Основы теории систем автоматического регулирования

ИОП №21 УМКД ОТСАР Федоренко А.А Иванчура В.И. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ (Конспект лекций) г. Красноярск 2007 Введение Для автоматизации любого технологического процесса необходима система, состоящая из объекта управления (ОУ), который непосредственно этот процесс реализует, и воздействующего на ОУ управляющего устройства (регулятора). Назначение управляющего устройства обеспечить не только принципиальную работоспособность (устойчивость) объекта, но и скорректировать его режим так, чтобы даже при действии помех технологический процесс шел в заданном режиме и с нужными показателями. Впервые с необходимостью автоматизации столкнулись, вероятно, создатели точных механизмов и машин с сильно изменяющейся нагрузкой. Так Гюйгенсом в 1657 году для механических часов предложен маятниковый регулятор хода. В средние века широко применялись регуляторы хода водяных мукомольных мельниц с центробежными маятниковыми элементами. История свидетельствует, что еще на рубеже новой эры арабы применяли поплавковые регуляторы уровня жидкости в емкостях водяных часов. Хотя отдельные автоматические устройства появлялись постоянно, они оставались любопытными для истории техники эпизодами не обеспеченными никакими теоретическими обоснованиями. Широкое применение автоматических регуляторов началось на рубеже 18-19 веков, в эпоху первой промышленной революции в Европе. В 1765 году Ползуновым предложен и использован поплавковый регулятор питания водой котла паровой машины. В 1784 году Дж. Уатт так же для паровой машины создал центробежный регулятор скорости. Паровая машина не случайно стала первым объектом автоматизации. Исходя из основных законов механики движение такой машины, в первом приближении, можно описать уравнением: , где - сила давления пара на поршни; - сила статического сопротивления движению машины; - масса движущихся частей; - скорость движения машины; - производная скорости по времени (ускорение). Решение уравнения движения: о свидетельствует, что при > скорость машины будет неограниченно возрастать, приводя к ее саморазрушению. Стабилизировать ход паровой машины можно, выполнив, при достижении заданной скорости, условие: =, что требует непрерывного регулирования количества пара подаваемого в цилиндры. Сделать это в ручном режиме в промышленных условиях физически невозможно. Однако, как показала практика, подключение к паровой машине регулятора Уатта не всегда приводило к желаемым результатам. Нередко вместо стабилизации скорости на заданном уровне, в машине снабженной регулятором, возбуждались возрастающие по амплитуде и приводящие к аварийным ситуациям колебания. Все это, естественно, побуждало к проведению теоретических исследований. Однако эти исследования до конца 1860 годов характеризовались, как сейчас бы сказали, отсутствием «системного подхода». Часть исследователей еще не видят, что в технике возникло новое направление. Они считают, что регуляторы лишь некоторая разновидность, приборное исполнение «модераторов» (уравнителей хода, накопителей энергии), классическим примером которых является маховик. Другие рассматривают регулятор отдельно от машины, либо совершенно не учитывают его динамических свойств. Наука об управлении оставалась придатком прикладной механики, что не позволило получить ни стройной теории, ни качественных результатов. Коренное изменение в подходе к проблеме внесли три фундаментальные теоретические работы представляющие по существу изложение основ новой науки – теории автоматического управления (ТАУ). Это работа Д.К. Максвелла «О регуляторах» - 1866г., работы И.А. Вышнеградского «Об общей теории регуляторов» - 1876г. и «О регуляторах прямого действия» -1877г. Авторы осуществили системный подход, рассмотрев регулятор и машину, как одно целое, что позволило получить часть важных теоретических и практических результатов. Основоположником теории автоматического управления (ТАУ), как науки считается И.А. Вышнеградский. Важность работы Максвелла была оценена значительно позже. Благодаря трудам многих известных ученых к началу XX века теория автоматического регулирования предстала, как вполне сложившаяся техническая наука. В этой науке возникло и утвердилось важнейшее определяющее понятие – понятие системы регулирования (впоследствии системы управления), состоящей из взаимодействующих между собой объекта регулирования и регулятора. Простейшие дифференциальные уравнения и алгебраические методы анализа устойчивости стали на первых порах основным средством исследования систем регулирования. С развитием техники, в частности электротехники и радиотехники, с ростом сложности объектов управления к середине 30-х годов XX века возникает необходимость в новых, более эффективных методах исследования. Такими методами становятся частотные методы исследования устойчивости, а впоследствии и качества процессов регулирования и управления в линейных системах. Вместе с тем необходимость учета нелинейных эффектов при разработке систем автоматического регулирования заставляет исследователей искать новые пути и обращаться к глубоким математическим теориям и методам. Труды А.М. Ляпунова по общей теории устойчивости оказывают решающее влияние на дальнейшее развитие нелинейной ТАУ. В 40-х и 50-х годах методы А.М.Ляпунова прочно входят в ТАУ. В это же время распространяются и утверждаются как эффективные средства исследования автоматических систем методы теории нелинейных колебаний, а также теории вероятностей и случайных процессов. На этом фундаменте, благодаря исследованиям многих выдающихся отечественных и зарубежных ученых формируются новые направления теории автоматического управления. Возникают и быстро развиваются методы синтеза систем, теории релейных, импульсных и дискретных систем, теории инвариантности и другие, отвечающие запросам быстро развивающейся техники и производства. ТАУ становится высоко развитой научной дисциплиной, основанной на строгих и глубоких математических методах. Советская школа в области автоматики сыграла выдающуюся роль. Признанием этого явилось проведение первого конгресса международной федерации по управлению в 1960 г. в Москве. Получившие применение в инженерной практике того времени методы были нацелены на оптимизацию процессов «в малом». Оптимальная программа технологического процесса в целом (программа движения объекта) считалась заданной и выражалась в задающих воздействиях или «уставках» регуляторов. «Оптимальные» значения задающих воздействий и «уставок» определялись с привлечением внешних относительно теории автоматического управления областей знаний или практического опыта. Таким образом, задача управления заключалась в выполнении заданной программы, т.е. стабилизации программного движения. Движение системы на каждом этапе отработки программы оптимизировалось по тем или иным критериям отдельно и только для малых отклонений от заданного. Влияние нелинейных факторов, которое проявляется при больших отклонениях либо не рассматривалось вовсе, либо, при необходимости, изучалось дополнительно. В большей части современной литературы эта теория автоматического управления именуется классической . В конце 50-х годов с развитием производства и сложных объектов техники, энергетики, технологии, в особенности в авиации, ракетостроении и космонавтике, возникают новые проблемы управления выходящие за рамки задач решаемых классической теорией. Высокая степень сложности объектов управления, многомерность, неопределенность условий функционирования, возрастающие требования к качеству управления, необходимость осуществления совершенных процессов обработки информации и другие особенности управления новой техникой порождают новые идеи, принципы управления, требующие разработки новых теорий и методов. Особое значение имеет возникновение в это время и бурное развитие теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина, принцип динамического программирования Беллмана и др.), которая является математической основой современной теории автоматического управления. Понятие современной теории автоматического управления можно сформулировать, если положить в основу определения требования научно-технического прогресса, современной и перспективной автоматизации. Важнейшим из таких требований является оптимальное использование на каждом этапе или режиме функционирования системы всех располагаемых ресурсов (энергетических, информационных, вычислительных и др.) для достижения главной для этого этапа цели при обеспечении множества ограничений. При этом современная ТАУ на каждом этапе функционирования системы должна указывать алгоритмы оптимального достижения более важной обобщенной конечной цели. Таким образом, центральной проблемой (задачей) современной ТАУ является оптимизация в «большом», осуществляемая в реальном времени непосредственно в процессе управления. Эта фундаментальная проблема порождает ряд крупных частных задач и методов их решения. Прежде всего, это получение, в той или иной форме, максимально полной математической модели объекта и использование ее не только на стадии проектирования, но и в процессе функционирования системы. Важное место занимают задачи оптимальной обработки сигналов и оптимальной идентификации параметров и структуры объекта, выполняемые в реальном масштабе времени непосредственно в эксплуатационных режимах. Современная теория автоматического управления должна рассматривать задачи адаптации в условиях неполной априорной информации о состоянии объекта и действующих на него возмущений, а так же вопросы резервирования и структурной надежности, в частности, методы автоматической реконфигурации системы при отказах. Таким образом, современная ТАУ должна содержать теорию оптимального автоматического управления учитывающего различные ситуации в процессе функционирования системы и изменение окружающих условий. Совмещение во времени процесса выработки алгоритма оптимального управления с непосредственным функционированием системы предопределяет широкое применение вычислительных устройств не только на этапе теоретических исследований, но и непосредственно в структуре САУ, как одного из важнейших ее элементов. Теория автоматического управления продолжает динамично развиваться. Число публикаций в мировой литературе в настоящее время исчисляется десятками тысяч и ежедневно возрастает на тысячи единиц. Современная ТАУ представляет собой весьма обширную область научных знаний, вобравшую многие разделы, идеи, методы и задачи технической кибернетики, и базируется на самых глубоких современных математических теориях. Авторы настоящего учебного пособия ставят весьма скромную задачу – изложить основные положения классической теории автоматического управления для студентов специальностей, у которых данный курс не является профильным, подкрепляя их необходимыми для осознанного изучения соответствующих разделов математическими выкладками. 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. 1.1. Основные понятия, определения, термины. Содержащийся в названии дисциплины термин управление на интуитивном уровне понятен каждом человеку. Так процесс произвольного скатывания с горы, не поставленного на тормоза автомобиля, да еще при отсутствии в нем водителя, каждый назовет неуправляемым. Процесс же целенаправленного перемещения автомобиля водителем в нужном ему режиме и в нужное ему место воспринимается нами как управляемый. Попытаемся сформулировать определение термина управление на основе этих двух примеров. И в том, и в другом случае реализуется по сути один и тот же физический процесс, перемещение материального объекта из одного места в другое, сопровождаемый выполнением определенной работы. Однако в первом случае движение осуществляется бесцельно, работа выполняется хаотично, под действием внешних факторов, приводя к накоплению кинетической энергии, расходуемой либо бесполезно на движение по инерции, либо даже вредно, приводя при встрече с препятствием к аварии и человеческим жертвам. Во втором случае работа обеспечивает достижение заданной цели за счет организации водителем ее выполнения (обеспечиваются определенные режимы работы двигателя, скорость, траектория движения и т.д.). Таким образом «управление» - это такая организация того или иного процесса, которая обеспечивает достижение поставленной цели. Очевидно, что управлять можно только чем-то конкретным: функционированием производственного механизма, ходом технологического процесса, развитием биологической субстанции, действиями социального сообщества и т.д. В теории автоматического управления все многообразие предметов применения управления, то есть предметов, функционирование которых организуется для обеспечения заданной цели, называют одним обобщающим термином – объект управления. Для реализации управления только объекта недостаточно. Необходим еще один элемент, непосредственно формирующий воздействие на объект управления. Этот элемент называют управляющим устройством. Воздействие на объект управляющее устройство (по старой терминологии - регулятор) вырабатывает на основе анализа поставленной цели и текущего состояния объекта. Объект управления и управляющее устройство в совокупности образует систему управления. В простейшем случае роль управляющего устройства выполняет человек. Пример с водителем, где водитель анализирует положение автомобиля на трассе, формулирует план достижения цели поездки и, воздействуя на органы управления автомобилем, реализует этот план. Такое управление называется ручным, а системы, реализующие это управление – системами ручного управления. Более высокий уровень управления обеспечивают автоматизированные системы управления. Здесь часть функций управления реализуется с помощью технических средств, а часть, и как правило наиболее важная, остается за человеком. Например, сбор, обработка и анализ информации о состоянии технологического процесса и даже выработка вариантов алгоритмов, его коррекции в нужном направлении могут быть обеспечены различными техническими устройствами, а выбор из предложенных конкретного (оптимального) алгоритма коррекции и его реализация осуществляются человеком. В системах автоматического управления (САУ) функция управления полностью возложена на технические средства. Роль человека здесь минимальная. Это либо оператор, подающий команду на начало процесса и наблюдающий за его ходом, либо ремонтный персонал, проводящий текущие и плановые обслуживания и ремонт оборудования. Процесс управления характеризуется совокупностью различного рода операций, которые могут быть сведены в три основные группы. Область классической теории автоматического управления – это операции по поддержанию заданного, или в более современной постановке, оптимального (наилучшего по какому-то критерию), закона изменения физических переменных характеризующих состояние технологического процесса на отдельных его этапах. Операции начала, прекращения, перехода с одного этапа на другой изучаются в теории переключающих устройств и игровых автоматов, а так же в теории расписания. Проблемы контроля переменных с целью выяснения допустимых границ (аварийных режимов) отнесены к теории автоматического контроля. Следует отметить, что современная теория автоматического управления ставит более общую задачу управления – оптимизацию процесса не на отдельных его этапах, а в целом по конечной основной цели. При такой постановке ТАУ вбирает в себя все перечисленные и многие другие теории . Понятно, что в данной работе так вопрос не рассматривается. Как замечено выше, все многообразие существующих систем управления имеют различную физическую природу, функционируют согласно различным физическим законам, реализуют различные цели. Создать общую теорию можно, опираясь только на то общее, что присуще всем системам. Таким общим является математическое описание процессов протекающих в системах при их функционировании. Следовательно, ТАУ рассматривает реальные САУ на уровне их математических моделей. Система считается заданной, если известно ее математическое описание. Всякий технологический процесс характеризуется некоторой совокупностью определенных физических величин, которые могут поддерживаться постоянными, либо изменяются по известным или неизвестным законам. В теории автоматического управления эти величины обозначают следующими терминами: показатели, координаты, переменные, сигналы. Часть координат с точки зрения управления, являются важными, значимыми, поскольку они, по сути, характеризуют достижение цели управления. Такие сигналы называют выходными, а точки их наблюдения – выходами системы. Часть переменных формируется не внутри системы, а поступает на нее из вне. Такие сигналы называют входными. Точки приложения входных сигналов – это входы системы. Входные переменные выполняют различные функции. Некоторые из них формируются оператором или другой системой автоматического управления и задают требуемый режим работы. Это управляющие или задающие входные переменные (воздействия). Другие формируются окружающей средой и стремятся сбить систему с заданного режима, и их называют возмущающими входными воздействиями. Для общего обозначения переменной в математических моделях используется буква – x с цифровыми индексами. Что бы подчеркнуть, что эта переменная является выходной, ее обозначают буквой – . Общее обозначение входных переменных –. Для управляющих воздействий используется буква – , а для возмущающих используется буква – . а) б) Рис.1.1.1. На рис. 1.1.1,а. прямоугольником обозначена cистема автоматического управления стрелками – управляющие воздействия (), возмущающие воздействия () и выходные переменные (). Системы, у которых только один вход и один выход называют одномерными. Процессы в них часто описывают скалярными уравнениями. Системы, у которых более одного входа или выхода называют многомерными. Их поведение описывают, как правило, уравнениями в векторно-матричной форме. При этом вводят понятия вектора управляющих величин , вектора возмущающих величин , вектора выходных переменных (cм. рис. 1.1.1,б.) и вектора внутренних переменных состояния системы . Каждая конкретная система характеризуется совокупностью определенных, присущих только ей констант. В ТАУ все эти константы объединяют общим термином - параметры. Переменные в зависимости от природы процесса и с учетом присущих ему параметров можно связать различными математическими соотношениями. Эти математические соотношения в совокупности образуют математическую модель системы. Следует отметить, что математическая модель принципиально не может быть абсолютно точной, поскольку всегда можно выявить такие глубинные составляющие процесса, которые не были учтены при математическом описании. Однако модель всегда должна быть адекватна поставленной задаче, иначе мы не получим требуемого результата. С другой стороны избыточная точность модели усложняет поиск нужного решения, а в ряде случаев и не позволяет его получить в виду отсутствия методов. Следовательно, в распоряжении исследователя необходимо иметь набор моделей разного уровня точности представленных в различной математической форме. Совокупность математических операций связывающих выходные и входные переменные иногда называют оператором системы. В простейшем случае это функциональные зависимости в виде , т.е. изменение или приводит к мгновенному изменению . Такие процессы называют статическими или безинерционными, а графическое изображение этих зависимостей называют статическими характеристиками процесса. В природе все реальные физические процессы инерционные или по-другому динамические. Переменные в таких процессах, в наиболее общем виде, связаны дифференциальными, интегральными или разностными уравнениями, в качестве независимой переменной в которых выступает время . Графические зависимости от времени при различных и называют временными характеристиками системы. 1.2. Основные алгоритмы функционирования систем автоматического управления. Изменение координат в желаемом (идеальном) процессе называется алгоритмом функционирования системы. Алгоритм функционирования по существу определяет цель управления. По алгоритму функционирования системы можно объединить в несколько групп. Первую группу составляют: 1. Системы стабилизации. Задающее (управляющее) воздействие постоянная величина . 2. Системы программного управления. Задающее воздействие изменяется во времени по известному закону . 3. Следящие системы. Задающее воздействие изменяется во времени по неизвестному закону. Общим для этой группы систем является то, что управляющий сигнал поступает на них из вне. Автоматическое управляющее устройство, сравнивая текущие значения задающей величины и выходной координаты вырабатывает такое воздействие на объект, что бы свести отклонения выходной переменной ()= к требуемому значению. Т.е. показателем качества таких систем является заданная ошибка управления () в статических и динамических режимах. Параметры и структура автоматического управляющего устройства, как правило, постоянны. Вторая группа объединяет системы, в которых автоматическое управляющее устройство вырабатывает воздействие на объект управления из условия обеспечения экстремального значения некоторого показателя качества. Сюда относят: 1. Экстремальные системы. Здесь роль показателя качества выполняет одна или несколько регулируемых координат системы, значения которых необходимо поддерживать на максимальном или минимальном уровне. 2. Оптимальные системы. Они обеспечивают поддержание наивыгоднейшего по некоторому критерию эксплуатационного режима, как правило, в условиях ограничений наложенных на энергетический ресурс и ряд регулируемых переменных. К третьей группе относят: терминальные системы, в которых ставится задача достижения определенного состояния в конечный момент времени. До этого процесс может идти с оптимизацией, по каким либо другим показателям, например по расходу энергии. Следует отметить, что практическое решение вопросов построения автоматического управляющего устройства систем второй и в особенности третьей группы часто лежит в области адаптивных систем: - самонастраивающихся, у которых параметры подстраиваются с изменением внешних условий; - самоорганизующихся, у которых алгоритм работы преобразуется с изменением внешних условий; - самообучающихся, на основе опыта работы совершенствующих свою структуру и способ управления, и т.д. В данном учебном пособии рассмотрены системы только первой группы. 1.3. Фундаментальные принципы управления. Возмущающие воздействия, статические и динамические свойства системы приводят к отклонению реального алгоритма функционирования (изменения выходных координат) от идеального. По этому закон изменения входного воздействия на объект управления, называемый алгоритмом управления, необходимо формировать как с учетом желаемого алгоритма функционирования, так и динамических и статических характеристик системы. Алгоритм управления реализуется автоматическим управляющим устройством. В основе используемых в технике алгоритмов управления лежат некоторые общие фундаментальные принципы определяющие, как осуществляется увязка алгоритма управления с заданным и фактическим функционированием. Выделяют три основных фундаментальных принципа управления: разомкнутого управления; компенсации; обратной связи. Принцип разомкнутого управления иллюстрируется функциональной схемой рис.1.3.1. Блок управления БУ в соответствии с задающим воздействием вырабатывает необходимое «указание» исполнительному элементу ИЭ. Последний создает управляющее воздействие на объект управления ОУ. В результате регулируемая величина приближается с той или иной точностью к требуемому значению. Рис. 1.3.1. Блок управления и исполнительный элемент образуют автоматическое управляющее устройство АУУ. При конструировании АУУ рассмотренной системы необходимо знать все свойства объекта управления. Только при выполнении этого условия и отсутствии возмущений можно правильно предвидеть влияние задающего воздействия на регулируемую величину. Применение такой системы рассчитано на несложную ситуацию, поскольку неявно основывается на предположении, что влиянием всех возмущений можно пренебречь, а изменение управляющего воздействия на объект необходимо лишь тогда, когда должна измениться регулируемая переменная. При значительных возмущающих сигналах выходная величина будет существенно отличаться от заданной, т.е. задача управления не будет решена. Устранить влияние возмущающих воздействий или хотя бы основного из них , можно построив систему, работающую по принципу регулирования по возмущению, или по другому, - по принципу компенсации (рис. 1. 