Основы радиотехники. Структурная схема радиотехнической системы передачи информации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «МЭИ» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по курсу «Основы радиотехники» Кафедра Основ радиотехники 2017 год 1 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 Особенности радиотехнической системы передачи информации ................................................ 4 1.1 Структурная схема радиотехнической системы передачи информации................................ 4 1.2 Линии передачи электромагнитных волн.................................................................................. 8 1.3 Электромагнитные поля и волны как носители информации. Плоская монохроматическая волна и ее свойства .......................................................................................................................... 15 1.4 Распространение радиоволн в атмосфере Земли .................................................................... 19 1.5 Диапазоны электромагнитных волн ........................................................................................ 22 2. Основы теории сигналов ................................................................................................................ 28 2.1. Математические модели сигналов и их классификация ....................................................... 28 2.1.1. Классификация сигналов ................................................................................................... 28 2.1.2. Математические модели элементарных сигналов ......................................................... 29 2.2. Спектры периодических сигналов .......................................................................................... 32 2.3. Спектральное представление непериодических сигналов.................................................... 38 2.4 Модулированные сигналы ....................................................................................................... 40 2.4.1. Амплитудно-модулированные сигналы .............................................................................. 41 2.4.2. Сигналы с угловой модуляцией ........................................................................................ 45 Контрольные вопросы ..................................................................................................................... 50 3. Анализ прохождения радиотехнических сигналов через линейные цепи................................ 51 3.1. Линейные цепи и их характеристики...................................................................................... 51 3.2 Линейная частотная фильтрация .............................................................................................. 52 3.3 Примеры частотных фильтров ................................................................................................. 53 3.4. Спектральный метод................................................................................................................. 59 3.5. Анализ воздействия амплитудно-модулированных сигналов на избирательные цепи ..... 60 3.6. Условия неискаженного прохождения сигналов через линейную цепь ............................. 63 Контрольные вопросы ..................................................................................................................... 64 4. Нелинейные преобразования сигналов ......................................................................................... 65 4.1. Анализ воздействия гармонического сигнала на нелинейный элемент .............................. 65 4.2. Воздействие нескольких гармонических сигналов на нелинейные элементы. Теория комбинационных частот.................................................................................................................. 67 4.3. Резонансный усилитель больших колебаний ......................................................................... 68 4.4. Умножение частоты.................................................................................................................. 72 4.5. Амплитудная модуляция .......................................................................................................... 73 4.6. Детектирование АМ сигналов ................................................................................................. 75 4.7. Преобразование частоты. Супергетеродинный приемник ................................................... 77 Контрольные вопросы ..................................................................................................................... 81 5. Основы теории дискретных сигналов ........................................................................................... 82 5.1. Математические модели дискретных сигналов ..................................................................... 82 5.2. Теорема Котельникова, выбор шага дискретизации. Спектр дискретного сигнала ......... 83 5.3. Ошибки дискретизации и восстановления сигналов............................................................. 85 2 5.4. Цифровая обработка сигналов ................................................................................................. 88 6. Основы теории случайных сигналов ............................................................................................. 93 6.1. Случайные процессы и их статистические характеристики................................................. 93 6.1.1. Некоторые сведения из теории вероятностей.................................................................. 93 6.1.2. Характеристики случайных процессов ............................................................................ 98 6.1.3. Одномерная плотность вероятности и связанные с нею числовые характеристики . 100 6.2. Корреляционная функция и энергетический спектр случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина ............................................................................................................................ 101 6.2.1. Корреляционная функция ................................................................................................ 101 6.2.2. Энергетический спектр .................................................................................................... 104 6.2.3. Примеры случайных процессов ...................................................................................... 108 6.3. Источники шумов в радиотехнических устройствах ......................................................... 110 6.3.1. Тепловой шум ................................................................................................................... 110 6.3.2. Дробовой шум ................................................................................................................... 111 Контрольные вопросы ................................................................................................................... 112 7. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные стационарные системы ........... 113 7.1. Спектральный метод анализа прохождения случайных сигналов через линейные стационарные системы .................................................................................................................. 113 7.2. Воздействие белого шума на линейные цепи ...................................................................... 114 7.3. Воздействие случайных процессов на RC-цепь ................................................................... 115 7.4. Анализ воздействия случайных процессов на линейные избирательные цепи............... 120 Контрольные вопросы ................................................................................................................... 125 8. Оптимальная линейная фильтрация ............................................................................................ 126 8.1. Оптимальный фильтр, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму ..... 126 8.2. Квазиоптимальные фильтры.................................................................................................. 131 8.3. Оптимальный фильтр, обеспечивающий минимум среднеквадратической погрешности сигнала ............................................................................................................................................ 134 Контрольные вопросы ................................................................................................................... 136 Литература ......................................................................................................................................... 137 Приложение 1. Таблица соответствия корреляционных функций и энергетических спектров ......................................................................................................................................................... 138 3 1 Особенности радиотехнической системы передачи информации Радиотехника – научно-техническая область, задачей которой является передача информации с помощью электромагнитных колебаний. Бурное развитие радиотехники в ХХ в. было подготовлено всей предыдущей познавательно-практической деятельностью человечества. 7 мая 1896 года наш выдающийся соотечественник Александр Степанович Попов на заседании Русского Физико-химического Общества с публичной демонстрацией своего грозоотметчика – первого в мире приемника электромагнитных колебаний. В память об этом знаменательном событии 7 мая ежегодно отмечается День радио. В настоящее время круг применения радиотехники необычайно широк. Сюда относятся радиосвязь и радиовещание, телевидение, радиоуправление, радионавигация и радиолокация. Кроме того, радиотехнические методы применяются в астрономии, медицине, биологии, геофизике и других научнотехнических областях. Итак, радиотехника решает задачи передачи информации с помощью электромагнитных колебаний. Информацией называют совокупность сведений о каком-либо событии или состоянии некоторой материальной системы. Информация представляет собой одну из форм проявления общественного сознания. Она – нематериальна и субъективна. Одна и та же информация может быть передана в различном виде. При этом конкретную форму представления информации называют сообщением. Для передачи сообщения нужен какой-либо материальный переносчик, поскольку само сообщения нематериально. Здесь мы приходим к понятию сигнала. Сигналом принято называть физический процесс изменения состояния какого-либо материального объекта, предназначенный для отображения, передачи и регистрации сообщения. В качестве сигналов в радиотехнике используют электромагнитные колебания. Поэтому в дальнейшем мы не будем делать различия между терминами «сигнал» и «электромагнитное колебание». 1.1 Структурная схема радиотехнической системы передачи информации Рассмотрим обобщенную структурную схему системы радиосвязи, представленную на рис. 1.1. На входе данной системы действует физический процесс – исходный материальный носитель сообщения (изображение, звуковое давление, температура и т.п.). В преобразователе осуществляется переход от данного физического процесса к первичному электромагнитному (ЭМ) колебанию (первичному сигналу) s(t). Преобразователями могут служить передающая телевизионная трубка, микрофон, термопара и т.п. 4 Источник сообщения Получатель сообщения Преобразователь Преобразователь s(t) _ s(t) Передатчик Приемник Передающая антенна Приемная антенна Рис. 1.1. Структурная схема системы радиосвязи Первичный сигнал s(t) изменяется по закону передаваемого сообщения. Этот сигнал не может быть непосредственно передан на большие расстояния. Причина заключается в том, что первичный сигнал является сравнительно низкочастотным, а излучение низкочастотных сигналов связано со значительными трудностями, так как мощность, излучаемая антенной обратно пропорциональна квадрату длины волны. Для решения проблемы излучения ЭМ волн в передатчике вырабатывают мощное высокочастотное колебание, один из параметров которого изменяется по закону передаваемого сообщения. Данное преобразование первичного сигнала называют модуляцией. Таким образом, передатчик – это устройство, генерирующее высокочастотное колебание, информация на которое переносится посредством его модуляции. Современный радиопередатчик состоит из следующих конструктивных частей (рис. 1.2): • задающего генератора фиксированной или перестраиваемой частоты; • модулирующего устройства (модулятора), изменяющего параметры излучаемой волны (амплитуду, частоту, фазу или несколько параметров одновременно) в соответствии с сигналом, который требуется передать; • оконечного усилительного каскада, который увеличивает мощность модулированного сигнала за счёт внешнего источника энергии; • устройство согласования с антенной, задачей которого является согласование излучаемого сигнала с параметрами антенны во избежание неэффективного излучения радиоволн или их отражения обратно в усилительный каскад. антенна Задающий генератор Модулятор Усилитель мощности цепь согласования. источник сигнала Рис. 1.2. Структурная схема радиопередатчика. 5 Задающий генератор в общем случае сложное устройство. Первичные колебания возникают в автогенераторе – усилителе с положительной обратной связью. Наиболее важными параметрами передатчика являются уровень выходной мощности и стабильность частоты. Стабильность частоты — характеристика автогенератора, показывающая отклонение частоты генератора от первоначального или номинального ее значения. Стабильность частоты определяется отношением Δf/f, где Δf — величина ухода частоты, f — первоначальное (номинальное) значение частоты. Это соотношение могут называть как относительной нестабильностью частоты, так и относительной стабильностью частоты. Различают кратковременную нестабильность (определяемую отклонением частоты за отрезок время меньше 1 секунды) и долговременную. На практике пользуются понятиями минутной, часовой, суточной, месячной и годовой нестабильности. Передатчик и приемник связаны между собой линией связи. Если в роли линии связи выступает свободное пространство, то связь с ним обеспечивают антенны на выходе радиопередатчика и входе радиоприемника. Антенна (от лат. antenna – мачта, рея) в традиционном понимании - это устройство, осуществляющее излучение волн, поступающих к ней от передатчика, или устройство, осуществляющее преобразование падающего излучения и передачу его к приемнику. В более широком смысле антенной можно назвать любой преобразователь волнового поля одного типа (например, моду, бегущую по линии передачи) в поле другого типа (например, моду, излученную в окружающее пространство). Приемные и передающие антенны по принципу действия идентичны, ибо в любых линейных системах (кроме гиротропных) коэффициенты преобразования полей взаимны. Однако технические особенности приемных и передающих антенн могут значительно расходиться из-за различий в предъявляемых к ним эксплуатационных требованиях (предельные мощности, полоса рабочих частот, шумы и т. п.). Чаще всего приходится иметь дело с радиоантеннами, т. е. преобразователями электромагнитных полей с длиной волны от 1 мм до нескольких километров. Естественные и искусственные акустические и гидроакустические преобразователи волновых полей (например, органы излучения и приема звука у насекомых, животных, человека) – это, по существу, древнейшие антенны. Оптические преобразователи волновых полей, во многом стимулировали создание ряда типов радиоантенн – линзовых, зеркальных, перископических и т. п., а акустические – рупорных антенн. Эти преобразователи также имеют право называться антеннами, однако, в силу исторически сложившихся традиций, в большинстве своем так не называются. Однако с появление квантовых генераторов элементы теории радиоантенн стали проникать в инфракрасный и оптический диапазоны. Само латинское слово antenna в начале ХХ века было использовано радиоинженерами для обозначения преобразователей электромагнитных полей 6 диапазона длинных волн, образованных из укрепленных на мачтах проводов. Конструктивное выполнение антенн чрезвычайно разнообразно: например, на летательных аппаратах желательны невыступающие антенны, космические антенны должны учитывать невесомость, автоматически развертываться и т. д., ряд антенн устанавливается под радиопрозрачными укрытиями, антенны бывают полноповоротными или неподвижными, стационарными или перевозимыми и т.