Первоначальные понятия и определения теории вероятностей

Тема 1. Первоначальные понятия и определения теории вероятностей. Лекция № 1. Пространства элементарных событий. План: § 1. Опытные основания. § 2. Пространство элементарных событий. События. § 3. Отношения между событиями. § 4. Дискретные пространства элементарных событий. § 5. Основные определения и допущения. § 6. Элементы комбинаторного анализа. § 1). Теория вероятностей как один из разделов математики приобретает практическую ценность и наглядный смысл в связи с изучением различных реальных или мыслимых опытов и явлений (например, бросание монеты, бросание кубика, выстрел из ружья, сдача колоды карт, наблюдение продолжительности жизни радиоактивного атома или человека и т. д.). Чтобы придать теории точный смысл, нужно условиться о том, что мы понимаем под возможными исходами рассматриваемого опыта или наблюдения. Поясним на примере: при бросании монеты не обязательно выпадает герб или решётка; монета может укатиться прочь или стать на ребро. Однако мы условимся рассматривать герб и решётку как единственно возможные исходы бросания монеты. Это соглашение упрощает теорию и не сказывается на возможностях её применения. Подобного рода упрощения часто неизбежны, так как невозможно безошибочно измерить результаты большинства опытов или наблюдений. Вывод 1: если мы хотим построить абстрактную модель опыта, мы должны сначала установить, что представляет собой возможный исход упрощенного (идеализированного) опыта. Для единства терминологии результаты опытов или наблюдений будут называться событиями. Так, будем говорить о событии, заключающемся в том, что из 5 брошенных монет более 3-х выпали гербом вверх. Аналогично, при бросании игрального кубика может произойти событие, состоящее в выпадении 2-х очков. Состав выборки («среди выбранных людей 5 голубоглазых») и результата измерения («сегодня 190С») также являются событиями. Условимся различать составные (или разложимые) события и элементарные (или неразложимые) события. Рассмотрим примеры: 1) Сказать, что сумма очков, выпавших при бросании двух игральных кубиков, равна 6 всё равно, что сказать, что опыт привёл к одному из исходов «(1, 5), или (2, 4), или (3, 3), или (4, 2), или (5, 1)». Это перечисление разлагает событие «сумма очков равна 6» на пять элементарных событий. 1 2) Рассмотрим возраст человека. Каждое частное значение х является элементарным событием, тогда как утверждение о том, что данному человеку за 50, описывает составное событие «x > 50». Вывод 2: каждое составное событие может быть разложено на элементарные события; другими словами, составное событие есть совокупность элементарных событий. Научный подход к изложению теории вероятностей требует, чтобы мы условились считать по определению, что каждый неразложимый исход (идеализированного) опыта представляется одним и только одним элементарным событием. Совокупность всех элементарных событий будем называть пространством элементарных событий, а сами эти события – точками этого пространства. Замечания: 1) все события, связанные с данным (идеализированным) опытом, могут быть описаны с помощью элементарных событий. 2) Далее, это основное соглашение будет формализовано. Задание 1: изучить и законспектировать (не менее 5) примеры из параграфа 2 (стр. 19 – 24). § 2). Из предыдущего параграфа ясно, что мы никогда не будем говорить о вероятностях вне связи с каким-нибудь пространством элементарных событий. Таким образом, понятия пространства элементарных событий и его точек являются первоначальными и неопределяемыми понятиями теории вероятностей. Он рассматриваются в любой задаче как данные. Природа элементарных событий нашу теорию не интересует. Пространство элементарных событий служит моделью идеализированного опыта, при этом: 1) О каком-либо событии А имеет смысл говорить лишь в том случае, если для любого исхода опыта известно, произошло или не произошло событие А. 2) Совокупность точек, представляющих все те исходы, при которых событие А происходит, полностью описывает это событие. 