3.2.). Рис. 1.3.2. Автоматическое управляющее устройство таких систем дополнительно содержит тракт измерения возмущения (измерительное устройство ИУ) действующий на блок управления. Функции и структура блока управления при этом так же усложняются. Он не только формирует сигнал , но и корректирует его значение так, что бы влияние на выходную координату возмущающего сигнала было минимально. Если полностью скомпенсировать инерционность звеньев расположенных между БУ и точкой приложения путем введения соответствующих форсировок в сигнал система приобретет свойства инвариантности к возмущающему воздействию, в том смысле, что влияние на выходную переменную отсутствует. В рассмотренных системах характер сигналов действующих на объект зависит от свойств объекта лишь в той степени, в которой это было учтено при конструировании автоматического управляющего устройства. Действительное значение выходной переменной, даже если оно значительно отличается от желаемого, совершенно не влияет на работу системы. Поскольку в большинстве случаев исчерпывающая и достоверная информация о свойствах объекта управления и характере возмущений отсутствует, разомкнутые системы и системы, реализующие принципы компенсации часто оказываются недостаточно эффективными. Тогда прибегают к созданию конструктивно более сложных, но и значительно более совершенных замкнутых систем автоматического управления. В замкнутых системах использован принцип обратной связи, возможно, самый мощный принцип теории автоматического управления. Иногда его называют: принцип регулирования по отклонению; по рассогласованию; по ошибке. Такая система в простейшем случае (рис.1.3.3.) так же состоит из объекта управления и автоматического управляющего устройства, которое кроме исполнительного элемента и блока управления еще имеет измерительное устройство и узел сравнения УС. Рис. 1.3.3. Блок управления часто называют регулятором. Измерительное устройство и узел сравнения реализуют главную отрицательную обратную связь по регулируемой переменной. Сигнал пропорциональный выходной переменной , сравнивается с сигналом задания . Сигнал рассогласования (ошибка, отклонение) ()= поступает на вход регулятора. Регулятор формирует такое воздействие через исполнительный элемент на объект управления, чтобы свести рассогласование к требуемому минимуму, независимо от того по какой причине это рассогласование возникло. Следовательно, принцип обратной связи позволяет решать задачу управления в условиях изменяющегося входного сигнала, при действии возмущений и при некоторой неточности математических моделей элементов САУ используемых при проектировании регулятора. В отличие от систем компенсации, которые формируют корректирующий сигнал в момент появления причины (возмущения), могущей привести к отклонению регулируемой координаты от заданной, системы, построенные по принципу обратной связи более инерционны, так как они реагируют на уже появившееся отклонение. Поэтому в системах управления по ошибке не всегда удается обеспечить требуемое качество. Тогда используют комбинированные сиcтемы, т.е. системы сочетающие принципы компенсации и принципы обратной связи. Канал компенсации устраняет влияние основного возмущающего воздействия, обеспечивая «грубое» управление, а замкнутая часть корректирует его, компенсируя ошибки обусловленные неточностью измерения возмущения, влиянием менее существенных, не учтенных возмущений, отличием параметров элементов от расчетных и неточностью модели САУ положенной в основу проектирования. В основу теории автоматического управления положена структура замкнутой САУ работающей по принципу отклонения. Методология проектирования разомкнутых систем и систем компенсации опирается на рассмотренные в ТАУ общие методы математического моделирования, анализа и синтеза систем с обратной связью. 1.4. Классификация систем автоматического управления. Классифицировать системы автоматического управления можно по различным признакам, и частично мы это уже сделали. Мы сказали, что есть системы одномерные и многомерные, провели классификацию по алгоритмам функционирования и управления. Системы можно классифицировать по назначению, по их физической природе, по конструктивным особенностям и так далее, до бесконечности. Однако все эти весьма существенные различия совершенно не имеют значения при исследовании систем методами теории автоматического управления. Мы уже знаем, что теория автоматического управления рассматривает системы на уровне их математических моделей. Система задана, если задано ее математическое описание. При этом большое значение приобретают особенности математического описания присущие конкретной системе, поскольку именно они определяют тот возможный набор математических методов и теорий, которые с той или иной эффективностью могут быть применены для ее проектирования. Поэтому классификация систем по различным признакам их математического описания имеет важное практическое значение. По этим признакам все системы автоматического управления можно разделить на следующие классы: 1. Линейные и нелинейные системы. Линейные системы – это системы, математическое описание которых содержит только линейные математические операции над переменными (сложение, вычитание, интегрирование, дифференцирование, умножение на константу). Если математическое описание включает хотя бы одну нелинейную математическую операцию, то такая система является нелинейной. Все существующие в природе системы нелинейные. Однако во многих случаях реальный диапазон изменения переменных таков, что влияние нелинейностей не проявляется, и такая система может быть рассмотрена методами линейной теории автоматического управления. Например, статическая характеристика (рис.1.4.1.) усилителя сигналов нелинейная, но если всегда обеспечено условие . Рис. 1.4.1. Мы можем воспользоваться для его описания линейным уравнением , где – коэффициент усиления. Кроме того, когда определяющим является режим малых отклонений переменных от установившихся значений, в ряде случаев реальная нелинейная математическая модель системы может быть задана приближенной линейной моделью. Исследование последней методами линейной ТАУ позволяет получить интересную информацию о некоторых свойствах реальной системы. 2. Детерминированные и стохастические системы. Детерминированные системы – это системы, в которых связи между переменными однозначно определены некоторыми функциональными зависимостями. В стохастических системах связи между переменными и сами переменные носят вероятностный характер и их характеристики определяются такими понятиями теории вероятностей, как корреляционная функция, дисперсия и т.д. 3. Стационарные и нестационарные системы. У стационарных систем все параметры постоянны. У нестационарных – по крайней мере, некоторые являются функциями времени. Следовательно, отклик стационарной системы на одно и то же входное воздействие, приложенное в различные моменты времени, будет одинаков. У нестационарных систем реакция на одинаковые воздействия, приложенные в разное время, может быть разной. 4. Системы с сосредоточенными и с распределенными параметрами. Системы с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а с распределенными параметрами – уравнениями в частных производных. 5. Непрерывные и дискретные системы. Все элементы непрерывной системы на непрерывный входной сигнал отвечают непрерывным выходным. В дискретных системах имеется хотя бы один элемент, который на непрерывный входной сигнал отвечает прерывистым выходным. В свою очередь дискретные системы можно разделить на: - импульсные, когда дискретный элемент через равные промежутки времени формирует на выходе импульсы, несущие информацию о входном сигнале (см. рис.1.4.2.) - элемент квантования по времени; - релейные, когда дискретный элемент изменяет свое состояние при достижение входным сигналом определенного уровня (рис. 1.4.3.) - элемент квантования по уровню; - цифровые системы, которым присущи оба вида квантования. В импульсных системах применяются три вида квантования сигнала по времени: а) Амплитудно-импульсная модуляция - амплитуда импульса пропорциональна входному сигналу (рис.1.4.2.) – линейная импульсная система; б) Широтно-импульсная модуляция - ширина импульса пропорциональна входному сигналу. в) Фазоимпульсная модуляция – фаза импульса пропорциональна входному сигналу. Рис. 1.4.2. Рис. 1.4.3. Возможны и более сложные варианты импульсной модуляции, но во всех случаях период повторяемости импульсов остается постоянным. Ясно, что одна и та же система может классифицироваться одновременно по всем рассмотренным признакам. Так первая часть настоящей работы посвящена вопросам теории автоматического управления линейными, детерминированными, стационарными, непрерывными системами с сосредоточенными параметрами, в дальнейшем просто линейными системами. Важно отметить, что для линейных систем справедлив принцип суперпозиции (наложения). Сущность его заключается в следующем. Представим входную переменную линейной комбинацией элементарных сигналов. Реакции системы на эти элементарные сигналы сведем в одну той же линейной комбинацией. В результате получим сигнал равный реакции системы на полное входное воздействие. Поясним это на примере усилителя, статическая характеристика которого изображена на рис. 1.4.1. Пусть . Реакция усилителя на этот входной сигнал равна . Представим следующей линейной комбинацией : . Реакции системы на сигналы будут соответственно равны: , , . Сведем эти реакции в одну той же линейной комбинацией: Как видим, результат одинаков, принцип суперпозиции выполняется. Теперь пусть . Реакция усилителя на этот входной сигнал согласно характеристике равна: . Линейная комбинация реакций усилителя на элементарные сигналы, при условии, что каждый из элементарных сигналов меньше , равна . Очевидно, что принцип суперпозиции не выполняется () следовательно, усилитель при входных сигналах изменяющихся в диапазоне, превышающем , является нелинейным элементом. Выполнение принципа суперпозиции для линейных систем имеет очень важные следствия: а). Свойства линейной системы, это ее внутренние свойства, определяемые ее математическим описанием, и не зависят ни от вида, ни от места приложения внешних воздействий. В то время как свойства нелинейных систем определяются не только их внутренней структурой, но и конкретным видом и значениями входных величин. б). В линейных системах каждая входная величина создает свою составляющую выходной переменной, независимо как от наличия и характера изменения других входных величин, так и от начальных условий. В свою очередь начальные условия вызывают переходный процесс в системе, который не зависит от входных воздействий. Начальными условиями называют значения выходной переменной и ее производных до ( - 1)-ой включительно в начальный момент времени. Здесь – порядок дифференциального уравнения, описывающего систему в целом. Эти свойства позволили создать к настоящему времени общую и стройную теорию линейных систем автоматического управления, которая в то же время продолжает непрерывно развиваться. 1.5. Основные элементы САУ. Функциональные и структурные схемы. Для образного представления систем автоматического управления, ТАУ использует графический язык схем. Различают функциональные и структурные схемы. Функциональные схемы поясняют принцип действия системы и показывают функциональное назначение и взаимодействие ее элементов. На функциональной схеме физические элементы изображены в виде некоторых геометрических фигур, с кратким пояснением их функционального назначения, либо непосредственно на схеме (в обозначении), либо в тексте описания системы. Взаимосвязь между элементами показывается стрелками с обозначением над ними символа соответствующей физической переменной характеризующей влияние одного элемента на другой. Элементы, чаще всего, изображают в виде прямоугольников. Исключение составляют узлы сравнения (вычитания и суммирования). Для них в литературе встречаются обозначения, приведенные на рис.1.5.1. а) и б) соответственно. а) б) Рис. 1.5.1. С функциональными схемами мы столкнулись при рассмотрении фундаментальных принципов управления (см. рис. 1.3.1. - 1.3.3.). На рис. 1.5.2. приведен пример более детализированной функциональной схемы САУ. Рис. 1.5.2. Часть элементов, представленных на данной схеме являются функционально необходимыми. Одну группу таких элементов составляют элементы, осуществляющие энергетическое обеспечение технологического процесса. К ним можно отнести объект управления ОУ, силовые исполнительные элементы и двигатели, преобразователи энергии, усилители мощности и т.д. Последние объединены на функциональной схеме одним звеном – исполнительный орган ИО. Другую группу составляют элементы, реализующие принятые при проектировании фундаментальные принципы управления. Поскольку в примере рис.1.5.2. система построена по принципу комбинированного управления, то в эту группу входят измерительный элемент ИЭ – реализующий канал главной (технологической) отрицательной обратной связи, и измерительно-вычислительное устройство ИВУ, реализующее канал компенсации влияния возмущающего воздействия. Устройства ИЭ и ИВУ осуществляют измерение, преобразование и обработку сигналов, несущих информацию о значениях, соответственно, выходной технологической переменной и возмущающего воздействия, а так же передачу их на включенные последовательно в прямой тракт системы автоматического управления узел сравнения и сумматор. Остальные элементы, не являясь функционально необходимыми, выполняют очень важную задачу коррекции свойств системы с целью обеспечения требуемого качества функционирования, а в ряде случаев и придания ей принципиальной работоспособности (устойчивости). Поэтому в ТАУ их называют корректирующими устройствами или корректирующими фильтрами, иногда регуляторами. Корректирующие устройства в САУ могут включаться различным образом: - в канал задающего воздействия – коррекция по заданию (КУ4); - в прямой тракт системы (КУ1), либо параллельно элементу включенному в прямой тракт (КУ2) – последовательная коррекция; - коррекция в цепи главной обратной связи (КУ5) и в цепи измерения возмущения (КУ6); - коррекция в виде местной (внутренней) обратной связи (КУ3) – параллельная коррекция. Местные обратные связи, в свою очередь, могут быть отрицательными (сигнал обратной связи вычитается из сигнала прямого тракта) и положительными (сигналы суммируются), жесткими (действуют во всех режимах работы САУ) и гибкими (действуют только в переходных режимах). Структурная схема системы автоматического управления отличается от функциональной тем, что внутри фигур, обозначающих элементы системы, проставляется оператор, характеризующий в той или иной форме, математическую связь между входными и выходными переменными данного элемента. То есть, структурная схема это информационная математическая модель системы, характеризуемая некоторым набором соединенных между собой динамических звеньев однонаправленного действия. Следует отметить, что выбор основных функционально необходимых элементов САУ и схемы их соединения между собой осуществляется, как правило, методами сторонними к теории автоматического управления. Элементы рассчитывают и выбирают исходя из требований конкретного технологического процесса к их энергетическим характеристикам, из условий их энергетической, функциональной, параметрической и т.д. совместимости, а схему соединения выбирают исходя из целесообразности применения тех или иных фундаментальных принципов управления. Проектирование САУ методами классической теории автоматического управления включает уточнение информационной математической модели исходной системы, оценку ее работоспособности, качества статических и динамических процессов, а так же сопоставление его с требуемым по условиям технологии (задача анализа). Выбор количества, места включения, структуры и параметров корректирующих устройств (задача частичного синтеза). При необходимости повторную уточненную оценку качества функционирования скорректированной системы, оценку чувствительности к изменению параметров и неучтенных при синтезе факторов. 2. ВИДЫ МАТЕМТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. 2.1. Описание систем во временной области. Математическая модель системы автоматического управления в целом, либо ее элементов, может быть получена путем анализа физических законов природы, согласно которым данная система функционирует. При этом математическое описание имеет вид, либо системы дифференциальных уравнений, либо одного дифференциального уравнения связывающего в неявном виде выходную переменную системы с входной через их производные по времени. Для примера возьмем электрическую машину постоянного тока независимого возбуждения, принципиальная схема которой изображена на рис. 2.1.1. Рис. 2.1.1 Рис. 2.1.2. Допустив, что параметры электрической машины постоянны, вихревые токи в полюсах отсутствуют, а реакция якоря идеально скомпенсирована, составим ее электрическую схему замещения (рис. 2.1.2.). Согласно законам Кирхгофа для электромагнитных контуров, можно записать: (2.1.1) где - напряжения подведенные к обмоткам якоря и возбуждения; - токи обмоток якоря и возбуждения; - активные сопротивления и индуктивности соответствующих обмоток; - эдс вращения двигателя. Вращение вала двигателя определяется законами механики. Согласно законам Ньютона для вращательного движения в простейшем случае имеем: (2.1.2) где - результирующий момент инерции приведенной к валу двигателя; - угловое ускорение вала двигателя; - мгновенное значение скорости; - электромагнитный момент двигателя и момент статической нагрузки на валу двигателя. Уравнения, связывающие электрические и механические переменные согласно законам электромеханики имеют вид: , (2.1.3) где - конструктивные постоянные электрической машины; - магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения. Считаем, что магнитный поток связан с током возбуждения линейной зависимостью: (2.1.4) Уравнения (2.1.1)–(2.1.4) с точностью сделанных допущений полностью определяют работу рассматриваемой машины как в установившихся, так и в переходных режимах. Даже при столь достаточно грубых допущениях математическая модель нелинейна вследствие наличия операций перемножения двух переменных. Как объект управления электрическая машина многомерна и имеет три входа – по управляющим сигналам и возмущающему воздействию Обычно при анализе алгебраические уравнения из рассмотрения исключают. Подставив (2.1.3), (2.1.4) в (2.1.1), (2.1.2) окончательно получим: (2.1.5) (2.1.6.) , (2.1.7) Если управление осуществляется только по якорной цепи (воздействие ) при постоянном потоке уравнение (2.1.5) из рассмотрения можно исключить и математическая модель двигателя становится линейной. Заменив в (2.1.6), (2.1.7) и коэффициентами и запишем: , (2.1.8.) . (2.1.9) Когда указана конкретная выходная переменная, бывает целесообразно перейти от системы дифференциальных уравнений к одному. Так приняв в качестве выходной переменной , разрешив уравнение (2.1.9) относительно тока , и подставив его значение в (2.1.8.) получаем: , (2.1.10) Обычно выходную переменную и ее производные комплектуют в левой части уравнения, а входные переменные и их производные в правой. Принцип суперпозиции позволяет разделить уравнения (2.1.10) на два, рассматривая по отдельности реакцию системы на управляющее воздействие и возмущающее воздействие . (2.1.11) , (2.1.12) При необходимости реакцию на оба воздействия можно получить, наложив друг на друга реакции от отдельных воздействий. С учетом изложенного в дальнейшем для компактности в правой части уравнения будем записывать только одно входное воздействие, принимая его по необходимости либо за управляющее, либо за возмущающее. В общем виде дифференциальное уравнение линейной непрерывной системы выглядит так: … + … +, (2.1.13) где и - выходная и входная переменные, соответственно; и - коэффициенты, включающие в себя реальные физические параметры системы; и - порядок производных в левой и правой части уравнения. По условиям физической реализуемости всегда . В теории автоматического управления используют понятие обобщенных параметров системы. Такими параметрами служат коэффициент передачи и постоянная времени . Связь обобщенных параметров с коэффициентами уравнения (2.1.13) имеет вид: ; или . После подстановки , , в (2.1.13.) получаем: (2.1.14) Очевидно, что параметр в любой момент времени однозначно отражает связь между входной и выходной переменными в установившемся режиме ( и величины постоянные и соответственно и равны нулю). Уравнение (2.1.14) при этом принимает вид: (2.1.15) и называется уравнением статики. В переходных режимах производные в уравнении (2.1.14) не равен нулю и выходная переменная является не только функцией , но и функцией времени . Решение уравнения (2.1.14) отличается от решения уравнения (2.1.15) тем больше, чем больший «вес» составляют в (2.1.14) производные, т.е. чем больше численные значения постоянных времени. Следовательно, постоянные времени, по сути, являются мерой динамических свойств системы. Так уравнения (2.1.11), (2.1.12) при замене в них физических параметров обобщенными и использовании обозначения переменных принятых в теории автоматического управления приобретут вид: (2.1.16) , (2.1.17) где , , - выходная, управляющая и возмущающая входные переменные соответственно; - коэффициент передачи по управлению; - коэффициент передачи по возмущению; - постоянные времени. В большинстве случаев исходная математическая модель системы нелинейна. Например, если управлять двигателем, изменяя напряжение , подводимое к обмотке возбуждения, магнитное состояние машины будет изменяться. Это приводит к необходимости использовать при анализе процессов в ней нелинейную систему дифференциальных уравнений (2.1.5) - (2.1.7). Однако очень часто исходную математическую модель удается линеаризовать, т.