Справочник от Автор24
Высшая математика

Конспект лекции
«Нечеткие множества и моделирование в условиях неопределенности. Произведение отношений на нечетких множествах»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по высшей математике / Нечеткие множества и моделирование в условиях неопределенности. Произведение отношений на нечетких множествах

Выбери формат для чтения

docx

Конспект лекции по дисциплине «Нечеткие множества и моделирование в условиях неопределенности. Произведение отношений на нечетких множествах», docx

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Нечеткие множества и моделирование в условиях неопределенности. Произведение отношений на нечетких множествах». docx

txt

Конспект лекции по дисциплине «Нечеткие множества и моделирование в условиях неопределенности. Произведение отношений на нечетких множествах», текстовый формат

Лекция 3. Лабораторная работа 2 Нечеткие множества и моделирование в условиях неопределенности Отношения на нечетких множествах Пусть даны нечеткие множества Х и Y. Нечеткое отношение между нечеткими множествами Х и Y представляет собой бинарное отношение, обозначаемое R: Х→Y и описываемое с помощью функции принадлежности от двух переменных R = µR(x,y)/(x,y), где функция принадлежности двух переменных в зависимости от постановки задачи показывает предпочтение или сходство различных элементов х и у из множеств Х и Y. Пример 1. Пусть Х = {x1, x2, x3}, Y= {y1, y2, y3}. Тогда отношение сходства элементов множеств Х и Y (попарного сходства) можно записать в форме (виде) нечеткого множества: сходство = {0,8/(x1,y1); 0,6(x1,y2); 0,3(x1,y3); 0,2(x2,y1); 0,9(x2,y2); 0,8(x2,y3); 0,5(x3,y1); 0,7(x3,y2); 0,7(x3,y3)} или в более удобной матричной форме с помощью матрицы отношений: 0,8 0,6 0,3 R (сходство) = 0,2 0,9 0,8 0,5 0,7 0,7 В реальных задачах примером бинарного отношения сходства может служить оценка фруктов по степени сладости, что, естественно, весьма субъективно. Пусть, например, Х = {яблоко, груша}, Y = {айва, апельсин}. Сравнивая их сладость, вероятней всего будем полагать грушу и апельсин наиболее близкими, нежели грушу и айву. Сравнивая «полезность для организма» мы можем получить совершенно иные оценки. Допустим, мы оценили сходство по степени сладости зрелых фруктов из множеств Х и Y следующим образом (субъективно!): Сходство = {0,7/(яблоко, айва); 0,6/(яблоко, апельсин); 0,3/(груша, айва); 0,9/(груша, апельсин)}. В форме матрицы отношений эта запись будет выглядеть как R = . Другим, также часто используемым отношением, мы отметили отношение предпочтения. Допустим мы строим дом и для различных его частей (стен, кровли, внутренней отделки и пр.) решаем проблему выбора материалов на основе отношения предпочтения из доступных множеств Х и Y, Y и Z, которые включают в себя в качестве элементов такие материалы: Х = {брус, кирпич, пенобетон}, Y = {железо, мягкая кровля, черепица} и Z = {гипсокартон, ракушечник, штукатурка}. Задание 1. Самостоятельно задать нечеткие бинарные отношения предпочтения между множествами Х и Y (обозначьте как R = Х → Y), затем между Y и Z (обозначьте как S = Y → Z) в форме нечетких множеств с бинарными отношениями и в форме матрицы отношений с указанием субъективных значений бинарного отношения предпочтения между элементами множеств. Произведение отношений на нечетких множествах В реальных задачах часто возникает ситуация, когда имея отношения между парами нечетких множеств, например, между множествами Х и Y, между множествами Y и Z, необходимо установить бинарное нечеткое отношение между Х и Z. Одним из возможных вариантов задания такого бинарного отношения выступает операция произведения отношений. Пусть нам заданы два бинарных нечетких отношения R = Х → Y и S = Y → Z. Тогда отношение Х → Z будем понимать как операцию произведения отношений R и S и обозначать R ° S, определяя значение результата операции как максиминное произведение вида: R ° S = {max(min(µ R (x, y), µ S (y, z)))/(x, z)}. Поскольку каждое из представленных отношений R и S мы можем выражать в форме матрицы отношений (для R это матрица отношений элементов нечетких множеств Х и Y, для S – это матрица отношений множеств Y и Z), то операцию R ° S можно понимать как известное из курса линейной алгебры произведение матриц. Отличие будет лишь в том, что если в обычном произведении матриц элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки первой матрицы и j-го столбца второй, то в нашем случае максиминное произведение заменяет операцию умножения элементов на операцию выбора min (минимального элемента из сравниваемых), а операцию сложения элементов на операцию выбора max (максимального элемента из сравниваемых). Рассмотрим это на примере. Пусть R = и S = . Тогда R ° S = = = = =. Задание 2. Самостоятельно найти произведение бинарных отношений предпочтения между множествами Х и Z, как максиминное произведение отношений R ° S из задания 1 в матричной форме. Подсказка: результат должен быть в форме матрицы 3х3, где каждый из элементов определяется как максимальный из трех минимальных; минимальный определяется сравнением значений заданных бинарных отношений предпочтения. Простые и составные правила вывода на нечетких множествах С использованием различных нечетких множеств А, В и С могут применяться как простые, так и составные правила вывода, более известные нам из математической логики. Например, простое высказывание «если А, то В» в терминах, определенных на нечетких множествах, может звучать как «если дорога скользкая, то езда опасная». Более сложное высказывание «если А, то В, иначе С» в терминах, определенных на нечетких множествах, может звучать как «если дорога скользкая, то езда опасная, иначе не опасная». Простое высказывание можно определить с помощью простого правила вывода и реализовать одной из известных нам по лекции 1 операций над нечеткими множествами. Например: Если А, то