д. Одна из основных характеристик антенны – диаграмма направленности антенны (ДН). Диаграмму направленности чаще всего определяют в дальней зоне. Граница дальней зоны определяется соотношением размеров антенны (D – максимальный габаритный размер антенны (размер апертуры)) и длины волны λ: . Направленные свойства антенн принято определять зависимостью напряженности излучаемого антенной поля в дальней зоне от направления. Графическое представление этой зависимости называется диаграммой направленности антенны. Трехмерная диаграмма направленности изображается как поверхность, описываемая исходящим из начала координат радиус-вектором, длина пропорциональна энергии, излучаемой антенной в данном направлении. Кроме трехмерных диаграмм, часто рассматривают и двумерные, которые строятся для горизонтальной и вертикальной плоскостей. При этом диаграмма направленности имеет вид замкнутой линии в полярной системе координат, построенной таким образом, чтобы расстояние от антенны (центр диаграммы) до любой точки диаграммы направленности было прямо пропорционально энергии, излучаемой антенной в данном направлении. Для изотропной антенны, излучающей энергию одинаково по всем направлениям, диаграмма направленности представляет собой сферу, центр которой совпадает с положением изотропного излучателя, а горизонтальная и вертикальная диаграммы направленности изотропного излучателя имеют форму окружности. Для направленных антенн на диаграмме направленности можно выделить так называемые лепестки, то есть направления преимущественного излучения. Направление максимального излучения антенн называется главным направлением; соответствующий ему лепесток – главным; остальные лепестки – боковыми, а лепесток излучения в сторону, обратную главному направлению, называется задним лепестком диаграммы направленности антенны. Направления, в которых антенна не принимает и не излучает, называются нулями диаграммы направленности. Диаграмму направленности также принято характеризовать шириной, под которой понимают угол, внутри которого коэффициент усиления уменьшается по отношению к максимальному не более чем на 3 дБ. ДН строят чаще всего в нормированном виде. Колебание, поступающее с выхода приемной антенны на вход приемника, представляет собой смесь ослабленного полезного радиосигнала и различных помех (сигналы других радиостанций, всевозможные шумы и т.п.) Поэтому в приемнике необходимо обеспечить усиление и селекцию (фильтрацию) 7 полезного радиосигнала. После этого в приемнике осуществляется преобразование, обратное модуляции: из высокочастотного промодулированного колебания выделяется первичный сигнал. Данное преобразование называют детектированием или демодуляцией. Приемник является обязательным оконечным устройством канала связи. Все многообразие радиоприемных устройств делится по следующим признакам: • основному назначению: радиовещательные и профессиональные, • роду работы: радиотелеграфные, радиотелефонные, телевизионные, фототелеграфные и т.д., • виду модуляции, применяемой в канале связи: амплитудная (АМ), частотная (ЧМ), фазовая (ФМ), однополосная (ОМ), импульсная (ИМ), частотная манипуляция с непрерывной фазой и т. д., • диапазону принимаемых волн приёмник, включающий все широковещательные диапазоны (ДВ, СВ, КВ, УКВ) называют всеволновым, • способу построения приёмного тракта: детекторные, прямого усиления, прямого преобразования, регенеративные, супергетеродинные с однократным, двукратным или многократным преобразованием частоты, цифровые • способу питания: с автономным, сетевым или универсальным • месту установки: передвижные, стационарные, мобильные и т.д. Наиболее важными показателями качества приемника являются чувствительность и избирательность (селективность). Чувствительность – это минимальный уровень сигнала, который может обнаружить приемник. О том от чего зависит чувствительность, и как ее повысить Вы узнаете на старших курсах Избирательность – это способность приемника ослаблять сигналы других каналов связи. Электрический сигнал с выхода приемника преобразуется в тот или иной физический процесс (изображение, звук и т.п.) в зависимости от требований получателя информации. 1.2 Линии передачи электромагнитных волн. [Штыков В.В. Букварь молодого радиста или введение в радиоэлектронику] Линии передачи являются неотъемлемой частью канала связи. Свободно распространяющиеся радиоволны являются лишь одним из возможных видов канала связи. Такой способ радиосвязи имеет то преимущество, что позволяет охватить практически неограниченное число абонентов – потребителей информации. Недостатками такого способа являются неэкономное использование мощности передатчика и мешающее влияние на другие аналогичные радиосистемы. В тех случаях, когда число абонентов ограничено и нет необходимости в 8 широковещании, используется передача сигнала с помощью направленно излучающих антенн, а также при помощи специальных устройств, называемых линиями передачи сигнала или, короче, линиями передачи. Этот укороченный термин применяется также к линиям передачи электрической энергии, например магистральным высоковольтным линиям, соединяющим электростанции с городами. В нашем случае речь идет о линиях, передающих малые мощности, или, как говорили в первой половине прошлого века, о слаботочных (имеется в виду слабый ток) информационных устройствах, имеющих свою специфику В широковещательной связи обычно используется однонаправленная передача сигнала от радиостанции к потребителю, при направленной же связи, как правило, применяется двусторонняя связь. Линии передачи применяются как в виде магистральных линий, так и в качестве локальных (местных) линий, например для связи передатчика или приемника с антенной, а также в местных распределительных сетях. В настоящее время локальные линии связи широко используются для связи ЭВМ. Рассмотрим принципы работы основных видов линий передачи сигналов, начиная от двухпроводной линии, которая начала применяться в начале прошлого века и используется до сих пор для передачи телеграфных и телефонных сигналов, и кончая современной волоконно-оптической линией. Двухпроводная линия отличается от обычного соединения с помощью двух проводов тем, что ее длина L может быть больше длины волны, распространяющегося вдоль нее электромагнитного поля. d D Рис. 1.3. Основным требованием к конструкции линии является условие D << λ, где D – расстояние между проводами (рис. 1.3). Провода подвешиваются на столбах, расстояние между проводами порядка метра. Двухпроводная линия может применяться для передачи сигналов на волнах порядка сотен и более метров, что соответствует частотам в диапазоне практически от нуля до 1 МГц. Как уже говорилось, двухпроводные линии используют для передачи телеграфных и телефонных сигналов, а также для трансляции местного радиовещания. Они также используются на антенных полях длинноволновых и средневолновых радиостанций. Основной недостаток двухпроводной линии состоит в том, что это открытая линия, допускающая излучение волн в пространство и прием волн из пространства; с этим связаны потери мощности сигнала и влияние внешних помех на передачу сигнала, природных (молния) и являющихся результатом человеческой деятельности (искрение в технических устройствах). Излучение и прием волн происходят в местах нарушения прямолинейности линии (изломы в 9 местах крепления проводов, изгибы из-за провисания проводов и др.). Излучение можно несколько уменьшить перекрещивая провода ( попросту скручивая их). Такая линия показана на рис. 1.4. Ее соседние участки излучают электромагнитные волны в противофазе. Такой кабель называю витой парой. Он используется, например, в локальных компьютерных сетях. Сама идея известна с 30-х годов прошлого века. ток Рис. 1.4. ток Перекрещивание проводов в воздушных линиях телефона и телеграфа применяется для устранения связей между каналами связи. Еще сейчас можно увидеть двухпроводные линии связи, тянущиеся вдоль железнодорожного полотна. Если внимательно посмотреть на такую линию, то можно увидеть, как на траверсах опор меняются местами провода. В месте смены положения провода устанавливается четыре изолятора вместо двух. Так, что витая пара была известна задолго до появления локальных сетей. Электрический кабель, работающий на том же принципе, что и двухпроводная линия, свободен от указанного недостатка, так как является замкнутой системой. В электрическом кабеле один из проводов имеет цилиндрическую форму и окружает второй провод, так что поле направляемой волны оказывается закрытым внутри этого цилиндра. Центральный провод размещается коаксиально, поэтому другое название линии – коаксиальный кабель (см. рис. 1.5). По некоторым соображениям D должно быть равно ≈ 3d. D d Рис. 1.5. Конструктивные требования к кабелю аналогичны требованиям, предъявляемым к двухпроводной линии. Его поперечный размер D (точнее длина средней окружности) должен быть меньше λ, при этом обычно длина кабеля L >> λ. Электрические кабели делятся на низкочастотные и высокочастотные, одножильные и многожильные. Кабели применяются для передачи сигналов на частотах до 1 ГГц, что соответствует длинам волн более 30 см. Примером 10 высокочастотного одножильного кабеля может служить широко известный телевизионный кабель, соединяющий антенну с телевизионным приемником. Сейчас в городах для телевизионного вещания в подавляющем числе случаев используются кабельные сети (кабельное телевидение). В таких сетях используют высокочастотный коаксиальный кабель с малыми потерями. Применению кабеля в область более коротких волн препятствуют следующие обстоятельства. С уменьшением длины волны приходится уменьшать поперечный размер кабеля и толщину центрального провода. Это связано с тем, что при D ≈ λ вдоль кабеля кроме основной волны смогут распространяться волны, отражающиеся от проводников (паразитные волны). Такие волны имеют другие скорости распространения. В приемник приходит сразу несколько сигналов на всех этих волнах с разным запаздыванием относительно друг друга. Интерференция волн искажает сигнал. Пропорциональное уменьшение размеров приводит к увеличению погонного (на единицу длины) сопротивления проводников, а, следовательно, к увеличению потерь мощности сигнала. Оказывается трудности можно преодолеть, если отказаться от центрального проводника. Металлический волновод представляет собой полую металлическую трубу круглого или прямоугольного сечения (см. рис. 1.6 а). Электромагнитные волны могут распространяться по волноводу, отражаясь от его стенок. В результате интерференции отраженных под определенными углами волн образуются направляемые волновые структуры с синусоидальным или близким к нему распределением поля в поперечном сечении. Такие волновые структуры называются типами волн или модами (от англ. mode). В кабеле эти моды оказались бы мешающими, паразитными. В волноводе же при отсутствии центрального провода одна из мод волновода может быть использована для передачи сигнала. Путь движения волны показан на рис.1.6 б. Волна падает на узкую боковую стенку волновода под углом φ относительно нормали и зеркально отражается. B a φ A a C а Рис. 1.6. б Если поперечный размер волновода a задан, то длина волны электромагнитного поля, распространяющегося в волноводе, должна быть короче некоторой величины, равной 11 2a λ крит =. m Эту длину волны называют критической длинной волны. Существование критической длины волны и необходимость выполнения условия 2a λ < λ крит = m являются важнейшими свойствами волноводов. Целые значения числа m определяют тип волны или моду волновода. Волны могут отражаться и от горизонтальных стенок волновода, поэтому в общем случае конфигурация поля (мода) в волноводе имеет сложный вид. Одна из мод имеет максимальное значение λкрит. Такой тип волны называется основным, т.к. он может распространяться в волноводе в отсутствии других (высших) типов волн. Чтобы избежать вредного влияния интерференции в волноводных линиях передачи используют основной тип колебаний (так называемый одномодовый режим). Металлические волноводы получили применение в качестве линий передачи сантиметровых и миллиметровых волн. Центры полос одномодовых режимов работы стандартных волноводов соответствуют λ = 10 см, 3,2 см и 8 мм. Металлические волноводы на более короткие волны (6, 4, 3 мм) выпускаются в ограниченном количестве. При уменьшении длины волны уменьшаются поперечные размеры волновода и возрастают потери мощности волны в стенках. Поэтому для волн с длинами порядка миллиметра и короче волноводы применяются лишь на очень короткие расстояния. Радиорелейная линия связи во многом похожа на оптический телеграф, конца 18 начала 19 веков. Вдоль линии связи в пределах прямой видимости устанавливаются ретрансляционные станции. Каждая такая станция имеет приемную и передающую антенны высокой направленности, которые установлены на башне высотой до 100 м. При такой высоте расстояние прямой видимости между станциями около 50 км. Ретранслятор усиливают сигнал, очищают его от помех и передают (ретранслируют) следующую станцию. На рис. 1.7 показан фрагмент радиорелейной линии связи. антенны волновод или кабель ретранслятор башня или мачта 50 – 100 м около 50 км Рис. 1.7. 12 ретранслятор Основное конструктивное требование накладывается на размер зеркала антенны. Чтобы обеспечить хорошую направленность, то есть малый угол дифракции излучения антенны φдиф, размер зеркала D должен быть достаточно большим по сравнению с длиной волны, поскольку tg (ϕдиф ) = x0 λ = 2D . z Радиорелейные линии используются в диапазонах дециметровых, сантиметровых и миллиметровых волн, поэтому размер зеркала оказывается порядка одного или нескольких метров. Радиорелейные линии создавались в 60-х годах прошлого века, но широко применяются и сейчас, несмотря на появление спутниковых ретрансляционных систем. Мачты радиорелейных линий можно увидеть вдоль магистральных автотрасс и железнодорожных линий. Волоконно-оптическая линия связи (ВОЛС) содержит волоконнооптический кабель, главным элементом которого является волоконный световод. Волоконный световод – это стеклянное волокно из высококачественного оптического стекла. В настоящее время широко применяются волокна из кварцевого стекла, а также прозрачные для ИК-излучения полимерные волокна. Надо отметить, что и стекла оказались более прозрачными в инфракрасном диапазоне. На рис.1.8 показана траектория движения волны внутри диэлектрической пластины. Если φпад > φпо, то на границе раздела возникает явление полного внутреннего отражения и волна распространяется, не покидая пластину. n2 φпад > φпо n1 n2 Рис. 1.8. С точки зрения электромагнитной теории волоконный световод представляет собой диэлектрический волновод оптического или инфракрасного диапазонов волн с длинами волн порядка одного или нескольких микрометров. Примерно по тем же причинам, что и для металлического волновода, поперечные размеры оптического волокна составляют единицы мкм. Ясно, что при таких размерах вряд ли удастся изготовить волокно с сечением, отличным от кругового. Конструктивно оптическое волокно – это многослойная структура, включающая сердцевину, оптическую оболочку, технологическую оболочку, слой защитного лака. Волокно помещают в защитную оболочку. Роль последней – защита оптической части от механического и химического влияния внешней среды. Эта оболочка делается обычно из полимера, в особых случаях используется также металлическое покрытие. Описанная конструкция – стеклянное волокно с защитной оболочкой – называется оптическим модулем, то есть по существу это одноволоконный оптический кабель. Как и электрические, оптические кабели могут быть одножильными (одномодульными) и 13 многожильными (многомодульными), последние с дополнительной жесткой полимерной или металлической центральной жилой и дополнительным общим защитным покрытием. Для передачи сигнала по волоконному световоду на большое расстояние необходимо