Отношения на множестве.

Лекция 7. Тема : Отношения на множестве. Цель: рассмотреть основные отношения между множествами, свойства отношений , формулы для задания отношений. План лекции: 1. Понятие отношения на множестве. 2. Свойства отношений. 3.Отношение эквивалентности и порядка. 1. В математике изучают не только связи между элементами двух множеств, т.е. соответствия, но и связи между элементами одного множества. Называют их отношениями. Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными; отношения между тремя элементами – тернарными; отношения между n элементами – n – арными. Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. Чтобы определить общее понятие бинарного отношения на множестве рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = {2, 4,6 ,8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел на множестве Х можно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6, 2<8, 4< 6, 4<8, 6<8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2,6), (2,8), (4,6), (4,8), (6,8). Но все эти пары есть элементы декартова произведения Х х Х, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве Х, можно сказать, что оно является подмножеством множества Х х Х. Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х х Х. Отношения обозначают буквами: R, S, T, P и др. Если R –отношения на множестве Х, то согласно определению: RX x X. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записать так: ( х, у) R или х R y. Последняя запись читается так: « элемент х находится в отношении R с элементом у.» Отношения задают так же, как соответствия: перечислив пары элементов множество Х, находящихся в этом отношении. Форма представления таких пар могут быть различными, аналогично формам задания соответсвует. Отличия касаются задания отношений при помощи графа. Например, построим граф отношения «меньше», заданного на множестве Х = {2, 4,6 ,8}. Для этого элементы множества Х изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» - стрелкой ( рис.1) Рис.1. На том же множестве Х можно рассмотреть другое отношение – «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе (рис.2). Рис. 2. Отношение можно задать при помощи предложения с двумя переменными. Так, например, заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений «число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записывать, используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было задать в таком виде: «х < y», «х : у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 ( или х – у = 3). Для отношения R, заданного на множестве Х, всегда можно задать отношение R-1, ему обратное, - оно определяется так же, как соответствие, обратное данному. Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например при выборе действия с помощью которого решается задача. 2. Бинарное отношение на множестве Х представляет собой множество упорядоченных пар элементов декартово произведения Х х Х, поэтому отношения обладают определенными свойствами. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой. Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: R рефлексивно на Х Û х R х для любого х Х. Если отношение R рефлексивно на множестве Х, то в каждой вершине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное утверждение. не обладают. Например, отношение перпендикулярности на множестве отрезков. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если для различных элементов х и у их множества Х выполнено условие:из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом у. Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: R симметрично на Х Û ( х R у Þ у R х). Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку идущую от у к х. Справедливо и обратное утверждение. Приведем примеры симметричных отношений: отношение перпендикулярности, параллельности на множестве прямых, отношение равенства, отношение подобия треугольников. Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Например, отношение длиннее на множестве отрезков. Про отношения длиннее говорят, что оно обладает свойством антисимметричности. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у их множества Х выполнено условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится. Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: R антисимметрично на Х Û ( х R у х ≠ у Þ у R х). Граф анти симметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна Справедливо и обратное утверждение. К примерам отношений, обладающих свойством антисимметричности, относятся отношения «быть длиннее» на множестве отрезков, «больше», «меньше» для чисел. Существуют отношения, не обладающие ни свойством симметричности ни свойством антисимметричности. Обратим внимание еще на одну особенность графа отношения «длиннее»:если первый отрезок длиннее второго, а второй- длиннее третьего, то первый- длиннее третьего. Говорят, что это отношение обладает свойством транзитивности или транзитивно. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z. Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: R транзитивно на Х Û ( х R у уR z Þ x R z) Если отношение R транзитивно на множестве Х, то граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от x к y и от y к z ,содержит стрелку, идущую от x к z. Справедливо и обратное утверждение. Примеры транзитивных отношений: отношение «кратно», отношение подобия треугольников. Существует отношения, которые свойством транзитивности не обладают. Например, отношение перпендикулярности на множестве. Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и у из множества Х выполняется условие: из того, что х и у различны, следует, что либо элемент х находится в отношении R с элементом у , либо элемент у находится в отношении R с элементом х. Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: R связано на Х Û (х ≠ у Þ х R у уR x ). Например, свойством связанности обладают отношения «больше» для натуральных чисел. 3.Рассмотрим на множестве дробей X={ }отношение равенства. Это отношение: -рефлексивно, так как всякая дробь равна сама себе; -симметрично, так как из того, что дробь равна дроби, следует, что дробь равна дроби ; -транзитивно, так как из того, что дробь равна дроби и дробь равна дроби следует, что дробь равна дроби. Про отношение равенства дробей говорят, что оно является отношением эквивалентности. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Примерами отношений эквивалентности могут служить отношении равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых, отношение подобия треугольников. Для отношения эквивалентности верно следующее утверждение: Если на множестве Х задано отношение эквивалентности , то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности). Верно и обратное утверждение( сформулировать самостоятельно). Итак, имея отношение эквивалентности на некотором множестве, мы можем разбить это множество на классы. Можно поступить и наоборот. Важным видом отношений является отношение порядка. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Примерами отношения порядка могут служить отношения «меньше» на множестве натуральных чисел; отношение «короче» на множестве отрезков, поскольку они антисимметричны и транзитивны. Если отношение порядка обладает еще свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка.Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел обладает свойствами антисимметричности, транзитивности и связанности, поэтому оно –отношение линейного порядка. Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка. Так, например множество натуральных чисел можно упорядочить , если задать на нем отношение «меньшею» Вопросы для самоконтроля: 1.Назовите виды отношений. 2.Сформулируйте основные свойста отношения «больше.» 3.Что называется отношением линейного порядка? 4.Какое множество называется упорядоченным? 5.Каковы способы задания отношения порядка?