости в точках К, N, М, пересекутся в точке P , скорость которой равно нулю (рис. 10.8,б). б Рис. 10.8 10.3. Мгновенный центр скоростей Во многих практических задачах скорость полюса задана или ее можно вычислить. Угловая скорость вращения тела вокруг полюса часто неопределенна. Теорема. В каждый момент времени при плоском движении тела, если   0 , имеется единственная точка в плоскости его движения скорость которой равна нулю. Эту точку называют точкой мгновенного центра скоростей (МЦС). Обозначим ее Р. 239 Доказательство. Для доказательства этой теоремы достаточно указать способ вычисления точки МЦС. Пусть тело плоскопараллельно. (П) движется Предположим, скорость полюса равна VO , а что угловая скорость вращения тела вокруг полюса равна  (рис. 10.9). Предположим, что вращение тела вокруг полюса происходит, например, Рис. 10.9 существует. Следует по часовой стрелке. Допустим, мгновенный центр скоростей ожидать, что она находится на что (точка Р) прямой, перпендикулярной вектору скорости Vo . Используем теорему о скоростях (9.3) для вычисления скорости в точке Р, рис. 10.10, получаем: VP  Vo  VP( o )  0 . Поскольку VP( o ) Vo , то скорость точки Р будет равна нулю, если модули этих скоростей равны между собой. Следовательно, VP( o )  Vo , но VP( o )    OP , откуда   OP  Vo , тогда OP  Vo .  Таким образом, точка МЦС находится на перпендикуляре к вектору скорости Vo на расстоянии OP  Vo .  Точка МЦС является единственной точкой для тела в данный момент времени. В другой момент времени точка МЦС находится уже в другой точке плоскости. Поскольку угловая скорость фигуры не зависит от выбора полюса, поэтому угловая скорость твердого тела в ее вращении вокруг точки МЦС (точка Р) равна угловой скорости , с которой твердое тело вращается вокруг полюса О. 240 Если положение точки МЦС и  известны, то, приняв точку МЦС за новый полюс ( V P  0 ), для любых точек тела (П) , например точек А и В (рис. 10.10), скорости можно вычислить следующим образом: VA  VP  VA( P )  VA( P ) , VA    AP, VA  AP ,   VB  VP  VB( P )  VB( P ) , VB    BP, VB  BP . Из полученных выражений для VА и VВ имеем V V V AP .  A  B  A  AP Рис. 10.10 BP VB (10.4) BP Если положение точки МЦС известно, то скорости точек тела вычисляют так же, как и в случае вращения тела в плоскости вокруг мгновенно неподвижной точки Р с угловой скоростью  . Следствие 1. (Общая теорема кинематики). Проверим справедливость общей теоремы кинематики. На рис. 10.11 построены векторы V A и V B , которые составляют углы  и  соответственно с прямой АВ. Точка МЦС находится в точке Р. Рис. 10.11 Опустим перпендикуляр из точки Р на прямую АВ и обозначим его через h. Тогда h  AP  cos   BP  cos  . 241 Согласно (10.4), вычислим скорости в точках А и В через угловую скорость  : V A    AP, VB    PB . Вычислим длины отрезков A'A и B'B (рис. 10.11): A' A  V A cos     AP  cos     h     A' A  B' B . B' B  VB cos     PB  cos     h Последние равенства еще раз доказывают справедливость общей теоремы кинематики. Следствие 1. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками отрезка. Исходя из теоремы о скоростях при плоскопараллельном движении, имеем (рис. 10.12): VD  VA  VD( A )  VA    A D , VB  V A  VB( A )  V A    A B . Рис. 10.12 Тогда D1d1    AD и B1b1    AB и, следовательно, 242  D1d1 B1b1  , или AD AB D1d1 AD .  B1b1 AB Т.к. A1d1  AD и A1b1  AB как противоположные стороны параллелограммов, то D1 d 1 A1 d 1 .  B1b1 A1b1 Это соотношение показывает, что A1D1B1 - отрезок прямой. Из подобия A1 d 1 D1 и A1b1 B1 имеем A1 D1 A1 d 1 A D AD A1 D1 AD , или 1 1  и ,   A1 B1 A1b1 A1 B1 AB D1 B1 DB т.е. расстояния между концами скоростей пропорциональны расстояниям между соответствующими точками. 