е. заменить приближенной линейной. Для такой линеаризации широко используют метод малых отклонений. Линеаризация возможна, если функциональная зависимость между переменными дифференцируема, непрерывна и однозначна по всем переменным. Предполагается, что в процессе функционирования системы все переменные получают только малые приращения относительно их установившихся постоянных значений. Сущность метода заключается в разложении функциональной зависимости в степенной ряд Тейлора в окрестностях точки установившегося режима по всем переменным. В дальнейшем из полученного разложения вычленяется уравнение установившегося режима, и отбрасываются все слагаемые выше первого порядка малости. В результате получаем линеаризованное уравнение в приращениях. Приведем, поскольку она нам понадобится и в дальнейшем, формулу разложения функции в ряд Тейлора в окрестностях точки : ∆∆∆∆, (2.1.18) где - значение функции при ; ∆ - приращение аргумента функции относительно начального значения ; - -тая, производная по , при подстановке значения . Здесь ∆ - слагаемое первого порядка малости. Пусть исходное, нелинейное дифференцированное уравнение имеет вид: (2.1.19) где - аргументы функции и их производные по времени. Следует отметить, что метод применим к уравнениям любого порядка с произвольным числом аргументов. Не трудно заметить, что функция при начальных значениях переменных равна: (2.1.20) Разложив (2.1.19) в ряд Тейлора по всем переменным, используя правила взятия частных производных и считая производные аргументов функции независимыми переменными, а так же отбросив, с учетом (2.1.20.) начальное значение функции и слагаемые высшего относительно первого порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение: . (2.1.21) Теперь вернемся к уравнениям (2.1.5) - (2.1.7), записав каждое из них в виде (2.1.19): , (2.1.22) , (2.1.23) . (2.1.24) Для определенности в последнем уравнении взят тормозящий момент статической нагрузки. Задавшись начальными значениями входных воздействий , , по уравнениям установившегося режима (, , ) вычислим начальные значения остальных переменных: , , Для уравнений (2.1.22) - (2.1.24) определим частные производные и вычислим их значения с учетом начальных значений переменных: , , , , , , , , , , . Согласно (2.1.21) запишем линеаризованную систему уравнений: (2.1.25) (2.1.26) (2.1.27) Как видно, линейные операции при линеаризации изменений не претерпели, только полные значения переменных заменены приращениями. Не изменился так же и порядок системы дифференциальных уравнений. Как отмечалось раньше, линейная система автоматического управления в общем виде может быть описана дифференциальным уравнением (2.1.13). При этом поведение системы характеризуется одной выходной переменной . Известно, что дифференциальное уравнение го порядка всегда можно привести к системе из дифференциальных уравнений первого порядка, в которых будут фигурировать внутренних переменных. Совокупность этих переменных так же полностью характеризует поведение системы. Представив дифференциальные уравнения первого порядка в нормальной форме Коши, можем записать их в компактной векторно-матричной форме. Такая форма получила название уравнений состояния системы: (2.1.28) Систему дифференциальных уравнений состояния необходимо дополнить алгебраическим уравнением выхода системы (уравнением наблюдения). Y = CX+DG (2.1.29) Здесь X - вектор переменных состояний системы, Y - вектор выходных величин, G - вектор входных воздействий (управляющих и возмущающих), А – собственная матрица параметров системы, В - входная матрица системы, С – выходная матрица системы, D – матрица обхода, чаще всего она равна нулю. В развернутом виде: X =, Y =, G =, A =, B =, C =. Перейти от общего уравнения системы к уравнениям пространства состояний можно различными способами. При этом можно получить бесконечно большое число форм представления уравнений состояния и наблюдения, а, следовательно, и бесконечное количество наборов переменных состояния. Следует отметить, что для всех форм собственные параметрические матрицы имеют различный вид, но одни и те же собственные значения. Одной и той же остается связь между входными и выходными переменным. В практических расчетах используют канонические формы представления уравнений состояния, то есть формы, для которых собственная параметрическая матрица содержит максимальное количество нулевых элементов. При этом стремятся в качестве переменных состояния использовать реальные физические переменные системы доступные измерению, хотя не исключено, что часть переменных могут быть фиктивными или не измеряемыми. Так одна из канонических форм уравнений состояния и выхода, исходя из общего уравнения системы, в развернутом виде при одном входном воздействии выглядит так: , где переменные состояния: , , . Математическая модель системы в виде уравнений состояния может быть получена и напрямую, на уровне анализа физических закономерностей функционирования системы, минуя этап записи дифференциального уравнения высокого порядка. Так, если преобразовать уравнения (2.1.25)-(2.1.27) к нормальной форме Коши и заменить обозначения переменных, то в развернутом виде получим: . Здесь X = =, G = = , A = =, B = =. Если принять за выходную переменную приращение скорости уравнение наблюдения будет иметь вид: , где Таким образом, можно привести к стандартной векторно-матричной форме (2.1.28), (2.1.29) уравнения состояния любой непрерывной, стационарной линеаризованной системы автоматического управления. Эти уравнения весьма удобны для численного анализа процессов в САУ с использованием ЭВМ, кроме того, на их основе в настоящее время разработан ряд методов синтеза корректирующих цепей и фильтров Дифференциальные уравнения – это наиболее общая форма математического описания системы, поскольку они дают связь между входными и выходными величинами при произвольных начальных значениях переменных и различных входных воздействиях. Однако эта связь представлена в них, как отмечалось ранее, в неявной форме. Поэтому непосредственное использование дифференциальных уравнений для анализа свойств системы автоматического управления мало эффективно. Прямое же интегрирование дифференциальных уравнений, это достаточно трудоемкая и громоздкая процедура. Решение этой задачи в аналитической форме косвенными методами предмет рассмотрения в последующих параграфах. Совокупность решений дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системе для всех возможных управляющих и возмущающих входных воздействий, называется временными характеристиками. Временные характеристики дают зависимость переменных системы от времени в явном виде и непосредственно иллюстрируют реакцию системы на входные воздействия во всех режимах ее работы. Очевидно, что математическое описание в форме временных характеристик очень удобно и информативно для анализа свойств системы автоматического управления. Однако, в рассмотренной постановке такое математическое описание весьма неопределенно, поскольку реально совокупность входных (особенно возмущающих воздействий) неизвестна, а количество возможных временных характеристик неограниченно и, в принципе, стремится к бесконечности. Принцип суперпозиции позволяет для линейных систем снять эту неопределенность, ограничив на практике понятие временных характеристик набором реакций системы на стандартные типовые входные воздействия. Так для анализа качества динамических режимов рассматривают реакцию системы либо на единичное ступенчатое воздействие (единичный скачок, единичная функция, функция Хевисайда) (2.1.30) либо на единичный импульс (- функция, функция Дирака) , (2.1.31) Отметим, что 1() и () относятся к классу обобщенных функций (распределений) . Связь между ними согласно (2,1.30.) и (2.1.31.) определяется выражением: . (2.1.32) Временную характеристику, представляющую собой реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях, называют переходной функцией и обозначают . Реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях называется импульсной переходной (весовой) функцией и обозначается или . Связь между переходной и весовой функциями с учетом (2.1.32) согласно принципу суперпозиции имеет вид: . (2.1.33) Для анализа качества (точности) работы системы в установившихся (рабочих) режимах, на ряду с рассмотренными, в качестве стандартных типовых могут использоваться и другие входные воздействия, например: а) гармонические (2.1.34) где и - амплитуда и частота сигнала соответственно; б) степенные: (2.1.35) где - постоянные множители, некоторые из них могут быть равны нулю; - количество слагаемых, как правило, не более пяти; = 0,1,2,3,…, - номер слагаемого; в) показательные: , (2.1.36) где - постоянный коэффициент больший или меньший нуля, а так же их комбинации. Конкретные временные характеристики можно наблюдать и фиксировать различного рода самописцами в ходе реального технологического процесса. Такие экспериментально снятые характеристики служат основой для анализа свойств исследуемого объекта, отнесения его к динамическому звену того или иного типа и определения его параметров. То есть экспериментальные характеристики позволяют получить при необходимости математическую модель исследуемого объекта в аналитической форме с определением численных значений его обобщенных параметров. 2.2. Описание САУ в области изображений. Математической моделью линейной системы автоматического управления в области изображений является передаточная функция. Передаточной функцией системы или ее элемента называют отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях. Изображением по Лапласу временной функции называют функцию от переменной связанную с интегралом: (2.2.1) Говорят, что функция , называемая оригиналом и определенная во временной области , отображается в область переменной . Таким образом, при вычислении интеграла преобразования Лапласа (2.2.1) происходит простая замена независимой переменной независимой переменной . С другой стороны преобразование Лапласа можно рассматривать как разложение некоторой функции равной и заданной в области 0<< в частотный спектр согласно преобразования Фурье: . (2.2.2) Действительно, подставив в (2.2.2) выражение , заменив приделы интегрирования на заданные и опустив масштабирующий множитель , получим: . Таким образом - это комплексная переменная, у которой вещественная часть есть произвольная положительная константа, а мнимая часть - переменная, имеющая размерность угловой частоты. Следовательно, интеграл преобразования Лапласа отображает временную функцию на комплексную плоскость. Непосредственное взятие интеграла (2.2.1), как правило, весьма затруднительно. Однако, доказан ряд теорем, опирающихся на свойства этого интеграла, которые для большинства практических случаев позволяют достаточно просто осуществить, как прямое, так и обратное преобразование Лапласа, т.е. определить изображение для известного оригинала и наоборот, исключив непосредственное интегрирование. Кроме того, составлены весьма обширные таблицы соответствий , обеспечивающие нахождение оригиналов и изображений без всяких вычислений. Здесь, для пояснения понятия передаточной функции и удобства дальнейшего изложения материала, приведем без доказательств основные теоремы преобразования Лапласа: 1. Теорема линейности: Если временная функция задана линейной комбинацией нескольких функций, т.е. , изображения которых известны, то изображение такой функции будет равно: (2.2.3) Очевидно, что доказательство этой теоремы базируется на общих свойствах интегралов: интеграл от суммы равен сумме интегралов, и постоянный множитель из-под знака интеграла можно выносить. 2. Теорема дифференцирования оригинала: Если оригиналу соответствует изображение то изображением производной будет , изображением второй производной будет и в общем случае, на основании метода индукции, для имеем: ℒ, (2.2.4) где - порядок производной, а (0), - начальные значения функции и ее производных; символ ℒ - означает применение к выражению в фигурных скобках преобразования Лапласа. Строго говоря, в выражении (2.2.4) следует ставить (+0), т.е. используются предельные значения и ее производных при стремлении к нулю справа. Для практических целей эта теорема является одной из важнейших, так как выражает в высшей степени примечательное обстоятельство: дифференцирование, которое представляет собой в пространстве оригиналов трансцендентный процесс, заменяется в пространстве изображений совершенно элементарным действием – умножением изображения на аргумент в степени с одновременным добавлением многочлена, коэффициентами которого являются «начальные значения» оригинала. При нулевых начальных значениях этот многочлен обращается в нуль. 3. Теорема интегрирования оригинала: Если оригиналу соответствует изображение , то ℒ (2.2.5) 4. Теорема изображения функции запаздывающей во времени: Если ℒ то ℒ (2.2.6) где 5. Теорема смещения аргумента функции в области изображений: Если ℒ то ℒ (2.2.7) 6. Теорема свертки двух временных функций: Сверткой двух временных функций обозначается - либо , называют интеграл вида: Если ℒ а ℒ то ℒ. (2.2.8) 7. Теорема подобия: Если ℒ то ℒ (2.2.9) ℒ (2.2.10) Теорема применима при . 8. Теорема о начальном и конечном значении: Если начальные и конечные значения функции существуют, а ℒ то (2.2.11) . (2.2.12) Воспользовавшись теоремами 1 и 2 легко отобразить уравнение (2.1.14) в область изображений. Приняв начальные значения переменных и их производных равными нулю, получим следующее алгебраическое уравнение: (2.2.13) Вынеся в (2.2.13) и за скобки и записав, его в виде пропорции получим общее выражение передаточной функции линейной системы: (2.2.14) где - полином числителя степени а - полином знаменателя степени передаточной функции системы. Следует напомнить, что по условиям физической реализуемости всегда выполняется условие Корни полинома числителя называют нулями передаточной функции, а корни полинома знаменателя – полюсами. Если известны нули и полюса, то полиномы числителя и знаменателя передаточной функции могут быть представлены произведением двучленов: (2.2.15) где -тый корень полинома числителя, -тый корень полинома знаменателя. Математическое описание системы в форме передаточной функции, в сравнении с дифференциальными уравнениями, является более «узким», так как характеризует процессы только при нулевых начальных условиях. Однако, это не умоляет общности использования передаточных функций для исследования линейных систем автоматического управления, поскольку для них справедлив принцип суперпозиции (наложения) . Важным следствием справедливости этого принципа является то, что свойства линейной системы, это ее внутренние свойства, они не зависят ни от начальных значений переменных, ни от вида и места приложения внешних воздействий. Поэтому систему, в принципе, достаточно исследовать только в режимах с нулевыми начальными значениями переменных. Кроме того, отсюда следует, что именно полином знаменателя передаточной функции (2.2.14) характеризует основные свойства системы, поскольку вид полинома числителя согласно (2.1.14) зависит от входного воздействия и его производных. Поэтому полином знаменателя передаточной функции называют характеристическим полиномом, а уравнение: (2.2.16) характеристическим уравнением системы. Уравнение идентичное по внешнему виду (2.2.13) можно получить, введя в (2.1.14) для символа операции дифференцирования по времени обозначение . Тогда (2.2.17) Уравнение (2.2.17) называют символической записью уравнения (2.1.14). Здесь в отличие от (2.2.13) выносить за скобку не допустимо, поскольку невозможно оторвать переменную от символа операции над ней. Однако это уравнение дает подсказку формальной процедуры применения преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению (2.1.14) в случае нулевых начальных условий. Чтобы перейти к уравнению в изображениях (2.2.13), в (2.1.14) достаточно заменить символ переменной , а вместо соответственно записать и . Связь между входной и выходной переменной системы автоматического управления с помощью передаточной функции (2.2.14) характеризуется алгебраическим уравнением: , (2.2.18) которое называют уравнением системы в изображениях. Для примера определим передаточные функции двигателя постоянного тока независимого возбуждения при управлении только по якорной цепи. В уравнениях (2.1.16), (2.1.17) заменим переменной а и на и . Вынесем и за скобки: Полученные выражения перепишем в виде пропорции, взяв отношение к : , (2.2.19) (2.2.20) Здесь - передаточная функция двигателя по управлению, а - по возмущению. Знак минус в числителе показывает, что с увеличением тормозного момента на валу скорость двигателя уменьшается. Если математическое описание системы задано передаточной функцией, то можно найти изображение временной характеристики: Для этого необходимо передаточную функцию умножить на изображение входного сигнала . Изображения, приведенных ранее типовых сигналов достаточно просто получить с помощью интеграла прямого преобразования Лапласа и его свойств . Так, например, для воздействия типа «единичный скачок» согласно интегралу преобразования Лапласа имеем: . Этот интеграл заменой переменно на приводится к табличному интегралу значение, которого равно: . (2.2.21) Изображение - функции можно найти, вспомнив, что она по определению равна тогда воспользовавшись теоремой дифференцирования оригинала, для случая нулевых начальных условий, сразу можно записать: (2.2.22) Изображения некоторых наиболее часто встречающихся временных сигналов сведены в таблицу 2.2.1 Следует отметить, что в литературе известны существенно более обширные таблицы соответствий оригиналов и изображений , которые дают следующую важную для ряда практических случаев процедуру нахождения временных характеристик: 1. По таблицам находится изображение известного, заданного, входного воздействия. 2. Полученное изображение умножается на передаточную функцию системы, то есть находится изображение временной характеристики. 3. Для найденного изображения по тем же таблицам находится оригинал, который и будет искомой временной характеристикой. Как следует из (2.2.21), (2.2.22) изображением весовой функции является непосредственно передаточная функция системы (2.2.23) а изображением переходной функции, передаточная функция, помноженная на изображение единичного ступенчатого воздействия: (2.2.24) Легко заметить (2.2.14), что передаточные функции линейных систем – это дробно-рациональные функции. Такой же вид имеют и изображения многих реальных входных воздействий. Поэтому в большинстве практических случаев для нахождения оригинала временной характеристики по ее изображению очень удобно представить последнее в виде суммы элементарных дробей. Это позволяет формировать оригинал временной характеристики, как сумму оригиналов соответствующих элементарным дробям и практических затруднений не вызывает. Для разложения дробно-рациональной функции на элементарные дроби, необходимо знать ее полюса, или по-другому, корни полинома ее знаменателя. Современное программное обеспечение вычислительной техники позволяет без труда, с любой требуемой точностью находить корни алгебраических уравнений практически любого порядка. Вид разложения на элементарные дроби определяется видом корней знаменателя. Так для случая простых (различных) корней имеем: (2.2.25) Здесь, - полиномы числителя и знаменателя изображения временной функции соответственно, - порядок (количество корней) полинома знаменателя, --тый корень полинома знаменателя, - коэффициент числителя - той элементарной дроби. Коэффициенты можно определить, как вычет полюса функции (2.2.25): (2.2.26) где - производная от по . Для практических вычислений удобно использовать следующие формулы. Представив в виде произведения двучленов, согласно правилу дифференцирования произведений имеем: следовательно, (2.2.27) и так далее. Таким образом, определение коэффициентов сводится к определению произведений (2.2.27) с последующим делением на них соответствующих коэффициентов числителя Приведенные выше рассуждения (2.2.25), (2.2.26) и таблица 2.2.1. позволяют получить достаточно компактные формулы прямого определения весовой и переходной функций по их изображениям. С учетом (2.2.23) и (2.2.24), имеем: (2.2.28) где - корни характеристического полинома системы. Таблица 2.2.1. Таблица соответствий оригиналов и изображений некоторых функций. № п/п Название Оригинал Изображение 1 - функция (функция Дирака) 1 2 Единичное ступенчатое воздействие (функция Хевисайда) 1 3 Линейная функция времени (воздействие с постоянной скоростью) 4 Параболическая функция времени (воздействие с постоянным ускорением) 5 Степенная функция 6 Показательная функция 7 Синусоидальная функция 8 Косинусоидальная функция 9 Запаздывающая функция Определим переходную функцию двигателя постоянного тока при отработке возмущающего воздействия. Числитель передаточной функции по возмущению (2.2.20) равен: соответственно . Знаменатель: следовательно . Производная знаменателя: . Корни характеристического полинома: Подставив в (2.2.29) , и при и получим: В случае наличия кратных равных корней полинома знаменателя дробно-рациональной функции изображения, формула разложения ее на элементарные дроби становится более громоздкой. Существенно более сложной становится и процесс вычисления коэффициентов числителей элементарных дробей. В связи с малой вероятностью кратности полюсов передаточных функций реальных систем автоматического управления, эти вопросы здесь не рассмотрены. В случае необходимости рекомендуем обратиться к . В настоящее время при расчетах систем автоматического управления широко используют средства цифровой вычислительной техники. Разработаны «мощные» пакеты прикладных математических программ, например «», «» и т.д. Эти пакеты обеспечивают численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих процессы в САУ различными методами, при различных входных воздействиях и начальных условиях. Они позволяют получить различные временные характеристики, моделируя процессы при любых реальных режимах работы системы, на основе различных форм ее математического описания. 2.3. Описание систем в частотной области. Частотные характеристики устанавливают связь между амплитудой и фазой выходного сигнала и частотой входного сигнала единичной амплитуды в установившемся режиме. Они показывают, во сколько раз система усиливает входной сигнал, и какой фазовый сдвиг вносит в выходной сигнал при данной частоте. Следует отметить, что частотные характеристики позволяют оценить не только установившийся режим работы, но и динамические свойства системы. Поскольку, здесь входная и выходная переменные даже в установившемся режиме являются функциями времени, их функциональную зависимость между собой определяют не только они сами, но и их производные по времени. При чем вес производных, тем больше, чем больше численные значения постоянных времени. Математически формализовать понятие частных характеристик удобно, воспользовавшись операцией свертки двух временных функций: Согласно, рассмотренной ранее под номером 6 теоремы преобразования Лапласа, изображением свертки двух временных функций является произведение их изображений. Установлено, что изображением весовой функции является передаточная функция системы, то есть: (2.3.1) Следовательно, произведению в области оригиналов будет соответствовать операция: (2.3.2) Взяв, в качестве входного гармонический сигнал и устремив в (2.3.2) верхний предел интегрирования к бесконечности, что соответствует установившемуся режиму, можно записать: . Вынесем из-под знака интеграла величины, которые не зависят от переменной : Как следует из данного выражения, чтобы получить, установившееся значение выходной величины системы при подаче на вход гармонического сигнала, достаточно умножить последний на функцию: (2.3.3) Эта функция является комплексной функцией частоты и называется частотной передаточной функцией системы. Из сравнения выражений (2.3.1) и (2.3.3) видно, что для того чтобы получить частотную передаточную функцию системы, достаточно в ее передаточной функции заменить переменную на : . (2.3.4) В расчетах выражение частотной передаточной функции в виде (2.3.4) используют редко, обычно ее преобразуют с помощью правил выполнения операций над комплексными функциями к стандартной алгебраической (2.3.5) или показательной (2.3.6) форме. При этом, - соответственно называют вещественной, мнимой, амплитудной и фазовой частотными характеристиками. Все эти характеристики для минимально фазовых систем и звеньев (см. раздел 2.4) однозначно связаны между собой и каждая из них в полной мере определяет статические и динамические свойства системы: (2.3.7) . (2.3.8) Для получения выражения вида (2.3.5) необходимо в (2.3.4) и числитель, и знаменатель умножить на комплексную функцию, сопряженную знаменателю, а затем путем почленного деления числителя на знаменатель выделить в полученном выражении вещественную и мнимую часть. Для определения и можно воспользоваться формулами (2.3.7), (2.3.8), но удобнее комплексные полиномы числителя и знаменателя выражения (2.3.4) сразу представить в показательной форме и поделив их сразу перейти к выражению вида (2.3.6). Например, для передаточной функции , заменив на , получим частотную передаточную функцию: . (2.3.9) Домножим числитель и знаменатель на комплекс сопряженный знаменателю и выделим вещественную и мнимую части: Здесь . Запишем и числитель, и знаменатель (2.3.9) в показательной форме (см. формулы (2.3.7), (2.3.8)): или , (2.3.10) . На практике очень часто используется графическое представление частотных характеристик. Графики частотных характеристик могут быть построены, как по точкам на основе приведенных выше формул, так и сняты экспериментально путем подачи на вход системы тестирующих гармонических сигналов различной частоты и наблюдения установившихся реакций системы на эти сигналы. Для графика, построенного согласно формуле (2.3.5) в координатах , принято собственное название – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ). Для графиков остальных характеристик сохранены те же названия, что и для аналитических выражений – вещественная частотная характеристика (ВЧХ), мнимая частотная характеристика (МЧХ) амплитудная частотная характеристика (АЧХ), и фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Возможные графики частотных характеристик рассмотренного примера приведены на рис.2.3.1. Рис.2.3.1. Необходимо отметить, что амплитудные частотные характеристики соответствующие отдельным множителям произведения частотных передаточных функций перемножаются, а фазовые суммируются. Процедура графического перемножения отдельных характеристик существенно более громоздкая и трудоемкая, чем процедура их графического сложения. Кроме того, область существенного изменения частотных характеристик расположена в зоне малых и средних частот. Это предопределило широкое использование логарифмических амплитудных (ЛАЧХ) и фазовых (ЛФЧХ) частотных характеристик. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Это означает, что наносят отметки соответствующие , но около отметок указываются значения частоты. Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в десять раз, называют декадой, а отрезок, соответствующий изменению частоты в два раза, - октавой. По оси ординат откладывают в равномерном масштабе логарифмическую амплитуду дБ. Необходимость масштабирующего коэффициента 20 обусловлена тем, что ЛАЧХ в отличие от просто амплитудной частотной характеристики, имеет размерность – децибел, которая составляет 0,1 базовой, принятой в технике единице измерения изменения мощности сигнала – Бел. (1Б – соответствует изменению мощности сигнала в 100 раз). Мощность же сигнала связана с его амплитудой квадратичной зависимостью. Следовательно, чтобы сохранить размерность необходимо писать: . Нуль логарифмической амплитуды соответствует . Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, поскольку , поэтому ось ординат может пересекать ось абсцисс в любой точке. Эту точку выбирают так, чтобы график охватывал нужный диапазон частот. У ЛФЧХ такая же ось абсцисс, а по оси ординат в равномерном масштабе откладывают фазу в градусах или радианах. ЛФЧХ строят обычно под ЛАЧХ с тем, чтобы изменение фазы можно было сопоставить с изменением амплитуды. Логарифмические частотные характеристики удобны тем, что небольшим графиком может быть охвачен широкий частотный диапазон. При этом одинаково наглядно изменение частотных свойств, как на малых, так на средних и высоких частотах. Небольшим графиком охватывается и широкий диапазон изменения амплитуды с одинаковой наглядностью изменения больших и малых амплитуд, а операция графического перемножения заменяется более удобной операцией графического суммирования. Кроме того, оказывается, что значительные участки ЛАЧХ с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями – асимптотами. Они имеют наклон кратный 20 дБ/дек, т.