Переходные процессы в электрических цепях

62 Лекция 7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 1. Введение. 2. Индуктивный и емкостный элементы. 3. Законы коммутации и начальные условия. 4. Заключение. 1. Введение До сих пор мы рассматривали цепи, состоящие из резистивных элементов. Поведение таких цепей описывается функциональными уравнениями (в случае линейных резистивных цепей – системой линейных алгебраических уравнений), а токи и напряжения зависят только от текущих значений входных воздействий. Перейдем к изучению цепей, содержащих, кроме резистивных, индуктивные и емкостные элементы. Поведение таких цепей описывается системами дифференциальных уравнений. Цепи, или системы, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями, называют динамическими. С помощью подстановок и замены переменных систему дифференциальных уравнений можно привести к одному дифференциальному уравнению n-го порядка. Порядок уравнения в общем случае равен суммарному числу индуктивных и емкостных элементов. Простейшими являются цепи первого порядка, содержащие один индуктивный или емкостный элемент. Рассмотрение процессов в таких цепях начнем с изучения свойств индуктивного и емкостного элементов. 2. Индуктивный и емкостный элементы Индуктивным называют идеализированный двухполюсный элемент, поведение которого определяется зависимостью между током и потокосцеплением:   f i . (7.1) Такая зависимость называется вебер-амперной характеристикой. В индуктивном элементе происходит запасание магнитной энергии, связанное с прохождением тока, потери и запасание электрической энергии отсутствуют. Графическое изображение индуктивного элемента показано на рис. 7.1. Согласно закону электромагнитной индукции напряжение индуктивного элемента пропорционально скорости изменения потокосцепления: uL  d dt . (7.2) 63 Из уравнения (7.2) следует, что потокосцепление ψ – непрерывная величина. Действительно, при скачкообразном изменении потокосцепления напряжение индуктивного элемента будет бесконечно большим. Рис. 7.1 Рис. 7.2 Прототипом линейного индуктивного элемента является катушка, намотанная на тороидальный сердечник из неферромагнитного материала. Потокосцепление такой катушки пропорционально току, и формулу (7.1) можно записать в виде   Li . (7.3) Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью. Единица измерения индуктивности – генри (Гн). Из (7.2) и (7.3) следует, что при L = const напряжение индуктивного элемента di uL  L L dt . (7.4) Напряжение индуктивного элемента зависит не от величины тока, а от скорости его изменения. Если ток постоянный, напряжение на зажимах индуктивного элемента равно нулю. Это эквивалентно короткому замыканию выводов элемента. Другое следствие уравнения (7.4) заключается в том, что при неизменной индуктивности L ток индуктивного элемента не может изменяться скачком. Иными словами, в любой момент времени t iL t    iL t   . Таким образом, в момент t индуктивный элемент эквивалентен источнику тока (рис. 7.2). Из уравнения (7.4) получим, что ток индуктивного элемента  t iL t    u L  d L t  . (7.5) В последнем уравнении предполагается, что iL    0 . Интеграл в формуле (4.5) можно представить в виде суммы двух слагаемых: 64 iL t   1 0 1 t 1 t       u  d   u  d   i  L  L  L  u L  d L t  L t 0 L t 0 . (7.6) Здесь iL 0 – ток индуктивного элемента в момент начала наблюдения. Таким образом, из уравнений (7.5) и (7.6) следует, что ток индуктивного элемента в момент времени t зависит от изменения напряжения u L t  в предшествующие моменты времени. Емкостным называют двухполюсный элемент, поведение которого определяется зависимостью между напряжением uC и зарядом Q . Такая зависимость называется кулонвольтной характеристикой. Графическое изображение емкостного элемента показано на рис. 7.3. В идеальном емкостном элементе происходит запасание электрической энергии, связанное с прохождением тока, потери и запасание магнитной энергии отсутствуют. Для линейного емкостного элемента зависимость между uC и Q имеет вид Q  Cu С . (7.7) Коэффициент пропорциональности С называют емкостью. Единицей измерения емкости является фарада (Ф). Из (7.7) следует, что при C = const ток емкостного элемента iC  Рис. 7.3 du dQ C С dt dt . (7.8) Рис. 7.4 Если напряжение постоянно, то ток идеального конденсатора равен нулю. Иными словами, емкостный элемент представляет разрыв цепи при постоянном напряжении на его зажимах. Из (7.8) следует также, что напряжение емкостного элемента при C  const не может изменяться скачком, т. е. в момент времени t uC t    uC t   . Таким образом, в момент t емкостный элемент эквивалентен источнику напряжения (рис. 7.4). В соответствии с (7.8) напряжение емкостного элемента 65 1 t uC t    iC  d . C t  (7.9) Интеграл в (7.9) можно представить в виде суммы двух слагаемых:  t    t  t uC t    iC d  C  iC d  C  iC d  uC   C  iC  d C t  t  t  t  . Здесь 1 0 uC 0   iC  d C t  – напряжение емкостного элемента в момент начала наблюдения. Итак, напряжение емкостного элемента в момент времени t зависит от изменения тока iC t  в предшествующие моменты времени. 