10.4. Частные случаи нахождения точки МЦС Рассмотрим частные случаи нахождения точки МЦС. 1. Если плоское движение осуществляется путем качения цилиндрического тела по поверхности другого тела без скольжения, причем второе тело неподвижно, то точка касания Р имеет в данный момент времени скорость, равную нулю, следовательно, является МЦС (рис. 10.13, а), тело мгновенно вращается относительно точки касания Р. Иначе говоря, Если на перпендикуляре к вектору скорости есть точка, скорость в которой равна нулю, то эта точка будет точкой МЦС. 1. Если в двух точках А и В твердого тела V A V B , при этом прямая АВ, соединяющая эти точки, не перпендикулярна векторам V A и V B (рис. 10.13, б), то перпендикуляры к V A и к V B пересекутся в в 243 V бесконечности, т.е. точка МЦС   , тогда   A  0. Из общей теоремы  кинематики имеем, что V A cos   VB cos  (    ), тогда V A  V B . Следовательно, скорости всех точек тела в данный момент равны между собой по модулю и по направлению, твердое тело движется мгновенно поступательно. При мгновенно поступательном движении угловая скорость тела равна нулю, угловое ускорение не всегда равно нулю. Рис. 10.13 Если в двух точках А и В твердого тела V A V B , при этом 2. прямая АВ, соединяющая эти точки, перпендикулярна векторам V A и V B и AB  V A , AB  V B (рис. 10.13, в, г) то положение точки МЦС определяется построениями, показанными на рис. 9.13 в, г, тело имеет мгновенновращательное движение вокруг точки МЦС (точка Р). При этом модули скоростей точек тела связаны соотношением V V V AP .  A  B  A  AP BP VB BP 10.5. Механизмы. Многозвенные механизмы Постановка задачи. Плоский многозвенный механизм состоит из связанных между собой твердых тел, часто шарнирными соединениями. Как правило, ведущее звено определяет направление движения всех ведомых звеньев (твердых тел). По известной угловой скорости ведущего звена, 244 вычисляются скорости точек механизма и угловые скорости его звеньев. Элементы механизмов могут двигаться поступательно, вращаться вокруг неподвижного шарнира или совершать плоское движение. План кинематического анализа механизмов Установить число тел (звеньев), входящих в данный механизм, и 1. вид движения каждого из них. Установить тело, движение которого задано (ведущее звено), для 2. этого в этом теле определить все величины, указанные в условии задачи, затем записать уравнение связи. Вычислить скорость точки, соединяющие эти тела. Перейти к рассмотрению следующего тела, в котором уже 3. известна скорость одной точки (общей с первым телом). Если из условия движения будет известно хотя бы направление скорости еще одной точки (например, известна траектория точки), найти точку МЦС и вычислить угловую скорость тела, рис 10.14,а. Составляют систему уравнений для скоростей всех нужных точек:  а VA AP  VB BP  VC CP  б V A cos   VB cos  Рис. 10.14 Или применить общую теорему кинематики (следствие 1) и из проекций скоростей на прямую, определить угловую скорость тела, рис. 10.14, б. После этого, по теореме о скоростях определить скорости точек, 245 указанных в условии задачи, а затем скорость точки, соединяющей это тело со следующим. Для звеньев, у которых МЦС не существует, т. е. перпендикуляры, проводимые к скоростям точек, принадлежащих звену, параллельны, угловая скорость равна нулю, а звено совершает мгновенно-поступательное движение, рис. 10.15: VA  V Рис. 10.15 В  VC . Если векторы скоростей перпендикулярны отрезку их соединяющему, то имеют место два частных случая, показанные на рис. 9.16. Рис. 10.16 Если тело (колесо, диск, цилиндр) катится по поверхности без проскальзывания, то точка МЦС тела находится в точке касания, рис. 10.17: Рис. 10.17 V  C. R Этот пункт плана выполняем последовательно для всех звеньев механизма. Очередное звено должно иметь общую точку (шарнир) с предыдущим, для которой скорость вычислена. 