е. 20 дБ/дек, где = 0,±1,±2,…... . В ряде случаев оказывается возможным пренебречь кривизной ЛАЧХ на отдельных небольших участках частот. Тогда ЛАЧХ изображается отрезками прямых (асимптот) и называется асимптотической ЛАЧХ. Для ее построения необходимы весьма простые вычисления. Рассмотрим вид асимптотических ЛАЧХ для некоторых типичных амплитудных частотных характеристик: а) . В этом случае есть постоянная величина и ЛАЧХ представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (рис.2.3.2а); б) . В этом случае . При имеем (Т/Т)=0 и на протяжении одной декады (с увеличением в10 раз) уменьшается на 20дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном – 20дцБ/дек пересекающую ось абсцисс при частоте (рис 2.3.2б). в) . Здесь . График ЛАЧХ (рис.2.3.2в) является зеркальным отражением графика рис. 2.3.2б относительно оси абсцисс и также пересекает ее в точке . г) . В этом случае . При малых частотах имеем ≈ 0. это низкочастотная асимптота, проходящая по оси абсцисс. При больших частотах имеем ≈. Это высокочастотная асимптота, которая уменьшается на 20дБ/дек. Следовательно, асимптотическая ЛАЧХ образуется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте (рис 2.3.2г), так как при этой частоте удовлетворяются уравнения обеих асимптот. д) . В этом случае, Как и в предыдущем асимптотическая ЛАЧХ составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте но высокочастотная асимптота имеет положительный наклон +20дБ/дек (рис.2.3.2д). е) , где . В данном случае . На малых частотах - , на высоких - . Низкочастотная асимптота проходит по оси абсцисс, а высокочастотная имеет отрицательный наклон и уменьшается на 40дБ/дек (2.3.2е). Точка сопряжения асимптот . ж) , где . В этом случае . Асимптотическая ЛАЧХ составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются на частоте . Низкочастотная асимптота проходит по оси абсцисс, а высокочастотная – имеет положительный наклон +40 дБ/дек (рис. 2.3.2.ж). Рис.2.3.2. Амплитудной частотной характеристике (2.3.10) соответствует ЛАЧХ . График этой ЛАЧХ (рис. 2.3.2з) можно получить суммированием графиков рис. 2.3.2. (г, д). В литературе приводятся нормированные шаблоны графиков типичных фазных частотных характеристик , которые позволяют также, практически без расчетов, построить необходимые фазные частотные характеристики. 2.4. Структурные представления математических моделей САУ. Как отмечалось ранее, в теории автоматического управления при описании процессов в системе широко используется графический язык структурных схем. Структурные схемы – это графическая интерпретация математического описания системы. Если известна общая передаточная функция системы, например (2.2.14), ей можно ввести в соответствие структурную схему рис.2.4.1. Здесь передаточная функция , по сути, оператор системы, определяющий преобразование системой входного сигнала в выходной. На рис 2.4.1. система автоматического управления представлена динамическим звеном однонаправленного действия в виде прямоугольника с вписанной в него передаточной функцией, а изображения входной и выходной переменных показаны соответственно входящей и исходящей стрелками. Если известны передаточные функции отдельных физических элементов, составляющих систему автоматического управления и схема их взаимодействия, то математическая модель САУ в целом графически может быть представлена детализированной структурной схемой. Здесь каждому физическому элементу системы вводится в соответствие динамическое звено, а выходная переменная одного звена, согласно схеме взаимодействия, будет входной для другого. Математическое описание реального физического элемента, полученное в виде системы дифференциальных и алгебраических уравнений, легко может быть преобразовано в систему уравнений в изображениях вида (2.2.18). Эти уравнения позволяют характеризовать каждый элемент САУ, в свою очередь, развернутой (детализированной) структурной схемой. Однако динамические звенья такой структурной схемы уже не соответствуют реальному элементу в целом, а только отображают математические связи между внутренними переменными этого устройства. Например, уравнениям (2.1.8), (2.1.9) характеризующим процессы в двигателе постоянного тока независимого возбуждения, представленным в изображениях: соответствует структурная схема рис. 2.4.2. Рис. 2.4.2. Здесь - постоянная времени якорной цепи двигателя. Очевидно, что детализация структурной схемы системы может быть доведена вплоть до звеньев соответствующих элементарным линейным математическим операциям. Таких математических операций всего пять: сложение, вычитание, умножение на константу (масштабирование), интегрирование, дифференцирование. Этим операциям соответствует пять, так называемых, элементарных динамических звеньев (см. таб. 2.4.1.). Следовательно, структурную схему любой системы автоматического управления можно скомпоновать из наборов пяти, различным образом соединенных между собой элементарных звеньев. Однако столь глубокая детализация применяется достаточно редко. Обычно, для представления САУ структурной схемой, используются более сложные динамические звенья, полиномы числителя и знаменателя передаточных функций, которых могут достигать второго порядка включительно, в различных сочетаниях. Такие динамические звенья получили название «типовых» и частично так же представлены в таблице 2.4.1. Особняком в этой таблице стоит звено транспортного запаздывания, которое лишь приближенно может быть представлено дробно-рациональной передаточной функцией, но достаточно часто встречается в реальных системах автоматического управления. Наличие такого звена в системе, вносит некоторые особенности в методику ее проектирования . В таблице 2.4.1. по умолчанию принято, что звенья с дробно-рациональными передаточными функциями имеют, либо отрицательные вещественные, либо комплексные, с отрицательной вещественной частью, нули и полюса. Такие звенья называют минимально-фазовыми. Связь частотных характеристик между собой у таких звеньев однозначна. Звенья, у которых в любом сочетании нули и полюса имеют положительные вещественные значения или комплексные значения с положительной вещественной частью называют неминимально-фазовыми. Например, звено с передаточной функцией: . Таблица .2.4.1. Некоторые типовые динамические звенья. № п/n Название Графическое изображение Передаточная функция Уравнения в изображениях Уравнения в оригиналах Класси- фикация. 1 Сумматор _____ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗВЕНЬЯ 2 Узел сравнения _____ 3 Масштабирующее, пропорциональное, усилительное, безинерционное Прямоугольник с вписанной в него передаточной функцией 4 Дифференцирующее 5 Интегрирующее 6 Форсирующее 1-го порядка Т И П О В Ы Е З В Е Н Ь Я 7 Апериодическое Форсирующее 2-го порядка. 8 Колебательное (если корни -комплексные). 9 Реальное дифференцирующее 10 Реальное форсирующее 11 Пропорционально-интегрирующее 12 Чистого запаздывания. Это неминимально-фазовое апериодическое звено. Фазовые частотные характеристики таких звеньев, рассчитанные непосредственно по частотным передаточным функциям, и по вещественной, и мнимой частотным характеристикам, с учетом знаков их значений, могут отличаться на угол кратный /2. Амплитудные частотные характеристики у однотипных минимально-фазовых и неминимально-фазовых звеньев совпадают. Неминимально-фазовые звенья с отрицательным полюсом или с отрицательной вещественной частью комплексного полюса неустойчивы. Часть типовых динамических звеньев не имеют физической реализации (например, звенья под номерами – 4,6,8 таблицы 2.4.1.), но их использование в математических исследованиях вполне правомерно, а иногда просто необходимо. Часто необходимо знать общую передаточную функцию системы. Для САУ заданной структурной схемой состоящей из участков последовательного (рис.2.4.3.а), параллельного (рис.2.4.3.б) соединения звеньев и соединения типа обратная связь (рис.2.4.3.в), общую передаточную функцию легко определить последовательным применением перечисленных ниже правил : Рис. 2.4.3. Правило 1. Общая передаточная функция последовательно соединенных звеньев (рис.2.4.3.а) равна произведению передаточных функций отдельных звеньев: . (2.4.1) Запишем для структурной схемы (рис. 2.4.3а) уравнения в изображениях: Исключив промежуточные переменные, получим: Аналогично доказываются и последующие два правила. Правило 2. Общая передаточная функция параллельно соединенных звеньев (рис. 2.4.3.б) равна сумме передаточных функций отдельных звеньев с учетом знака суммирования: (2.4.2) Правило 3. Общая передаточная функция соединения типа «обратная связь» (рис. 2.4.3.в) равна передаточной функции прямого тракта делнной на единицу плюс (минус) произведения передаточных функций прямого тракта и канала обратной связи: (2.4.3) Здесь знак «-» для положительной обратной связи, а знак «+» для отрицательной. Рис. 2.4.4. Например, структурную схему (рис. 2.4.4.а), составленную из элементарных звеньев, последовательным применением правил 3 и 1(см. рис. 2.4.4.б, в) можно преобразовать к одному звену с общей передаточной функцией: . Такую передаточную функцию имеет типовое динамическое звено, называемое апериодическим. Часто конфигурация исходной структурной схемы не позволяет непосредственно воспользоваться формулами (2.4.1 2.4.3) для получения общей передаточной функции системы автоматического управления (см., например, рис. 2.4.5а). Тогда исходную структурную схему необходимо преобразовать к виду удобному для их применения. Основой такого преобразования является принцип эквивалентности, суть которого в том, что математические связи между входными и выходными переменными узла структурной схемы до преобразования и после должны оставаться прежними. Другими словами, исходная и преобразованная структурные схемы, отличаясь количеством и схемой соединения звеньев, должны иметь одинаковые общие передаточные функции. Рис. 2.4.5. Так схема (рис.2.4.5.а) будет эквивалентна схеме (рис.2.4.5.б) только в том случае, если при переносе узла разветвления сигнала за звено с передаточной функцией включить в канал ответвления, как это показано на рис. 2.4.5.б, звено с передаточной функцией 1/. Действительно, на входе узла схемы до преобразования (пунктирный прямоугольник на рис. 2.4.5а) и после преобразования (пунктирный прямоугольник на рис. 2.4.5.б) один и тот же сигнал . На выходе из узла канала верхней обратной связи в первом случае имеем , во втором . На основном входе и выходе канала нижней обратной связи в обоих случаях Преобразование схемы к виду рис. 2.4.5б позволяет получить общую передаточную функцию системы, применив правило 3 к внутреннему контуру, затем правило 1 к последовательным звеньям прямого тракта, и, наконец, вновь правило 3 для внешнего контура. Основные правила эквивалентных структурных преобразований представлены в таблице 2.4.2. Более полно они приведены, например, в . Таблица 2.4.2. Правила структурных преобразований. № п/п Преобразование Исходная структурная схема Эквивалентная структурная схема 1 Перенос точки разветвления через звено по направлению передачи сигналов. 2 Перенос точки разветвления через звено против направления передачи сигналов. 3 Перенос сумматора через звено по направлению передачи сигналов 4 Перенос сумматора через звено против направления передачи сигналов. 5 Перестановка точек разветвления. 6 Перестановка сумматоров. Рис.2.4.6. Путем рассмотренных выше эквивалентных преобразований, структурную схему любой системы можно привести к одноконтурной системе с единичной отрицательной обратной связью (рис.2.4.6). Здесь в качестве выходной переменной рассматривается сигнал с датчика, измеряющего реальную технологическую переменную, которая характеризует ход технологического процесса. Структурная схема характеризует систему, как многомерную с двумя входными переменными управляющей и возмущающей . Однако принцип суперпозиции позволяет исследовать процессы в системе раздельно, поочередно полагая или равными нулю. При этом инженера интересует передаточная функция разомкнутой системы , а так же общие передаточные функции замкнутой системы по управляющему и возмущающему воздействиям. Кроме того, бывает полезно знать передаточные функции по ошибке от управляющего воздействия и возмущающего воздействия . Передаточной функцией разомкнутой системы называется общая передаточная функция прямого тракта системы по каналу передачи управляющего воздействия при разомкнутой главной обратной связи, т.е.: . (2.4.4) где - коэффициент передачи разомкнутой системы, - полином числителя передаточной функции разомкнутой системы в общем случае порядка , - полином знаменателя передаточной функции разомкнутой системы в общем случае порядка . Передаточную функцию замкнутой системы по управлению (главную передаточную функцию замкнутой системы) можно получить, положив , тогда так же будет равно нулю: . (2.4.5) Передаточную функцию замкнутой системы по возмущению можно получить, положив Тогда схему рис. 2.4.6. можно представить в виде рис. 2.4.7. Общая передаточная функция такой структуры равна: . (2.4.6.) Для определения передаточной функции замкнутой системы по ошибке, перерисуем схему рис.2.4.6., приняв за выходную переменную ошибку и положив . Общая передаточная функция в этом случае (см.рис.2.4.8.) равна: (2.4.7) Рис. 2.4.7. Рис. 2.4.8. Структурная схема для определения передаточной функции замкнутой системы по ошибке от возмущения, когда показана на рис.2.4.9. Она свидетельствует, что передаточная функция по ошибке от возмущения равна передаточной функции замкнутой системы по возмущению, взятой с обратным знаком, т.е.: (2.4.8) Рис. 2.4.9. Сравнение передаточных функций замкнутой системы (2.4.5) – (2.4.8) показывает, что они отличаются только полиномами числителя. Характеристический полином замкнутой системы у всех передаточных функций одинаков и равен сумме характеристического полинома и полинома числителя передаточной функции разомкнутой системы: . (2.4.9) Следовательно, оценку устойчивости и динамических свойств системы можно осуществить, взяв за основу любую из рассмотренных передаточных функций, поскольку эти характеристики системы определяются видом корней характеристического полинома (2.4.9). От полинома числителя зависят только численные значения коэффициентов при слагаемых в аналитических выражениях временных характеристик. Характеристический полином (2.4.9) замкнутой системы имеет тот же порядок, что и характеристический полином разомкнутой системы, поскольку порядок полинома не выше порядка полинома по условиям физической реализуемости. Однако коэффициенты слагаемых одного порядка в полиномах и имеют различные численные значения. Поэтому свойства разомкнутой и замкнутой системы могут существенно различаться. 3. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 3.1. Определение понятия качества функционирования. Качество функционирования системы автоматического управления, как уже отмечалось ранее, определяется совокупностью всех ее временных характеристик, а именно, их соответствием заданным значениям. Так, например, если в системе рассматривается, в качестве выходной, одна переменная и цель регулирования – стабилизация этой переменной с заданной точностью, то для оценки качества функционирования системы удобно использовать ее переходную функцию (рис.3.1.1.). Причем значения переходной функции в каждый момент времени не должен выходить из некоторого заданного диапазона. Таким образом, качество функционирования системы определяется ее точностью в установившемся режиме (величиной установившейся ошибки ) и точностью в переходном (динамическом) режиме работы (время переходного процесса , перерегулирование , колебательность, предельные значения производных от переходной функции и т.д.). Однако прежде чем приступить к оценке точности, необходимо быть уверенным в принципиальной работоспособности системы, другими словами, в ее устойчивости. Устойчивость гарантирует затухание во времени переходного процесса. Поэтому критерий устойчивости – это еще один, причем важнейший, показатель качества функционирования системы. Если для системы типичным является другой режим работы (программный, следящий), то для анализа точности необходимо использовать соответствующие временные характеристики. Временные характеристики – это решения дифференциального уравнения описывающего, процессы в системе. Эти решения для выходной переменной имеют вид: (3.1.1) где собственное движение определяется общим решением однородного дифференциального уравнения (2.1.14) при заданных начальных условиях: , (3.1.2.) а вынужденное движение - частным решением уравнения, обусловленным заданной правой частью, т.е. задающим и возмущающим воздействиями и их производными. Если все корни характеристического полинома замкнутой системы различны, первая часть решения (3.1.1) имеет вид: . (3.1.3) Постоянные определяются по начальным условиям (3.1.2). Эта часть решения представляет собой переходный процесс в замкнутой системе управления. Значения определяются после добавления частного решения , т.е. в полном решении (3.1.1). Другими словами, форма переходного процесса зависит не только от полюсов передаточной функции замкнутой системы, но и от ее нулей и конкретного вида входного воздействия. Случай кратных корней в реальных системах маловероятен, поэтому здесь не рассматривается. При необходимости можно посмотреть в . Вторая часть решения (3.1.1) представляет собой установившуюся часть процесса в системе, на нее накладывается переходный процесс (3.1.3), который теоретически длится бесконечно, но его влияние становится практически ничтожным через конечное время (см. рис. 3.1.1.) на практике обычно считают, что процесс установился, когда станет меньше 0,05. Иногда это условие устанавливается более жестким и тогда оговаривается особо. Решение для установившегося режима можно записать в виде интеграла свертки, положив в нем верхний придел интегрирования равным бесконечности: . (3.1.4) Таким образом, установившийся процесс (3.1.4) определяет точность системы в рабочем режиме. При этом установившаяся ошибка системы равна: . (3.1.5) Динамическая (переходная) ошибка – это: , (3.1.6) а полное значение ошибки: . (3.1.7) Для нахождения решения (3.1.1) уравнения (2.1.14), описывающего процессы в системе, возможны различные методы: а) классическое математическое решение; б) операционный метод; в) приближенные численные и графические способы; г) численные методы с помощью ЭВМ; д) экспериментальные методы и методы физического моделирования. Все эти способы решения дифференциальных уравнений – предмет рассмотрения в соответствующих дисциплинах. Поэтому здесь они не излагаются. Во второй главе мы лишь кратко дали идеологию использования методов операционного исчисления и привели формулы определения на их основе весовой и переходной функций. Здесь рассмотрим еще один способ определения переходной функции иллюстрирующий связь временных и частотных характеристик. Изображение выходной переменной замкнутой системы при известном изображении входного воздействия согласно (2.2.18) равно: , (3.1.8) Для нахождения оригинала соответствующего изображению (3.1.8) можно воспользоваться интегралом обратного преобразования Лапласа: при (3.1.9) Если - дробно-рациональная функция, все полюсы которой расположены в левой полуплоскости, то интегрирование можно осуществить вдоль мнимой оси , положив, что , тем самым, осуществив переход к интегралу обратного преобразования Фурье, связывающему временные характеристики с их частотным отображением. Полагая, что система устойчива, считаем, что все полюса передаточной функции замкнутой системы заведомо расположены в левой полуплоскости. В данном случае входное воздействие и его изображение по Лапласу имеет полюс первого порядка на мнимой оси . Следовательно, в формуле (3.1.9), переписанной для определения переходной функции, принимать нельзя: . (3.1.10) Для устранения указанного затруднения выделим из ту часть, которая имеет нулевой полюс. Применив правило разложения дробно-рациональных функций на простые дроби, получим: . (3.1.11) Где ; - значение вещественной частотной характеристики при ; - часть изображения, обусловленная одним полюсом на мнимой оси. Подставив (3.1.11) в (3.1.10) получим: . (3.1.12) Изображение имеет полюсы только в левой полуплоскости, поэтому в первом слагаемом (3.1.12) можно заменить переменную на . Второе слагаемое, это обратное преобразование Лапласа от константы, равное для самой константе , а для - нулю. АФЧХ замкнутой системы может быть выражена через вещественную и мнимую частотные характеристики. Кроме того, . Преобразовав, с учетом изложенного (3.1.12) и отбросив в полученном выражении мнимую часть, которая тождественно равна нулю, поскольку переходная функция – это функция вещественная, получим: . Последний интеграл – табличный, это интегральный синус, равный при данных пределах интегрирования . Кроме того функции и - четные, а и - нечетные, следовательно, подынтегральные функции первого и второго слагаемого четные и пределы интегрирования здесь можно заменить на пределы от 0 до +, одновременно введя перед интегралами масштабирующий коэффициент, равный 2. Учитывая сказанное, можно записать: . (3.1.13) По определению при Поэтому подставив в (3.1.13) значение со знаком минус имеем: . (3.1.14) Складывая и вычитая выражения (3.1.13) и (3.1.14) приходим к формулам: (3.1.15) Последняя формула широко используется для частотных оценок качества переходного процесса. Помня, что весовая функция связана с переходной функцией соотношением: , можно так же получить формулу определения весовой функции по частотным характеристикам. Продифференцировав (3.1.15) по времени получим: . (3.1.16) 3.2. Анализ устойчивости САУ. Устойчивость системы можно установить, исследуя ее свободное движение, т.е. ее поведение под влиянием начальных условий. Предположим, что на систему в течение некоторого промежутка времени, кроме задающего воздействия, действует возмущение и в результате в момент состояние системы характеризуется значениями , регулируемой величины и ее производных. Предположим далее, что в момент времени влияние возмущения прекращается. Следовательно, дальнейшее поведение системы определяется задающим воздействием и начальными условиями , причем на основании принципа суперпозиции эти два влияния в линейной системе независимы друг от друга. В наиболее благоприятном случае, свободная составляющая регулируемой величины, которая создается начальными условиями, с течением времени стремится к нулю. Такую систему называют устойчивой (асимптотически устойчивой). Возможно также, что свободная составляющая стремится к некоторому конечному значению или совершает гармонические колебания, амплитуда которых стремится к некоторому конечному значению. Такие системы называют нейтральными (нейтрально-устойчивыми) или находящимися на границе устойчивости. Возможно, наконец, что свободная составляющая регулируемой величины неограниченно возрастает или совершает гармонические колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Такие системы называют неустойчивыми. Итак, система является устойчивой, если после прекращения внешнего воздействия она по истечении некоторого времени возвращается к тому состоянию равновесия или вынужденного движения, в котором находилась до начала воздействия. Поведение свободной составляющей, а, следовательно, и устойчивость системы согласно (3.1.3) определяется видом корней характеристического полинома, которые в свою очередь зависят только от параметров системы. Так если все корни характеристического полинома вещественные и отрицательные, все слагаемые уравнения (3.1.3) при будет стремиться к нулю. Система устойчива (асимптотически устойчива). Если есть хотя бы пара комплексно сопряженных корней, то в свободном движении будет присутствовать гармоническая составляющая: , где - постоянные интегрирования; - комплексно сопряженные корни характеристического полинома. Очевидно, что слагаемое будет затухать, если вещественная часть пары комплексно сопряженных корней будет иметь отрицательное значение. Таким образом, для устойчивости (асимптотической устойчивости) линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все вещественные корни характеристического полинома были отрицательны, а все комплексно сопряженные корни имели отрицательную вещественную часть. В случае если хотя бы один вещественный корень будет положительным или хотя бы одна пара комплексных корней будет иметь положительную вещественную часть, соответствующее слагаемое в уравнении (3.1.3) будет неограниченно возрастать. Будет неограниченно возрастать и вся сумма. Следовательно, система неустойчива. Среди корней характеристического полинома может быть корень равный нулю , или пара чисто мнимых корней . Если при этом все остальные корни имеют отрицательные вещественные части, решение (3.1.3) будет иметь соответственно постоянное слагаемое или гармоническое слагаемое с постоянной амплитудой . В этих случаях система нейтральна. Корни алгебраического уравнения, как и всякие комплексные числа, удобно представлять в виде точек на комплексной плоскости. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости, т.е. в левой полуплоскости. Сформулированные выше условия устойчивости линейных систем справедливы так же и для линеаризованных систем. Обоснование законности линеаризации нелинейных САУ и использование для их проектирования теории линейных систем содержится в теоремах А.М. Ляпунова. Поэтому такой подход к проектированию реальных систем получил название – первый метод А.М. Ляпунова. Суть теорем заключается в следующем: 1. Если линеаризованная система устойчива, то устойчива и исходная нелинейная система. 2. Если линеаризованная система неустойчива, то неустойчива и исходная нелинейная система. 3. Если линеаризованная система находится на границе устойчивости, то об устойчивости исходной нелинейной системы ничего сказать нельзя. Необходимы исследования с учетом нелинейности ее математической модели. Эти теоремы справедливы для исследования устойчивости САУ в «малом», т.е. при малых отклонениях ее координат относительно точки линеаризации. На практике, для упрощения вычислений, устойчивость систем определяют с помощью некоторых критериев без вычисления корней характеристического уравнения. Критерии устойчивости эквивалентны по содержанию сформулированным выше условиям устойчивости. По сути это математическая формулировка условий, которым должна удовлетворять математическая модель устойчивой системы. Рассмотрим необходимое условие устойчивости. Пусть характеристический полином замкнутой системы в развернутой форме имеет вид: (3.2.1) Докажем, что необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (этому условию удовлетворяет и отрицательность всех коэффициентов, поскольку можно поменять знаки помножив и левую и правую часть на 1). Для доказательства разложим левую часть уравнения (3.2.1) на множители: . Пусть все корни его имеют отрицательные вещественные части: . Подставив их в уравнение, получим: Поскольку средние два сомножителя дают: , то видно, что после перемножения всех скобок получим в уравнении только положительные коэффициенты. Что и требовалось доказать. Положительность коэффициентов для систем первого и второго порядка является и достаточным условием устойчивости (это легко проверить). Для систем более высокого порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но недостаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты уравнения положительны, то все вещественные корни отрицательные, но среди комплексных корней могут быть и корни с положительной вещественной частью. Если хотя бы один из коэффициентов отрицателен, то система заведомо неустойчива. При равенстве нулю коэффициента система находится на границе устойчивости. При равенстве нулю, какого либо другого коэффициента система, либо на границе устойчивости, либо неустойчива. Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. Алгебраические критерии базируются на анализе характеристического уравнения замкнутой системы алгебраическими методами, частотные – на анализе частотных характеристик системы. Различные формы алгебраических критериев рассматриваются в курсе высшей алгебры. В теории автоматического управления наибольшее применение из них получили критерий Рауса и критерий Гурвица. Рассмотрим эти критерии без доказательств. Таблица Рауса. Таблица 3.2.1. значение № Номер столбца строк 1 2 3 …… - 1 …… - 2 …… 3 …… 4 …… 5 …… 6 …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… Критерии устойчивости Рауса. Считаем, что для характеристического уравнения (3.2.1) необходимое условие устойчивости выполняется. Применение критерия требует составления таблицы Рауса (таблица3.2.1.). Элементами ее первой строки являются четные коэффициенты уравнения (3.2.1.),начиная с . Элементы второй строки – нечетные коэффициенты, начиная с . Коэффициенты третьей строки, рассчитываются через элементы первых двух строк, четвертой строки – через элементы второй и третьей строки и т.д. по следующей рекуррентной формуле: . Здесь - номер столбца; - номер строки; - коэффициент, расположенный в -той строке -того столбца таблицы; - коэффициент, постоянный для каждой строки. Всего в таблице заполняют строк. Критерий формулируется следующим образом. Для выполнения условий устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца были положительны. При наличии отрицательных элементов в первом столбце система не устойчива. Число корней с положительной вещественной частью равно числу таких элементов. Если один из элементов первого столбца равен нулю, а остальные положительны, то характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней – система на границе устойчивости. При равенстве нулю последнего или последних элементов первого столбца – характеристическое уравнение имеет соответственно один или нулевых корней. Критерий устойчивости Гурвица. При использовании критерия из коэффициентов характеристического уравнения составляют матрицу (3.2.2.) по следующим правилам. По диагонали матрицы вписывают по порядку все коэффициенты, начиная с и заканчивая . Затем, каждый столбец таблицы дополняют так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз уменьшались. В случае отсутствия в уравнении, какого либо коэффициента пишут нуль. Вместо коэффициентов с индексом меньше нуля и больше ,также пишут нуль. (3.2.2) Критерий можно сформулировать так: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными главных определений матрицы (3.2.2), т.е. (3.2.3) При этом, естественно, необходимое условие устойчивости должно быть выполнено. Эти определители называют определителями Гурвица. Из формулы последнего определителя следует, что его положительность при сводится к условию . Система находится на границе устойчивости, если, а все предыдущие определители Гурвица положительны. При этом дает апериодическую границу устойчивости, а дает колебательную границу устойчивости. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов Для устойчивости систем третьего порядка должно выполняться неравенство: . Для систем четвертого порядка: . Для систем пятого порядка необходимо выполнение двух неравенств: , . Критерий Гурвица удобен для исследования устойчивости систем третьего и четвертого порядков, когда известны их параметры. Он позволяет получить аналитические выражения для границ области изменения, каких либо параметров системы, при которых сохраняется устойчивость. Критерий Рауса предпочтительнее для исследования устойчивости систем более высокого порядка, поскольку он удобен для численных расчетов с применением ЭВМ. Использование алгебраических критериев предполагает большой объем вычислительной работы. Поэтому при достаточно высоком порядке характеристического уравнения замкнутой системы, для анализа ее устойчивости в аналитической форме, удобнее использовать частотные критерии. К таким критериям относят критерий устойчивости Михайлова и критерий устойчивости Найквиста. Критерий устойчивости Михайлова. Частотный критерий Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой или разомкнутой системы по годографу характеристического вектора (по годографу Михайлова). Характеристический вектор получается из характеристического полинома: путем подстановки : , (3.2.4) где . Годограф Михайлова, это кривая, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении от 0 до . Годограф начинается при на вещественной оси в точке и при уходит в бесконечность в соответствующем квадранте. Угол поворота характеристического вектора определяется выражением: , (3.2.5) где - степень характеристического полинома, - число корней характеристического полинома с положительной вещественной частью. Представим в виде разложения на линейные множители и выполним подстановку : , где - корни характеристического уравнения. Рассмотрим основные возможные варианты корней: а). Пусть - вещественный положительный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя при изменении от 0 до повернется на отрицательный угол /2 по часовой стрелке (рис. 3.2.1.) Рис. 3.2.1. Рис. 3.2.2. б). Пусть - вещественный отрицательный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя при изменении от 0 до повернется на угол /2 в положительном направлении (рис.3.2.2.). в). Пусть - комплексно сопряженные корни с положительной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей при изменении от 0 до повернутся по часовой стрелке на углы: . Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный - (рис. 3.2.3.) г). Пусть - комплексно сопряженные корни с отрицательной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей при изменении от 0 до повернутся на углы: . Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный + (рис. 3.2.3.). Таким образом, для устойчивой системы поворот характеристического вектора составляет в положительном направлении. Каждый положительный корень уменьшает угол поворота на величину - (3.2.5). Рис. 3.2.3. Рис. 3.2.4. Изложенное позволяет сформулировать критерий устойчивости Михайлова следующим образом: «Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф Михайлова начинался на положительной вещественной полуоси и последовательно обходил в положительном направлении (против часовой стрелки) столько квадрантов, каков порядок характеристического полинома, нигде не обращаясь в ноль». На рис. 3.2.5. показаны годографы Михайлова устойчивых систем первого – пятого порядков с равным значением коэффициента . Если система находится на границе устойчивости, то годограф Михайлова проходит через начало координат так, что после небольшой его деформации около начала координат критерий удовлетворяется. Годографы Михайлова системы четвертого порядка, находящейся на границе устойчивости показаны на рис. 3.2.6а,б. В первом случае характеристический полином имеет пару чисто мнимых корней (колебательная граница устойчивости), во втором – нулевой корень (апериодическая граница устойчивости). У неустойчивых систем годографы Михайлова имеют самую разнообразную форму. На рис. 3.2.7. показаны годографы неустойчивых систем четвертого порядка. Их характеристический полином имеет положительный корень (кривая - 1), два положительных вещественных корня (кривая - 2), два комплексных сопряженных корня с положительной вещественной частью (кривая - 3), два чисто мнимых корня и положительный вещественный корень (кривая - 4). Рис.3.2.6. Рис. 3.2.7. Критерий устойчивости Найквиста. Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы. Предварительно должна быть определена устойчивость исследуемой системы в разомкнутом состоянии. Для неустойчивой разомкнутой системы нужно выяснить, какое число корней ее характеристического полинома имеет положительные вещественные части. В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных типовых динамических звеньев, оценка устойчивости и количества корней с положительной вещественной частью разомкнутой системы затруднений не вызывает. Если система содержит местные обратные либо перекрестные связи, удобно воспользоваться критерием Рауса, либо Михайлова. Они позволят определить число корней с положительной вещественной частью, если разомкнутая система окажется неустойчивой. Различают три случая применения критерия Найквиста. 1). Разомкнутая система устойчива. Передаточная функция разомкнутой цепи: . Введем в рассмотрение вспомогательную функцию: . Здесь - характеристический полином разомкнутой системы, а - характеристический полином замкнутой системы. Подставив , получим: . Так как полагается, что разомкнутая система устойчива, согласно критерию Михайлова изменение аргумента при 0 равно . С другой стороны, для того чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо потребовать, чтобы изменение аргумента при 0 так же равнялось . Поскольку, как отмечалось ранее, порядок характеристических полиномов разомкнутой и замкнутой системы одинаков. Отсюда следует, что при . Это значит, что годограф не должен охватывать начало координат (рис. 3.2.8.а,б.). Рис. 3.2.8. Поскольку, представляет собой сдвинутую на 1 по вещественной оси вправо амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы, окончательно сформировать критерий устойчивости Найквиста можно так: «Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами ». На рис. 3.2.9. изображены возможные случаи. При АФЧХ, показанных кривыми 1 и 2, замкнутая система устойчива, кривая 3 соответствует системе находящейся на колебательной границе устойчивости, поскольку она проходит через точку . Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчива. 2). Система в разомкнутом состоянии нейтральна. Характеристический полином такой разомкнутой системы имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные части. Если нулевых корней , то АФЧХ при дугой бесконечно большого радиуса перемещается от положительной вещественной полуоси на угол - по часовой стрелке рис.3.2.10.а,б. Если есть пара чисто мнимых корней (в знаменателе частотной передаточной функции разомкнутой системы есть множитель), то АФЧХ при частоте дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол по часовой стрелке. Такая АФЧХ показана на рис. 3.2.11. В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении от 0 до , дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывала точку с координатами . Рис. 3.2.10. Таким образом системы обладающие в разомкнутом состоянии АФЧХ рис. 3.2.10 а, б. при замыкании будут устойчивы, а системы с АФЧХ согласно рис. 3.2.11. при замыкании – неустойчивы. 3). Разомкнутая система неустойчива. Характеристический полином такой системы имеет корней с положительной вещественной частью. Тогда согласно формуле (3.2.5) имеем: . Для устойчивости замкнутой системы приращение аргумента характеристического вектора согласно критерию Михайлова должно быть: . Тогда: В этом, наиболее общем, случае критерий Найквиста формулируется так: «Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до вектор, начало которого находится в точке с координатами , а конец на амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы, повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол ». При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее применять формулировку критерия Найквиста, которая использует правило переходов. Переход АФЧХ при увеличении через отрезок от -1 до - сверху вниз считают положительным, а снизу вверх – отрицательным. АФЧХ может начинаться на этом отрезке , или заканчиваться при . Тогда считается, что она совершает полперехода. Критерий формулируют так: «Замкнутая система устойчива, если разность между числом отрицательных и положительных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы через отрезок вещественной оси от -1 до равна». Здесь - число корней с положительной вещественной частью характеристического полинома разомкнутой системы. Например, если передаточная функция разомкнутой цепи имеет (один положительный полюс), то для устойчивости замкнутой системы АФЧХ разомкнутой системы должна иметь вид, примерно показанный на рис. 3.2.12.а или б, а в случае - на рис. 3.2.12.в. Рис. 3.2.12. При наличии у характеристического полинома разомкнутой системы нулевых и чисто мнимых корней АФЧХ на участках разрыва должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса. Использование логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик для оценки устойчивости критерием Найквиста. Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не АФЧХ, а ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Эту возможность используют весьма широко вследствие простоты построения таких характеристик и определения по ним запаса устойчивости. При этом критерий формулируется так: «Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линию - составляло ». Здесь - число корней с положительной вещественной частью характеристического полинома разомкнутой системы. Пересечение фазочастотной характеристикой линии снизу вверх считается положительным переходом, а сверху вниз – отрицательным. Если разомкнутая система устойчива или имеет один нулевой полюс для устойчивости замкнутой системы общее число переходов фазочастотной характеристикой линии - при положительных значениях амплитудной частотной характеристики должно быть четным или равным нулю. На рис. 3.2.13. показано наиболее характерное расположение ЛФЧХ относительно логарифмической амплитудной частотной характеристики разомкнутой системы. Здесь ЛФЧХ 1,2 соответствуют устойчивой системе, ЛФЧХ 3 – система на границе устойчивости, а 4 – неустойчивой при замыкании системе. Если характеристический полином разомкнутой системы имеет нулевых корней, то начальное значение фазочастотной характеристики Рис.3.2.13. Рис. 3.2.14. . Для устойчивости замкнутой системы ЛАЧХ и ЛФЧХ должны располагаться согласно рис. 3.2.14., то есть в число отрицательных переходов здесь надо включить бесконечно удаленную влево точку . Рис. 3.2.15. На рис. 3.2.15. показан вариант определения устойчивости, когда характеристический полином разомкнутой системы имеет два корня с положительной вещественной частью . На участке, когда фазочастотная характеристика делает два положительных перехода через линию - и один отрицательный. Их разность равна , следовательно, система в замкнутом состоянии будет устойчивой. 3.3. Анализ качества динамических режимов. Среди возможных режимов работы систем автоматического управления наиболее показательным, с позиции качества динамических (переходных) режимов, является режим отработки системой ступенчатого входного воздействия. При этом имеется в виду, что чем лучше качество отработки ступенчатого воздействия, тем лучше система будет отрабатывать произвольное входное воздействие. Поэтому переходная функция используется в качестве основной временной характеристики для оценки качества динамических режимов систем автоматического управления. Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходной функции, называют прямыми оценками качества. Переходные характеристики (рис 3.3.1) бывают колебательными (кривая 1), монотонными (кривая 2) и без перерегулирования (кривая 3). Особенность колебательной переходной характеристики в наличии переходов через установившееся значение (перерегулирований). Если только одно перерегулирование, то характеристика мало колебательная. У монотонной характеристики не изменяется знак ее производной . Процессы без перерегулирования характеризуются тем, что остается меньше установившегося значения при всех (с точностью до ). Рис.3.3.1 В параграфе 3.1. перечислены некоторые показатели, каждый из которых по отдельности характеризует определенные свойства переходной характеристики. Эти показатели получили название локальных показателей качества динамических режимов системы. Рассмотрим их подробнее. К основным показателям качества переходной характеристики относят перерегулирование и время регулирования . Перерегулированием оценивают разность между максимальным и установившемся значениями переходной характеристики. Перерегулирование определяют в процентах: (3.3.1.) В большинстве практических случаев допускается перерегулирование до 30%. Иногда требуется, чтобы перерегулирование отсутствовало вовсе, и процесс был монотонным. В некоторых системах автоматического управления допустимо перерегулирование до 60% и более. Временем регулирования оценивают длительность переходного процесса. Однако, в линейной системе теоретически время переходного процесса бесконечно, поэтому временем регулирования считают , тот промежуток времени, по истечении которого отклонения переходной характеристики от установившегося значения не превышают допустимого значения (3.3.2) Значение выбирают обычно равным 5%. Иногда устанавливают и даже , но такой выбор специально оговаривают и обосновывают. Существенным показателем качества так же служит число колебаний, то есть число максимумов переходной характеристики за время регулирования. Обычно допускают одно, два колебания, очень редко три, четыре. Количество рассматриваемых показателей качества, с учетом специфики проектируемой системы относительно перечисленных, в каждом конкретном случае может быть увеличено, либо уменьшено. Для оценки качества регулирования используют так же переходную характеристику системы по возмущению . Понятие перерегулирования (3.3.1) для характеристик не имеет смысла, и их оценивают непосредственно максимальным значением . Для определения времени регулирования служит то же значение , что и при определении времени регулирования переходной характеристики по управлению (3.3.2). Иногда качество регулирования оценивают и по переходным характеристикам по ошибке от управления . Локальные показатели качества переходных процессов наиболее наглядны и их широко применяют при экспериментальном исследовании и математическом моделировании систем автоматического управления. Их, возможно, наблюдать и фиксировать непосредственно в эксплуатационных, наладочных режимах работы системы, а так же при выполнении различных регламентных работ. Однако, использование локальных прямых показателей качества, непосредственно при проектировании системы, требует выполнения большого объема вычислительной работы. Так как в явном виде связь параметров системы с локальными прямыми оценками выразить невозможно, приходится всякий раз заново в полном объеме выполнять все расчеты и построения переходных функций при изменении хотя бы одного из параметров системы. Более удобными в этом плане (хотя и менее наглядными) могут быть обобщенные, или по-другому, интегральные оценки качества. Интегральными оценками качества называют такие, которые одним числом в совокупности оценивают и величины отклонений, и время затухания переходного процесса. Для монотонного процесса (рис 3.3.1, кивая 2) интегральной оценкой может служить площадь ограничения графиком кривой и асимптотой , т.е. (3.3.3) Число называют интегральной линейной оценкой. Очевидно, что чем меньше , тем быстрее достигает установившегося значения. Воспользовавшись свойствами интеграла преобразования Лапласа (теоремы об интеграле и конечных значениях) легко выразить интегральную линейную оценку через изображение переходной составляющей ошибки : . Для оценки качества колебательных процессов (рис.3.3.1. кривая 1) интегральная линейная оценка (3.3.3) непригодна, поскольку по минимуму интеграла наилучшим оказался бы процесс с незатухающими колебаниями, что не соответствует действительности. И для колебательных и для монотонных процессов применима квадратичная интегральная оценка: (3.3.4) Эта оценка зависит только от величины, но не от знаков отклонений переходной составляющей ошибки от нулевого значения. Очевидно, что стремление к нулю приближает кривую переходного процесса к скачку. Однако это приводит к значительному увеличению скорости изменения процесса в начальной его части. Быстро затухающий, но достаточно плавный, процесс определяет улучшенная квадратичная оценка качества: , (3.3.5) где назначают исходя из требуемого быстродействия системы. Можно показать , что чем меньше значение , тем меньше отклонение переходной характеристики от экспоненты с постоянной времени, называемой экстремалью, . В качестве интегральных критериев качества используются и функционалы более общего вида. Иногда, в выражении интегральной оценки, вводится время в явном виде. Интегральные критерии можно использовать не только для оценки переходной функции, но и для оценки реакции системы на произвольные входные воздействия, в общем случае, как управляющие, так и возмущающие. Рассмотрим методику вычисления интегральной квадратичной оценки, полагая, что заданы изображение входного воздействия и передаточная функция разомкнутой системы . Выразим переходную составляющую ошибки в области изображений: , где - изображение полной ошибки системы при отработке воздействия ; - изображение установившегося значения ошибки. Изображение полной ошибки равно: , где - передаточная функция замкнутой системы по ошибке. Если - управляющее воздействие, то . Изображение установившегося значения ошибки можно определить из соотношения: ℒ{}. Когда , изображение установившегося значения ошибки равно: . Таким образом, при рассматриваемых условиях, изображение переходной составляющей ошибки имеет вид: . Поскольку выражение представляет собой дробно-рациональную функцию вида: , (3.3.6) для вычисления (3.3.4) удобно использовать известную теорему Парсеваля ,согласно которой для нашего случая можно записать: (3.3.7) Решение интеграла (3.3.7) зависит от степени полинома знаменателя выражения (3.3.6). Для значений табулированный интеграл (3.3.7) приведен практически во всех пособиях по автоматике. Для его значения можно найти в работах . Там же показана методика его вычисления. В таблице 3.3.1 приведены значения интеграла для Таблица 3.3.1 Следует обратить внимание, что в некоторых источниках интегральные квадратичные оценки представлены как функции параметров изображения переходной характеристики системы , в других же, как функции параметров изображения переходной составляющей ошибки Аналитическая связь интегральных оценок качества с параметрами системы позволяет их использовать на прямую при синтезе систем автоматического управления для определения требуемых значений параметров системы при заданной интегральной оценке качества. Однако наибольшее применение интегральные оценки качества (интегральные критерии) нашли в теории оптимальных систем автоматического управления. Как показано ранее, вид и свойства переходной характеристики однозначно определены полюсами и нулями передаточной функции замкнутой системы (2.2.29), а так же ее частотными характеристиками (3.1.15). Поэтому в практике проектирования системы автоматического управления широкое распространение получили косвенные оценки качества переходного процесса по виду и расположению на комплексной плоскости нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы (корневые оценки) и виду и свойствам ее частотных характеристик (частотные оценки). Основными корневыми оценками качества переходного процесса являются: 1. Степень устойчивости - расстояние от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости корней характеристического полинома замкнутой системы (рис.3.3.2), т.