особо чистое стекло. В 1966 году ученые подсчитали, что если поглощение света в стекле будет таково, что, пройдя по волокну расстояние в 1 км, мощность света уменьшится до 1% начальной мощности, то такое волокно можно использовать в качестве волоконного световода для передачи сигнала. Соответствующий коэффициент передачи по мощности К ≈ 10- 2 км-1 или в используемых в технике логарифмических единицах (децибелах) коэффициент Δ = 10 lg K = 20 дБ/км. В этом случае говорят, что при прохождении сигнала имеют место потери мощности в 20 дБ/км. При таких потерях ретрансляторы можно ставить через один или несколько километров, и оптический кабель уже сможет конкурировать с электрическим кабелем. Однако самые чистые оптические стекла того времени могли дать потери лишь в несколько тысяч децибел на километр. Попытки очистить стекло в процессе варки различными известными методами позволили уменьшить потери до нескольких сот децибел на километр. Основные потери мощности приходились на содержащиеся в стекле ионы металлов несмотря на их микроскопическое количество. Казалось, это был предел возможного. В 1970 г. специалисты американской фирмы “Corning Glass” получили волокно с потерями ≈20 дБ/км. Используя идеи получения сверхчистых материалов, применяемые в полупроводниковой технологии, они разработали метод получения сверхчистого кварцевого стекла из газовой фазы (метод парофазного осаждения стекла), причем непосредственно в процессе изготовления волокна, точнее, заготовки для оптического волокна. Полученная заготовка затем плавится в особой печи, и из нее вытягивается оптическое волокно нужных поперечных размеров, которое в процессе вытяжки сразу покрывается слоем защитного лака, чтобы при затвердении на поверхности стекла не образовывались микротрещины, которые существенно ухудшают механическую прочность и надежность оптического волокна. В дальнейшем и за рубежом и в нашей стране начали производить оптические кварцевые волокна с потерями порядка нескольких и даже одного децибела на километр на длинах волн 0,8; 1,3 и 1,5 мкм. Длины волн определялись спектрами поглощения в стекле и наличием соответствующих квантовых генераторов. Рекордное значение составило 0,2 дБ/км на длине волны 1,5 мкм, что близко к теоретическому пределу (0,18 дБ/км) на данной длине волны. Этот предел определяется уже не чистотой стекла, а его естественной структурной неоднородностью, приводящей к рассеянию света (рэлеевское рассеяние, названное так по имени известного английского физика Рэлея, впервые исследовавшего рассеяние волн в веществе). Достигнутые потери в 0,2 дБ/км дают потери в 20 дБ при длине световода в 100 км. Таким образом, если в магистральной волоконно-оптической линии и требуются ретрансляторы-усилители, то их надо ставить через 100 км или более. Подведем итог нашему обзору линий передачи сигналов. Рассмотренные линии применяются 1. как средства связи в виде магистральных линий связи на дальние расстояния, то есть в качестве междугородних линий (двухпроводные линии, электрические кабели, радиорелейные линии, волоконно-оптические линии), 2. в качестве линий внутригородской связи и во внутриобъектовой (внутри зданий) распределительной сети (электрические и волоконно-оптические кабели), 3. в виде линий связи антенн с передатчиком и приемником, в частности антенны с ретранслятором в радиорелейной линии (электрический кабель и волноводы), 4. в измерительных устройствах и аппаратуре контроля (электрические кабели, волноводы и оптическое волокно), 14 5. в научных исследованиях (электрические кабели, волноводы и оптическое волокно). Для грамотного использования всего многообразия линий связи необходимо овладеть теорией электромагнитного поля, изучить теорию антенн и освоить технику ультракоротких волн и даже волн оптического диапазона. 1.3 Электромагнитные поля и волны как носители информации. Плоская монохроматическая волна и ее свойства [Штыков В.В. Букварь молодого радиста или введение в радиоэлектронику] Электромагнитные поля и волны оказались очень удобным носителем информации. Это, прежде всего, связано с тем, они способны распространятся в свободном пространстве со скоростью с = 30 000 км в секунду. Свойства электромагнитных волн теоретически описал в 1873 году Джеймс Максвелл. Уравнения Максвелла показывают, что распространение электромагнитных волн сопровождается непрерывным превращением переменных электрического и магнитного полей друг в друга. Это превращение требует времени и поэтому скорость движения поля велика, но конечна. Простейшая математическая модель электромагнитной волны имеет вид так называемой плоской монохроматической волны. Поля плоской волны зависят только от времени и одной пространственной координаты, вдоль которой и движется волна. С учетом запаздывания гармоническое колебание, описывающее монохроматическую плоскую волну (любой физической природы), имеет вид z u (t ,= z ) U cos[ω(t − )] . c Из повседневной практики Вы знаете, что запаздывание во времени движущегося объекта, однозначно связано с пройденным расстоянием. Волна за время, равное периоду колебания Т, проходит путь равный zT = Tc = λ = c f . Эту величину называют длиной волны. Наблюдая за волнами, набегающими на берег, Вы без труда определите длину волны как расстояние между ее гребнями. Для электромагнитных волн все было бы так же, если бы мы могли видеть электрическое или магнитное поле. Распространение электромагнитных волн сопровождается несколькими чрезвычайно важными явлениями, которые во многом определи, и определяют принципы их практического использования. Поскольку свет является частным случаем электромагшнитных волн, то эти явления впервые наблюдали и исследовали в оптике. Именно поэтому они излагаются в школьном курсе физики. Однако волны разной физической природы обладают схожими 15 свойствами и поэтому явления, о которых пойдет речь, имеют аналоги, например, в акустике. Отражение электромагнитных волн происходит на границы раздела двух сред, обладающих разными свойствами. Это явление хорошо известно с древних времен. Впервые закон отражения упоминается в работах Евклида, (3 век до н. э.). Широко распространенная формулировка: "угол падения равен углу отражения", не вполне точна, но тем, ни менее передает основное содержание закона. На рис. 1.9 приведена иллюстрация отражения луча от зеркальной поверхности. φпад φотр Рис. 1.9 Преломление электромагнитных волн происходит при прохождении ими границы раздела двух сред. Свое название явление получило от наблюдаемого изменения хода луча света после пересечения им границы раздела (см. рис. 1.10). Закон преломления был установлен экспериментально в 1621 г. голландским математиком В. Снеллом, известным также под латинизированным именем Снеллиус, но был опубликован только после его смерти. Закон утверждает, что при любом угле падения луча на границу отношение sin(ϕпад ) sin(ϕпр ) является постоянной величиной, зависящей только от свойств граничащих сред. Это позволило ввести понятие показателя преломления n, с использованием которого закон записывается в виде: sin(ϕпад ) n2 = sin(ϕпр ) n1 φпад φотр φпад φотр n1 φпр n2 φпр а б Рис. 1.10. 16 Угол преломления меньше угла падения, если n1 < n2 (рис.1.10 a), например, при падении луча из воздуха на поверхность воды. Если же n1 > n2, то φпр > φпад (рис. 1.10. б). В этом случае при некотором угле падения преломленный луч скользит по границе раздела и энергия не покидает первую среду. Следовательно, коэффициент отражения становится равным единице. Это явление получило название явления полного внутреннего отражения. Область существования явления полного внутреннего отражения определяется соотношением n ϕпад ≥ ϕпо =arcsin  2   n1  Интерференция волн (от лат. iter - взаимно, между собой и ferio - ударяю, поражаю) связана со сложением в данной точке пространства когерентных гармонических колебаний, имеющих разные фазы. Разность фаз в большинстве случаев вызвана разность путей, пройденных волнами. Геометрия задачи о сложения прямой и отраженной волны дана на рис. 1.11. В точке наблюдения B необходимо сложить два гармонических колебания. Для электрического поля электромагнитной волны это выглядит приблизительно так L L E = (t ) E1 cos(ωt − 2π 1 ) + E2 cos(ωt − 2π 2 ) . λ λ L1 A B L2 C Рис. 1.11. Первый эксперимент по наблюдение интерференции света в лабораторных условиях принадлежит И. Ньютону. Он наблюдал интерференционную картину, возникающую при отражении света в тонкой воздушной прослойке между плоской стеклянной пластиной и плосковыпуклой линзой большого радиуса кривизны (рис. 1.12). Разница хода лучей приблизительно равна зазору h между линзой и пластиной. Интерференция волн создавала картину в виде концентрических колец, получивших название колец Ньютона (рис.1.13). На рисунке слева изображены картина интерференции зеленого света (λ ≈ 0,5 мкм), а справа – красного (λ ≈ 0,7 мкм). 17 Рис . 1.12 Рис. 1.13. Исторически первым интерференционным опытом, получившим объяснение на основе волновой теории света, явился опыт Юнга (1802 г.). В его опыте свет от источника, в качестве которого служила узкая щель, падал на экран с двумя близко расположенными щелями (см. рис. 1.14). В области перекрытия световых пучков наблюдалась интерференционная картина в виде чередующихся светлых и темных полос. Рис. 1.14. Явление интерференции радиоволн Вы можете наблюдать самостоятельно при приеме телевизионного сигнала на антенну за пределами города. Схема эксперимента показана на рис. 1.15. Она мало чем отличается от схемы на рис. 1.11, но одно существенное различие облегчит его проведение. V ТВЦ ТВ приемник h D Рис. 1.15. 18 Самолет движется, и разность хода лучей изменяется. В результате интенсивность сигнала в точке приема изменяется во времени. Это явление называют замиранием. В результате замирания сигнала изображение на экране будет мерцать. Задавшись высотой полета (10 км), скоростью самолета (800 км в час) и расстоянием до телецентра (50 км), Вы легко сможете найти частоту мерцания экрана при приеме сигнала 1- го телевизионного канала (λ ≈ 6 м). Дифракция электромагнитных волн (лат. diffractus - буквально разломанный, переломанный) – явление, которое можно рассматривать как отклонение света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Как показывает опыт, свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск, шарик или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина – система чередующихся светлых и темных колец. Если препятствие имеет линейный характер (щель, нить, край экрана), то на экране возникает система параллельных дифракционных полос. Характер картины свидетельствует от тесной связи дифракции с явлением интерференции. В современном, более широком толковании, с дифракцией связывают весьма широкий круг явлений, возникающих при распространении волн и проявляющихся в преобразовании пространственной структуры волн. Подобные изменения наблюдаются не только в классических условиях, но и в неоднородных средах, а также при распространении ограниченных в пространстве пучков волн. Дифракционные эффекты зависят от соотношения между длиной волны и характерным размером неоднородностей среды либо неоднородностей структуры самой волны. Наиболее сильно они проявляются при размерах неоднородностей сравнимых с длиной волны. При размерах неоднородностей существенно превышающих длину волны (на 3-4 порядка и более), явлением дифракции, как правило, можно пренебречь. В последнем случае распространение волн с высокой степенью точности описывается законами геометрической оптики. 1.4 Распространение радиоволн в атмосфере Земли Условия распространения радиоволн по естественным трассам определяются многими факторами. Эти факторы влияют на распространение электромагнитных волн разных частот по-разному. Земная поверхность оказывает существенное влияние на распространение радиоволн. Поверхность Земли отражает радиоволны при этом часть энергии поглощается. Сферичность земной поверхности (средний радиус земного шара равен 6370 км) препятствует распространению радиоволн за горизонт. Радиоволны, распространяющиеся в непосредственной близости (в масштабе длины волны) от поверхности Земли, называют земными (или поверхностями) радиоволнами. 19 В окружающей земной шар атмосфере различают две области, оказывающие влияние на распространение радиоволн: тропосферу и ионосферу. Строение атмосферы Земли показано на рис. 1.16. Тропосферой называется приземная область атмосферы, простирающаяся до высоты примерно 10—15 км (рис. 1.16). Тропосфера неоднородна как в вертикальном направлении, так и вдоль земной поверхности, кроме того, ее электрические параметры меняются при изменении метеорологических условий. Тропосфера влияет на распространение земных волн и обеспечивает распространение так называемых тропосферных волн. Распространение тропосферных волн связано с рефракцией (искривлением траектории волны) в неоднородной тропосфере, а также с рассеянием и отражением радиоволн от неоднородностей тропосферы. Рис 1.16. Ионосферой называется область атмосферы, начинающаяся от высоты 50— 80 км и простирающаяся примерно до 10000 км над поверхностью Земли (рис. 1.16). В этой области плотность газа весьма мала и газ ионизирован, т. е. имеется большое число свободных электронов и ионов (от 109 до 1012 частиц в кубическом метре). В среднем среда электронейтральна. Такую среду называются плазмой. Концентрация частиц меняется с высотой. Это дает основания разделения ионосферы на несколько слоев (см. рис. 1.16). Слои принято обозначать латинскими буквами D, Е и F. Область D (60-90 км) характеризуется плотностями электронов 108 - 109 м-3, Основным ионизирующим фактором этого слоя является рентгеновское излучением Солнца. Некоторую роль играют дополнительные слабые источники ионизации: метеориты, сгорающие на высотах 60-100 км, космические лучи, а во время магнитных бурь — энергичные частицы магнитосферного происхождения. Ночью ионизация в слое D резко уменьшается, но не исчезает полностью. Область E (90-120 км) характеризуется плотностями ~ 1011 м-3, ростом концентрации электронов с высотой в дневное время, связанным с поглощением солнечного коротковолнового излучения. Скорость рекомбинации ионов здесь довольно велика, и даже во время солнечного затмения концентрация ионов в области E успевает резко упасть. Ночью концентрация электронов в области E уменьшается до 109 м-3. Иногда случайным образом на высотах 100-110 км возникает слой ES (спорадический), очень тонкий (0,5-1 км), но плотный. Особенностью этого подслоя является высокая концентрация электронов (ne~1011 м-3), которые оказывают значительное влияние на 20 распространение средних и даже коротких радиоволн, отражающихся от этой области ионосферы. Областью F называют теперь всю ионосферу выше 130—140 км. Максимум ионообразования под действием солнечного коротковолнового излучения лежит на высотах 150—200 км. Однако ионы до момента рекомбинации на больших высотах живут сравнительно долго, а процессы диффузии приводят к тому, что электроны и ионы распространяются вверх и вниз от области максимума ионообразования. В результате максимальная концентрация электронов и ионов в области F наблюдается выше — на высотах 250—400 км. В дневное время, однако, мощная ионизация солнечным УФ-излучением на этих высотах часто вызывает появление дополнительной «ступеньки» в распределении электронной концентрации с высотой, её называют областью F1 (150—200 км). Она оказывает заметное влияние на распространение коротких радиоволн. Вышележащую часть слоя F часто называют слоем F2. Здесь плотность нейтральных частиц достигает своего максимума — 1011—1012 м-3. Присутствие легко подвижных свободных электронов существенно влияет на электрические свойства плазмы и обусловливает возможность отражения радиоволн от ионосферы. Чем выше концентрация электронов в плазме, тем более высокие частоты она может отражать. Уменьшение эффективности отражения с ростом частоты можно связать с уменьшением числа частиц объеме равном кубу длины волны. Каждый день мы с вами убеждаемся, что ионосфера полностью прозрачна для солнечного света. Это не удивительно – при концентрации частиц 1012 одна частица в среднем находится в объеме 10-12 м, а среднее расстояние между частицами порядка 10-4 = 100 мкм. Это приблизительно в 200 раз больше длины волны видимого света. Если же число частиц в объеме λ3 значительно превосходи единицу, то плазма вести себя по отношению к электромагнитным волнам подобно металлу. Металл, как Вам хорошо известно, состоит из неподвижных ионов и свободных электронов. Концентрация электронов в металлах около 1029. Как это вам не покажется странным, но металлы становятся прозрачными на длинах волн короче приблизительно 0,1 мкм (ультрафиолетовое и Жесткие лучи излучение). На этой длине волны пучок волн, сечением λ2, на пути в 1 м, будет взаимодействовать с 1015 электронов. Если принять эту цифру за основу, то можно придти к следующей формуле λ0 ≈ 3 ⋅ 107 , или f 0 ≈ 10 ne ne где ne – концентрация электронов, λ0 и f0 – граничные значения длины волны и частоты для нормального падения волны, соответственно. При наклонном падении волн граница отражения смещается в область более коротких волн (более высоких частот). Путем последовательного отражения от ионосферы и поверхности Земли радиоволны распространяются на очень большие расстояния (например, короткие волны могут несколько раз огибать земной шар). Радиоволны, распространяющиеся путем отражения от ионосферы, называют ионосферными волнами. На условия распространения ионосферных волн свойства земной поверхности и тропосферы влияют мало. 21 За пределами ионосферы концентрация частиц уменьшаются и на расстоянии, равном 3—4,5 радиусам земного шара, атмосфера Земли переходит в космическое пространство, где газ полностью ионизирован, плотность частиц составляет всего 2 106—2 107 м-3 (среднее расстояние между частицами 1 - 2 см). Условия распространения радиоволн в космосе близки к условиям распространения в свободном пространстве (вакууме). В зависимости от длины рабочей волны влияние одной и той же среды проявляется в большей или меньшей степени. В связи с этим для удобства выбора модели трассы электромагнитные волны делят; на диапазоны, как указано в табл. 1. Волны каждого из диапазонов имеют свои особенности распространения, но на границах диапазонов не существует резких изменений этих особенностей. 