В = АхВ, где х - операция декартовое произведение А и В. Более сложное высказывание «если А, то В, иначе С» определяется составным правилом вывода и реализуется уже набором из нескольких простых операций над нечеткими множествами. Например: Если А, то В, иначе С = АхВᴗ̚АхС. Здесь фактический набор операций состоит из пяти операций. Первая операция – определение С = ̚ В, вторая операция – определение ̚А, третья операция – определение декартового произведения ̚АхС, четвертая операция – определение декартового произведения АхВ, пятая операция – объединение полученных нечетких множеств АхВ и ̚АхС. В терминах отношений на нечетких множествах (которые мы только что рассмотрели) мы можем считать, что в результате применения нами простого правила вывода, мы получим новое нечеткое множество связанное с исходным тоже простым отношением. Обозначим его как R1: А → В. В случае более сложного составного правила вывода мы тоже получаем новое нечеткое множество, обозначим его Y = АхВᴗ̚АхС, которое связано уже с двумя исходным нечеткими множествами А и В некоторым отношением (обозначим его как R2). Тогда составное правило вывода становится эквивалентным отношению R2: (А, В) → Y. Задание 3. Пусть А = (0,9/1; 0,1/2; 0,5/3), B = (0,7/1; 0,2/2). Применить к ним составное правило вывода «Если А, то В, иначе С = АхВᴗ̚АхС» и вычислить новое нечеткое множествоY = АхВᴗ̚АхС. Сравнение нечетких множеств. Индексы ранжирования. Одно и тоже составное правило вывода, примененное неоднократно к различным исходным множествам, порождает в итоге набор из нескольких нечетких множеств, которые по необходимости могут сравниваться определенным образом между собой. Для сравнения полученных нечетких множеств строится некоторая четкая функция от нечетких аргументов (нечетких множеств, выступающих в качестве аргументов). Эта функция называется индексом ранжирования. Значение индекса ранжирования дает основание решить вопрос о том, какое из двух (нескольких) нечетких множеств предпочтительнее. Простейшим детерминированным (однозначно определяемым) индексом ранжирования нечетких множеств считается индекс вида: Н(А,В) = sup(a>b) min (µA(a),µB(b)), где sup – есть точная верхняя граница множества. При этом если Н(А,В) > Н(В,А), то А > В (или А предпочтительнее В). Пример. Рассчитаем индексы ранжирования для множеств А = (0,1/1; 0,2/2; 0,8/3; 0,4/4; 0,2/5); В = (0,4/1; 0,5/2; 0,9/3; 0,5/4; 0,1/5). Тогда Н(А,В) = sup(a>b) min (µA(a),µB(b)) = sup{min(0,1;0,4); min(0,1;0,5); min(0,1;0,9); min(0,1;0,5); min(0,1;0,1); min(0,2;0,4); min(0,2;0,5); min(0,2;0,9); min(0,2;0,5); min(0,2;0,1); min(0,8;0,4); min(0,8;0,5); min(0,8;0,9); min(0,8;0,5); min(0,8;0,1); min(0,4;0,4); min(0,4;0,5); min(0,4;0,9); min(0,4;0,5); min(0,4;0,1); min(0,2;0,4); min(0,2;0,5); min(0,2;0,9); min(0,2;0,5); min(0,2;0,1)} = sup{0,1; 0,1;0,1;0,1;0,1;0,2;0,2;0,2;0,2;0,1;0,4;0,5;0,8;0,5;0,1;0,4;0,4;0,4;0,4;0,1;0,2;0,2;0,2;0,2;0,1} = 0,8. Н(B,A) = sup(b>a) min (µB(b),µA(a)) = sup{min(0,4;0,1); min(0,4;0,2); min(0,4;0,8); min(0,4;0,4); min(0,4;0,2); min(0,5;0,1); min(0,5;0,2); min(0,5;0,8); min(0,5;0,4); min(0,5;0,2); min(0,9;0,1); min(0,9;0,2); min(0,9;0,8); min(0,9;0,4); min(0,9;0,2); min(0,5;0,1); min(0,5;0,2); min(0,5;0,8); min(0,5;0,4); min(0,5;0,2); min(0,1;0,1); min(0,1;0,2); min(0,1;0,8); min(0,1;0,4); min(0,1;0,2)} = sup{0,1; 0,2;0,4;0,4;0,2;0,1;0,2;0,5;0,4;0,2;0,1;0,2;0,8;0,4;0,2;0,1;0,2;0,5;0,4;0,2;0,1;0,1;0,1;0,1;0,1} = 0,8. Как мы видим простейший детерминированный индекс ранжирования дал совпадающие результаты оценки обоих нечетких множеств Аи В. Недостатком детерминированных индексов ранжирования является то, что они не учитывают вид и форму функции принадлежности сравниваемых нечетких множеств. Чтобы избежать отмеченного недостатка может применяться интегральный индекс ранжирования вида H+(А) = ΣМ(Аα)·Δα (сумма по всем Δα); где Аα – α-уровневое подмножество нечеткого множества А; где М(Аα) = , где и Аα. При этом, Нi(A,B) = H+(А) - Н+(В), где если Нi(A,B)>0, то А>В. Интегральные индексы ранжирования дают более точный результат решения (оценки), чем детерминированные индексы. Пример. Пусть имеем те же нечеткие множества А = (0,1/1; 0,2/2; 0,8/3; 0,4/4; 0,2/5); В = (0,4/1; 0,5/2; 0,9/3; 0,5/4; 0,1/5). Выделяем все α-уровневые подмножества нечеткого множества А. Их у нас получается четыре, при значениях α=0,1 это само множество А, в котором наименьший номер элемента равен 1 и наибольший равен 5; при α=0,2 это подмножество (0,2/2; 0,8/3; 0,4/4; 0,2/5), в котором наименьший номер элемента равен 2 и наибольший 5; при α=0,4 это подмножество (0,8/3; 0,4/4), в котором наименьший номер элемента равен 3 и наибольший 4; при α=0,8 это подмножество из одного элемента (0,8/3), в котором наименьший и наибольший номера элементов равны 3. Выделяем все α-уровневые подмножества нечеткого множества В. Их у нас получается также четыре, при значениях α=0,1 это само множество В, в котором наименьший номер элемента равен 1 и наибольший равен 5; при α=0,4 это подмножество (0,4/1; 0,5/2; 0,9/3; 0,5/4), в котором наименьший номер элемента равен 1 и наибольший равен 4; при α=0,5 это подмножество (0,5/2; 0,9/3; 0,5/4), в котором наименьший номер элемента равен 2 и наибольший равен 4; при α=0,9 это подмножество из одного элемента (0,9/3), в котором наименьший и наибольший номера элементов равны 3. Рассчитываем теперь значение интегрального индекса для нечетких множеств А и В. H+(А) = ΣМ(Аα)·Δα = H+(в) = ΣМ(вα)·Δα = Окончательно мы видим, что интегральный индекс ранжирования у нечеткого множества В выше, чем у множества А, что при равных значениях простейшего индекса ранжирования у обоих нечетких множеств, позволяет сделать выбор в пользу множества В. Задание 4. Рассчитать простейший и интегральный индексы ранжирования для нечетких множеств А = (0,2/3; 0,8/4; 0,4/5; 0,2/6) и В = (0,1/3; 0,95/4; 0,3/5) и сделать сравнительные выводы.

