Парный регрессионный анализ

Парный регрессионный анализ Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x , т. е. модель вида: y = f ( x) , где y – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая, или объясняющая, переменная (признак-фактор). Знак «^» означает, что между переменными x и y нет строгой функциональной зависимости, поэтому практически в каждом отдельном случае величина y складывается из двух слагаемых: y = yx +  , где y – фактическое значение результативного признака; y x – теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии;  – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии. Случайная величина  называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных, особенностями измерения переменных. От правильно выбранной спецификации модели зависит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей мере теоретические значения результативного признака y x , подходят к фактическим данным y . К ошибкам спецификации относятся неправильный выбор той или иной математической функции для y x и недоучет в уравнении регрессии какоголибо существенного фактора, т. е. использование парной регрессии вместо множественной. Наряду с ошибками спецификации могут иметь место ошибки выборки, которые имеют место в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности, что, как правило, бывает при изучении экономических процессов. Если совокупность неоднородна, то уравнение регрессии не имеет практического смысла. Для получения хорошего результата обычно исключают из совокупности единицы с аномальными значениями исследуемых признаков. И в этом случае результаты регрессии представляют собой выборочные характеристики. Использование временной информации также представляет собой выборку из всего множества хронологических дат. Изменив временной интервал, можно получить другие результаты регрессии. Наибольшую опасность в практическом использовании методов регрессии представляют ошибки измерения. Если ошибки спецификации можно уменьшить, изменяя форму модели (вид математической формулы), а ошибки выборки – увеличивая объем исходных данных, то ошибки измерения практически сводят на нет все усилия по количественной оценке связи между признаками. Особенно велика роль ошибок измерения при исследовании на макроуровне. Так, в исследованиях спроса и потребления в качестве объясняющей переменной широко используется «доход на душу населения». Вместе с тем, статистическое измерение величины дохода сопряжено с рядом трудностей и не лишено возможных ошибок, например, в результате наличия скрытых доходов. Предполагая, что ошибки измерения сведены к минимуму, основное внимание в эконометрических исследованиях уделяется ошибкам спецификации модели. В парной регрессии выбор вида математической функции y x = f ( x ) может быть осуществлен тремя методами: 1) графическим; 2) аналитическим, т.е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи; 3) экспериментальным. При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей, представлены на рис. 1.1: yx = a + b  x yx = a + b x y x = a + b  x + c  x2 y x = a + b  x + c  x 2 + d  x3 yx = a  bx y x = a  xb Рис. 1.1. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей между двумя переменными. Значительный интерес представляет аналитический метод выбора типа уравнения регрессии. Он основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков. При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения регрессии обычно осуществляется экспериментальным методом, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии  ост , рассчитанной при разных моделях. 2 Если уравнение регрессии проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при функциональной связи, когда все точки лежат на линии регрессии y x = f ( x ) , то фактические значения результативного признака совпадают с теоретическими y = y x , т.е. они полностью обусловлены влиянием фактора x . В этом случае остаточная дисперсия 2  ост = 0. В практических исследованиях, как правило, имеет место некоторое рассеяние точек относительно линии регрессии. Оно обусловлено влиянием прочих, не учитываемых в уравнении регрессии, факторов. Иными словами, имеют место отклонения фактических данных от теоретических ( y − y ) . Величина этих x отклонений и лежит в основе расчета остаточной дисперсии: 2  ост = ( 1  y − yx n ). 2 Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем меньше влияние не учитываемых в уравнении регрессии факторов и тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным. Считается, что число наблюдений должно в 7-8 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной x . Это означает, что искать линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла. Если вид функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений, ибо каждый параметр при x должен рассчитываться хотя бы по 7 наблюдениям. Значит, если мы выбираем параболу второй степени y x = a + b  x + c  x 2 , то требуется объем информации уже не менее 14 наблюдений. 