3) Обратно, произвольное заданное множество А, содержащее одну или более точек пространства элементарных событий, можно рассматривать как событие; оно происходит или не происходит в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит множеству А точка, представляющая исход опыта. Вывод 3: понятия «событие» и «элементарное событие» эквивалентны точечным множествам и точкам алгебры множеств. В терминах двух и более заданных событий можно определить новые события. Далее рассмотрим системы обозначений формальной алгебры событий, опираясь на понятия алгебры множеств. § 3). Предположим, что задано произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий Ω. 2 Определение 1. Будем называть невозможным и обозначать Ø такое событие А, которое не содержит элементарных событий. Определение 2.Событие, состоящее из всех точек Ω, не содержащихся в событии А, называется событием, противоположным событию А, и обозначается . С любыми двумя событиями А и В можно связать 2 новых события, определённых условиями «имеют место и А, и В» и «имеют место или А, или В, или и А и В». Эти события будут обозначаться, соответственно, АВ (А∩В) и А+В (АՍВ). Событие АВ содержит все точки, общие событиям А и В. Если события А и В взаимно исключают друг друга, то они не имеют общих точек Ω и событие АВ невозможно, т.е. АВ = Ø, которое читается «события А и В несовместны». Рассмотренные понятия переносятся на случай многих событий A, B, C, D, …. Определение 3. Любой совокупности событий A, B, C, … мы сопоставляем два новых события следующим образом: 1). Множество, состоящее из элементарных событий (точек), принадлежащих одновременно всем заданным событиям, будет обозначаться АВС… и называться произведением (или одновременным осуществлением) событий A, B, C, …. 2). Множество, состоящее из элементарных событий, каждое из которых принадлежит по крайней мере одному из заданных событий, будет обозначаться А+В+С+… и называться суммой (или осуществлением по крайней мере одного из заданных) событий A, B, C, …. 3). События A, B, C, …попарно несовместны (взаимно исключают друг друга), если никакие два из них не имеют общих точек, т. е. если АВ = Ø, АС = Ø, …, ВС = Ø, …. Нам также необходим символ для обозначения того, что событие А не может произойти, если не произошло В, или того, что событие В является следствием события А. Определение 4. 1). Если каждая точка события А содержится в событии В, то мы будем писать А ⸦ В и говорить, что событие А влечет за собой событие В. 2). С другой стороны, мы будем писать: В ⸧ А и говорить, что событие В является следствием события А. В этом случае мы будем также писать: В \ А вместо для обозначения того, что событие В произошло, а событие А не произошло. Замечание: Событие В \ А содержит все точки события В, не являющиеся точками события А. Очевидно, что: и А А = Ø. Примеры: 1) Если события А и В несовместны, то наступление события А влечет за собой ненаступление события В, и наоборот. Следовательно: 3 АВ = Ø ↔ А ⸦ и В ⸦ . 2) Событие А АВ означает, что произошло событие А, но не произошли одновременно события А и В. Поэтому А АВ = . Задание 2: разобрать пример в) (стр. 27). § 4). Простейшими пространствами элементарных событий являются те, которые содержат конечное число n точек. Если n достаточно мало, как в случае бросания нескольких монет, то Ω легко себе представить. Пространство элементарных событий при игре в бридж гораздо сложнее. Однако каждое элементарное событие можно изобразить какой-то фишкой, а затем рассматривать множество этих фишек как изображение пространства элементарных событий. Событие А (например, «первый игрок получил двух тузов») изображается некоторой группой фишек; событие тогда изображается остальными фишками. Этот пример можно обобщить на случай бесконечного числа фишек и пространство элементарных событий, состоящее из бесконечной последовательности точек E1, E2, Е3, … Определение 5. Пространство элементарных событий называется дискретным, если оно состоит лишь из конечного числа точек или из такого бесконечного числа точек, что они могут быть расположены в простую последовательность E1, E2, …(т. е. из счётного числа точек). Замечания:1). Не всякое ПЭС дискретно. Существует теорема, принадлежащая Г. Кантору, о том, что ПЭС, состоящее из всех положительных чисел, не дискретно. Здесь мы сталкиваемся с обстоятельством, известным в механике, где сначала рассматривают дискретные материальные точки, имеющие каждая конечную массу. Этой концепции противопоставляется непрерывное распределение массы, когда каждая отдельная точка имеет массу, равную нулю. Аналогично, вероятности событий в дискретном пространстве элементарных событий (ДПЭС) находят простым сложением, тогда как в других пространствах необходимо интегрирование. 