1.5 Диапазоны электромагнитных волн Диапазоны электромагнитных волн введены для удобства выбора математической модели распространения радиоволн. Хотя волны каждого из диапазонов и имеют свои особенности распространения, однако резких границ между диапазонами не существует. По современным понятиям к радиоволнам относят электромагнитные колебания, длина волны которых лежит в пределах от 2.10–9 м = 2 нм до 100 км, что соответствует частотам колебаний от 15.1016 до 3.10 3 Гц. Хотя есть примеры уникальных систем радиосвязи, работающих и на более низких частотах. Перечень диапазонов электромагнитных волн, границы которых согласованы с классификацией по международному регламенту радиосвязи, приведен в приложении. Радиоволны длиной от 1 до 10 км называют длинными (частота 300-30 кГц), а радиоволны длиной свыше 10 км - сверхдлинными (частота менее 30 кГц). Длинные и особенно сверхдлинные волны мало поглощаются при прохождении в толще суши или моря. Так, волны длиной 20-30 км могут проникать в глубину моря на несколько десятков метров и, следовательно, могут использоваться для связи с погруженными подводными лодками, а также для подземной радиосвязи. В этих диапазонах радиоволн для всех видов земной поверхности при распространении поверхностной волны происходит с незначительным поглощение энергии. Длинные волны хорошо огибают сферическую поверхность Земли. Оба эти фактора обусловливают возможность распространения длинных и сверхдлинных волн земной волной на расстояние около 3000 км. Начиная с расстояния 300 - 400 км, помимо земной волны, присутствует волна, отраженная от ионосферы. С увеличением расстояния амплитуда отраженной от ионосферы волны увеличивается, и на расстояниях 700 - 1000 км она становится соизмеримой с амплитудой земной волны. Сложение этих двух волн дает интерференционную картину. На расстоянии свыше 2000 - 3000 км уже не возможно различить земную и ионосферную волны по отдельности. Распространение происходит в результате 22 многократных отражений от поверхности Земли и нижней границы ионосферы. Поскольку расстояние между отражающими поверхностями сравнимо с длиной волны, приближение геометрической оптики не дает нужной точности, и задачу приходится решать с использованием уравнений Максвелла. О том, как решаются такие задачи, Вы узнаете на старших курсах. К средним волнам относятся радиоволны длиной от 100 до 1000 м (частоты 3 - 0,3 МГц). Средние волны используются главным образом для вещания. Они могут распространяться как земные и как ионосферные волны. Средние волны испытывают значительное поглощение в поверхности Земли, дальность распространения земной волны ограничена расстоянием 500 - 700 км. На большие расстояния радиоволны распространяются ионосферной волной. В ночное время средние волны распространяются путем отражения от слоя Е ионосферы, электронная плотность которого оказывается достаточной для этого. В дневные часы на пути распространения волны расположен слой D, чрезвычайно сильно поглощающий средние волны. Поэтому при обычных мощностях передатчиков в дневные часы связь на средних волнах практически возможна только земной волной и на сравнительно небольшие расстояния (порядка 1000 км). В диапазоне средних волн более длинные волны испытывают меньшее поглощение. Поглощение увеличивается в летние месяцы и уменьшается в зимние месяцы. Ионосферные возмущения не влияют на распространение средних волн, так как свойства слоя Е мало меняются во время ионосферномагнитных бурь. В ночные часы на некотором расстоянии от передатчика возможен приход одновременно пространственной и поверхностной волн, причем длина пути пространственной волны меняется с изменением концентрации электронов в ионосфере. Интерференция волн проявляется в замираниях сигнала. К коротким волнам относятся радиоволны длиной от 100 до 10 м (частоты 3—30 МГц). Преимуществом работы на коротких волнах по сравнению с работой на более длинных волнах является то, что в этом диапазоне можно создать направленные антенны. Короткие волны могут распространяться как земные и как ионосферные. С повышением частоты сильно возрастает поглощение волн в полупроводящей поверхности Земли. Поэтому при обычных мощностях передатчика земные волны коротковолнового диапазона распространяются на расстояния, не превышающие нескольких десятков километров. Ионосферной волной короткие волны могут распространяться на многие тысячи километров, причем для этого не требуется передатчиков большой мощности. Поэтому в настоящее время короткие волны используются главным образом для связи и вещания на большие расстояния. Короткие волны распространяются на дальние расстояния путем отражения от ионосферы и поверхности Земли. Такой способ распространения называют «скачковым» (рис.5.11) и характеризуют расстоянием скачка, числом скачков n, углами выхода и прихода. 23 Расстояние скачка зависит от высоты отражающего слоя, рабочей частоты и диаграммы направленности антенны в вертикальной плоскости; оно меняется в зависимости от времени года, сезона и уровня солнечной активности. В среднем максимальное расстояние скачка принимают равным: при отражении от слоя F2 4000 км, при отражении от слоя F1 3000 км, при отражении от слоя Е 2000 км. Максимальное расстояние скачка имеет место при направлении излучения волны по касательной к горизонту, однако у реальных антенн максимум излучения направлен под некоторым углом к горизонту, что приводит к уменьшению максимального расстояния скачка Концентрация электронов в ионосфере меняется в течение суток и в течение года. Значит, изменяются и границы рабочего диапазона, что приводит к необходимости изменения рабочей длины волны в течение суток. Днем работают на волнах 10 - 25 м, а ночью - на волнах 35-100 м. Понятно, что необходимость менять длину волны и каждый раз правильно выбирать ее усложняет как конструкцию радиостанции, так и работу оператора. Рабочая частота для обеспечения связи между двумя точками должна быть выбрана так, чтобы луч отражался от ионосферы и попадал в точку приема. Задача осложняется тем, что ионосфера неоднородна и траектория луча отличается от ломаной линии (см. рис. 1.17). Рис. 1.17. Траектории распространения коротких волн на большие расстояния: 1, 2 - волны, распространяющиеся путем двух отражений от ионосферы; 3 - волна, распространяющаяся путем одного отражения от ионосферы; 4 - волна, рабочая частота которой больше максимального значения f 0 ≈ 10 ne Ультракороткими называются радиоволны короче 10 м (частота выше 30 МГц). Со стороны более низких частот диапазон УКВ примыкает к коротким волнам, а со стороны высоких частот граничит с длинными инфракрасными лучами. Граница УКВ определена тем, что на этих волнах, как правило, не может быть удовлетворено условие отражения радиоволн от ионосферы. К ультракоротким волнам относятся пять диапазонов: метровый—от 10 до 1 м (30—300 МГц), дециметровый—от 1 до 10 см (300—3000 МГц), сантиметровый—от 10 до 1 см (3000—30 000 МГц), миллиметровый— 10 мм до 1 мм (выше 30 – 300 ГГц), субмиллиметровый (децимиллиметровый) – от 1мм до 0,1 мм(0,3 - 3ТГц). Каждый из диапазонов находит применение в технике. Так, диапазон метровых волн используется в телевидении и частотно-модулированном вещании, а в последнее время и для осуществления радиосвязи на дальние 24 расстояния. Диапазоны дециметровых и сантиметровых волн используются в телевидении, радиолокации и многоканальной связи. Встречающиеся в практике случаи распространения УКВ удобно классифицировать следующим образом. 1. Распространение УКВ на расстояния, значительно меньше расстояния прямой видимости: (до 5—6 км), когда можно пренебречь сферичностью Земли и считать ее плоской. 2. Распространение УКВ на расстояния, не превышающие расстояние прямой видимости (до 50—60 км) или ненамного превышающие это расстояние (до 80—100 км). На этих расстояниях существенное ослабляющее действие оказывает сферичность Земли. Тропосферная рефракция большей частью улучшает условия приема, но в то же время приводит к возникновению замираний. 3. Распространение УКВ на те же расстояния, но в гористой местности или в большом городе, когда на пути волны имеются значительные препятствия. 4. Распространение УКВ (сантиметровых и дециметровых) на большие расстояния - до 200 - 1000 км путем рассеяния на неоднородностях тропосферы. 5. Распространение УКВ (метровых) на расстояния свыше 1000 км путем отражения от ионосферы и рассеяния на ее неоднородностях Волны короче метровых не могут распространяться ионосферным путем. Возможность нерегулярного сверхдальнего распространения метровых волн обусловливают следующие явления, происходящие в ионосфере: а) повышение электронной плотности слоя F в годы максимума солнечной активности; б) появление спорадического слоя Es.. Каждый из этих видов распространения радиоволн имеет свои характерные особенности. Большей частью для волн короче 10 м слой F является прозрачным. Однако в годы максимума солнечной активности электронная плотность слоя F достигает зимой в дневное время таких высоких значений, что часто оказывается возможной радиосвязь и на волнах длиной 6—10 м. В этом случае возникает зона молчания протяженностью не менее 2000 км. Предельное расстояние передачи, обусловленное высотой слоя F, достигает 3500—4000 км. Реже наблюдается распространение радиоволн путем двух последовательных отражений от слоя F и от земной поверхности. Таким образом, при отражении от слоя F метровые волны могут временами распространяться на расстояние в кольце примерно 2000—7000 км от передатчика. Спорадический слой Es, имеющий электронную плотность, достаточную для отражения волн метрового диапазона, появляется нерегулярно, поэтому и этот вид сверхдальнего распространения радиоволн не может быть регулярным. Частота случаев сверхдальнего распространения зависит от частоты появления слоя Es, благодаря чему сверхдальнее распространение радиоволн наблюдается чаще всего летом в дневное время в южных широтах. Из года в год частота случаев отражения метровых волн от слоя Es. меняется без определенной закономерности. Высота, на которой образуется слой Es, составляет 100 - 120 км. Она определяет максимальное расстояние связи, которое равно 2000 - 2500 км. Плотность ионизации слоя обусловливает максимальные рабочие частоты и минимальное расстояние связи, которое для метровых волн составляет не менее 1000 км и увеличивается с укорочением длины волны. Следовательно, прием метровых волн, отраженных от слоя Es, возможен на расстоянии примерно 1000—2500 км от передатчика. Связь осуществляется в то время, когда спорадический слой находится в средней части пути между передатчиком и приемником. Спорадический слой появляется над небольшой территорией, поэтому обычно одновременно существует связь только с одной станцией. Благодаря движению слоя через некоторое время оказывается возможной связь с другой станцией. Продолжительность связи бывает различной - от нескольких минут до нескольких часов. В настоящее время не удается указать точно время появления отражений от слоя Es,. Характерной особенностью при отражении от спорадического слоя является его полупрозрачность. Не вся энергия волны, падающей на слой, отражается от него, как это происходит при отражении от слоя F. 25 Часть энергии (до 90%) проходит сквозь слой и теряется для приема. При этом, чем выше частота, тем меньшая часть энергии отражается и тем реже возможен прием. Поэтому наиболее часто возможен прием передач мощных станций (мощностью не менее 3 - 5 кВт). Попытки использовать отражения от слоя Es, для регулярной связи на метровых волнах не дали положительного результата. Однако установлено, что появление слоя Es, вызывает взаимные помехи станций, работающих в диапазоне метровых волн и разнесенных на расстояние 1000 - 2000 км. Появление слоя Es, является также помехой в работе радиолиний, использующих ионосферное рассеяние радиоволн. К инфракрасному диапазону (ИК) относятся волны длиной 0,75—100 мкм, занимающие промежуточное положение между оптическими и субмиллиметровыми волнами. Инфракрасный диапазон делят на три области: ближнее инфракрасное излучение - от 0,75 до 1,5 мкм, среднее - от 1,5 до 5,6 мкм дальнее - от 5,6 до 100 мкм. Диапазон длин волн от 100 – 10 мкм иногда называют самтимиллиметровым. К оптическому диапазону относятся электромагнитные колебания с длиной волны 0,4- 0,75 мкм, воспринимаемые человеческим глазом. Границы спектров оптических, инфракрасных и субмиллиметровых волн взаимно перекрываются. Оптическое излучение возбуждается за счет энергии перехода в атомах и молекулах излучающего тела. ИК излучение возникает в результате колебательных и вращательных движений атомов и молекул вещества. Процессы излучения обратимы, поэтому молекулы и атомы способны поглощать энергию на тех же частотах. При выполнении определенных условий некогерентное излучение частиц становится когерентным. Устройства, создающие когерентное излучение за счет квантовых переходов, получили название квантовых генераторов. Оптические и ИК волны могут фокусироваться линзами и зеркалами, менять свое направление при отражении и преломлении, разлагаться в спектр призмами. Оптические и ИК волны испытывают ослабление при прохождении атмосферы, особенно если она насыщена водяными парами и пылью. Подобно радиоволнам, эти волны меняют направление распространения в неоднородной атмосфере. Излучающие и отражающие тела, если они не являются источниками полезной информации, создают фон, мешающий работе системы и проявляющийся как вредный шум. В видимой части спектра на волнах 0,4—0,76 мкм поглощение незначительное, при длине волны 0,76 мкм наблюдается поглощение в кислороде. Участки сильного поглощения парами воды имеются вблизи волн длиной 0,94; 1,10; 1,38; 1,87 мкм, в интервалах длин волн 2,6—3,3; 5,5—7,5 мкм. На рис.1.18, а и б показано распределение поглощения энергии нормального солнечного спектра атмосферными газами, измеренное для диапазона волн 0,1—100 мкм у поверхности Земли и на высоте 11 км над Землей. На рисунке указаны газы, обусловливающие поглощение на отдельных участках спектра. Основное поглощающее действие оказывает водяной пар, поскольку его содержание намного превышает содержание остальных газов. Прозрачность атмосферы для инфракрасных лучей сильно зависит от влажности атмосферы. Измерения показали, что сравнительно хорошей прозрачностью для инфракрасных волн атмосфера обладает на следующих диапазонах: 0,95—1,05; 1,2—1,3; 1,5—1,8; 2,1—2,4; 3,3— 26 4,0; 8,0—11,0 мкм. В указанных пределах поглощением можно пренебречь, тогда как на промежуточных волнах и волнах длиннее 13 мкм атмосфера практически не прозрачна.. Рис. 1.18. Распределение поглощения энергии нормального солнечного спектра атмосферными газами: а — поглощение солнечного излучения, достигающего поверхности Земли; б — поглощение солнечного излучения, достигающего высоты 11 км Волны ИК диапазона нашли широкое применение в различных отраслях промышленности. ИК системы, создаваемые для обнаружения источников излучения в военном деле и промышленности, значительно меньше, проще и дешевле радиолокационных систем аналогичного назначения. Простота схем и конструкций таких приборов объясняется применением оптики, что дает возможность конструировать приборы из более мелких и прочных деталей. Одним из преимуществ многих ИК систем является отсутствие передатчика — используется излучение от целей, которые или сами являются источниками ИК или отражают излучение естественных ИК источников. Такие системы называются пассивными. Активные ИК системы имеют мощный источник ИК, излучение которого, отфильтрованное в узком участке спектра, концентрируется с помощью оптической системы и направляется в виде узкого пучка на цель. При использовании оптического и ИК диапазонов для целей связи преимуществом является возможность передачи большого количества информации, поскольку частота модуляции может достигать 10 ГГц. Системы связи, локации и навигации оказываются защищенными от помех благодаря применению узкополосных фильтров и большой направленности излучения. Эти преимущества становятся неоспоримыми при использовании когерентного излучения квантовых генераторов. Что касается излучения более коротких длин волн, то вопрос о его использовании – это вопрос будущего. Работы по созданию когерентных источников таких волн продолжаются. 