246 Маятник Максвелла. Маятник Максвелла состоит из диска радиусом R , на который намотана нерастяжимая нить, конец которой закреплен в точке А (рис. 10.18). Вычислим скорости на ободе диска, если известна скорость его центра VC .Свяжем декартову систему координат Cxy с центром диска. Скорость центра диска VC параллельна оси Cy . Ось Cx проходит через точку P . Нить AP неподвижна, следовательно VA  VP  0 . Следовательно, точка Р является точкой МЦС. Рис. 4.1 Рис. 10.18 Модули скоростей точек диска связаны соотношением V V V V  C  B  K  E . R R 2 2R R 2 Из полученного выражения можно вычислить скорость любой точки диска. Кривошипно-шатунный механизм. Кривошипно-шатунный механизм состоит из трех звеньев: кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В, соединенных между собой шарнирами (рис. 10.19). Кривошип ОА длиной r вращается в плоскости относительно неподвижной точки A с угловой скоростью  и угловым ускорением Рис. 10.19  . Совместим декартову систему координат с точкой О. Вычислим скорость ползуна B . Имеем: V  ( t )  OA  o  OA (м/с). А 247 Вектор скорости V A направлен перпендикулярно ОА в сторону вращения кривошипа (рис. 10.19). Ползун В движется поступательно вдоль дорожек, следовательно скорость ползуна V B направлена по оси Ox . Скорости в точках А и В шатуна АВ не параллельны, следовательно шатун совершает плоскопараллельное движение. Восстановим перпендикуляры к векторам V А и V B . Точка МЦС (точка Р) лежит на их пересечении (рис. 10.19). Все точки шатуна мгновенно движутся по окружностям соответствующих радиусов с центром вращения в точке МЦС (точка А – по радиусу AP , точка В – по радиусу BP , при этом угловая скорость вращения шатуна и модули скоростей точек шатуна связаны соотношением:  AB  VА AP    rА AP ; VА AP  VB BP . Скорость ползуна (скорость в точке В): V В   AB ВР . Рассмотрим частные случаи. 1. Движение шатуна в момент времени, когда угол   0 (рис. 10.20, а). Вектор скорости кривошипа в точке А ( V А ) направлен по оси Oy . Восстановим перпендикуляры к векторам V А и V B . Точка МЦС (точка Р) лежит на их пересечении и совпадает с точкой В. Следовательно, точка В является в этом положении механизма точкой МЦС, тогда V В  0 . В этом положении шатун АВ совершает мгновенное вращение вокруг мгновенно неподвижной точки В с угловой скоростью   AB : OA . AB Распределение скоростей точек шатуна показано на рис. 10.20, а.   OA   AB AB   AB  248 а б Рис. 10.20 2. Движение шатуна в момент времени, когда угол   90 (рис. 10.20, б). Вектор скорости кривошипа в точке А ( V А ) направлен по оси Ox . Скорости V А и VB направлены параллельно друг другу, перпендикуляры к V A и V B пересекутся в бесконечности, т.е. точка V МЦС   , тогда   A  0. Следовательно, в этом положении шатун  совершает мгновенно-поступательное движение, и все точки шатуна АВ имеют одинаковую скорость, равную V А . Планетарный механизм. Планетарный механизм состоит из трех звеньев: неподвижного диска 1 радиусом r , кривошипа ОА и подвижного закрепленного Рис. 10.21 диска, шарнирно в радиусом точке A R, с кривошипом OA (рис. 109.21). Кривошип ОА вращается с угловой скоростью O и приводит в движение подвижный диск 2. Вычислим скорость в точках B, K , E , лежащие на ободе подвижного диска. Вычислим скорость точки А кривошипа ОА: V A  o  r . Подвижный диск движется плоскопараллельно. Свяжем декартову систему координат Oxy с центром неподвижного диска. Скорость в точке А 249 кривошипа параллельна