е. это абсолютное значение величины вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. 2. Колебательность переходного процесса - это отношение вида:, где - вещественная и мнимая части пары ближайших к мнимой оси (доминирующих) комплексных корней характеристического уравнения. Приближенная связь между корневыми оценками и показателями качества переходной характеристики заключается в следующем. Корни характеристического уравнения, имеющие наименьшую по абсолютной величине вещественную часть, дают составляющие переходной характеристики, которые затухают наиболее медленно. Поэтому по степени устойчивости можно приближенно определить время переходного процесса. Исходя из свойств экспоненты и помня, что , время ее затухания до величины равно . (3.3.8) При , . Значение колебательности позволяет определить приближенное значение перерегулирования переходной характеристики в %: , (3.3.9) если ближайшей к мнимой оси является пара комплексных сопряженных корней. Колебательность связана с еще одним показателем качества переходной характеристики – с затуханием . Затухание за период в % , где - первая и вторая амплитуды гармонической составляющей переходной характеристики, обусловленной комплексными сопряженными корнями. Взаимосвязь определяется следующими формулами: . В системах автоматического регулирования обычно допускается . При этом допустимая колебательность находится в пределах: если , ; если , . Иногда, кроме рассмотренных корневых оценок, используется оценка называемая среднегеометрическим корнем: , где - корни, - коэффициент при в степени 0, - коэффициент при в степени характеристического полинома замкнутой системы. Параметр служит мерой быстроты протекания переходных процессов. Увеличение в раз ведет к тому, что форма переходной характеристики не изменится, а время переходного процесса уменьшится в раз. Используется так же в качестве корневой оценки абсолютное значение вещественной части наиболее удаленного от мнимой оси корня. Эта оценка обозначается буквой - и ее значение определяется из условия обеспечения помехозащищенности системы. Линии соответствующие заданным значениям, образуют на комплексной плоскости область (см. рис.3.3.2) допустимых значений всех корней характеристического полинома замкнутой системы. Рассмотренные корневые оценки качества введены на основе рассмотрения только полюсов передаточной функции замкнутой системы. Однако, вид переходного процесса, а, следовательно, и его качество, зависит не только от полюсов, но и от полинома числителя передаточной функции, т.е. от ее нулей. Кроме того, форма конкретного переходного процесса определяется и конкретным видом входного воздействия. Другими словами, зависит от нулей и полюсов изображения входного воздействия. В устойчивой замкнутой системе обеспечивается следующее: 1. Близко расположенные полюс и нуль взаимно компенсируются. Их расположение считается близким, если выполняется условие: , где и - соответственно полюс, и нуль передаточной функции замкнутой системы. 2. Затухание колебательной составляющей, обусловленной комплексными полюсами, и экспоненциальной составляющей, создаваемой действительным полюсом, происходит тем быстрее, чем больше модуль полюса. 3. Время переходного процесса зависит, в основном, от абсолютного значения вещественной части доминирующих полюсов или полюса. Приближенно значение определяют по формуле (3.3.8). Доминируют ближайшие к мнимой оси комплексные корни или ближайший действительный корень не компенсированные соответствующими нулями. 4. Перерегулирование переходной характеристики зависит от отношения действительной части к мнимой доминирующих комплексных полюсов (3.3.9). 5. Близкие к началу координат нули, если они не компенсируют полюса, и удаленные от него, но не доминирующие, полюса увеличивают время регулирования и перерегулирование. С целью воспроизведения с минимальными погрешностями задающего воздействия и максимально возможного подавления возмущений рекомендуется : 1. Полюсы передаточной функции замкнутой системы следует по возможности удалять от мнимой оси. Чем дальше полюсы от мнимой оси, тем быстрее затухает свободная составляющая. 2. Нули передаточных функций следует располагать около ее полюсов, наиболее близких к мнимой оси, что устраняет влияние этих полюсов на качество динамических режимов. 3. Полюсы передаточной функции следует удалять от области расположения полюсов изображения внешнего воздействия, с целью исключения резонансных явлений. 4. Нули передаточной функции замкнутой системы по возмущению следует располагать, возможно, ближе к полюсам изображения возмущения, а нули и полюсы передаточной функции замкнутой системы по управлению следует располагать так, чтобы при всех полюсах изображения задающего воздействия она имела приблизительно одно и то же значение. Простейшей из частотных оценок качества переходного процесса является запас устойчивости. Эта оценка по виду частотных характеристик разомкнутой системы определяет степень близости замкнутой системы к границе устойчивости, косвенно характеризуя перерегулирование и колебательность ее переходной функции. Запас устойчивости задается двумя показателями - запас по амплитуде и запас по фазе . На рис.3.3.3 на примере логарифмических частотных характеристик показано, как находить запас по амплитуде и запас по фазе . Для хорошо демпфированных систем эти показатели должны находиться в пределах дБ, а . Рис 3.3.3 Рис.3.3.4 Другой частотной оценкой качества, так же косвенно характеризующей перерегулирование и колебательность переходной функции системы, служит показатель колебательности , определяемый как максимальное значение амплитудной частотной характеристики замкнутой системы (рис.3.3.4): . Рассматривают обычно амплитудную частотную характеристику относительно задающего воздействия. Считают, что система имеет допустимый запас устойчивости при ; хороший запас устойчивости при . Однако, на практике используют, как , так и . Обоснованные рекомендации устанавливают исходя из опыта эксплуатации систем различных классов. Показатель колебательности может быть определен и по виду частотных характеристик разомкнутой системы. Действительно, представив частотную передаточную функцию разомкнутой системы в виде: , Показатель колебательности можно представить как функцию вещественной и мнимой частотных характеристик разомкнутой системы . Отсюда . Введя обозначение Окончательно получим . Таким образом, показатель колебательности отображается на комплексной плоскости амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы в виде линий равной колебательности представляющих собой окружности радиуса со смещенным центром относительно начала координат по вещественной оси влево на расстояние . С увеличением радиус окружности уменьшается, т.е. окружность образует запретную зону, в которую, по условиям ограничения показателя колебательности замкнутой системы заданным значением , не должна попадать амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (рис. 3.3.5). Если разомкнутая система задана другими частотными характеристиками, не составляет труда построить запретные зоны и для них, определив значения и для соответствующих точек окружности равной колебательности (рис. 3.3.5). Для оценки быстродействия используют значения частот соответствующих некоторым характерным точкам частотных характеристик разомкнутой или замкнутой системы. К ним относят: 1. Частота, ограничивающая так называемую область существенных частот (рис. 3.3.6). Это частота, при которой вещественная частотная характеристика системы становится меньше 0,05 и больше это значение не превышает. 2. Частота , ограничивающая полосу пропускания системы. Полоса пропускания – диапазон частот, проходящих через замкнутую систему без ослабления (рис. 3.3.4) т.е. Иногда частоту соответствующую полосе пропускания определяют из условия . 3. Резонансная частота соответствует пику амплитудной частотной характеристики (рис. 3.3.4). Она близка к частоте колебаний в переходном процессе. 4. Частота среза соответствует следующим значениям частотных характеристик разомкнутой системы , . 5. Частота , ограничивающая эквивалентную полосу пропускания системы: . Используется для оценки помехозащищенности системы. Кроме того, если расширить диапазон интегрирования от до + она приобретает вид интегральной квадратичной оценки качества. Хотя временные и частотные оценки свойств переходного процесса обычно используются независимо друг от друга, иногда оказывается необходимым сопоставить их между собой. При этом наиболее удобны такие сопоставления, которые могут быть даны без дополнительных расчетов. Перечислим некоторые из них применительно к вещественным частотным характеристикам: 1. Установившееся значение переходной характеристики равно начальному значению вещественной частотной характеристики: . 2. Начальное значение переходной характеристики определяет конечное значение вещественной частотной характеристики: . 3. Если две вещественные частотные характеристики сходны по форме, но отличаются масштабом по оси абсцисс, то им соответствуют переходные характеристики, так же сходные по форме и отличающиеся масштабом по оси абсцисс. При этом вещественной частотной характеристике соответствует переходная характеристика . 4. Разрыв непрерывности вещественной частотной характеристики при соответствует нахождению системы на апериодической границе устойчивости, а разрыв при , соответствует нахождению на колебательной границе устойчивости. 5. Высокий и острый пик вещественной частотной характеристики при угловой частоте , свидетельствует о медленно затухающих колебаниях переходной характеристики с примерно этой частотой. 6. Если вещественная частотная характеристика положительная непрерывная функция , с отрицательной убывающей по абсолютной величине производной <0, то переходная характеристика монотонная (кривая 1 рис.3.3.7). 7. При положительной невозрастающей вещественной частотной характеристике (кривая 2 рис.3.3.7) перерегулирование переходной характеристики не может превышать 18%. Рис. 3.3.6 Рис. 3.3.7 8. Если положительная вещественная частотная характеристика имеет максимум (кривая 3 рис.3.3.7), перерегулирование переходной характеристики составит: . 9. Если вещественная частотная характеристика приближается к трапециидальной, то время переходного процесса находится в пределах . При этом очень часто принимают (см. рис.3.3.6). Где в данном случае, частотный интервал положительности вещественной частотной характеристики замкнутой системы. Приведенные свойства вещественной частотной характеристики и переходной функции позволяют судить о поведении последней без ее построения. Поскольку все частотные характеристики разомкнутой и замкнутой системы однозначно связаны между собой, подобные рассмотренным соответствия можно выявить и для других частотных характеристик разомкнутой и замкнутой системы. В том или ином объеме вопрос оценки качества переходных процессов по частотным характеристикам изложен практически во всех учебниках по теории автоматического управления. Большой вклад в разработку частотных методов анализа внес В.В.Солодовников. Им сформулированы и обоснованы, как рассмотренные здесь, так и многие другие взаимосвязи между переходными и частотными характеристиками, разработан ряд монограмм и соотношений, удобных для использования, как при анализе динамических режимов, так и при синтезе систем автоматического управления частотными методами. Наиболее полно и систематизировано, эти вопросы изложены в работе . 3.4. Анализ точности в установившихся (рабочих) режимах. Как показано в параграфе 3.1, точность системы в установившемся (рабочем) режиме определяется величиной установившейся ошибки . Установившаяся ошибка линейной непрерывной системы, это тот предел, к которому стремится полная ошибка при , т.е. . Если такой предел существует, то с помощью теоремы о конечных значениях, установившуюся ошибку можно определить по изображению полной ошибки : (3.4.1) В свою очередь (3.4.2) где - составляющие полной ошибки от действия, управляющего и возмущающего сигналов; , - передаточные функции замкнутой системы по ошибке от управления и по ошибке от возмущения; - изображение управляющего и возмущающего воздействий. Подставив уравнение (3.4.2) в (3.4.1) получим формулу вычисления конечного значения установившейся ошибки: . (3.4.3) Как следует из (3.4.3), значение установившейся ошибки зависит как от передаточных функций замкнутой системы по ошибкам, так и от вида конкретных входных воздействий. Для оценки точности используют установившиеся ошибки при отработке системой следующих типовых входных воздействий: 1. Постоянное входное воздействие ; 2. Воздействие с постоянной скоростью ; 3. воздействие с постоянным ускорением ; 4. Гармоническое входное воздействие . Изображения по Лапласу таких сигналов приведены в таблице 1.1.1. Поскольку процедуры вычисления составляющих установившейся ошибки от управляющего и возмущающего воздействий однотипны, все дальнейшие пояснения дадим, положив , тогда уравнение (3.4.3) приобретет вид: . (3.4.4) Вычислим установившуюся ошибку от типовых управляющих сигналов для трех вариантов системы автоматического управления: 1. Вариант 1. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: , где и - полиномы, свободные члены которых равны 1. Другими словами не имеет нулевых полюсов и нулей. 2. Вариант 2. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: , т.е. передаточная функция имеет нулевой полюс . Очевидно, что второй вариант системы получен из первого путем введения в прямой тракт последнего интегрирующего звена. 3. Вариант 3. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: , т.е. имеет два нулевых полюса . Она получена из системы второго варианта введением в прямой тракт еще одного интегрального звена. Согласно формуле (2.4.7) для каждого из вариантов определим передаточные функции замкнутой системы по ошибке от управляющего воздействия. Поочередно подставив полученные выражения и изображения входных воздействий в уравнение (3.4.4), вычислим установившиеся ошибки . Результаты расчетов сведены в таблицу 3.4.1. Из таблицы видно, что первый вариант системы даже при отработке постоянного входного воздействия имеет установившуюся ошибку на выходе равную . Повысить точность можно, увеличив коэффициент передачи прямого тракта системы. Поэтому такие системы называют статическими, а коэффициент передачи их прямого тракта коэффициентом добротности по положению. Однако, увеличение приводит к смещению вверх ЛАЧХ разомкнутой системы при неизменности ее фазовой частотной характеристики. Как следствие, уменьшаются запасы по фазе и амплитуде, и система приближается к границе устойчивости. При отработке воздействий с постоянной скоростью и ускорением, конечное значение ошибки стремится к бесконечности. Введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев, кардинально влияет на точность в установившемся режиме. Так для второго варианта системы, конечная установившаяся ошибка отработки постоянного сигнала равна нулю, сигнала с постоянной скоростью - , и только сигнала с постоянным ускорением – бесконечности. Третий вариант характеризуется нулевыми ошибками при отработке постоянного и линейно возрастающего сигналов, а сигнала с постоянным ускорением с постоянной ошибкой . Таблица 3.4.1 Вариант системы 1 2 3 Так как, в таких системах отсутствует ошибка при отработке постоянного сигнала (статическая ошибка), то они получили название астатических, с порядком астатизма равным количеству интегрирующих звеньев. Поскольку и здесь коэффициент передачи прямого тракта системы обратно пропорционально влияет на величину установившейся ошибки для системы второго варианта, его называют добротностью по скорости, а третьего варианта - добротностью по ускорению. Следует отметить, что система астатическая при отработке управляющего сигнала, не всегда будет таковой при отработке возмущения и наоборот. Покажем это на примере рис. 3.4.1. Рис.3.4.1 Пусть , т.е. . Передаточная функция замкнутой системы по ошибке от управления равна: . Передаточная функция замкнутой системы по ошибке от возмущения . Подставим в выражение (3.4.3), вычислим значение установившейся ошибки: . В данном случае, для того чтобы система была астатической, как для управляющего, так и для возмущающего сигналов, интегратор должен быть установлен так, чтобы его входным сигналом являлся непосредственно сигнал ошибки, т.е. звенья с передаточными функциями и необходимо поменять местами. Оценка точности с помощью теоремы о конечных значениях при гармоническом входном сигнале не представляется возможной, поскольку предела не существует. В этом случае целесообразно воспользоваться частотными характеристиками. Частотные характеристики замкнутой системы по возмущению непосредственно определяют установившуюся синусоидальную ошибку по амплитуде и фазе. Так для гармонического возмущающего воздействия имеем: где и - установившаяся ошибка по амплитуде и фазе выходного сигнала, при заданных значениях амплитуды и частоты возмущающего сигнала. Что касается основных частотных характеристик , , соответствующих главной передаточной функции замкнутой системы, то они включают в себя всю информацию об установившемся слежении за установившемся синусоидальным задающим воздействием . Как показано на рис. 3.4.2 и (соответственно для систем с астатизмом и без него) установившаяся ошибка воспроизведений амплитуды гармонического входного задающего сигнала определится заштрихованными частями ординат. Следовательно, ошибка воспроизведения амплитуды задающего сигнала равна: . Рис. 3.4.2 Фазовая частотная характеристика (рис.3.4.2 ) представляет собой установившуюся ошибку, выражающуюся в сдвиге фазы выходного сигнала: относительно входного воздействия . Бывает очень важно знать не конечное, а текущее значение установившейся ошибки, т.е. уметь вычислить как функцию времени . Тогда следует воспользоваться формулой полученной на основе следующих рассуждений. В общем случае изображение ошибки воспроизведения входного воздействия выражается формулой: (3.4.5) Представим в окрестностях точки (что соответствует в области оригиналов ,т.е. установившемуся режиму) степенным рядом Маклорена: . (3.4.6) Обозначим , , , и т.д. Подставив уравнение (3.4.6), с учетом принятых обозначений в (3.4.5), получим формулу нахождения изображения установившейся ошибки в виде следующего ряда: Согласно теореме линейности и теоремы о производных преобразования Лапласа этому изображению соответствует оригинал: (3.4.7) Формула (3.4.7) позволяет вычислить установившуюся ошибку как функцию времени. При использовании формулы предполагается, что реальные выходные воздействия являются медленно меняющимися. Медленно меняющимися воздействиями называют воздействия, имеющие конечное значение производных не равных нулю или производные, быстро убывающие по величине с ростом их порядка. В реальных случаях обычно учитываются две, три первые производные. Входящие в формулу (3.4.7) коэффициенты при входном сигнале и его производных называют коэффициентами ошибки. С учетом сказанного, необходимо знать значения только 3-4 первых коэффициентов , получивших собственные названия, коэффициенты ошибки по положению, по скорости, ускорению и моменту соответственно. Коэффициенты ошибок можно определить, вычислив значения соответствующих передаточных функций замкнутой системы по ошибке и ее производных при . Передаточная функция для ошибки, есть дробно-рациональная функция от , поэтому значение коэффициентов ошибок можно вычислить делением ее числителя (начиная с младших членов) на знаменатель по известному алгебраическому правилу с последующим приравниванием полученного выражения ряду (3.4.6), т.е. (3.4.8) Полученное при делении числителя на знаменатель выражение в левой части уравнения (3.4.8) при сопоставлении его слагаемых с соответствующими слагаемыми в правой части (слагаемые с равным порядком ) и даст нам значения искомых коэффициентов. Другой вариант. Коэффициенты ошибок достаточно легко вычислить, приведя выражение (3.4.8) к общему знаменателю и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства. Следует отметить, что в литературных источниках (например, в ) встречаются таблицы значений коэффициентов ошибок в функции параметров некоторого набора передаточных функций разомкнутой системы. 4. CИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. 4.1. Постановка задачи синтеза систем автоматического управления. Как отмечалось в параграфе 1.5, проектирование САУ методами теории автоматического управления включает в себя лишь частичный синтез. Основные функционально необходимые элементы системы и схема их соединения между собой к этому моменту, как правило, уже определены методами сторонними к теории автоматического управления. Задача синтеза методами ТАУ – это выбор количества, места включения, структуры и параметров корректирующих устройств (рис.1.5.2) обеспечивающих требуемые запасы устойчивости и показатели качества функционирования системы автоматического управления. При этом возможны два основных принципиально различных варианта формулирования и решения задачи синтеза. Согласно первой постановке, процедура проектирования заключается в следующем: 1. На основании анализа требуемых показателей качества установившихся и динамических процессов, с учетом заданной степени устойчивости и предельных значений, типичных для данной системы входных управляющих и возмущающих воздействий выбирают представленные в той или иной форме желаемые характеристики системы (временные характеристики, передаточные функции, частотные характеристики). Основой для анализа могут служить, как прямые локальные оценки качества переходной функции, так и косвенные корневые или частотные оценки. 2.Определяют место включения, структуру и параметры корректирующих звеньев. Место включения корректирующих звеньев определяют из опыта проектирования подобных систем и их физической совместимости с другими элементами системы. Структуру и параметры выбирают из условия совпадения характеристик скорректированной системы (исходной системы после введения в нее корректирующих звеньев) с желаемыми. Иногда с целью упрощения структуры, и как следствие упрощения реализации отдельных корректирующих звеньев осуществляют поэтапный синтез, постепенно приближая характеристики проектируемой системы к желаемой, путем введения нескольких корректирующих устройств. Поскольку в общем случае нет аналитической связи локальных показателей качества с параметрами системы автоматического управления выбор конкретной желаемой характеристики (математической модели) системы не дает абсолютной гарантии обеспечения требуемых показателей качества. Кроме того, в процессе выбора корректирующих устройств, с целью обеспечения их физической реализуемости или упрощения их структуры возможны некоторые отклонения характеристик скорректированной системы от желаемых. И, наконец, для реализации в первом варианте принимается максимально упрощенная математическая модель корректирующего устройства. Все это предопределяет следующий шаг проектирования. 3.Оценка качества процессов в скорректированной системе и сопоставление его с требуемым. Это, по сути, уже задача анализа. Следующий шаг расчета состоит в повторении трех предыдущих с целью выбора более подходящей коррекции, если окажется, что качество не удовлетворяет требованиям. Процесс расчета должен повторяться до тех пор, пока не будут удовлетворены заданные требования, т.