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Автоматика и управление

Теория систем

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.П. Верёвкин, О.В. Кирюшин теория систем Учебное пособие Уфа 2003 УДК 007.5 ББК Утверждено ...

Автор лекции

Верёвкин А. П., Кирюшин О. В.

Авторы

Программирование

Моделирование систем

Министерство науки и высшего образования РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский федеральн...

Теория машин и механизмов

Теория систем

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.П. Верёвкин, О.В. Кирюшин теория систем Учебное пособие х1 y1 у2 S F1 х2 х3 х4 Уфа 2003 F2...

Автор лекции

Веревкин А. П., Кирюшин О. В.

Авторы

Автоматизация технологических процессов

Системы искусственного интеллекта.

Системы искусственного интеллекта. Лекция 1. Искусственный интеллект. Введение. Целью данного курса является рассмотрение такого понятия как «Искусств...

Автоматика и управление

Теория системного анализа и принятия решений

Лекционные материалы по предмету «Теория системного анализа и принятия решений» Для студентов, обучающихся по направлению подготовки 280700.62 «Технос...

Программирование

Нечеткие знания и рассуждения

13 Нечеткие знания и рассуждения. Поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке непо...

Программирование

Инженерия знаний

Федеральное агентство связи Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Поволжский государственный университ...

Информационные технологии

Интеллектуальные информационные системы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТАГАНРОГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВА...

Автор лекции

Коберси И.С.

Авторы

Высшая математика

Центральная предельная теорема и теоремы непрерывности . Многомерное нормальное распределение.Дискретный и общий случай.

Êðàòêèé êîíñïåêò ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå (II-é êóðñ, âåñåííèé ñåìåñòð, ìîäóëü III) ëåêòîð Ñ.Â. Øàïîøíèêîâ 1. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåì...

Автор лекции

Шапошников С. В.

Авторы

Высшая математика

Изучение распределений непрерывных случайных величин в среде MATHCAD

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В СРЕДЕ MATHCAD Целью лабораторной работы является изучение наиболее расп...

Смотреть все