оси Oy . Точка соприкосновения неподвижного и подвижного дисков будет точкой МЦС, это точка Р (рис. 10.22). Рис. 10.22 Запишем уравнения связи. Точка А имеет два радиуса вращения – OA  r  R и R , поэтому  r  R   1 R   r  R   1 R  1  o rR . r При этом модули скоростей точек, лежащих на ободе подвижного диска связаны соотношением 1  VA V V V  B  K  E . R R 2 2R R 2 Шасси летательного аппарата – система опор летательного аппарата, обеспечивающая его стоянку, передвижение по аэродрому или воде при взлѐте, посадке и рулении. Уборка и выпуск Рис. 10.23 шасси самолета производится с помощью гидроцилиндров, рис. 10.23. Скорость поршня Размеры элементов шасси самолета: гидроцилиндра равна V  0,5 м . с 250 O1K  2O1 A= 1,2 м; KC  0,8 м ; KТ  0,6 м; O2Т  0,5 м; R=0,4 м – радиус колеса. Вычислим скорость движения центра колеса С и угловую скорость кривошипа O2T , поднимающего колесо в заданном углами положении шасси. Проведем кинематический анализ заданного механизма. Поршень гидроцилиндра состоит из шести элементов: ведущего звена – гидроцилиндра, который приводит в движение звено AO1B (кривошип), вращающийся вокруг неподвижного шарнира O1 , колеса, шатуна KT и кривошипа O2T . Вычислим угловую скорость 1 звена AO1B и скорости в узлах K и В. Имеем O1K 1,2 м  V  V  0,5  1 ; K  O A 0,6 с 1 V V V 1   K  С   O1 A O1K O1С OC 2 м  1,7 . VС  V 1  0,5 O1 A 0,6 с  Шатун КТ совершает плоское движение. Точка мгновенного центра скоростей (точка МЦС) находится на пересечении прямых O1С и O2Т , рис. 10.24. Рис. 10.24 251 Рассмотрим геометрию задачи: из  KTP получаем: 2 2 ТP=2KT=1,2; PK= 1,2  0,6 = 1,44  0,36  1,08  1,4 . Вычислим угловую скорость вращения шатуна КТ и скорость в шарнире Т: KT VK 1 1  KT  PK  1,4  0,71 c ; V V   K  T  . PK TP V  V TP  1  1,2  0,86 м . K  T PK 1,4 с Тогда угловая скорость кривошипа O2T ,поднимающего колесо будет равна: V 0,86 1  2 T   1,72 c . O2T 0,5 Скорости точек многозвенного механизма. Плоский многозвенный механизм с одной степенью свободы приводится в движение кривошипом ОА, который вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью o  2 c 1 , рис. 10.25. OA  30 см, AB=60 см, BD=30 см, DE=20 см, EF=20 см, EH  40 см, FO  20 см, R  10 см. Рис. 10.25 Плоский механизм состоит из двух кривошипов OA и OF; четырех шатунов: AD, BC, DF и EH, соединенных друг с другом шарнирами (BD  DF, DF  OF); ползуна C; диска H, качение диска происходит без проскальзывания. Положение механизма определяется углами. Значения 252 углов, определяющих положение механизма в заданный момент времени и длины стержней указаны на рис. 10.25. Вычислим скорости точек B, C, D, E, F, H механизма и угловые скорости звеньев BD, DF, EH, FO. Проведем к кинематическому анализу механизма. 1. Кривошип ОА (ведущее звено механизма) вращается вокруг шарнира А. Вектор скорости точки В направлен перпендикулярно радиусу ОА по направлению дуговой стрелки 1 , вычислим модуль скорости точки А, рис.10.26: Рис. 10.26 см VA  oOA  2  30  60 . с 2. Шатун AD связан с кривошипом ОА шарниром А, рис. 10.27. У этого звена три характерные точки A, B, и D рис. 9.27. Направление вектора скорости точки D неизвестно. Ползун горизонтально, Рис. 10.27 скорости точки B движется следовательно, B направлен вектор также горизонтально. Таким образом, известны направления скоростей двух точек. Это позволяет определить положение точки МЦС (точка Р1) звена ABD : точка P1 находится на пересечении перпендикуляров, проведенных из точек B и C , к векторам VA и VC , вектор VD перпендикулярен радиусу P1D . Рассмотрим геометрию второго звена, рис. 10.27.  AB  BP1  60 см;   P1BС   AP1  AB 2  60 2  84,85.  . CD  30 см; CP1  60 см;   PСD  1  P1D  CD 2  CP12  302  602 =30 5 = 67,08см.  253 Вычислим угловую скорость и модули скоростей точек этого звена: VA 60      0,71c 1; 1  AP1 84,85   V V V ñì 1  A  C  DB  VB  1  BP1  0,71  60  42,6 ; AP1 BP1 DP1 ñ  ñì  V    P D  0,71  67,08  47,43 . 1 1  D ñ  Рассмотрим звено рис. BC, 10.28. Направление вектора скорости VB известно. Ползуны B и C – горизонты: перпендикуляры к ползунам параллельны друг другу, точка МЦС находится в бесконечности. Следовательно, звено BC совершает мгновенноРис. 10.28 поступательное движение – VC  VK  42,6 см . с Рассмотрим звено DF, рис. 10.29. Из геометрии задачи Вычислим угол  sin  BP1 60   0,89; DP1 67,08 cos   BD 30   0,45  DP1 67,08  Рис. 10.29 Тогда из  P2 DF , рис. 4.29: sin  DF DF 40  P2 D    44,94; P2 D sin 0,89 cos  P2 F  P2 F  P2 D  cos  44,94  0,45  20. P2 D Рассмотрим P2 EF : 254 P2 E  EF 2  P2 F 2  20 2  28,28 см. Вычислим модули скоростей точек этого звена. Запишем систему уравнений для скоростей этого звена: 2  VD 47,43   1,05; P2 D 44,94 cм  V    EP  1,05  28,28  29,7 ; E 2 2  VE VF с 2    EP2 FP2 V    FP  1,05  20  21 cм . 2 2  F с Стержень EH имеет общую точку со стержнем DG – точка Е. Рассмотрим это звено, рис. 10.30. Рис. 10.30 Рассмотрим геометрию этого звена:  3  34,64;  EL  EH cos 30  40  2   EHL    1  LH  EH sin 30  40   20;  2  EL  P3 L  34,64;   ELP3    EP3  EL 2  34,64  1,41  48,84. 255 P3H  P3L  LH  34,44  20  54,44 см. Вычислим угловую скорость звена EH и модуль скорости точки H. Запишем систему уравнений для скоростей этого звена: VE 29,7 рад      0,61 ; 3  EP 48,84 с V V 3 3  E  H    EP3 HP3 см VH  33  P3 H  0,61  54,44  33,21 . с  Вычислим угловую скорость вращения колеса. Имеем VH 33,21   3,3 c 1. R 10 Отметим векторы скорости и направление вращения звеньев на общей 4  схеме, рис. 10.31 Рис. 10.31 Результаты расчетов помещаем в таблицу 10.1 и таблицу 10.2. Таблица 10.1 Точка см V( ) с A B C D E F H 60 42,6 42,6 47,43 29,7 21 33,21 256 Таблица 10.2 Звено с 1 AB BD DG EH Диск о  2 1  0,71 2  1,05 3  0,61 4  3,3 10.6. Механические гидросооружения Историческая справка. Изобретение водяного колеса (четвертое тысячелетие до н. э.) привело изобретателей к созданию одного из первых надежных и простых механизмов, применение которых стало облегчать физический труд. Работа этих механизмов основано на вращении водяного колеса от воздействия потока воды на его лопасти. И одно из первых применений поднятия воды из реки для орошения земли и полей. Такие устройства представляли собой несколько черпаков, насаженных на обод: при вращении они погружались в воду, зачерпывали ее, а после поднятия вверх опрокидывали в желоб. Со временем люди стали строить водяные мельницы и использовать силу воды для получения перемалывания зерен и получения. Одна из древних водяных мельниц показана на рис. 10.32. Для передачи движения к устройству мельницы были изобретены двигатели с зубчатой передачей, которые делались из двух колес, соприкасающихся ободами. Как правило, использовались колесные зубчатые системы Рис. 10.32 различного диаметра, у которых оси вращения были параллельными, тем самым изобретатели смогли осуществить передачу и преобразование различных видов движения. Причем большее колесо должно совершить меньшее количество оборотов во столько раз, во сколько его диаметр превышает второе, малое. 