е. показатели качества системы с выбранной коррекцией станут не хуже заданных показателей качества. По сути, рассмотренная процедура проектирования представляет собой метод проб. На первый взгляд может показаться, что этот метод весьма громоздок и приводит к грубым результатам. Однако, как показывает практика, проектировщик с хорошей инженерной подготовкой после приобретения некоторого опыта может успешно использовать метод проб для расчета систем автоматического управления. Вследствие существенных достоинств, а именно его простоты и использования математического аппарата доступного инженерам, и метод проб находит широкое применение при проектировании большинства систем автоматического управления общепромышленного назначения. Расчет методом проб сопряжен с некоторыми трудностями, которые нужно представлять при его использовании. С практической и теоретической точек зрения основным недостатком метода является невозможность выявления некорректных условий задачи. Под некорректными понимаются заданные для проектирования теоретически недостижимые показатели качества. Метод проб не дает возможности заранее установить, разрешима ли поставленная задача или нет. Другой недостаток метода состоит в том, что инженер может прекратить расчет системы регулирования тогда, когда ширина ее полосы пропускания (быстродействие) существенно больше, чем это требуется условиями задачи. Обычно желательно выбирать, возможно, меньшее значение полосы пропускания системы. Это нужно, как по условиям обеспечения помехозащищенности системы, так и для облегчения физической реализации отдельных элементов системы с целью рационального приближения их характеристик к характеристикам соответствующих линейных моделей, на которых основывается расчет (обеспечение необходимого диапазона изменения сигналов в линейной зоне относительно рабочего значения с учетом требуемых форсировок и т.д.). И последнее, метод проб преимущественно предназначен (удобен) для случаев, когда желаемый выходной сигнал совпадает с входным. Конкретные методики синтеза методом проб определяются видом используемой математической модели системы. Некоторые из них будут рассмотрены в следующих параграфах. Другой возможный подход к проектированию систем автоматического управления получил название метода аналитического конструирования регуляторов или метода аналитического расчета. Метод аналитического расчета предполагает использование не множества локальных прямых или косвенных показателей качества, а некоего обобщенного показателя. Основное назначение обобщенного показателя состоит в том, чтобы охарактеризовать качество системы одним числом. Примерами возможных обобщенных показателей качества являются рассмотренные ранее интегральные линейная и квадратичная оценки. Цель аналитического расчета – это определение коррекции обеспечивающей требуемое значение выбранного показателя качества при предельных значениях типичных для данной системы управляющих и возмущающих воздействий. Необходимая степень устойчивости при этом обеспечивается автоматически, поскольку она косвенно учитывается значением обобщенного показателя. В отличие от метода проб задача аналитического конструирования определяется уровнем исходных знаний о проектируемой системе на момент начала расчета. Здесь возможны три случая: 1. На начальный момент расчета математические модели, параметры и схема соединения функционально необходимых элементов системы не определены. Отсутствуют так же ограничения на структуру, вид и место включения корректирующих устройств. Все это выбирается, уточняется, определяется по результатам аналитического расчета на последующих этапах проектирования. В этом случае считается, что имеет место задача свободная от ограничений. Имеется в виду свобода от ограничений в выборе элементов и структуры системы автоматического управления. 2. Если заданы математические модели, параметры и схема соединения функционально необходимых элементов систем, но отсутствуют ограничения на структуру корректирующих цепей, то говорят, что имеет место задача с частичными ограничениями или по-другому, задача с частично заданной структурой. 3. Если в системе заданы функционально необходимые элементы и схема их соединения, а кроме того имеются ограничения на структуру корректирующих звеньев, то расчет сводится к выбору одного или нескольких параметров корректирующей цепи. Такой случай соответствует задаче с заданной структурой. Если имеет место задача свободная от ограничений или с частичными ограничениями и решение ищется в области линейных систем, то задача аналитического расчета сводится к выбору требуемой передаточной функции системы из числа известных , обеспечивающей требуемое максимальное (минимальное) значение заданного обобщенного показателя качества, или к определению методами теории вариационного исчисления такой передаточной функции. При этом либо на этапе аналитического расчета, либо при конструктивном проектировании элементов системы необходимо ограничить диапазон возможных значений всех переменных состояния при функционировании системы уровнем, обеспечивающим соответствие реальной системы ее линейной математической модели положенной в основу синтеза. Если используется математическая модель, характеризующая работу системы при больших отклонениях переменных и при этом, допускается функционирование системы при предельно возможных или предельно допустимых значениях переменных, то аналитический расчет базируется на методах теории оптимального управления и дает решение в области нелинейных алгоритмов управления (нелинейные системы, системы с переменной структурой, адаптивные системы). Для задачи с заданной структурой суть аналитического метода расчета состоит в том, чтобы определить заданный показатель качества как функцию свободных параметров системы (параметров которые в процессе проектирования могут варьироваться) и минимизировать этот показатель качества, выбирая соответствующие значения этих параметров. Параметры найденные таким методом, соответствуют коррекции обеспечивающей минимальное значение показателя качества при имеющихся в условиях задачи степенях свободы (при возможности вариации других параметров минимальное значение показателя качества могло бы быть другим). Следует отметить, что необходимость ограничения диапазона изменения переменных состояний системы линейной зоной, может быть учтена выбором соответствующего обобщенного показателя качества. Заключительный этап аналитического конструирования регуляторов – это сравнение полученного значения показателя качества с заданным значением. Если результат сравнения оказывается удовлетворительным, то задача аналитического конструирования решена и можно приступать к практической реализации корректирующего звена. Если же сравнение оказывается не удовлетворительным, то это свидетельствует о том, что задача синтеза поставлена не корректно и заданные требования по качеству в данном классе систем, удовлетворить невозможно. Исходные условия для синтеза необходимо изменить. Возможность обнаружить некорректность в условиях задачи синтеза – это существенное преимущество метода аналитического конструирования регуляторов. Другим преимуществом является возможность легкого приспособления его для ограничения полосы пропускания и исключения влияния насыщения элементов системы на ее характеристики. Третье преимущество состоит в том, что аналитический метод одинаково легко применим к случаю, когда желаемый выходной сигнал равен входному, и к случаю, когда они не равны. Последнее, но не наименьшее по своему значению преимущество аналитических методов состоит в том, что они показывают предельные возможности линейных систем. Даже если инженер никогда не будет непосредственно использовать аналитические методы, интуиция, которую они дадут при рассмотрении линейных систем, окажет ему существенную помощь в применении метода проб. К недостаткам аналитических методов конструирования регуляторов можно отнести: - во-первых, многие показатели качества, которые могли бы быть полезными в технике, приводят к аналитически неразрешимым задачам. Это существенно ограничивает возможность их применения; - во-вторых, существенный недостаток состоит в том, что даже когда применяются достаточно простые обобщенные показатели качества, такие, например, как квадратичные интегральные оценки, решение многих практических задач требует весьма громоздких и трудоемких вычислений. 4.2. Оптимизация параметров передаточной функции системы. Аналитический метод расчета получил широкое применение в инженерной практике для оптимизации параметров передаточной функции линеаризованных систем с заданной структурой по некоторому обобщенному показателю качества. В качестве такого показателя обычно используют интегральную, квадратичную оценку. Задача аналитического расчета в такой постановке – это задача на отыскание экстремума, а точнее минимума функции. Ее решение сводится к следующему: 1. Для заданной системы определяют параметры, которые в процессе синтеза могут варьироваться. 2. Выбирают вид интегральной квадратичной оценки. 3. Находят изображение переходной составляющей ошибки для конкретного заданного входного воздействия. 4. Определяют интегральную квадратичную оценку, как функцию варьируемых параметров. Остальные параметры принимают постоянными. 5. Исследуют интегральную квадратичную оценку на экстремум. Для этого вычисляют и приравнивают к нулю ее частные производные по каждому из варьируемых параметров. Получают систему алгебраических (обычно нелинейных) уравнений. 6. Уточняют, действительно ли полученные уравнения соответствуют минимуму интегральной квадратичной оценки и определяют значения параметров доставляющих этот минимум. Может оказаться, что оценка не имеет минимума по одному или нескольким искомым параметрам вообще, или в области их допустимых значений. Тогда используют те граничные значения параметров, которые дают меньшую интегральную оценку. Рассмотрим указанную процедуру на примере системы, структурная схема которой приведена на рис. 4.2.1. Система состоит из последовательно соединенных – апериодического звена с постоянной времени и интегрирующего звена, охваченных единичной отрицательной обратной связью. Рис.4.2.1 Постоянная времени интегрирующего звена выражена в долях от коэффициентом пропорциональности . Наличие в прямом тракте системы интегрирующего звена придает ей свойства астатизма первого порядка. передаточная функция разомкнутой системы и главная передаточная функция замкнутой системы соответственно имеют вид: , (4.2.1) . (4.2.2) Постоянная времени интегрирующего звена - это величина обратная добротности по скорости, рассматриваемой системы: . (4.2.3) Передаточную функцию можно записать в таком виде: . (4.2.4) Где - эквивалентная постоянная времени колебательного звена; - коэффициент демифирования. Таким образом, параметр при заданном значении постоянной времени однозначно определяет такие обобщенные параметры системы рис.4.2.1, как добротность по скорости - , эквивалентная постоянная времени - , коэффициент демифирования - . Следует отметить, что все параметры рассматриваемой системы по условиям физической реализуемости и устойчивости могут принимать только вещественные положительные значения. Задачу аналитического расчета сформулируем следующим образом. Для системы (рис.4.2.1) определить интегральную квадратичную оценку и улучшенную интегральную квадратичную оценку при единичном входном воздействии . Определить параметры системы, обеспечивающие минимум вышеназванных оценок. Для вычисления интегральных оценок необходимо знать изображение переходной составляющей ошибки и изображение ее производной . Поскольку задано единичное ступенчатое входное воздействие, то переходная составляющая ошибки равна , где и - установившееся и текущее значения переходной функции соответственно. Изображение по Лапласу переходной функции равно: . Установившееся значение переходной функции определим с помощью теоремы о конечных значениях: Помня, что изображение константы по Лапласу это есть сама константа, деленная на , на основании теоремы линейности запишем изображение переходной составляющей ошибки: . (4.2.5) Производная переходной составляющей ошибки равна: . Поскольку в данном случае , производная от нее равна нулю. С учетом теоремы о производных имеем: . Согласно теореме о конечных значениях: . Таким образом, изображение производной переходной составляющей ошибки имеет вид: (4.2.6) Интегральную квадратичную оценку определим, воспользовавшись табулированными значениями интеграла Парсеваля (см.табл.3.3.1). Поскольку в данном случае порядок полинома знаменателя изображения переходной составляющей ошибки (4.2.5) , интегральная квадратичная ошибка равна: . (4.2.7) Значение параметров определим, сравнив изображение соответствующее (4.2.7) (см.табл.3.3.1) с выражением (4.2.5): , , , , . Подставив значения параметров в (4.2.7) окончательно имеем: (4.2.8) Из уравнения (4.2.8) видно, что при стремлении к нулю, интегральная квадратичная оценка для рассматриваемой системы так же стремится к нулю. Это можно объяснить тем, что передаточная функция (4.2.8) замкнутой системы при преобразуется в передаточную функцию безинерционного звена . Если судить по выражению (4.2.2) аналогичный результат должен иметь место, если устремить к нулю коэффициент (или, что тоже самое (4.2.3), при устремлении к бесконечности коэффициента добротности ). Однако уравнение (4.2.8.) свидетельствует, что это не так. Действительно . Объяснение этого факта базируется на анализе свойств переходной функции рассматриваемой системы и приведено в . Запишем интегральную квадратичную оценку как функцию параметров передаточной функции (4.2.4). Для этого учтем в (4.2.8), что , . Произведя замену переменных получим: (4.2.9) Здесь также видно, что при , . Для определения оптимального значения коэффициента демифирования вычислим и приравняем нулю производную: . Отсюда , что соответствует , . Значение интегральной квадратичной оценки при этом . Таким образом, для минимизации интегральной квадратичной оценки рассматриваемой системы постоянную времени целесообразно выбирать минимально возможной из допустимых значений, а коэффициент добротности максимально возможным. Однако, увеличение приводит к уменьшению коэффициента демифирования, и как следствие к увеличению перерегулирования и колебательности. Оптимальным значением по минимуму квадратичной интегральной оценки является, при этом значение увеличивается от теоретически достижимого при заданном всего в два раза. Для определения улучшенной интегральной оценки качества запишем ее в виде: Оценку мы уже определили (4.2.8). Общая формула определения будет той же самой, что и для (см.4.2.7). Другими будут с учетом (4.2.6) лишь входящие в нее параметры: Следовательно Улучшенная интегральная оценка равна: . Определим оптимальное значение коэффициента , обеспечивающее минимум интеграла . Для этого возьмем и приравняем нулю производную: . Откуда (4.2.10) Таким образом, при заданной с целью максимального приближения переходного процесса к экстремали с параметром (экспоненте с постоянной времени ) необходимо задать коэффициент из соотношения (4.2.10). Изложенное поясняет физическую сущность оптимальности коэффициента демифирования равного 0,5, что соответствует . Это значение коэффициента демифирования делает график переходного процесса максимально приближенным к экспоненте с постоянной времени . Если при заданном , принять , минимум улучшенной интегральной квадратичной оценки будет, при что соответствует коэффициенту демифирования . Переходная функция системы будет максимально приближена к экспоненте с постоянной времени при перерегулировании . Передаточная функция замкнутой системы совпадает с передаточной функцией фильтра Боттерворса второго порядка. Рассмотренная задача, несмотря на ее простоту, имеет серьезное практическое значение, поскольку многие реальные системы автоматического управления в первом, самом грубом приближении, могут быть сведены к структурной схеме рис.4.2.1, и полученные здесь результаты позволяют, хоть и весьма приближенно, оценить предельные возможности таких систем. 4.3. Синтез по заданной передаточной функции. Модульный и симметричный оптимумы. Данный метод предполагает такой выбор параметров системы автоматического управления с заданной структурой, при котором коэффициенты ее передаточной функции принимают заранее назначенные стандартные значения. При этом и переходная характеристика системы будет иметь желаемый (стандартный) вид. Поэтому рассматриваемый метод часто называют методом стандартных коэффициентов или стандартных переходных характеристик. Существует достаточно большое количество принципов задания стандартных коэффициентов, например: 1. В качестве желаемой передаточной функции замкнутой системы принимают передаточную функцию простого биноминального фильтра: Все корни характеристического полинома такого фильтра кратные, вещественные, отрицательные. Среднегеометрический корень Переходные характеристики таких систем апериодические, время регулирования определяется значением среднегеометрического корня и порядком характеристического уравнения. 2. Время регулирования можно уменьшить, если желаемый характеристический полином замкнутой системы представляет собой произведение трехчленов вида , а при нечетном еще и двучлена . Коэффициент демифирования здесь равен . Переходные характеристики при этом имеют перерегулирование . 3. Время регулирования будет минимальным, если все комплексные корни (и один вещественный корень при нечетном), предложенные в пункте 2, характеристического полинома замкнутой системы имеют вещественные части равные , а мнимые части образуют арифметическую прогрессию с разностью . При этом отношение должно быть равно 1; 1,45; 0,79; 1,5; 0,64; 1,5; 0,7 соответственно при Переходные характеристики в этом случае так же имеют перерегулирование до 5%. Рассмотренные принципы позволяют для заданного значения записать желаемую передаточную функцию замкнутой системы и соответствующие ей возможные варианты желаемых передаточных функций разомкнутой системы. Причем коэффициенты характеристических полиномов этих передаточных функций удобно выразить с помощью такого обобщенного параметра, как среднегеометрический корень. Здесь также легко определить в общем виде корни характеристического полинома замкнутой системы, получить в аналитической форме уравнение переходной функции и оценить время переходного процесса , как функцию значения среднегеометрического корня /. Величина , однозначно определяется выбранным вариантом стандартизации и значением . Следует отметить, что рассмотренные процедуры для статических систем и систем с астатизмом первого порядка при значениях от 2 до 8 включительно, выполнены. И их результаты представлены, например, , в виде таблиц значений параметров желаемых передаточных функций, времени регулирования и перерегулирования в функции среднегеометрического корня. Здесь же мы проиллюстрируем эти процедуры на примере простейшей системы представленной структурной схемой рис. 4.2.1. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы соответственно равны: , (4.3.1) . Порядок характеристического полинома . Определим для данной системы параметры желаемой передаточной функции (стандартные коэффициенты) и время регулирования при стандартизации по второму варианту. Поскольку , а коэффициент демифирования , желаемая передаточная функция замкнутой системы должна иметь вид: . (4.3.2) Ей соответствует с учетом (4.3.1) следующая желаемая передаточная функция разомкнутой системы: (4.3.3) Переходная функция колебательного звена (4.3.2) характеризуется выражением: (4.3.4) Определим для уравнения (4.3.2) в общем виде значение среднегеометрического корня: Произведя в выражении (4.3.3) подстановку видим, что: . (4.3.5) Выразив в (4.3.4) постоянную времени среднегеометрическим корнем и построив график переходной характеристики в функции аргумента видим, что график попадает в зону пятипроцентных отклонений от установившегося значения при . Зная конкретное, требуемое по заданию, время регулирования , можно определить необходимое по условиям быстродействия системы, значение среднегеометрического корня: . А также необходимые стандартные значения параметров системы. Сравнив коэффициенты при в соответствующих степенях в передаточных функциях (4.3.1) и (4.3.3), получим: Следовательно, чтобы в системе рис.4.2.1 обеспечить требуемое быстродействие при оговоренном перерегулировании , ее параметры должны быть равны: , . Порядок расчета системы методом стандартных коэффициентов может быть следующим : 1. Для заданной структурной схемы составляют передаточную функцию ее разомкнутой цепи. При этом определяют те параметры элементов системы, которые в процессе синтеза могут варьироваться. 2. Исходя из требований к системе, определяют принцип стандартизации и с учетом передаточной функции системы выбирают по литературным источникам или вычисляют желаемую передаточную функцию разомкнутой системы. При этом коэффициенты характеристического полинома передаточной функции представляют как функции одного обобщенного параметра - среднегеометрического корня. 3. Для принятой определяют в общем виде время регулирования . 4. Для статических систем определяют требуемое значение коэффициента добротности по положению , необходимое для обеспечения заданной статической точности. А по заданному значению времени переходного процесса , с учетом пункта 3, вычисляют численное значение среднегеометрического корня: . Добротность астатических систем зависит от значения среднегеометрического корня. Поэтому здесь можно либо по требованиям к точности в установившемся режиме определить требуемое значение добротности тем самым задать значение среднегеометрического корня, либо удовлетворить требование по быстродействию, т.е. определить по заданному значению . 5 Вычисляют стандартные значения коэффициентов характеристического полинома передаточной функции , удовлетворяющей требованиям, предъявляемым к системе. 6 Приравнивая коэффициенты при равных степенях знаменателей передаточных функций , и решая полученную систему уравнений, определяют необходимые значения варьируемых параметров системы автоматического управления. 7 Вычисляют возможность физической реализации необходимых значений параметров. Если их реализуют приближенно, то необходимо построить переходную характеристику синтезированной системы и проверить удовлетворение исходных требований. Существуют и другие варианты задания стандартных передаточных функций . В частности, при проектировании астатических систем в качестве желаемых передаточных функций замкнутой системы очень часто используют передаточные функции фильтров Боттерворса . Выбор в качестве желаемой передаточной функции фильтра Боттерворса второго порядка , (4.3.6) позволяет синтезировать систему с астатизмом первого порядка при отработке управляющего сигнала. При этом желаемая передаточная функция разомкнутой системы равна: , (4.3.7) График передаточной функции характеризуется перерегулированием , время первого достижения установившегося значения Принятое в (4.3.6) соотношение параметров характеристического полинома предопределяет минимальное из всех возможных для колебательных звеньев отклонение амплитудной частотной характеристики (модуля частотной передаточной функции) замкнутой системы от единицы в максимальном частотном диапазоне. Поэтому подгонка передаточных функций синтезируемой системы под формулы (4.3.6), (4.3.7) получила название в литературе – настройки на модульный оптимум (технический оптимум, Beitrage – optimum). Следует также отметить (см.параграф 4.2), что переходная характеристика соответствующая передаточной функции (4.3.6) максимально приближена по критерию улучшенной интегральной квадратичной ошибки к переходной характеристике апериодического звена с постоянной времени . При этом добротность системы , а коэффициент демифирования . Системы настроенные согласно (4.3.6), (4.3.7), обладая астатизмом первого порядка, при отработке управляющих воздействий, являются статическими (т.е. имеют статическую ошибку) при отработке возмущений. Поэтому для систем, где требуется иметь астатизм при отработке возмущений, предложено использовать в качестве стандартной передаточную функцию замкнутой системы следующего вида: . (4.3.8) Стандартная передаточная функция разомкнутой системы в этом случае выглядит так: . (4.3.9) Подгонку передаточных функций синтезируемой системы под формулы (4.3.8), (4.3.9) называют настройкой системы на симметричный оптимум. Это название обусловлено тем, что соответствующая передаточной функции (4.3.9) асимптотическая ЛАЧХ разомкнутой системы (см.рис.4.3.1) симметрична относительно частоты среза . График переходной функции при отработке управляющего воздействия имеет перерегулирование , время первого достижения установившегося значения , время окончательного вхождения в полосу допуска , . Отработка постоянного возмущающего воздействия осуществляется с нулевой установившейся ошибкой. Большое перерегулирование переходной функции по управлению обусловлено наличием в числителе передаточной функции (4.3.8) полинома . Перерегулирование можно существенно уменьшить, включив на вход системы звено (фильтр) с передаточной функцией: . В этом случае общая передаточная функция замкнутой системы по управлению имеет вид: , и совпадает, при подстановке , с передаточной функцией фильтра Боттерворса третьего порядка . Переходный процесс по управлению при этом характеризуется перерегулированием , временем , и временем . Очевидно, что синтез САУ методом стандартных коэффициентов весьма прост. Однако применение данного метода в рассмотренной постановке ограничено. Его недостатки в том, что структура синтезируемой системы полностью задана, и необходимо подгонять все коэффициенты передаточной функции под стандартные значения. Это предполагает наличие, по крайней мере, варьируемых параметров. Необходимые значения параметров не всегда могут быть физически реализованы. 