27 2. Основы теории сигналов 2.1. Математические модели сигналов и их классификация 2.1.1. Классификация сигналов В радиотехнике сигналом называется некоторая изменяющаяся во времени физическая величина, являющаяся переносчиком информации. Чаще всего это бывает напряжение или ток. Классификация сигналов может производиться по различным признакам. Начнем с того, что сигналы подразделяются на детерминированные и случайные. Детерминированными называются сигналы, которые можно описать наперед известной функцией времени. В отличие от них случайные сигналы не могут быть заданы известной функцией, их можно описать лишь статистическими характеристиками. Случайные сигналы – это обычно помехи. Однако и сигналы, несущие информацию, если их форма заранее неизвестна, можно рассматривать как случайные. Сигналы можно классифицировать по характеру их зависимости от времени. Они могут иметь бесконечную протяженность или быть ограниченными во времени. К бесконечно протяженным сигналам относятся, например, периодические сигналы, в том числе гармонический сигнал. Сигналы, имеющие конечную протяженность, т. е. отличные от нуля на конечном интервале, называются импульсами. Различают видеоимпульсы и радиоимпульсы. Радиоимпульсы в отличие от видеоимпульсов, имеют высокочастотное заполнение (см. рис. 2.1). б u(t) а u(t) t t Рис. 2.1. Импульсные сигналы: а – видеоимпульс, б – радиоимпульс Радиоимпульсы, со своей стороны, относятся к так называемым радиосигналам, которые могут быть описаны математическим выражением вида u(t) = Um(t) cos[ω0t + ϕ(t)], где Um(t) и ϕ(t) – медленные функции времени; Um(t) называется огибающей, ω0 – несущей частотой радиосигнала. К радиосигналам кроме радиоимпульсов относятся модулированные сигналы, которые будут рассмотрены во второй лекции. Все перечисленные выше виды сигналов, и детерминированные, и случайные, являются аналоговыми, или континуальными. Аналоговые сигналы принимают какое-либо значение в любой момент времени. Кроме аналоговых, существуют еще дискретные и цифровые сигналы, которые в последнее время 28 получили широкое распространение в связи с развитием цифровой обработки сигналов. Дискретные сигналы задаются лишь в определенные дискретные моменты времени, а цифровые сигналы представляют собой последовательность чисел, заданных обычно в кодах вычислительной машины. 2.1.2. Математические модели элементарных сигналов При решении некоторых инженерных задач относительно сложные радиотехнические сигналы оказывается целесообразным представить в виде суммы (суперпозиции) более простых так называемых элементарных сигналов. Например, при анализе прохождения сигналов через линейные цепи необходимо бывает рассчитать форму сигнала на выходе цепи. Это можно сделать, представив входной сигнал в виде суммы очень простых элементарных сигналов, результат прохождения которых через исследуемую цепь известен или его легко найти. Наиболее употребительными элементарными сигналами являются: функция включения (единичный скачок), дельта-функция и гармонический сигнал. Функция включения (функция Хэвисайда) (рис. 2.1, а) описывается выражением  0, t < 0  σ(t ) = 1 / 2, t = 0 .  1, t > 0  Ее можно рассматривать как предельный переход при θ → 0 функции s(t), изображенной на рис. 2.2, б. а б σ (t) 1 s (t) 1 0,5 • 0,5 t t –ϑ ϑ Рис. 2.2. Функция Хэвисайда (а) и ее приближение (б) Дельта-функция (функция Дирака) – это очень своеобразный математический объект. Она равна нулю при всех значениях аргумента кроме t = 0, а при t = 0 она равна бесконечности:  ∞, t = 0 . δ(t ) =   0, t ≠ 0 29 Кроме того, δ-функция удовлетворяет дополнительному условию: +∞ ∫ δ(t )dt = 1 . −∞ Дельта-функцию можно рассматривать как предельный случай очень короткого импульса единичной площади (рис. 2.3). Если устремить длительность такого импульса к нулю при неизменной площади, то в пределе получим δ-функцию: δ(t ) = lim v (t ) . θ →0 Поскольку δ-функция имеет единичную площадь, ее размерность – 1/с. δ(t) а б v(t) t t –ϑ ϑ Рис. 2.3. Дельта-функция (а) и ее приближение (б) Дельта-функция связана с функцией включения простым соотношением. Нетрудно видеть, что функция v(t), изображенная на рис. 2.3, равна производной от функции s(t) на рис. 2.1, б: v(t) = ds(t)/dt. Полагая θ → 0, получаем δ(t) = dσ(t)/dt. Дельта-функцию принято изображать графически в виде вертикальной стрелки (см. рис. 2.3, а). Очевидно, что сигнал в виде идеальной δ-функции реально существовать не может. Однако δ-функция оказывается очень удобной математической моделью при описании коротких импульсов. Гармонический сигнал Гармоническое колебание как математическая модель носителя информации охватывает большое число разнообразных физических процессов, которые можно использовать для передачи информации. Это связано с тем, что многие системы совершают движение по гармоническому закону вполне естественным образом. Это в свою очередь означает, что такую форму движения достаточно легко получить практически. Гармонические сигналы получили широкое распространение в радиотехнике благодаря следующим отличительным качествам. 30 1. Это единственный вид сигнала, который не изменяет своей формы при прохождении через любую линейную систему. Изменяется только амплитуда и фаза сигнала на выходе. 2. Собственные колебания колебательных контуров и других резонансных устройств имеют вид гармонической функции. Благодаря этому гармонические сигналы разных частот легко отфильтровывать друг от друга. 3. Гармонические сигналы можно генерировать с помощью относительно простых устройств. Можно предложить несколько способов u(t) U0 отображения гармонического колебания. Это, T прежде всего аналитическая форма – запись t закономерности в виде формулы: u(t)= U0 cos (ω0t + ϕ0). (2.1) На рис. 2.4 приведена временная диаграмма (осциллограмма) гармонического Рис. 2.4. Гармонический сигнал сигнала. Параметры гармонического колебания легко установить, глядя на рис. 2.4. Во-первых, гармоническое колебание – периодично во времени. Период колебания равен Т. Во-вторых, оно имеет амплитуду U0, которая показывает отклонение значений сигнала от нуля. Скорость изменения колебания во времени определяется круговой частотой ω0, которая численно равна скорости изменения аргумента косинуса и измеряется в рад/с. В инженерной практике вместо круговой частоты используют циклическую частоту f0 = 1/T, которая показывает какое количество периодов, укладывается на отрезке времени в одну секунду. Циклическая частота измеряется в Гц и связана с круговой частотой соотношением: ω0 = 2π f0. Наконец, ϕ0 – начальная фаза колебания, которая дает Рис. 2.5. представление о расположении колебаний на оси времени друг относительно друга. Если ϕ0 > 0, то максимум колебания сдвинут вправо относительно нуля, а если ϕ0 < 0, то наоборот. Удобно пользоваться комплексной амплитудой гармонического сигнала, которая определяется формулой: • U 0 = U 0 exp( jφ 0 ) Используя формулу Эйлера exp(jx) = cos(x) + j sin(x), получаем связь между мгновенными значениями гармонического сигнала и его комплексной амплитудой: 31  •  u ( t ) = Re  U 0 exp( jω0t )    Комплексному представлению гармонического сигнала соответствует векторная диаграмма, изображенная на рис. 2.5,б. Мгновенные значения сигнала • u(t) определяют, проецируя вектор U 0 на ось отсчета углов, которая вращается на комплексной плоскости с частотой ω0 по часовой стрелке. На спектральной диаграмме гармонический сигнал изображают отрезком длины U0, расположенным перпендикулярно оси частот в точке ω0 (рис. 2.5,г). Здесь же записывают соответствующее значение начальной фазы колебаний. Представление суммы гармонических колебаний в виде спектральной диаграммы дает наглядное представление о соотношениях между амплитудами и частотами отдельных слагаемых. 2.2. Спектры периодических сигналов Спектром называется представление сигнала в виде суперпозиции (суммы) гармонических составляющих с различной частотой. Одна из важнейших причин широкого применения спектров в радиотехнике состоит в следующем. Гармонические сигналы обладают уникальным свойством: при прохождении через любую линейную систему (колебательный контур, любой фильтр, усилитель и т. п.) форма такого сигнала не изменяется, а изменяется только его амплитуда и фаза. Это позволяет, представив произвольный сигнал на входе линейной системы в виде суммы гармонических составляющих, рассмотреть прохождение каждой составляющей отдельно и затем, просуммировав эти составляющие на выходе линейной системы, найти вид выходного сигнала. Наиболее просто можно определить спектр периодического сигнала (рис. 2.6) Ф(t) = Ф(t + nT), где n – целое число, Т – период повторения. Ф(t) t T 2T 3T 4T Рис. 2.6. Периодический сигнал Из курса математики известно, что всякую периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье: ) Φ (t= ∞ A0 + ∑ [ Ak cos(k Ωt + ϕk ) ] 2 k =1 32 (2.2) 2π (2.3). T Сигнал в виде ряда Фурье удобно представить в виде спектральной диаграммы (рис. 2.7). Здесь каждая спектральная составляющая изображена вертикальной линией, высота которой пропорциональна амплитуде составляющей Ak , положение каждой составляющей на оси абсцисс определяется ее частотой kΩ. В случае необходимости рядом с каждой составляющей можно записывать значение фазы ϕk . где A1 ϕ1 A0/2 A2 ϕ2 A3 ϕ3 Ω Ω= 2Ω 3Ω A4 ϕ4 4Ω A5 ϕ5 ω 5Ω Рис. 2.7. Спектральная диаграмма периодического сигнала Составляющая спектра с нулевой частотой называется постоянной составляющей; составляющая с частотой Ω (основной частотой) – первой гармоникой; составляющая с частотой 2Ω – второй гармоникой и так далее. Ряд Фурье может быть записан в комплексной форме. Для этого в выражении (2.2) заменим косинус его представлением по формуле Эйлера: 1 j k Ωt +jk ) − j( k Ωt +jk )  cos(k Ωt + jk ) =  e ( +e .  2 И перейдем к комплексным амплитудам A = A e jj k . В результате k k получим окончательное выражение для ряда Фурье в комплексной форме: 1 ∞  jkΩt Φ (t ) = ∑ Ak e 2 k = −∞ (2.4) Особенность ряда Фурье в комплексной форме состоит в том, что функция Ф(t) представлена в виде суммы составляющих вида ejkΩt , причем каждому положительному значению k соответствует такое же по модулю отрицательное значение k. Линейная комбинация составляющих ejkΩt и e–jkΩt представляет собой гармонические функции cos(kΩt) и sin(kΩt), в соответствии с известными формулами Эйлера: e jα + e − jα e jα − e − jα cos α = , sin α = . 2 2j Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме также описывает разложение периодической функции на гармонические составляющие, только 33 форма записи здесь иная. Для определения комплексных амплитуд гармоник Ak применяется следующее выражение: 𝐴𝐴̇𝑘𝑘 = 𝑇𝑇� 2 2 � Φ(𝑡𝑡) e−j𝑘𝑘Ω𝑡𝑡 d𝑡𝑡 𝑇𝑇 (2.5) −𝑇𝑇�2 Комплексная форма ряда Фурье часто оказывается предпочтительной для вычисления спектров конкретных периодических сигналов. Для удобства построения спектральной диаграммы вводится понятие огибающей спектра: A(ω) = T� 2 2 � Φ(t) e−jωt dt T (2.6) −T�2 Чтобы построить спектральную диаграмму с помощью огибающей спектра, нужно сначала с помощью формулы (2.6) найти функцию A (ω), построить ее график, как показано на рис. 2.8, и затем расставить спектральные линии на расстоянии Ω = 2π/Т друг от друга. A1 A2 A3 A4 Ω 2Ω 3Ω 4Ω ω 5Ω Рис. 2.8. Использование огибающей спектра A(ω) для построения спектральной диаграммы Пример 2.1. Расчет спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов. Построить спектральную диаграмму периодической последовательности прямоугольных импульсов, длительностью Ти и амплитудой Е (рис. 2.9). Φ(t) E t −Τи/2 0 Τи/2 T 2T 3T 4T Рис. 2.9. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов 34 Решение. Найдем огибающую спектра: Tи / 2 2 A (ω ) = T ∫ Ee − jωt dt = − Tи / 2 ( ) 2E 4E  T  e − jωTи / 2 − e jωTи / 2 = sin ω и  . − jωT ωT  2  Для удобства построения графика огибающей спектра полученное выше выражение для A (ω) преобразуем к следующему виду:  T  sin ω и  2 ETи  2 . A (ω ) = (2.7) Tи T ω 2 Огибающая спектра А(ω) является вещественной функцией, ее график представлен на рис. 2.10 штриховой линией. Характерной точкой графика является значение частоты ω, при котором огибающая спектра впервые обращается в нуль. Это происходит, когда аргумент синуса равен π и, следовательно, частота ω = 2π/Ти. Подставив в (2.7) значение частоты первой гармоники Ω = 2π/Т, найдем амплитуду первой гармоники: 2 E  πTи  A1 = sin . π  T  A(ω) A1 A2 A0/2 ω Ω 2Ω 3Ω 4Ω 2π /Tи Рис. 2.10. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов. Аналогично для k-й гармоники 2 E  kπTи  Ak = sin . kπ  T  Величина постоянной составляющей А0/2 вычисляется отдельно по формуле T /2 A0 1 = 2 T ∫Φ −T / 2 В нашем случае A0 ETи = . Т 2 35 (t )dt . (2.8) Нетрудно видеть, что величина постоянной составляющей не равна значению огибающей спектра при ω = 0, она выпадает из общей тенденции изменения амплитуд гармоник. Такая особенность спектра характерна для большинства периодических сигналов. Необходимо отметить, что спектральное представление сигналов – не математическая абстракция, а отражение реально существующего явления. Если взять реальные гармонические сигналы с соответствующими амплитудами и фазами и сложить их, то в результате суммирования получится исходный сигнал, например, периодическая последовательность прямоугольных импульсов. Это легче всего продемонстрировать на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов, у которой интервал между импульсами равен длительности импульсов, т. е. Т = 2Ти. Такой сигнал, изображенный на рис. 2.11, называется меандром. Найдем амплитуды основных гармонических составляющих меандра: A0 E 2E 2E 2E = ; A1 = ; A4 = 0; A5 = ; A2 = 0; A3 = ; …. 