3. Причины возникновения переходных процессов. Законы коммутации и начальные условия В электрических цепях могут происходить включения или отключения отдельных ветвей либо внезапные изменения входного воздействия. Такие изменения называют коммутациями. Считают, что коммутация осуществляется с помощью идеального ключа. Идеальный ключ представляет двухполюсник, сопротивление которого равно нулю, если ключ замкнут, и равно бесконечности, если ключ разомкнут. Время замыкания или размыкания ключа считают бесконечно малым. В резистивных цепях, которые содержат только элементы, описываемые алгебраическими уравнениями, переход из одного состояния в другое происходит мгновенно. Однако в цепях с индуктивными и емкостными элементами переходный процесс мгновенно завершиться не может. Причина L iL2 заключается в том, что энергия wL  , запасаемая в магнитном поле ин2 C uC2 дуктивного элемента, и энергия wC  , запасаемая в электрическом поле 2 емкостного элемента, не могут изменяться мгновенно. Характер переходных процессов зависит от многих факторов, в частности от числа индуктивных и емкостных элементов, конфигурации цепи, 66 формы токов и напряжений источников и т. д. Подробнее эти вопросы рассмотрены в последующих параграфах и гл. 5. Принято рассматривать коммутацию как начало отсчета времени. Иными словами, полагают, что коммутация происходит в момент времени t  0 . Поскольку токи индуктивных и напряжения емкостных элементов являются непрерывными функциями времени, то в момент коммутации справедливы равенства: iL    iL   ; uC    uC   . Эти равенства называют законами коммутации. Итак, в начальный момент после коммутации токи индуктивных элементов и напряжения емкостных элементов остаются такими же, какими они были перед коммутацией, а затем плавно изменяются. Подчеркнем, что условие непрерывности справедливо только для токов iL и напряжений uC . Напряжения индуктивных и токи емкостных элементов, так же как напряжения и токи резистивных элементов, «имеют право» изменяться скачком. Значения тока индуктивного и напряжения емкостного элементов в момент коммутации называют независимыми начальными условиями. Именно эти токи и напряжения, а также независимые источники, определяют режим цепи в первый момент после коммутации. Если в момент коммутации токи всех индуктивных и напряжения всех емкостных элементов равны нулю, то соответствующие начальные условия называют нулевыми. В противном случае начальные условия являются ненулевыми. а б Рис. 7.5 При t  0  индуктивный элемент можно заменить независимым источником тока, а емкостный – источником напряжения (рис. 7.5, а, б). Такая замена упрощает расчет послекоммутационного режима, поскольку мы получаем резистивную цепь, описываемую алгебраическими уравнениями. При нулевых начальных условиях емкостный элемент эквивалентен короткому замыканию, а индуктивный – разрыву (рис. 7.6, а, б). 67 а б Рис. 7.6 В отдельных случаях переходные процессы могут сопровождаться нежелательными явлениями. На отдельных участках цепи могут возникать повышенные напряжения или наблюдаться увеличение токов. Расчет и изучение переходных процессов позволяют разработать меры по уменьшению длительности и интенсивности таких явлений. Однако в цепях, которые служат для передачи и обработки информации, переходный режим является основным. Поэтому изучение методов расчета переходных процессов имеет исключительно важное значение для правильного понимания процессов передачи и преобразования информации, принципов работы узлов ЭВМ и систем автоматического управления. 4. Заключение 1. 2. 3. 4. 5. Поведение цепей с индуктивными и емкостными элементами описывается дифференциальными уравнениями. Цепи или системы, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями, называют динамическими. Индуктивным называют идеализированный двухполюсный элемент, поведение которого определяется зависимостью между током и потокосцеплением – вебер-амперной характеристикой. В идеальном индуктивном элементе происходит запасание магнитной энергии, связанное с прохождением тока, потери и запасание электрической энергии отсутствуют. Емкостным называют двухполюсный элемент, поведение которого определяется зависимостью между напряжением u C и зарядом Q – кулонвольтной характеристикой. В идеальном емкостном элементе происходит запасание электрической энергии, связанное с прохождением тока, потери и запасание магнитной энергии отсутствуют. Переходные процессы в электрических цепях возникают в результате коммутаций – включения или отключения отдельных ветвей либо внезапных изменений входного воздействия. Значения тока индуктивного и напряжения емкостного элементов в момент коммутации называют независимыми начальными условиями.