257 Первые колесные зубчатые системы стали применять еще 2 тыс. лет назад. С тех пор изобретатели и механики смогли придумать множество вариантов зубчатых передач, использующих уже не только два, но и большее количество колес. Например, устройство водяной мельницы античной эпохи, описано Марком Витрувием в трактате "Десять книг по архитектуре" ("De architectura libri decem"). Марк Витрувий - римский архитектор и инженер. Ему принадлежит всемирно известный афоризм: "Архитектура - это прочность, польза и Марк Витрувий (Vitruvius - 1 в. до н. ) красота". Его трактат является единственной сохранившейся работой по античной архитектуре. Водяная мельница Витрувия (рис. 10.33) содержит три основных части: 1. Двигатель, состоящий из вертикального имеющего водяного лопатки, колеса, которые вращаются водой. 2. Передаточный механизм — второе вертикальное колесо с зубцами Рис. 10.33 (трансмиссия), которое вращает третье горизонтальное, называемое шестерней. 3. Исполнительный механизм, состоящий из двух жерновов: верхний приводится в движение шестерней и насажен на ее вертикальный вал. Зерно для получения муки засыпалось в ковш-воронку, расположенную над верхним жерновом. 258 Водяные колеса устанавливали в нескольких положениях по отношению к потоку воды: нижнебойные — на реках с большой скоростью течения; «висячие» конструкции, Рис. 10.34 устанавливаемые на свободном течении, погруженные в воду нижними лопастями, рис. 10.34. Впоследствии стали использовать среднебойные и верхнебойные виды водяных колес. Значение открытия водяной мельницы состояло в том, что был изобретен первый античный механизм, который в дальнейшем мог быть использован для промышленного производства, что стало важным этапом в истории развития техники. В древнерусских летописях упоминание о водяных колесах и мельницах встречается с 9 в. Конструирование механизмов с ведущим звеном типа водяного колеса, позволяет обеспечить выполнение разнообразных операций: - мелиорации и обеспечения водой посевов на полях; - лесопильное, в котором энергия воды использовалась для обработки древесины; - металлургия и обработка металла; - в горных производствах для обработки камней или другой породы; - в ткацкой и шерстяной мануфактурах; - для подъема воды из шахты и др. На пилорама, Рис. 10.35 рис. 10.35 в которой показана водяная энергию речных потоков с водяного колеса преобразовывают во вращательное и далее, во возвратно-поступательное движение пилы. Если течение реки достаточно сильное, то оно само может вращать водяное 259 колесо. Водяное колесо состоит из двух ободов одинакового диаметра, соединенных перегородками "лопатками", образующими ковши. Вода, попавшая в верхний ковш под действием силы тяжести, вращает колесо и выливается по мере движения вниз. Проведем к кинематический анализ водяной пилорамы. Кинематический анализ водяной пилорамы. Водяная пилорама – это гидротехническое сооружение, использующее гидроэнергию получаемую с водяного колеса преобразовывать вращательное движение в возвратнопоступательное, Рассмотрим водяную пилораму, состоящую из: водяного колеса, системы зубчатых шестеренок и кривошипно-шатунного механизма рис. 10.36. На горизонтальном валу с одного края закреплено водяное колесо, на другом - зубчатое колесо меньшего диаметра, приводящее в движение шес терню, закрепленную на вертикальном валу. С ней зубчатой передачей связана шестеренка, на ободе которой закреплен шарнирно шатун, который обеспечивает возвратно-поступательное движение пилы. Нарисуем расчетную схему водяной пилорамы, рис. 10.36. Рис. 10.36 Водяная пилорама состоит из вертикально расположенного мельничного колеса (1), зубчатой передачи (2), которая приводит в движение 260 кривошип кривошипно-шатунного механизма (3), шатун которого соединен с пилорамой. Постановка задачи. Потоки воды с определенной высоты H падают на лопасти водяного колеса и своим движением заставляют вращаться колесо вокруг своей оси с угловой скоростью о . Вычислить, с какой высоты должна падать вода, чтобы скорость пилорамы была 0