3π 2 2 π 5π Φ(t) E t −Τи/2 0 Τи/2 T = 2Tи 2T Рис. 2.11. Меандр На рис. 2.12, а, б, в последовательно показаны постоянная составляющая плюс первая гармоника; сумма постоянной составляющей и первых трех гармоник; сумма постоянной составляющей и первых пяти гармоник. Хорошо видно, как с увеличением числа гармоник форма сигнала приближается к меандру. Рассмотрим, как зависит характер спектра от параметров периодической последовательности импульсов. Если увеличить (или уменьшить) длительность импульсов Ти, то сожмется (или вытянется) по частоте огибающая спектра; положение спектральных линий при этом не изменится. Если же увеличивать расстояние между импульсами, т. е. период повторения Т, не изменяя размеров и формы каждого отдельного импульса, то расстояние между отдельными спектральными составляющими и их высота будут уменьшаться обратно пропорционально периоду повторения Т (рис. 2.13). 36 а Ф(t) t б T 2T Ф(t) t в T 2T Ф(t) t T 2T Рис. 2.12. Представление меандра суммой постоянной составляющей и первой гармоники (а), суммой постоянной составляющей и первых трех гармоник (б), суммой постоянной составляющей и первых пяти гармоник (в) Ak ω 0 Ω = 2π/Τ 2π/Τи Рис. 2.13. Спектр периодического сигнала при увеличенном периоде повторения Т Распределение мощности периодического сигнала по спектру Средняя за период мощность периодического сигнала, выделяемую на резисторе с единичным сопротивлением, равна: 37 T P= 1 T ∫ u 2 (t )dt. (2.9) Если подставить в (2.9) представление сигнала u(t) в виде ряда Фурье (2.2), раскрыть скобки внутри интеграла и преобразовать это выражение, то получим простое выражение P= A02 4 ∞ + ∑ k =1 Ak2 2 (2.10) . Средняя за период мощность периодического сигнала равна сумме мощностей постоянной составляющей и всех гармоник. 2.3. Спектральное представление непериодических сигналов Чтобы получить спектральное представление непериодических сигналов, будем безгранично увеличивать расстояние между импульсами, устремляя период повторения Т к бесконечности, так, чтобы в пределе остался один импульс. При этом расстояние между соседними спектральными составляющими и амплитуда каждой составляющей будут уменьшаться, стремясь к нулю (см. рис. 2.14). При этом спектр становится сплошным и его описание с помощью обычной спектральной диаграммы оказывается невозможным. Однако если взять небольшой интервал частот, например, шириной 1 Гц, то суммарная амплитуда всех спектральных составляющих внутри этого интервала будет оставаться неизменной. Эту суммарную амплитуду называют спектральной плотностью импульса. Ak ω Рис. 2.14. Характер изменения спектра периодического сигнала при Т → ∞ Для математического перехода к спектру одиночного импульса в выражении (2.16) для огибающей спектра периодической последовательности импульсов при Т → ∞ функцию Ф(t) в подынтегральном выражении можно заменить на функцию, описывающую один импульс последовательности f(t), пределы интегрирования на бесконечные: ∞ 2 2  = A (ω) = f (t )e − jωt dt S (ω) , ∫ T −∞ T где S (ω) = ∞ ∫ f (t )e − jωt dt −∞ 38 (2.11) (2.12) – спектральная плотность импульса f(t). Выражение (2.11) позволяет связать огибающую спектра периодической последовательности импульсов со спектральной плотностью одного импульса. Выражение вида (2.12) называется прямым преобразованием Фурье. Из курса математики известно, что если две функции связаны прямым преобразованием Фурье, то для них справедливо обратное преобразование Фурье: ∞ 1 f (t ) = S (ω) e jωt dω . ∫ 2 π −∞ (2.13) Физический смысл преобразования Фурье состоит в том, что любую непериодическую функцию f(t) можно представить в виде суперпозиции составляющих вида ejωt и e–jωt , которые вместе образуют гармонические функции cos(ωt) и sin(ωt). В отличие от ряда Фурье, описывающего дискретный спектр, преобразование Фурье описывает непрерывный, сплошной спектр. Иначе говоря, в спектре непериодического сигнала могут присутствовать гармонические составляющие с любыми значениями частоты; частотный интервал между соседними составляющими бесконечно мал, и амплитуда каждой составляющей тоже бесконечно мала. Именно поэтому спектр непериодического сигнала описывается не амплитудами отдельных спектральных составляющих, а спектральной плотностью, которая пропорциональна суммарной амплитуде спектральных составляющих в единичной полосе частот. Теорема о запаздывании Пусть S(ω) – спектральная плотность импульса f(t). Найдем спектральную плотность импульса f(t – t0) (рис. 2.15), смещенного по времени по отношению к импульсу f(t) на величину t0: ∞ St0 (ω ) = ∫ f (t − t0 )e − jωt dt. −∞ f(t) f(t – t0) t t0 Рис. 2.15. К выводу теоремы о запаздывании Введем новую переменную x = t − t0 , и соответственно t = x + t0 . В результате получим 39 ∞ St0 (ω ) = ∫ ∞ ∫ f ( x ) e − jω ( x + t0 ) dx = −∞ f ( x ) e − jωx dx ⋅ e − jωt0 = S (ω ) e − jωt0 , (2.14) −∞ т. е. запаздывание сигнала на время t0 соответствует умножению спектральной плотности на − jωt 0 . множитель e Таким образом, смещение во времени сигнала не изменяет амплитудный спектр сигнала, а влияет только на его фазу. Теорема подобия раз, Пусть S (ω ) – спектральная плотность сигнала f(t). Сожмем сигнал f(t) во времени в m т. е. рассмотрим сигнал f(mt). Найдем его спектральную плотность: ∞ Sm (ω ) = ∫ f ( mt ) e − jωt dt . −∞ Вводя новую переменную x = mt , после несложных преобразований получаем ∞ 1 Sm (ω ) = m ∫ f ( x )e − jωx / m dx = −∞ 1  ω  S  . m m (2.15) Изменение спектральной плотности при сжатии импульса проиллюстрировано на рис. 2.16. Если m > 1, то график спектральной плотности расширяется в m раз и во столько же раз уменьшается по высоте. а б f(t) S(ω) Sm(ω) f(mt) ω t Рис. 2.16. Импульс, сжатый во времени, (а) и его спектральная плотность (б) Иначе говоря, если длительность импульса уменьшается, то спектр его во столько же раз расширяется. Отсюда следует, что для формирования более короткого импульса требуются более высокочастотные составляющие. Рассуждая аналогично, можно сделать вывод, что уменьшение ширины спектра соответствует увеличению длительности импульса. Это происходит, например, при прохождении импульса через устройство с относительно небольшой полосой пропускания. При этом происходит сглаживание импульса, и его длительность увеличивается. 2.4 Модулированные сигналы Модулированные сигналы используются для передачи информации по радиоканалам. Сигнал, несущий информацию s(t), т. е. речь, музыка, 40 телевизионный сигнал, различные сигналы со служебной информацией – это обычно широкополосный сигнал, непригодный для излучения антенной. Чтобы осуществить передачу информационных сигналов по радиоканалу, их переносят на высокую частоту посредством модуляции. Высокочастотный гармонический сигнал u(t) = Um cos(ωt + ϕ) характеризуется тремя параметрами: амплитудой Um, частотой ω и фазой ϕ. Каждый из этих трех параметров может изменяться в такт с информационным сигналом. Если пропорционально информационному сигналу изменяется амплитуда высокочастотного сигнала – получается амплитудномодулированный сигнал; если частота – частотно-модулированный; если фаза – фазомодулированный. Кроме этих трех, наиболее простых видов модуляции, в радиотехнической практике используются и другие, более сложные, обеспечивающие высокую помехоустойчивость при передаче информации. 2.4.1. Амплитудно-модулированные сигналы Амплитудно-модулированным (АМ) сигналом называется гармонический сигнал, амплитуда которого изменяется пропорционально передаваемому информационному сигналу. Формирование АМ сигнала проиллюстрировано на рис. 2.17. а s(t) t б u(t) t Рис. 2.17. Информационный сигнал (а) и соответствующий ему АМ сигнал (б) На рис. 2.17, а изображен информационный сигнал s(t), который обычно представляет собой знакопеременную функцию времени. Соответствующий ему амплитудно-модулированный сигнал изображен на рис. 2.17, б. Поскольку амплитуда сигнала не должна быть отрицательной, к сигналу s(t) добавляется постоянная составляющая, в результате чего амплитудно-модулированный сигнал записывается в следующем виде: u(t) = Um [1 + Ms(t)] cos(ω0t + ϕ). (2.16) 41 Рассмотрим АМ сигнал с однотональной модуляцией, когда модулирующий сигнал имеет вид гармонической функции: s(t) = cos(Ωt + Φ). Тогда соответствующий АМ сигнал можно представить в виде (2.17) u(t) = Um [1 + Mcos(Ωt + Φ)] cos(ω0t + ϕ). Временная диаграмма (осциллограмма) такого сигнала изображена на рис. 2.18, а. Коэффициент M, называемый коэффициентом модуляции, характеризует глубину модуляции, т. е. насколько сильно изменяется амплитуда в такт с передаваемым сообщением. Минимальное значение амплитуды сигнала Umin равно Um (1 – M), максимальное Umax = Um (1 + M). По экспериментально снятой осциллограмме вида рис. 2.2, а можно определить коэффициент модуляции: U − U min M = max . (2.18) U max + U min Максимальное значение коэффициента модуляции M = 1, когда амплитуда изменяется от 0 до 2Um (рис. 2.18, б). u(t) а в u(t) Umax Um Umin t t б г u(t) t t Рис. 2.18. Сигналы с амплитудной модуляцией: а – при коэффициенте модуляции М < 1; б – при коэффициенте модуляции М = 1; в – перемодуляция (М > 1); г – результат детектирования АМ сигнала с М > 1 Если M > 1, то в течение некоторого интервала времени амплитуда сигнала оказывается отрицательной, как показано на рис. 2.18, в. Изменение знака амплитуды означает изменение фазы высокочастотного заполнения на этом участке на 180°. Перемодуляция сигнала является крайне нежелательным явлением, поскольку обычный амплитудный детектор, используемый в приемниках АМ сигналов, выделит модуль огибающей (см. рис. 2.18, г), сильно отличающийся от исходного гармонического сигнала cos(Ωt + Φ). Найдем спектр АМ сигнала с однотональной модуляцией. Для этого раскроем скобки в выражении (2.17) и преобразуем произведение косинусов по правилам тригонометрии: 42 u(t) = Um [1 + Mcos(Ωt + Φ)] cos(ω0t + ϕ) = U m cos(ω 0t + ϕ ) + UmM U M cos[(ω 0 + Ω )t + ϕ + Φ ] + m cos[(ω 0 − Ω )t + ϕ − Φ ] . (2.19) 2 2 Таким образом, АМ сигнал можно представить в виде суммы трех гармонических составляющих. Первая из них, с частотой ω0, называется несущей составляющей или просто – "несущей"; вторая – верхней боковой и третья – нижней боковой составляющей. Соответственно, частота ω0 называется несущей частотой, ω0 + Ω – верхней боковой, ω0 – Ω – нижней боковой частотой. Спектральная диаграмма однотонального АМ сигнала изображена на рис. 2.19. + Um Um M 2 Um M 2 ω ω0 –Ω ω0 ω0 +Ω Рис. 2.19. Спектральная диаграмма АМ сигнала Характерно, что верхняя и нижняя боковые составляющие расположены симметрично относительно несущей и имеют одинаковую высоту. Мощность амплитудно-модулированного сигнала Мощность АМ сигнала равна сумме мощностей несущей и боковых составляющих, т. е. U m2 U m2 M PАМ = Pнес + Pв.б + Pн.б = + . (2.20) 2 4 Из формулы (2.20) видно, что основная мощность АМ сигнала сосредоточена в несущей составляющей. Даже если коэффициент модуляции сигнала М = 1, что встречается редко, 2/3 мощности сосредоточено в несущей, а при среднем значении коэффициента модуляции М ≈ 0,3 в несущей содержится около 95% мощности АМ сигнала, и лишь 5% – в боковых составляющих, которые являются носителями информации. Такое нерациональное расходование мощности сигнала является недостатком обычной амплитудной модуляции. АМ сигналы с произвольным законом модуляции Однотональная амплитудная модуляция встречается редко. Обычно модулирующий сигнал представляет собой сумму большого числа гармонических составляющих: ∑ n s(t ) = k =1 Соответствующий АМ сигнал имеет вид 43 Ak cos(Ω k t + Φ k ) . n   u(t ) = U m 1 + M k cos(Ω k t + Φ k ) cos(ω 0t + ϕ 0 ) , (2.21)   k =1   где Mk – парциальные коэффициенты модуляции. АМ сигнал (2.21) может быть представлен в виде суммы гармонических составляющих. ∑ ∑ n u(t ) = U m cos(ω 0t + ϕ 0 ) + k =1 ∑ UmM k cos[(ω 0 + Ω k )t + ϕ 0 + Φ k ] + 2 n + k =1 UmM k cos[(ω 0 − Ω k )t + ϕ 0 − Φ k ]. 2 (2.22) Соответствующая этому выражению спектральная диаграмма изображена на рис. 2.20. Она содержит несущую, n верхних и n нижних боковых составляющих, которые расположены симметрично относительно несущей. Полная ширина спектра определяется наибольшей из модулирующих частот; она равна 2Ωв. Um Um M2 Um M3 2 2 Um M1 2 Um M1 2 ω0 –Ω3 ω0 –Ω2 ω0 –Ω1 ω0 Um M2 Um M3 2 2 ω ω0 +Ω1 ω0 +Ω2 ω0 +Ω3 2Ω в Рис. 2.20. Спектр АМ сигнала при многотональной модуляции Сложные виды амплитудной модуляции Недостатки обычной амплитудной модуляции частично устраняются при использовании амплитудной модуляции с подавленной несущей и модуляции с одной боковой полосой. Для более рационального использования мощности сигнала используется амплитудная модуляция с подавленной несущей. При однотональной модуляции такой сигнал записывается в виде (2.23) u(t) = Um cos(Ωt + Φ) cos(ω0t + ϕ0). Его спектр и временная диаграмма представлены на рис. 2.21. Огибающая такого сигнала существенно отличается от гармонической, и при использовании для его детектирования обычного амплитудного детектора возникнут очень сильные нелинейные искажения. Поэтому на приемной стороне восстанавливают обычный вид АМ сигнала, добавляя несущую и только после этого детектируют сигнал. u(t) б а ω ω0 –Ω t ω0 ω0 +Ω Рис. 2.21. Спектральная (а) и временная (б) диаграммы АМ сигнала с подавлением несущей 44 Модуляция с одной боковой полосой позволяет сэкономить на ширине спектра сигнала. Если рассмотреть спектр обычного АМ сигнала на рис. 2.5, то видно, что левая и правая части спектра дублируют друг друга. Можно передавать лишь половину спектра, при этом сохраняется вся передаваемая информация. Модуляция с одной боковой полосой используется, например, в телевидении, где ширина спектра сигнала составляет около 6 МГц. Очевидно, что форма сигнала с одной боковой полосой отличается от формы обычного АМ сигнала, что необходимо учитывать при его детектировании. 2.4.2. Сигналы с угловой модуляцией Сигналами с угловой модуляцией называются частотномодулированные (ЧМ) и фазомодулированные (ФМ) сигналы. Они схожи друг с другом, и поэтому их свойства обычно рассматриваются совместно. Колебания с угловой модуляцией (и ЧМ, и ФМ) можно записать в виде u(t) = Um cos[ω0t + ϕ(t)]. (2.24) Для описания сигналов с угловой модуляцией необходимо четко определить понятия частоты и фазы сигнала. Полной фазой сигнала называется величина ψ(t) = ω0t + ϕ(t), а ϕ(t) – сдвиг фазы. Мгновенной частотой называется производная полной фазы по времени dψ ( t ) dϕ ( t ) = ω0 + ω (t ) = . (2.25) dt dt Соответственно, t ψ (t ) = ∫ω (t )dt + const . (2.26) -∞ Обозначим, как и прежде, передаваемый информационный сигнал как s(t). При частотной модуляции в соответствии с информационным сигналом s(t) должна изменяться мгновенная частота ω(t), т. е. (2.27) ω(t), = ω0 + as(t). Соответственно, полная фаза t ∫ ψ (t ) = ω 0t + a s(t )dt , (2.28) -∞ и ЧМ сигнал можно записать в следующей форме: t ∫ u(t) = Um cos[ω0t + a s(t )dt ]. -∞ 45 (2.29) Максимальное отклонение частоты ∆ω от среднего значения ω0 называется девиацией частоты. На рис. 2.22 в качестве иллюстрации приведены временные диаграммы модулирующего сигнала s(t), мгновенной частоты ω(t), сдвига фазы ϕ(t) для ЧМ сигнала u(t). s(t) s(t) t ω(t) ∆ω ω0 t ϕ(t) ∆ω t t m m ω(t) ϕ(t) ω0 t u(t) t u(t) t t Рис. 2.23. Временные диаграммы для ФМ сигнала Рис. 2.22. Временные диаграммы для ЧМ сигнала При однотональной частотной модуляции s(t) = cos(Ωt + Φ). (2.30) Запишем выражения для мгновенной частоты, полной фазы и сдвига фазы сигнала: (2.31) ω(t) = ω0 + ∆ω cos(Ωt + Φ), где ∆ω – девиация частоты, Δω ψ (t ) = ω 0t + sin(Ωt + Φ ) , (2.32) ϕ (t ) = Δω Ω (2.33) sin(Ωt + Φ ) . Ω Величина ∆ω/Ω = m – характеризует максимальное отклонение сдвига фазы от среднего значения и называется индексом модуляции. Индекс модуляции – величина безразмерная и измеряется в радианах. При фазовой модуляции пропорционально информационному сигналу s(t) изменяется сдвиг фазы ϕ(t): ϕ(t) = as(t). (2.34) 46 В соответствии с этим, ψ (t ) = ω 0t + as(t ) , (2.35) ds(t ) , (2.36) dt (2.37) u(t) = Um cos[ω0t + as(t)]. На рис. 2.23 показаны временные диаграммы модулирующего сигнала s(t), сдвига фазы ϕ(t), мгновенной частоты ω(t) и ФМ сигнала u(t) при таком же виде модулирующего сигнала, как на рис. 2.22. Сравнивая рис. 2.22 и 2.23, можно видеть, в чем различаются ЧМ и ФМ сигналы и их характеристики. При однотональной фазовой модуляции s(t) = cos(Ωt + Φ), (2.38) ϕ(t) = m