1.1. Линейная модель парной регрессии и корреляции Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида y x = a + b  x или y = a + b  x +  . (1.1) Уравнение вида y x = a + b  x позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x . Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических y x минимальна: ( y − y n i =1 i ) =  2 xi n i =1 2 i → min . (1.2) Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2): Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков. Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю. Обозначим  2 i через S ( a, b ) , i тогда: S ( a, b ) = ( y − a − b  x ) . 2  S  a = −2 ( y − a − b  x ) = 0;   S = −2 x ( y − a − b  x ) = 0.  b (1.3) После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров a и b : a  n + b   x =  y;  2 a   x + b   x =  x  y. (1.4) Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров a и b . Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.4): a = y −b x , b= cov ( x, y )  x2 , ______ (1.5) где cov ( x, y ) = y  x − y  x – ковариация признаков x и y , ____ 2  = x − x2 – 2 x дисперсия признака x и ____ ______ 1 1 1 1 x =  x , y =  y , y  x =  y  x , x2 =  x2 . n n n n Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности1. Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях. Формально a – значение y при x = 0 . Если признак-фактор x не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена a не имеет смысла, т.е. параметр a может не иметь экономического содержания. Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy , который можно рассчитать по следующим формулам: rxy = b   x cov ( x, y ) = . y  x  y (1.6) Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: −1  rxy  1 . Чем ближе абсолютное значение rxy к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при rxy = 1 имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной. Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат 2 линейного коэффициента корреляции rxy , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака y , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака: 2  ост r = 1− 2 , y 2 xy где  ост = 2 ( 1  y − yx n (1.7) ) , 2 Соответственно величина 2 y = 1 2 ( y − y ) = y2 − y 2 .  n 1 − rxy2 характеризует долю дисперсии вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов. y, После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров. Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации: A= y − yx 1 100% .  n y (1.8) Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%. Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной y от среднего значения y раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»: ( y − y ) где ( y − y ) 2 2 ( =  yx − y ) 2 ( +  y − yx ), 2 – общая сумма квадратов отклонений; ( y x −y ) 2 – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); ( y − y x ) 2 – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов. Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.1 ( n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x ). Таблица 1.1 Компоненты дисперсии Сумма квадратов Общая ( y − y ) ( y Факторная x −y ( y − y Остаточная x Число степеней свободы n −1 2 ) ) Дисперсия на одну степень свободы 2 Sобщ = 2 m 2 n − m −1 2 Sфакт = 2 Sост = ( y − y ) n −1 ( y ( x −y m y − yx 2 ) ) 2 2 n − m −1 Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F -критерия Фишера: F= 2 Sфакт 2 Sост . (1.9) Фактическое значение F -критерия Фишера (1.9) сравнивается с табличным значением Fтабл ( ; k1 ; k2 ) при уровне значимости  и степенях свободы k1 = m и k2 = n − m − 1. При этом, если фактическое значение F -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом. Для парной линейной регрессии m = 1, поэтому y − y) (  =  ( n − 2) . ( y − y ) 2 F= S 2 факт 2 ост S x (1.10) 2 x 2 Величина F -критерия связана с коэффициентом детерминации rxy , и ее можно рассчитать по следующей формуле: F= rxy2 1 − rxy2  ( n − 2) . (1.11) В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: mb и ma . Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле: mb = где Sост = 2 2 Sост ( x − x ) ( y − yx n−2 ) 2 = Sост , x  n (1.12) 2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы. Величина стандартной ошибки совместно с t -распределением Стьюдента при n − 2 степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала. Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t -критерия Стьюдента: tb = b которое затем сравнивается с mb табличным значением при определенном уровне значимости степеней свободы ( n − 2) .  и числе Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как b  tтабл  mb . Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного признака y при увеличении признака-фактора x ( b  0 ), уменьшение результативного признака при увеличении признака-фактора ( b  0 ) или его независимость от независимой переменной ( b = 0 ) (см. рис. 1.3), то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, −1,5  b  0,8 . Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть. Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра b . Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле: x  n  ( x − x ) 2 ma = S 2 ост 2 = Sост  x 2 x n . (1.13) Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется t -критерий: ta = a , его величина сравнивается с табличным значением при n − 2 ma степенях свободы. Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции mr : 1− r2 mr = . n−2 (1.14) Фактическое значение t -критерия Стьюдента определяется как tr = r . mr Существует связь между t -критерием Стьюдента и F -критерием Фишера: tb = t r = F . В прогнозных (1.15) расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое y p значение как точечный прогноз y x при x p = xk , т.е. путем подстановки в уравнение регрессии y x = a + b  x соответствующего значения x . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки y p , т.е. m y , и соответственно p интервальной оценкой прогнозного значения y p : yp − y  yp  yp + y , p где p  y = my  tтабл , а p my p – средняя ошибка прогнозируемого p индивидуального значения: my = Sост  1 + p 1 + n ( xp − x ) n   x2 2 . (1.16) Рассмотрим пример. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи. Таблица 1.2 Расходы на продукты питания, y , тыс. руб. Доходы семьи, x , тыс. руб. 0,9 1,2 1,8 2,2 2,6 2,9 3,3 3,8 1,2 3,1 5,3 7,4 9,6 11,8 14,5 18,7 Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции. Рис. 1.4. По графику видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую линию. Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу. Таблица 1.3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Итого Среднее значение   2 ( ) 2 x y x y x2 y2 yx y − yx 2 1,2 3,1 5,3 7,4 9,6 11,8 14,5 18,7 71,6 3 0,9 1,2 1,8 2,2 2,6 2,9 3,3 3,8 18,7 4 1,08 3,72 9,54 16,28 24,96 34,22 47,85 71,06 208,71 5 1,44 9,61 28,09 54,76 92,16 139,24 210,25 349,69 885,24 6 0,81 1,44 3,24 4,84 6,76 8,41 10,89 14,44 50,83 7 1,038 1,357 1,726 2,079 2,449 2,818 3,272 3,978 18,717 8 –0,138 –0,157 0,074 0,121 0,151 0,082 0,028 –0,178 –0,017 9 0,0190 0,0246 0,0055 0,0146 0,0228 0,0067 0,0008 0,0317 0,1257 10 15,33 13,08 4,11 5,50 5,81 2,83 0,85 4,68 52,19 8,95 2,34 26,09 110,66 6,35 2,34 – 0,0157 6,52 – – – – – – – – – – – – – – 5,53 0,935 30,56 0,874 y − yx Ai , % Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии y x = a + b  x . Для этого воспользуемся формулами (1.5): b= cov ( x, y )  x2 = x y − x  y x2 − x 2 = 26,09 − 8,95  2,34 = 0,168 ; 30,56 a = y − b  x = 2,34 − 0,168  8,95 = 0,836 . Получили уравнение: y x = 0,836 + 0,168  x . Т.е. с увеличением дохода семьи на 1000 руб. расходы на питание увеличиваются на 168 руб. Как было указано выше, уравнение линейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции rxy : rxy = b  x 5,53 = 0,168  = 0,994 . y 0,935 Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками. Коэффициент детерминации rxy = 0,987 2 (примерно тот же результат получим, если воспользуемся формулой (1.7)) показывает, что уравнением регрессии объясняется 98,7% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,3%. Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F -критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение F -критерия: F= rxy2 1− r 2 xy  ( n − 2) = 0,987  6 = 455,54 . 1 − 0,987 Табличное значение ( k1 = 1 , k2 = n − 2 = 6 ,  = 0,05 ): Fтабл = 5,99 . Так как Fфакт  Fтабл , то признается статистическая значимость уравнения в целом. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и (   S 2 =  y − yx  ост n−2   mb = ) 2 коэффициента корреляции  0,1257 = = 0, 021 : 8−2   Sост 0,021 = = 0,0093 ,  x  n 5,53  8 ma = Sост  x 2 x n = 0,021  885,24 = 0,0975 , 5,53  8 1− r2 1 − 0,987 mr = = = 0,0465 . n−2 6 Фактические ta = значения t -статистик: tb = 0,168 = 18,065 , 0,0093 0,994 0,836 = 21,376 . Табличное значение t -критерия = 8,574 , tr = 0,0465 0,0975 Стьюдента при  = 0,05 и числе степеней свободы  = n − 2 = 6 есть tтабл = 2,447 . Так как tb  tтабл , ta  tтабл и tr  tтабл , то признаем статистическую значимость параметров регрессии и показателя тесноты связи. Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b : a  t  ma и b  t  mb . Получим, что a   0,597; 1,075 и b   0,145; 0,191 . Средняя ошибка аппроксимации (находим с помощью столбца 10 таблицы 1.3; Ai = yi − y xi yi 100% ) A = 6,52% говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным. И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора y p при значении признака-фактора, составляющем 110% от среднего уровня x p = 1,1  x = 1,1 8,95 = 9,845 , т.е. найдем расходы на питание, если доходы семьи составят 9,85 тыс. руб. y p = 0,836 + 0,168  9,845 = 2,490 (тыс. руб.) Значит, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб., то расходы на питание будут 2,490 тыс. руб. Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза  1 ( 9,845 − 8,95 )2  1 ( xp − x ) = Sост  1 + + = 0,021 1 + +  = 0,154 ,  8  n n   x2 8  30,56   2 my p а доверительный интервал ( y p −  y  y p  y p +  y ): p p 2,113  y p  2,867 . Т.е. прогноз является статистически надежным. Теперь на одном графике изобразим исходные данные и линию регрессии: Рис. 1.5.