2) Далее будет рассматривать только ДПЭС. Вероятности различных событий – это числа той же природы, что и расстояния в геометрии или массы в механике. Абстрактная теория предполагает, что они даны, и не нуждается ни в каких предположениях об их действительном числовом значении или о способе их измерения на практике. Бросая «правильную» монету, мы связываем вероятность ½ с выпадением герба или решётки. Это приводит к выводу, что при n бросаниях монеты все 2n возможных случаев равновероятны. С теоретической точки зрения – это допущение. Мы придерживаемся нашей модели «идеальной» монеты, хотя на самом деле правильных монет не существует. Мы сохраняем эту модель не столько ради её логической простоты, сколько в основном из-за её полезности в приложениях: во многих приложениях эта модель достаточно хорошо описывает действительность. 4 Задание 3: прочитать целиком параграф 6 (глава 1, стр. 30-33). Законспектировать примеры а) и в). § 5). Основное допущение. Пусть дано ДПЭС Ω с точками Е1, Е2, …. Мы допускаем, что с каждой точкой Еj связано число, называемое вероятностью элементарного события Еj и обозначаемое Р(Еj). Эти числа неотрицательны и таковы, что . Замечание: это допущение не исключает для некоторой точки возможность иметь вероятность, равную нулю. Определение 6. Вероятность Р(А) события А есть сумма вероятностей элементарных событий, составляющих событие А. Следствия из О6: 1). Основное уравнение (1) устанавливает, что вероятность всего ПЭС равна единице: Р(Ω) = 1. 2). Из (1) следует, что для любого события А: . Рассмотрим теперь два произвольных события А1 и А2. Чтобы вычислить вероятность Р(А1 + А2) того, что имеет место либо событие А1, либо событие А2, либо оба эти события одновременно; мы должны сложить вероятности всех точек, содержащихся либо в А1, либо в А2, считая, однако, каждую точку 1 раз. Поэтому ). Если Е – точка, содержащаяся одновременно и в А1, и в А2, то Р(Е) входит 2 раза в правую и 1 раз в левую часть неравенства (3). Следовательно, правая часть превосходит левую на величину Р(А1А2). Таким образом, доказана простая. Но важная теорема. Теорема 1. 1). Для любых двух событий А1 и А2 вероятность того, что имеет место либо событие А1, либо событие А2, либо оба эти события, задаётся формулой: ) – Р(А1А2). 2). Если А1А2 = Ø, т. е. если события А1 и А2 несовместны, то (4) превращается в ). Пример. Монета бросается 2 раза. Здесь ПЭС состоит из 4 точек: ГГ, ГР, РГ, РР и каждой из них сопоставляется вероятность ¼. Пусть А1 = «При первом бросании выпал герб» и А2 = «При втором бросании выпал герб». Тогда событие А1 состоит из точек: ГГ, ГР; а событие А2 – из точек: РГ, ГГ. Далее, событие А = А1 + А2 содержит три точки: ГГ, ГР, РГ; тогда как событие А1А2 состоит из единственной точки: ГГ. таким образом, Следствие из Т1. Неравенство (3), очевидно, выполняется и в общем случае. Тогда для произвольных событий А1, А2, … справедливо равенство: 5 (1) (2) (3) (4) (5) (6) ) + …. В частном случае, когда события А1, А2, … попарно несовместны, справедлива формула: (7) . Иногда неравенство (6) называется неравенством Буля. Вывод 4: важно понимать, что для начала мы исследуем простой частный случай, когда ПЭС состоит из конечного числа N точек, вероятность каждой из которых 1/N. В этом случае вероятность какого-либо события А равна числу точек, входящих в А, делённому на N. Таким образом, в старой литературе элементарные события назывались «случаями», а точки, входящие в А – «благоприятными для А случаями». Тогда, при условии, что все элементарные события равновероятны, вероятность события А равна отношению числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев. Но, в общем случае последнее утверждение не «определяет» вероятность, так как в любом конечном ПЭС вероятности всех элементарных событий не обязательно равны между собой. Так, при единственном бросании неправильной монеты ПЭС попрежнему содержит всего две точки (герб и решётку), но эти элементарные события могут имеет произвольные вероятности p и q, лишь бы выполнялось: p + q = 1. Новорожденный может быть либо мальчиком, либо девочкой, но в приложениях нам приходится допускать, что эти две возможности не равновероятны. Вообще говоря, применение пространств с равновероятными элементарными событиями почти полностью ограничены азартными играми и комбинаторикой. § 6). Задание 4: разобрать материал указанного параграф главы 2, подготовить презентацию и выступить с ней. 6