cos(Ωt + Φ), (2.39) где m – максимальное отклонение сдвига фазы, т. е. индекс модуляции. dϕ ( t ) ω (t ) = ω 0 + = ω 0 − mΩ sin(Ωt + Φ ) . (2.40) dt Максимальное отклонение мгновенной частоты от среднего значения, т. е. девиация частоты в данном случае равна mΩ, т. е. ∆ω = mΩ. Как видно, связь между индексом модуляции и девиацией частоты одинакова для ЧМ и ФМ сигналов. Сравнивая выражения (2.31) – (2.33) и (2.39) – (2.40) нетрудно видеть, что при однотональной модуляции ЧМ и ФМ сигналы различаются лишь фазой модулирующего сигнала, т. е. различить их достаточно сложно. При более сложном характере модуляции разница между ЧМ и ФМ сигналами может быть существенной, но внешне, лишь по временной диаграмме, трудно определить, какой вид модуляции применяется, так как при любом виде угловой модуляции изменяются и мгновенная частота, и фаза. Поэтому на приемной стороне, во избежание ошибок при детектировании, необходимо заранее знать вид используемой модуляции. Сравнивая рис. 2.7 и 2.8, можно получить представление о характере ошибок, которые возникают, если для детектирования ЧМ сигнала будет применен ФМ детектор или наоборот. ω (t ) = ω 0 + a Спектр сигнала с угловой модуляцией Рассмотрим простейший случай однотональной модуляции. Как ЧМ, так и ФМ сигналы могут быть описаны выражением u(t) = Um cos[ω0t + m cos(Ωt + Φ) + ϕ0]. В теории радиотехнических сигналов показывается, что сигнал с угловой модуляцией можно представить в виде ряда: ∞ u(t) = U m ∑ J n ( m ) cos[(ω 0 + nΩ )t + ϕ 0 + nΦ ] . n = −∞ 47 Таким образом, колебание с угловой модуляцией можно представить в виде суммы гармонических составляющих, частоты которых равны ω0 + nΩ, а амплитуды – Um Jn(m). Функций Бесселя обладают одним важным свойством, которое состоит в том, что при большом индексе n они весьма близки к нулю при m < n – 1 (см. рис. 2.24). В связи с этим спектральные составляющие с частотой ω0 + nΩ, где n > m + 1, становятся пренебрежимо малыми, и хотя, строго говоря, ширина спектра бесконечно велика, можно говорить о реальной ширине спектра, которая равна 2Ω(m + 1) = =2∆ω + 2Ω. В качестве иллюстрации на рис. 2.25 изображен спектр колебания с угловой модуляцией при m = 5. J0(x) 1 J1(x) J4(x) 0.5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 –0.5 Рис.2.24. Графики функций Бесселя Um J3(5) Um J4(5) Um J5(5) Um J6(5) Um J2(5) ω 0 ω 0 +Ω ω 0 – 6Ω ω 0 –Ω ω 0 +2Ω ω 0 + 6Ω Um J0(5) Um J1(5) практическая ширина спектра Рис. 2.25. Спектр сигнала с угловой модуляцией при m = 5 Анализ этой спектральной диаграммы позволяет сделать следующие выводы. Спектр сигнала с угловой модуляцией при m >> 1 содержит несущую и большое число боковых составляющих, расположенных на расстоянии Ω друг от друга. Несущая составляющая совсем не обязательно больше боковых составляющих, она может быть даже отрицательной, т. е. ее фаза равна π, как на рис. 2.25. Составляющие за пределами практической ширины спектра (в нашем случае – с частотой ω0 ± 7Ω) еще заметно отличаются от нуля, однако, как показывает опыт, их вклад в формирование сигнала пренебрежимо мал. Преимущества ЧМ и ФМ сигналов по сравнению с АМ сигналами Сигналы с угловой модуляцией обеспечивают более широкий динамический диапазон, особенно в сторону увеличения громкости (для случая 48 звуковых синалов). При использовании амплитудной модуляции максимальный уровень модуляции ограничен значением М = 1; при дальнейшем увеличении глубины модуляции возникают недопустимые искажения. При угловой модуляции глубина модуляции может увеличиваться безгранично без появления нелинейных искажений. Сигналы с угловой модуляцией обеспечивают более высокую помехоустойчивость. Поясним это на t примере двух видов помех: импульсной и квазигармонической. При импульсной помехе (например, при грозовом разряде) возникает мощный короткий импульс, который слышен как треск. Особенно это заметно в t вещательных приемниках АМ сигналов, где уровень помехи на выходе может сильно превышать уровень полезного Рис. 2.26. Влияние импульсной помехи сигнала, как показано на рис. 2.26. при амплитудной модуляции При угловой модуляции уровень помехи на входе столь же велик, как и при использовании АМ сигналов (рис. 2.27, а). Однако в приемниках ЧМ и ФМ сигналов обязательно осуществляется ограничение амплитуды сигнала перед детектированием (рис. 2.27, б). При этом помеха не подавляется полностью; ее действие сводится к некоторому изменению фазы, которое не превышает π, т. е. максимальный индекс модуляции, вызванный помехой, не превышает π. При широкополосной угловой модуляции индекс модуляции, вызванный полезным сигналом m >> 1, и поэтому отношение сигнал/помеха на выходе может быть значительно меньше единицы, несмотря на то, что на входе помеха значительно сильнее сигнала. Отметим, что все эти преимущества проявляются для широкополосной угловой модуляции, когда m >> 1. а t t t б в Рис. 2.27. Влияние импульсной помехи при угловой модуляции 49 Контрольные вопросы 1. Что такое элементарные сигналы? Для чего они используются? 2. Назовите основные свойства дельта-функции. 3. В чем состоит фильтрующее свойство дельта-функции? 4. Какова связь между функцией Хэвисайда и дельта-функцией? 5. Чем обусловлено широкое применение гармонических сигналов в радиотехнике? 6. В чем состоит основное отличие спектра периодического сигнала от спектра отдельных импульсов? 7. Что представляет собой спектр гармонического сигнала? 8. Как зависит спектр периодической последовательности импульсов от периода повторения импульсов? 9. Что такое спектральная плотность сигнала? 10. Как изменяется спектр сигнала при его смещении во времени на некоторую величину t0? 11. Как изменяется спектральная плотность импульса при изменении его длительности? 12. Как выглядит спектр амплитудно-модулированного сигнала? 13. Что такое перемодуляция? Почему она приводит к недопустимым искажениям? 14. Чем отличается частотная модуляция от фазовой, и что у них общего? 15. Чему равна реальная ширина спектра сигнала с угловой модуляцией? 16. Что такое широкополосная угловая модуляция? Каковы ее преимущества перед узкополосной модуляцией? 50 3. Анализ прохождения радиотехнических сигналов через линейные цепи 3.1. Линейные цепи и их характеристики Один из принципов классификации цепей основан на том, что они поразному ведут себя при подаче на вход суммы нескольких сигналов. Пусть сигналы на входе и выходе цепи (рис. 3.1) связаны между собой по закону, который задан системным оператором Т: uвых(t) = T[ uвх(t)]. Если оператор системы таков, что справедливы равенства (3.1) Т[𝑢𝑢вх1 (𝑡𝑡) + 𝑢𝑢вх2 (𝑡𝑡)] = Т[𝑢𝑢вх1 (𝑡𝑡)] + Т[𝑢𝑢вх2 (𝑡𝑡)] uвх(t) uвых(t) Т[𝑎𝑎 ∙ 𝑢𝑢вх (𝑡𝑡)] = 𝑎𝑎 ∙ Т[𝑢𝑢вх (𝑡𝑡)] Т где а – произвольное число, то данная система называется линейной. Условия (3.1) выражают фундаментальный принцип суперпозиции. Если условия (3.1) не выполняются, то говорят, что система является нелинейной. Главная особенность линейных систем – справедливость принципа суперпозиции – открывает прямой путь к решению задач о прохождении сигналов через такие системы. Представление сигналов в виде суммы элементарных функций позволяет найти сигнал на выходе цепи как сумму реакции цепи на воздействие элементарных импульсов на входе. Для анализа прохождения сигналов через линейные цепи используются разные методы, которые можно разделить на временные и спектральные. Один из временных методов – применение интеграла Дюамеля – основан на знании импульсной или переходной характеристики цепи. Импульсная характеристика цепи h(t) – это сигнал на выходе цепи, который получается при подаче на ее вход сигнала в виде δ-функции. Переходной характеристикой g(t) называют сигнал на выходе цепи, если на ее вход подается сигнал в виде единичного скачка σ(t). Переходная характеристика связана с импульсной характеристикой Рис. 3.1. соотношением: ℎ(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 . Комплексный коэффициент передачи определяется при воздействии на вход цепи гармонического сигнала uвх(t) = Uвх cos(ωt + ϕвх). По определению, комплексным частотным коэффициентом передачи называют функцию, описывающую частотную зависимость отношения комплексных амплитуд выходного отклика цепи и входного гармонического воздействия: 𝑈𝑈̇вых 𝑈𝑈вых j(φ −φ ) 𝐾𝐾̇ (ω) = = ∙ 𝑒𝑒 вых вх = �𝐾𝐾̇ (ω)� ∙ 𝑒𝑒 jφ(ω) (3.2) ̇ 𝑈𝑈вх 𝑈𝑈вх Частотную зависимость модуля комплексного коэффициента передачи называют амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ), функция ϕ(ω) 51 представляет собой фазо-частотную характеристику (ФЧХ) цепи. АЧХ устанавливает связь между амплитудами гармонических колебаний на входе и выходе цепи при различных частотах. ФЧХ описывает частотную зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами: 𝑈𝑈вых (3.3) �𝐾𝐾̇ (ω)� = 𝑈𝑈вх (3.4) φ(ω) = φвых − φвх В радиотехнике частотный коэффициент передачи чаще всего представляет собой безразмерное отношение комплексных амплитуд напряжений или токов. Для измерения значений таких АЧХ удобно использовать особые логарифмические единицы – децибелы (дБ). Для этого вводят понятие усиления цепи, дБ: ∆(ω) = 20 lg( K ( jω) ) . (3.5) 3.2 Линейная частотная фильтрация Линейной частотной фильтрацией называется такое преобразование спектра сигнала линейной цепью, которое приводит к желаемому изменению входного сигнала. Примером линейной частотной фильтрации является регулировка тембра в звуковоспроизводящей аппаратуре: при этом подбирается желаемая АЧХ регулятора тембра (эквалайзера), которая позволяет усилить звучание той или иной части спектра фонограммы. Линейную цепь с частотно-зависимым коэффициентом передачи, которая используется для частотной фильтрации сигналов, называют частотным фильтром. В радиотехнике широко используются фильтры нижних частот (ФНЧ) (рис. 3.2,а), фильтры верхних частот (ФВЧ) (рис. 3.2,б), полосовые фильтры (ПФ) (рис. 3.2,в), режекторные фильтры (РФ) (рис. 3.2,г). Рис. 3.2. Амплитудно-частотные характеристики фильтров 52 3.3 Примеры частотных фильтров Пример 3.1. Фильтр нижних частот 1-го порядка. Исследовать частотные характеристики последовательной RС-цепи, возбуждаемой источником ЭДС uвх(t). Выходным откликом цепи считается напряжение на конденсаторе (рис.3.3). Решение. Коэффициент передачи в i(t) R данном случае определяется как отношение комплексной амплитуды выходного uвых(t) C uвх(t) напряжения к комплексной амплитуде напряжения на входе (см. формулу (3.2)): U Рис. 3.3. Схема к примеру 3.1 K (ω) = вых . U вх Так как Uвых = I / (jωС), а I = Uвх / (R + 1 / (jωС)), то коэффициент передачи K(jω) = 1 / (1 + jωСR). Вид частотной характеристики цепи зависит от параметра τ = СR, имеющего размерность времени и называемого постоянной времени цепи. В этом случае частотный коэффициент передачи примет следующий вид: K ( jω) = 1 . 1 + jωτ (3.6) Построим амплитудно-частотные (рис. 3.4) и фазо-частотные (рис. 3.5) характеристики для трех значений τ: 1 7 ⋅ 210 1 − 7 0.75 ( ) −7 АЧХ(ω , 10 ) 0.5 −7 ) 0.25 АЧХ(ω , 210 ⋅ 2 ⋅ АЧХ ω , 0.510 ⋅ 7 0.510 ω 1 .10 2 .10 7 7 3 .10 7 4 .10 7 Рис. 3.4. Амплитудно-частотные характеристики RС-цепи Видно, что данная цепь хорошо пропускает на выход низкочастотные колебания и сильно подавляет колебания с высокими частотами. Говорят, что такая цепь является фильтром нижних частот (ФНЧ). Вводят понятие граничной частоты, или частоты среза ωс, фильтра. На этой частоте значение 1 АЧХ уменьшается до уровня = 0,707 от максимального значения. 2 53 10 ( ) 7 − ФЧХ(ω , 10 ) −7 ⋅ ФЧХ(ω , 210 ) −7 ⋅ ФЧХ ω , 0.510 10 0 ω 2 .10 1 .10 3 .10 7 7 7 30 − 45 ° 50 70 0.5 ⋅10 7 7 210 ⋅ 90 Рис. 3.5. Фазо-частотные характеристики RС-цепи Легко найти связь между частотой среза и постоянной времени цепи: ωc = 1 τ. (3.7) Усиление фильтра на частоте среза ∆(ωс) = 20 lg 0,707 = –3 дБ. Фаза выходного сигнала отстаёт от фазы сигнала на входе. На частоте ωс фазовый сдвиг составляет –45° и при неограниченном увеличении частоты стремится к –90°. Приведем вид осциллограмм входного и выходного гармонических сигналов, имеющих частоту ω = ωс (рис. 3.6). Пусть амплитуда входного сигнала 1 В, начальная фаза 0. Тогда сигнал на выходе будет описываться формулой: 𝑢𝑢вых (𝑡𝑡) = 𝑈𝑈вх |𝐾𝐾(ωc )| cos�ωc 𝑡𝑡 + φ(ωc )�  j⋅ωc⋅t Re Uвх⋅e  1 0.8 0.6 0.4 0.2  j⋅ωc⋅t Re Uвых⋅e  0.2 0 0.4 0.6 0.8 1 uвх(t) uвых(t) t 2 .10 7 4 .10 7 6 .10 7 Рис. 3.6. Осциллограммы входного и выходного напряжений Анализ осциллограмм подтверждает, что амплитуда выходного колебания уменьшается в 2 раз, а фазовый сдвиг составляет 45° в сторону запаздывания по сравнению со входным сигналом. 54 Пример 3.2. Фильтр верхних частот 1-го порядка Исследовать частотные характеристики последовательной RС-цепи (рис. 3.7), возбуждаемой источником ЭДС uвх(t). Выходным откликом цепи считается напряжение на резисторе. Решение. Коэффициент передачи C i(t) определяется как отношение комплексной амплитуды выходного напряжения к u (t) вых R uвх(t) комплексной амплитуде напряжения на входе: U K (ω) = вых . Рис. 3.7. Схема к примеру 3.2 U вх Так как Uвых = I R, а I = Uвх / (R + 1 / (jωС)), то коэффициент передачи K(jω) = (jωСR) / (1 + jωСR). Вид частотной характеристики цепи зависит от параметра τ = СR, имеющего размерность времени и называемого постоянной времени цепи. В этом случае частотный коэффициент передачи примет следующий вид: K ( jω) = jωτ . 1 + jωτ (3.8) Построим амплитудно-частотные (рис. 3.8) и фазо-частотные (рис. 3.9) характеристики для трех значений τ: 1 7 7 0.5⋅10 − 7) 0.75 ( −7 АЧХ ( ω , 10 ) 0.5 −7 АЧХ ( ω , 2⋅10 ) 0.25 2⋅10 1 2 АЧХ ω , 0.5⋅10 1 .10 7 2 .10 ω 7 3 .10 7 4 .10 7 Рис. 3.8. Амплитудно-частотные характеристики RС-цепи Видно, что данная цепь хорошо пропускает на выход высокочастотные колебания и сильно подавляет колебания с низкими частотами. Говорят, что такая цепь является фильтром верхних частот (ФВЧ). Как и для ФНЧ вводят понятие граничной частоты, или частоты среза ωс, фильтра. На этой частоте 1 = 0,707 от максимального значения. значение АЧХ уменьшается до уровня 2 55 90 7 − 7) ( −7 ФЧХ ( ω , 10 ) −7 ФЧХ ( ω , 2⋅10 ) ФЧХ ω , 0.5⋅10 7 0.5⋅10 72 2⋅10 54 36 18 1 .10 2 .10 ω 7 3 .10 7 4 .10 7 7 Рис. 3.9. Фазо-частотные характеристики RС-цепи Фаза выходного сигнала опережает фазу сигнала на входе. На частоте ωс фазовый сдвиг составляет 45° и при неограниченном увеличении частоты стремится к 0°. Приведем на рис. 3.10 вид осциллограмм входного и выходного гармонических сигналов, имеющих частоту ω = ωс. Пусть амплитуда входного сигнала 1 В, начальная фаза 0. Тогда сигнал на выходе будет описываться формулой: 𝑢𝑢вых (𝑡𝑡) = 𝑈𝑈вх |𝐾𝐾(ωc )| cos�ωc 𝑡𝑡 + φ(ωc )� j⋅ωc⋅t   Re  Uвх⋅e   1 0.8 0.6 0.4 0.2 j⋅ωc⋅t  0.2 Re  Uвых⋅e  0.4 uвых(t) 1 .10 7 2 .10 uвх(t) 7 3 .10 7 4 .10 7 5 .10 7 6 .10 7 7 .10 7 0.6 0.8 1 t Рис. 3.10. Осциллограммы входного и выходного напряжений Анализ осциллограмм подтверждает, что амплитуда выходного колебания уменьшается в 2 раз, а фазовый сдвиг составляет 45° в сторону опережения по сравнению со входным сигналом. 