4.4. Подчиненное регулирование. Модальное управление. Метод стандартных коэффициентов применим и для синтеза систем с частично заданной структурой. Обычно в этом случае заданными являются математические модели элементов системы обеспечивающих энергетическую составляющую технологического процесса. Задача синтеза – определить структурную схему системы автоматического управления в целом и рассчитать параметры корректирующих цепей из условия обеспечения выбранного стандартного переходного процесса. Одним из возможных подходов является поэтапный (поочередный) синтез отдельных корректирующих устройств (регуляторов) на основе принципа, так называемого подчиненного регулирования. Процедура синтеза в этом случае состоит из следующих этапов: 1. Заданная часть системы представляется структурной схемой состоящей из последовательно соединенных звеньев (обычно апериодических и интегрирующих). Наличие внутренних перекрестных и обратных связей присущих заданным элементам либо не учитывается вовсе, либо учитывается дополнительно путем введения на входы регуляторов соответствующих компенсирующих сигналов ослабляющих влияние этих связей до допустимого уровня. Каждая выходная переменная последовательно соединенных звеньев рассматривается как регулируемая координата. 2. Для каждой из этих координат организуется отдельный контур регулирования, включающий в себя канал обратной связи и последовательное корректирующее звено (регулятор). В результате получаем многоконтурную систему, в которой имеется внутренний контур управления, состоящий из регулятора и одного (двух) звеньев заданной части системы, первый внешний контур, включающий в себя внутренний контур и следующее звено и далее согласно схеме рис. 4.4.1. Рис. 4.4.1 На этой схеме - передаточные функции звеньев заданной части системы, - передаточные функции последовательных корректирующих устройств (регуляторов). Выходной сигнал регулятора каждого внешнего контура является задающим для последующего, заключенного внутри него контура. Таким образом, каждый внутренний контур регулирования подчинен внешнему. 3. Для каждого контура регулирования выбирают желаемую (стандартную) передаточную функцию и определяют вид и параметры регулятора. Обычно в качестве желаемых используют передаточные функции, соответствующие настройке на модульный (4.3.6), (4.3.7) или симметричный оптимумы, а каждый внутренний контур аппроксимируется апериодическим звеном постоянная времени, которого при синтезе последующего контура рассматривается как некомпенсируемая. Следствием этого является то, что быстродействие системы в целом с появлением каждого дополнительного контура, уменьшается, по крайней мере, вдвое. В этом недостаток рассмотренного принципа построения систем регулирования. Достоинства в том, что принцип подчиненного регулирования значительно облегчает поиск передаточных функций регуляторов и реализацию желаемого управления. Кроме того, здесь достаточно просто решается задача ограничения координат, облегчается наладка, а, следовательно, сокращаются сроки пуска объектов, предоставляются широкие возможности унификации узлов управления различными объектами. Для примера рассмотрим методику синтеза системы подчиненного регулирования скорости электропривода постоянного тока, питаемого от статического полупроводникового управляемого выпрямителя. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения при управлении по якорной цепи приведения на рис. 2.4.2. она содержит последовательно включенные в прямой тракт апериодическое и интегрирующие звенья, охваченные отрицательной безинерционной обратной связью. Математическую модель управляемого выпрямителя представим передаточной функцией апериодического звена: , (4.4.1) где - коэффициент передачи управляемого выпрямителя; - постоянная времени фильтра на входе управляемого выпрямителя, которая определяется из условий требуемого быстродействия и обеспечения помехозащищенности системы. Минимально допустимое значение ограниченно возможностью представления управляемого выпрямителя линейным непрерывным звеном. Численно, относительно других постоянных времени объекта управления, это весьма малая величина, поэтому постоянную времени управляемого выпрямителя часто относят к малым некомпенсируемым постоянным времени объекта управления. Рис. 4.4.2 С учетом изложенного, систему автоматического управления электроприводом выполняем двухконтурной с внутренним контуром регулирования тока и внешним контуром регулирования скорости двигателя (см. рис.4.4.2). Влияние обратной связи по эдс вращения компенсируем положительной обратной связью, показанной на рис 4.4.2 пунктиром. Возможны и другие варианты компенсации влияния этой связи (см., например ). Внутренний контур в качестве объекта управления содержит два последовательно соединенных апериодических звена, одно из которых характеризует управляемый выпрямитель, а второе якорную цепь двигателя. Постоянную времени управляемого выпрямителя будем считать некомпенсируемой, т.е. примем . Определим передаточную функцию разомкнутой системы для внутреннего контура регулирования: . (4.4.2) Выберем в качестве желаемой передаточной функции разомкнутой системы передаточную функцию соответствующую модульному оптимуму. Приравняв и, определим передаточную функцию регулятора тока . Аппроксимируем, замкнутый контур тока апериодическим звеном с постоянной времени . (4.4.3) Обоснованием такой аппроксимации служат результаты, приведенные в параграфе 4.2. Будем считать постоянную некомпенсируемой постоянной времени для контура скорости. Таким образом, объектом управления в контуре скорости являются последовательно включенные апериодическое звено (4.4.3) и интегрирующее звено, характеризующее механическую инерцию двигателя. Общая передаточная функция разомкнутого контура скорости равна . (4.4.4) Выбрав, в качестве желаемой передаточную функцию разомкнутой системы (4.3.9) соответствующую симметричному оптимуму и приравняв ее выражению (4.4.4) определим передаточную функцию регулятора скорости . Для обеспечения перерегулирования переходной функции не более 8 процентов на вход синтезированной системы необходимо включить фильтр с передаточной функцией: . Другой возможный вариант синтеза на основе метода стандартных коэффициентов для систем с частично заданной структурой - это подгонка передаточной функции системы к заданной с помощью жестких обратных связей по всем переменным состояниям системы. Значения коэффициентов передачи каналов обратных связей по каждой из переменных состояний определяют вес (моду) этой переменной в корректирующем сигнале. Поэтому этот метод синтеза в литературе получил название – принцип модального управления. По сути, модальное управление – это методы формирования цепей обратных связей, придающих замкнутой системе заранее заданное расположение корней характеристического уравнения . Обычно корни задаются желаемым характеристическим полиномом замкнутой системы . Наиболее удобным для синтеза, в данном случае является математическое описание в форме уравнений состояния (2.1.28), (2.1.29). Пусть исходная линейная система описывается уравнением состояния . Для получения желаемого быстродействия и характеристического полинома системы введем линейную обратную связь по переменным состояния в соответствии с уравнением (считаем, что все координаты системы доступны измерению): , где - вектор входных воздействий в синтезируемой системе; - вектор входных воздействий в исходной системе; - матрица коэффициента обратных связей. Если и скаляры (например, система одномерная), то является матрицей – строкой, элементы которой – коэффициенты обратных связей по всем составляющим вектора . Исходная система и линейная обратная связь по состоянию образуют замкнутую систему (рис.4.4.3). Подставив последнее выражение в уравнение состояния исходной системы, получим уравнение состояния замкнутой системы: . Динамические свойства полученной системы определяются матрицей (4.4.5) Чтобы замкнутая система обладала желаемыми свойствами необходимо равенство определителя матрицы желаемому характеристическому полиному , то есть: , где – единичная матрица. Рис. 4.4.3. Приравнивая в последнем уравнении коэффициенты при в одинаковой степени, можно вычислить значения элементов матрицы . Синтезируем модальный регулятор для системы заданная часть, которой определена в предыдущем примере (см. рис. 4.4.4). Синтез выполним, считая что . Рис.4.4.4 Уравнения состояния, описывающие процессы в заданной части системы согласно (2.18), (3.19), (4.4.1) имеют вид: Матрица параметров и матрица входов заданной части системы соответственно равны: ; . Поскольку количество переменных состояния заданной части системы равно трем, то матрица искомых коэффициентов обратных связей равна: . Вычислим произведение матриц и : . Найдем матрицу : . Запишем матрицу: . Вычислим ее определитель: Система уравнений состояния в данном примере имеет третий порядок, поэтому и желаемый характеристический полином должен иметь порядок не ниже третьего. В качестве желаемого возьмем характеристический полином, соответствующий фильтру Боттерворса третьего порядка: , где - значение среднегеометрического корня. Для обеспечения условия необходимо, чтобы значения коэффициентов при в одинаковых степенях левой и правой части уравнения были равны. В результате имеем три алгебраических уравнения. Решив полученную систему уравнений, после подстановки численных значений параметров системы и определенного из требуемого быстродействия значения среднегеометрического корня, определим численные значения коэффициентов обратных связей , ,. Отрицательное значение коэффициента говорит о том, что обратная связь по данной переменой является отрицательной. 4.5. Синтез корректирующих устройств с помощью частотных характеристик. Свойства систем автоматического управления полностью определяются частотными характеристиками ее разомкнутой цепи. Если все элементы системы минимально-фазовые, то достаточно использовать только амплитудную частотную характеристику. Для построения логарифмической асимптотической амплитудно-частотной характеристики почти не требуется расчетов. Поэтому метод синтеза, основанный на использовании ЛАЧХ, широко применяют в инженерной практике. Сущность метода заключается в следующем. Сначала строят асимптотическую ЛАЧХ неизменяемой (основной) части разомкнутой системы. К неизменяемой части системы относят объект регулирования, исполнительный элемент, элементы главной (технологической) обратной связи и узел сравнения. Асимптотическую ЛАЧХ строят по передаточной функции неизменяемой части системы обычным методом, представив ее рядом последовательно включенных типовых звеньев. Далее, исходя из требуемой точности в установившемся режиме и требуемого качества переходного процесса, строят желаемую ЛАЧХ разомкнутой системы. Разность есть ЛАЧХ дополнительного элемента, который необходимо ввести в прямой тракт системы для того, чтобы она приобрела нужные свойства, т.е. это есть ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства. Асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика позволяет записать передаточную функцию последовательного корректирующего звена . Передаточная функция позволяет в свою очередь выбрать и рассчитать схемотехническую реализацию корректирующего устройства. Если предполагается применение параллельного корректирующего устройства в виде дополнительной обратной связи охватывающей часть звеньев неизменяемой части системы достаточно просто пересчитать передаточную функцию последовательного корректирующего устройства к передаточной функции цепи корректирующей обратной связи с помощью формулы: (4.5.1) где - передаточная функция неизменяемой части системы. - части передаточной функции неизменяемой части системы, охваченные и, соответственно, не охваченные корректирующей обратной связью. Существуют методы и непосредственного синтеза параллельных корректирующих устройств с помощью логарифмических частотных характеристик (см. например ). Не трудно записать формулы, аналогичные формуле (4.5.1), для определения передаточных функций корректирующих устройств включаемых и в другие цепи системы автоматического управления (см. рис. 1.5.2). Таким образом, основной проблемой синтеза систем автоматического управления частотным методом является выбор вида желаемой логарифмической амплитудой частотной характеристики разомкнутой системы обеспечивающей требуемое качество процессов управления. В настоящее время существует множество рекомендаций по выбору такой ЛАЧХ. Наибольшее распространение получил метод построения желаемой ЛАЧХ предложенный В. В. Солодовниковым. Согласно этому методу, желаемую ЛАЧХ, условно разделяют на три участка: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную области. Низкочастотный участок определяет статические свойства системы, ее точность в установившемся режиме. В конечном итоге он характеризуется требуемыми порядком астатизма и коэффициента добротности (коэффициента передачи разомкнутой системы). Среднечастотный участок определяет устойчивость, запас устойчивости и, следовательно, качество переходных процессов, оцениваемое обычно показателями качества переходной характеристики. Основные параметры среднечастотного участка это его наклон и частота среза , т.е. частота при которой желаемая ЛАЧХ пересекает ось абсцисс. Чем больше наклон среднечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы. Поэтому наиболее целесообразен наклон -20дБ/дек и крайне редко он бывает -40дБ/дек. Частота среза определяет быстродействие системы. Чем больше , тем выше быстродействие, тем меньшее время регулирования переходной характеристики. Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ незначительно влияет на свойства системы. Вообще говоря, лучше иметь, возможно больший наклон ее асимптот, что уменьшает требуемую мощность исполнительного органа и влияние высокочастотных помех. Очень часто при синтезе высокочастотную часть ЛАЧХ не принимают во внимание и выполняют из условия обеспечения максимальной простоты корректирующего устройства. Требования к точности системы в установившемся режиме могут быть сформулированы различным образом. Это и определяет методологию формирования низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ. Рассмотрим несколько типичных вариантов. 1. Пусть при отработке ступенчатых, управляющего , и возмущающего , сигналов установившаяся ошибка в системе не должна превышать . Согласно параграфу 3.4 имеем: ; (4.5.2) (4.5.3) Считая систему статической, как по управлению, так и по возмущению (в этом случае наиболее просто обеспечить требуемые динамические качества), приравняв и допустимому значению ошибки , и взяв пределы в выражениях (4.5.2) и (4.5.3) получим: , , где - коэффициент передачи разомкнутой системы (коэффициент добротности по положению); - коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению. Полученные выражения позволяют определить требуемое значение коэффициента передачи разомкнутой системы: . Таким образом, в данном случае низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ – это прямая параллельная оси абсцисс и отстоящая от нее на расстоянии не менее чем 20 . 2. Пусть заданы основные значения частоты и амплитуды управляющего воздействия , которые будут иметь место при работе системы. Оговорено так же предельное значение амплитудной ошибки . Для области низких частот, где можно принять: . С учетом этого имеем: . Отсюда необходимое по условиям обеспечения точности значение амплитудной частотной характеристики при рабочей частоте . Таким образом, низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ в этом случае при частоте должен проходить не ниже значения 20 . Его наклон определяют дополнительные требования к порядку астатизма системы. 3. Пусть заданы предельные значения скорости изменения и ускорение управляющего сигнала. Конкретный вид управляющего сигнала неизвестен. Определено так же допустимое значение ошибки . В этом случае целесообразно записать управляющий сигнал в виде: , (4.5.4) где индексом обозначены «рабочая» частота и амплитуда, при которых будут иметь место заданные скорость и ускорение и . Взяв первую и вторую производные от выражения (4.5.4) получим: Следовательно, максимальные скорость и ускорение гармонического сигнала равны: . Это позволяет вычислить «рабочую» амплитуду и частоту синусоидального рабочего управляющего сигнала, при которых достигаются требуемые максимальные скорость и ускорение: , . В дальнейшем построение низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ выполняется согласно пункта 2. 4. Пусть в системе требуется обеспечить слежение за сигналом с постоянной установившейся ошибкой не превышающей . Сформулированные требования определяют необходимость построения системы с астатизмом первого порядка. Следовательно, низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ должен иметь наклон - 20дБ/дек. Передаточная функция разомкнутой системы в общем виде равна: . Передаточная функция по ошибке от управления замкнутой системы равна: . Коэффициенты ошибок: , . Определим установившуюся ошибку: . Отсюда находим требуемое значение коэффициента добротности: . Таким образом, низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ (либо его продолжение) по условиям точности должен пересекать ось абсцисс при частоте . Среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ характеризуется следующими параметрами: наклоном, длиной и частотой среза , т.е. частотой при которой желаемая ЛАЧХ пересекает ось абсцисс. Наклон среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ, как уже отмечалось, определен и должен составлять –20дБ/дек. Рис.4.5.1. Частоту среза выбирают так, чтобы выполнялось неравенство . Здесь - минимальное значение частоты среза, при котором время регулирования не превышает заданного значения . Значение определяют по номограмме изображенной на рис. 4.5.1. По заданному значению перерегулирования с помощью кривой номограммы определяют соответствующее значение . Затем по значению с помощью кривой определяют значение . Эту величину приравнивают заданному значению и из полученного равенства определяют: . Длина среднечастотного участка выбирается из условия обеспечения необходимого запаса устойчивости по амплитуде и по фазе. Значение ординат концов среднечастотного участка и необходимого запаса устойчивости по фазе можно определить с помощью приведенной в номограммы по ранее найденному значению . Можно также воспользоваться приводимой в литературе номограммой (см. например ), где на плоскости нанесены линии равных значений вещественной частотной характеристики. Соответствующее значение вещественной характеристики обозначены цифрами, стоящими у линии. Проведя к линиям соответствующим значениям и горизонтальные касательные можно найти отложенные по вертикальной оси ординаты и . Чтобы определить необходимый запас устойчивости по фазе, необходимо провести вертикальные касательные к кривым и . Затем отсчитать значение угла в градусах от касательной до линии Таким образом, с учетом требования обеспечения необходимых запасов устойчивости среднечастотный участок желаемой логарифмической частотной характеристики, проходящей через точку, соответствующую частоте среза , должен быть продолжен в обе стороны до ординат , и только тогда может сопрягаться с соседними участками. Среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ сопрягается с соседними непосредственно путем его дальнейшего продления, либо, если это невозможно прямыми отрезками, имеющими наклон -40 или -60 дБ/дек. При этом необходимо отслеживать, чтобы сопрягающие отрезки не отсекали на низкочастотном участке точку, характеризующую установившийся рабочий режим системы. Возможный вид желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики системы показан на рис. 4.5.2. Изложенный метод построения желаемой ЛАЧХ содержит некоторые допущения. Так, например, все используемые номограммы получены из условия, что вещественная частотная характеристика замкнутой скорректированной системы имеет некоторую типичную форму. В частности принимают, что . Так же используются не точные, а асимптотические ЛАЧХ. Кроме того, графические этапы расчета вносят неизбежные неточности. Поэтому расчет дает чаще всего лишь приближенные значения параметров корректирующих звеньев. Указанные обстоятельства привели к тому, что предложен ряд упрощенных методов построения желаемой ЛАЧХ. В частности, например, в предлагается сразу ограничить длину среднечастотного участка следующими значениями их конечных ординат дБ, дБ. Рис. 4.5.2. Полученные на основе такого приближенного синтеза результаты в дальнейшем уточняются на этапе повторного «уточненного» анализа выполняемого, либо рассмотренными ранее аналитическими методами, либо, что бывает чаще всего, получившими широкое распространение, методами цифрового математического моделирования с помощью разработанных типовых пакетов прикладных математических программ, например, таких как МАТКАД или MATLAB. Литература 1. Справочник по теории автоматического управления. / Под ред.А.А. Красовского. – М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1987. – 712с. 2. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического управления и регулирования: Учеб. Пособие для ВТУзов.-2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит., 1989. – 304с. 3. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 4. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. – М.: Машиностроение, 1982. 5. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980. 6. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z – преобразования. М.: Наука, 1971. 7. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУзов. М.: Наука. Гл. ред. Физ. – мат. лит., 1965.-608с. 8. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. Изд. 2-е. М.: Наука, 1972г, 768с. 9. Теория автоматического регулирования. Кн. 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования. Под ред. д-ра техн. наук, проф/ В.В. Солодовникова. М., «Машиностроение», 1967 (серия инженерных монографий «Техническая кибернетика»). 10. Яшугин Е.А. Теория линейных непрерывных систем автоматического управления в вопросах и ответах: Справ. пособие. -Мн.: Высш. Шк., 1986. 11. Дж.К. Ньютон, Л.А. Гулд, Дж.Ф. Кайзер. Теория линейных следящих систем. Аналитические методы расчета. Перевод с английского. Физ.мат. гос.изд.:М.,1961. 12. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под ред. В.А. Бессекерского, изд. пятое, переработанное. - М., «Наука» 1978, 512 стр. 13. Справочник по автоматизированному электроприводу. Под ред. В.А. Елисеева и А.В. Шинянского.- М.: Энергоатомиздат.1983.-616с. 14. Фрер Ф, Ортенбиргер Ф. Введение в электронную технику регулирования. Перевод с немецкого. М., «Энергия», 1973. 15. А.С. 1181107 СССР. Электропривод постоянного тока /А.А. Федоренко, М.С. Карагодин, Н.Ф. Лазовский, М.А. Мураховская. Б.И. 1985. №35. Оглавление. Введение……………………………………………………………………. 3 1. Общие положения теории автоматического управления. 1.1. Основные понятия, определения, термины……………………… 8 1.2. Основные алгоритмы функционирования систем автоматического управления........................................................................ 11 1.3. Фундаментальные принципы управления. 13 1.4. Классификация систем автоматического управления…………... 16 1.5. Основные элементы САУ. Функциональные и структурные схемы……………………………………………………………………….. 20 2. Виды математических моделей систем автоматического управления. 2.1. Описание систем во временной области………………………… 22 2.2.Описание САУ в области изображений…………………………... 34 2.3. Описание систем в частотной области…………………………… 42 2.4. Структурные представления математических моделей САУ…... 49 3. Анализ качества функционирования систем автоматического управления. 3.1. Определение понятия качества функционирования…………….. 58 3.2.Анализ устойчивости………………………………………………. 62 3.3. Анализ качества динамических режимов………………………… 77 3.4. Анализ точности в установившихся (рабочих) режимах……….. 89 4. Синтез систем автоматического управления. 4.1. Постановка задачи синтеза систем автоматического управления…………………………………………………………………. 95 4.2. Оптимизация параметров передаточной функции системы……. 99 4.3. Синтез по заданной передаточной функции. Модульный и симметричный оптимумы…………………………………………………. 104 4.4. Подчиненное регулирование. Модальное управление………….. 110 4.5. Синтез корректирующих устройств с помощью частотных характеристик……………………………………………………………… 118 Литература…………………………………………………………. 125