56 Пример 3.3. Полосовой фильтр Примером полосового фильтра i(t) R L может служить последовательный ο колебательный контур (рис. 3.11). Чтобы оценить частотные свойства uвх(t) C такой цепи рассмотрим конкретную задачу. ο Пусть последовательный Рис. 3.11. Схема к примеру 3.3. колебательный контур имеет параметры: L = 6 мкГн, C = 140 пФ, R = 3 Ом. Входным воздействием на цепь является напряжение, создаваемое включенным в контур источником ЭДС, а выходным откликом считается ток в контуре. Вычислить резонансную частоту f0 (Гц), характеристическое сопротивление ρ, добротность Q и полосу пропускания контура П 0,707. Вычислить усиление при отклонении частоты ∆f = f – f0 от резонансной, если ∆f в три раза превышает половину полосы пропускания. Построить графики АЧХ и ФЧХ контура для трех значений сопротивления потерь: 0,5R, R и 2R. Решение. Схема цепи приведена на рис.4.5. Резонансную частоту f0, характеристическое сопротивление ρ, добротность Q и полосу пропускания контура Π найдем по известным из теории колебательного контура формулам: 1 𝑓𝑓0 = = 5,49 МГц; (3.9) 2π√𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿 ρ = � = 207 Ом; (3.10) 𝐶𝐶 ρ 𝑄𝑄 = = 41,4; (3.11) 𝑅𝑅 𝑓𝑓0 П = = 133 кГц. (3.12) 𝑄𝑄 По условию комплексный коэффициент передачи рассматриваемой цепи определяется как отношение комплексной амплитуды тока, протекающего в контуре, к комплексной амплитуде приложенного напряжения. При этом частотной характеристикой будет зависимость проводимости последователь-ного колебательного контура от частоты: 1 𝑌𝑌(𝑓𝑓) = (3.13) 1 𝑅𝑅 + j2π𝑓𝑓𝑓𝑓 + j2π𝑓𝑓𝐶𝐶 Вычислим усиление при отклонении частоты ∆f от резонансной, если ∆f в три раза превышает половину полосы пропускания: ∆ = −9.862 при f > f0 , ∆ = −10.146 при f < f0 . Из приведенных расчетов усиления справа и слева от 57 резонансной частоты видно, что резонансная кривая не совсем симметрична. Асимметрия возрастает с уменьшением добротности. При высокой добротности резонансную кривую можно считать симметричной и пользоваться приближенными формулами расчета частотной характеристики: 1 R Y( f ) = 2Q ( f − f0 ) 1+ j ⋅ (3.14) . f0 Построим семейства частотных характеристик для значений сопротивления R/2, R и 2R. На рис.3.12 представлено семейство АЧХ, на рис.3.13 – семейство ФЧХ: 0.4 0.4 Y0.5R(f) YR(f) 0.3 2 0.2 0.2 2 Y2R(f) 0.1 f 5.2 .10 6 5.3 .10 5.4 .10 6 5.5 .10 6 5.6 .10 6 5.7 .10 6 5.8 .10 6 6 Рис. 3.12. Семейство АЧХ для значений сопротивления R/2, R и 2R 90 ( arg Y0.5R(f) π ( arg YR(f) π ( )⋅180 arg Y2R(f) π )⋅180 )⋅180 60 45 ° 30 f 5.3 .10 6 5.4 .10 6 30 5.5 .10 6 5.6 .10 6 5.7 .10 6 − 45° 60 90 Рис. 3.13. Семейство ФЧХ для значений сопротивления R/2, R и 2R Видно, что АЧХ имеет ярко выраженный максимум на резонансной частоте. Значение ФЧХ на резонансной частоте равно нулю. Это объясняется тем, что при резонансе реактивные сопротивления конденсатора и катушки одинаковы по модулю и противоположны по знаку, что ведет к компенсации реактивной составляющей сопротивления контура и уменьшению модуля этого 58 сопротивления. Проводимость контура оказывается чисто активной, в результате чего ток в контуре совпадает по фазе с приложенным напряжением. Отклонение частоты от резонансного значения вызывает резкое увеличение модуля сопротивления и, как следствие, существенное уменьшение тока. На этом основано применение последовательного колебательного контура в качестве частотно-избирательной системы. Как видно из рисунков, с увеличением сопротивления резистора R в два раза проводимость контура на резонансной частоте уменьшается в два раза, а полоса пропускания в два раза увеличивается. Построим также семейство АЧХ для значений индуктивности катушки L/2, L и 2L (рис.3.14). При увеличении индуктивности происходит уменьшение резонансной частоты (максимум резонансной кривой смещается влево) и полосы пропускания колебательного контура (резонансная кривая сужается). 0.2 Y0.5L(f) 0.15 YL(f) Y2L(f) 0.1 0.05 f 3 .10 6 4 .10 6 5 .10 6 6 .10 6 7 .10 6 8 .10 6 9 .10 6 Рис. 3.14. Семейство АЧХ для значений индуктивности L/2, L и 2L 3.4. Спектральный метод Спектральный метод для сигнала с дискретным спектром. Если входной сигнал имеет дискретный спектр, например, если сигнал периодический, то комплексную амплитуду каждой спектральной составляющей 𝐴𝐴̇𝑖𝑖 вх следует умножить на значение комплексного коэффициента передачи на соответствующей частоте ωi. В результате определяем спектр сигнала на выходе цепи: 𝐴𝐴̇𝑖𝑖 вых = 𝐴𝐴̇𝑖𝑖 вх ∙ 𝐾𝐾̇ (ω𝑖𝑖 ) (3.15) Иначе говоря, амплитуду каждой спектральной составляющей надо умножить на соответствующее значение АЧХ, а фазу – сложить с соответствующим значением ФЧХ: 𝐴𝐴𝑖𝑖 вых = 𝐴𝐴𝑖𝑖 вх ∙ �𝐾𝐾̇ (ω𝑖𝑖 )� (3.16) φ𝑖𝑖 вых = φ𝑖𝑖 вх + arg�𝐾𝐾̇(ω𝑖𝑖 )� (3.17) Итак, для определения спектра сигнала, прошедшего через линейную цепь, необходимо амплитудный спектр умножить на АЧХ, а фазовый спектр сложить с 59 ФЧХ. Спектральный метод для импульсного сигнала. Если входной сигнал – непериодический, то спектр его непрерывный и описывается спектральной ̇ (ω). В этом случае, умножая 𝑆𝑆вх ̇ (ω) на комплексную частотную плотностью 𝑆𝑆вх характеристику цепи 𝐾𝐾̇ (ω), найдем спектральную плотность выходного сигнала ̇ (ω): 𝑆𝑆вых ̇ (ω)∙𝐾𝐾̇ (ω). ̇ (ω) = 𝑆𝑆вх (3.18) 𝑆𝑆вых ̇ (ω) можно перейти к временной От спектральной плотности 𝑆𝑆вых зависимости uвых (t) с помощью обратного преобразования Фурье: ∞ 1 ̇ (ω)𝑒𝑒 jω𝑡𝑡 dω 𝑢𝑢вых (𝑡𝑡) = � 𝑆𝑆вых 2π −∞ К сожалению, в большинстве случаев этот интеграл не удается вычислить аналитическими методами. Поэтому для нахождения выходного сигнала либо используются методы численного вычисления интегралов, либо используется алгоритм быстрого преобразования Фурье. 3.5. Анализ воздействия амплитудно-модулированных сигналов на избирательные цепи Анализ воздействия АМ сигналов на избирательные цепи проще всего проводить спектральным методом. Рассмотрим сначала ситуацию, когда несущая частота сигнала совпадает с резонансной частотой избирательной цепи. Запишем выражение для АМ сигнала в виде суммы трех спектральных составляющих: 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝑢𝑢вх (𝑡𝑡) = 𝑈𝑈𝑚𝑚 cos(ω0 𝑡𝑡 + φ) + cos[(ω0 + Ω)𝑡𝑡 + φ + Φ] + 2 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑀𝑀 + cos[(ω0 + Ω)𝑡𝑡 + φ + Φ]. 2 Спектральная диаграмма этого сигнала приведена на рис. 3.15,а. Под ней изображены амплитудно-частотная �𝐾𝐾̇ (ω)� (рис. 3.15,б) и фазочастотная β(ω) (рис. 3.15,в) характеристики цепи. В роли избирательной цепи может выступать колебательный контур (последовательный или параллельный), резонансный усилитель или любое другое устройство, ширина частотной характеристики которого мала по сравнению с резонансной частотой. В зависимости от характера цепи в качестве частотной характеристики цепи могут фигурировать различные физические величины. Например, для последовательного колебательного контура, если выходным сигналом является ток, это – проводимость Y(ω), для параллельного контура (выходным является напряжение) – сопротивление Z(ω). При высокой 60 добротности контуров, входящих в состав избирательной цепи, частотная характеристика практически симметрична, поэтому для простоты дальнейшего анализа несимметрией частотной характеристики пренебрегаем. При прохождении через а) Um избирательную цепь амплитуда каждой из 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑀𝑀 оставляющих спектра АМ сигнала 2 2 на свой коэффициент ω умножается передачи: амплитуда несущей умножается ω0 – Ω ω0 ω0 + Ω ̇ (ω)� �𝐾𝐾 б) Kр на коэффициент передачи на резонансной частоте Kр, а амплитуда боковых на Kб = Kб Kб K(ω0 – Ω) = K(ω0 + Ω). К фазе несущей ω добавляется β0, к фазе верхней боковой β0 – ωр в) β(ω) βб, к фазе нижней боковой добавляется β0 + βб β0 + βб. β0 С учетом этих преобразований β0 – βб ω запишем выражение для сигнала на ωр г) выходе избирательной цепи: 𝑢𝑢вых (𝑡𝑡) = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐾𝐾р cos(ω0 𝑡𝑡 + φ + β0 ) + 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑀𝑀 [(ω0 + Ω)𝑡𝑡 + φ + Φ + β0 − βб ] + 𝐾𝐾б cos ω + 2 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑀𝑀 ω0 – Ω ω0 ω0 + Ω Рис. 3.15. Прохождение АМ сигнала + 2 𝐾𝐾б cos[(ω0 + Ω)𝑡𝑡 + φ + Φβ0 + βб ]. через узкополосную цепь: а – спектр Проводя необходимые тригонометривходного сигнала; б – АЧХ цепи; в – ФЧХ цепи; г – спектр выходного сигнала ческие преобразования, получим: 𝐾𝐾б 𝑢𝑢вых (𝑡𝑡) = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐾𝐾р �1 + 𝑀𝑀 (3.19) cos(Ω𝑡𝑡 + Φ − βб )� cos(ω0 𝑡𝑡 + φ + β0 ). 𝐾𝐾р Анализируя выражение (3.19) для сигнала на выходе избирательной цепи, нетрудно видеть, что этот сигнал также представляет собой АМ колебание, однако его параметры отличаются от параметров АМ сигнала на входе цепи (рис. 3.19,г). Эти отличия состоят в следующем: 1). Изменилась средняя амплитуда сигнала (амплитуда несущей). Новая амплитуда равна UmKр. 2). Изменился коэффициент модуляции. Коэффициент модуляции на выходе: 𝐾𝐾б . (3.20) 𝑀𝑀вых = 𝑀𝑀 𝐾𝐾р В частности, для одиночного колебательного контура, резонансного усилителя с одиночным контуром и для любой одноконтурной системы: 61 𝐾𝐾(ω) = Отсюда 𝐾𝐾р �1 + 𝜉𝜉 2 (ω) = 𝑀𝑀вых = 𝐾𝐾р 2 2𝑄𝑄(ω − ωр ) �1 + � � ωр 𝑀𝑀 2 2𝑄𝑄Ω �1 + � ωр � . (3.21) . (3.22) График зависимости Mвых/Mвх от модулирующей частоты Ω, построенный по формуле (3.22), приведен на рис. 3.15. Этот график в точности повторяет половину резонансной кривой избирательной цепи. 3). Изменяется фаза (происходит Mвых/Mвх 1 запаздывание) огибающей АМ сигнала. Сдвиг по фазе равен βб. Для одноконтурной избирательной цепи: Ω 2𝑄𝑄Ω (3.23) β = arctg�𝜉𝜉(ω)� = arctg � �. Рис.3.15. Зависимость Mвых/Mвх б ωр от модулирующей частоты. Этот фазовый сдвиг приводит к запаздыванию по времени, которое равно β τ = б. (3.24) Ω 4). Происходит сдвиг фазы высокочастотного заполнения на β0. Временные диаграммы входного и выходного сигналов приведены на рис. 3.16. а) uвх(t) t б) uвых(t) t Рис. 3.16. Временные диаграммы входного (а) и выходного (б) сигналов при ω0 ≠ ωр: Изменение амплитуды сигнала и фазовый сдвиг ВЧ заполнения являются несущественными фактами. Наиболее существенными изменениями АМ сигнала при прохождении через избирательные цепи является изменение коэффициента модуляции и запаздывание огибающей. 62 Рассмотрим, что происходит, если несущая частота АМ сигнала не совпадает с резонансной частотой избирательной ω цепи. Конкретная форма сигнала на выходе зависит от многих факторов: величины ω0 – Ω ω0 ω0 + Ω ̇ (ω)� �𝐾𝐾 б) расстройки, формы частотной характеристики цепи, коэффициента модуляции сигнала, соотношением между шириной спектра ω сигнала и полосой пропускания цепи. ωр в) Поэтому мы рассмотрим в качестве примера один из частных случаев. На рис. 3.17 изображен спектр сигнала, ω а под ним частотная характеристика цепи, ω0 – Ω ω0 ω0 + Ω причем резонансная частота совпадает с Рис. 3.17. Прохождение АМ сигнала через узкополосную цепи при ω0 ≠ ωр: верхней боковой частотой сигнала. При этом а – спектр входного сигнала; б – АЧХ верхняя боковая составляющая умножается на цепи; в – спектр выходного сигнала максимальный коэффициент передачи, а несущая – на меньший, так что на выходе uвых(t) верхняя боковая и несущая могут оказаться близкими по величине, а нижняя боковая t окажется совсем маленькой. В результате форма сигнала на выходе имеет форму, показанную на рис. 3.18. Форма Рис. 3.18. Сигнал на выходе огибающей сигнала отличается от узкополосной цепи при ω0 ≠ ωр. синусоидальной, что приводит к возникновению искажений. Как видно из рис. 3.18 форма огибающей может оказаться несимметричной. Кроме искажения формы огибающей происходит паразитная фазовая модуляция сигнала. Из изложенного следует практическая рекомендация: чтобы избежать сильных искажений сигнала, надо резонансную частоту точно настраивать на частоту сигнала. а) 3.6. Условия неискаженного прохождения сигналов через линейную цепь Во многих практически важных случаях сигнал при прохождении через линейную цепь не должен искажаться. Сформулируем требования к частотному коэффициенту передачи неискажающей сигнал цепи. Будем считать, что сигнал uвх(t) не искажен линейной цепью, если (3.25) uвых(t) = K0 uвх(t– t0) Критерий (3.25) допускает лишь задержку сигнала во времени и изменение его уровня; форма входного сигнала остается неизменной. Пусть сигнал uвх(t) ̇ (ω). Тогда в соответствии с характеризуется спектральной плотностью 𝑆𝑆вх 63 теоремой запаздывания спектральная плотность сигнала uвых(t), определяемого формулой (3.25): ̇ (ω) = 𝐾𝐾0 ∙𝑒𝑒 −jω𝑡𝑡0 𝑆𝑆вх ̇ (ω). 𝑆𝑆вых (3.26) Сравнивая формулы (3.18) и (3.26), получаем частотный коэффициент передачи цепи, который не искажает сигнал: 𝐾𝐾̇ (ω) = 𝐾𝐾0 ∙𝑒𝑒 −jω𝑡𝑡0 . (3.27) виде: Таким образом, АЧХ и ФЧХ неискажающей линейной цепи записываются в �𝐾𝐾̇ (ω)� = 𝐾𝐾0 ; φ(ω) = − jω𝑡𝑡0 . (3.28) Итак, АЧХ неискажающей линейной цепи должна быть постоянной, а ФЧХ – линейно убывающей функцией частоты в пределах ширины спектра входного сигнала (рис. 3.11). Рис. 3.11. АЧХ и ФЧХ неискажающей линейной цепи Существенно, что условия (3.28) должны выполняться лишь в пределах полосы частот, занимаемой спектром входного сигнала, так как вне этой полосы спектральные компоненты входного сигнала отсутствуют. Данное обстоятельство в ряде случаев облегчает реализацию неискажающих цепей. Контрольные вопросы 1. Какие цепи называют линейными? 2. Что такое импульсная (переходная) характеристика цепи? 3. Как определяется частотный коэффициент передачи линейной системы? 4. В чем состоит спектральный метод анализа прохождения сигналов через линейные цепи? 5. Какие типы частотных фильтров Вы знаете? 6. Приведите пример ФНЧ (ФВЧ). Как выглядят его АЧХ и ФЧХ? 7. Что такое полосовой фильтр? Как выглядят его АЧХ и ФЧХ? 8. Каким должен быть частотный коэффициент передачи линейной цепи для неискаженного прохождения сигналов? 64 4. Нелинейные преобразования сигналов Любой радиотехнический элемент при слабых сигналах можно рассматривать как линейный, но при больших уровнях сигналов он становится нелинейным, однако основными нелинейными элементами в радиотехнических схемах являются диоды и транзисторы. Нелинейность в радиотехнических каскадах обычно бывает нежелательным явлением, например, в мощных усилителях она может приводить к сильным искажениям. Однако в некоторых случаях нелинейность оказывается необходимым явлением для осуществления требуемых преобразований сигнала. Например, такие процессы, как модуляция, детектирование, преобразование частоты, невозможны в линейных устройствах и могут быть осуществлены только при наличии нелинейных элементов. Анализ работы большинства нелинейных устройств можно проводить в 2 этапа. Сначала рассматривают воздействие сигнала на нелинейный элемент, считая его безынерционным, то есть ток (или напряжение) на выходе однозначно определяется напряжением на входе в тот же момент времени с помощью вольтамперной характеристики. При этом спектральный состав сигнала изменяется, появляются новые составляющие, которых не было во входном сигнале. После этого сигнал проходит через частотный фильтр, который выделяет нужные составляющие спектра сигнала. Поэтому рассмотрим вначале, как изменяется спектр сигнала при действии на нелинейное сопротивление. 4.1. Анализ воздействия гармонического сигнала на нелинейный элемент Пусть на нелинейный элемент с вольтамперной характеристикой i = f(u) (рис. 4.1) подается гармонический сигнал с постоянной составляющей: u = U0 + Um cos(ω0t + φ) Для сокращения записи удобно обозначить α = ω0t + φ: u = U0 + Um cos α. (4.1) В результате действия Рис. 4.1. Воздействие гармонического сигнала на напряжения (4.1) через нелинейный элемент нелинейный элемент протекает ток: i = f(U0 + Um cos α) (4.2), который тоже является периодической функцией и поэтому может быть описан рядом Фурье: 65 i = I0 + I1 cos α + I2 cos 2α +…+ In cos nα +… (4.3) Вследствие того, что функция (4.2) является четной, разложение в ряд Фурье (4.3) получается по косинусам. Коэффициенты ряда Фурье I0, I1, …Ik определяются выражениями: π π 1 � 𝑓𝑓(𝑈𝑈0 + 𝑈𝑈𝑚𝑚 cos α)dα 𝐼𝐼0 = 2𝜋𝜋 −π 1 𝐼𝐼𝑘𝑘 = � 𝑓𝑓(𝑈𝑈0 + 𝑈𝑈𝑚𝑚 cos α)cos(𝑘𝑘α)dα π −π (𝑘𝑘 = 1,2 … ) (4.4) Полученный результат можно интерпретировать следующим образом: в результате действия гармонического сигнала с частотой ω0 на нелинейный элемент, ток, протекающий через этот элемент, кроме составляющей с частотой ω0 содержит ещё составляющие с частотами 2ω0, 3ω0,…nω0… Амплитуды этих составляющих зависят от вида вольтамперной характеристики (ВАХ) нелинейного элемента. Для вычисления амплитуды гармоник по формулам (4.4) желательно описать ВАХ i = f(u) какой-либо простой функцией, т.е. подобрать аппроксимацию ВАХ. Характерный вид ВАХ большинства диодов и транзисторов показан на рис. 4.2. На этой характеристике можно выделить 3 области: область отсечки 1, 3 где ток равен нулю; область плавного изгиба 2 и почти прямолинейный участок 3. В зависимости от амплитуды подведенного напряжения можно использовать различные виды 2 1 аппроксимации вольтамперной характеристики. Если напряжение Рис. 4.2. ВАХ нелинейного элемента сравнительно невелико и приходится на область плавного изгиба характеристики, то уместно аппроксимировать ВАХ степенным рядом. При большой амплитуде сигнала, когда основная часть приложенного напряжения попадает либо на область отсечки, либо на прямолинейный участок характеристики, целесообразно аппроксимировать ВАХ ломаной прямой. 66 4.2. Воздействие нескольких гармонических сигналов на нелинейные элементы. Теория комбинационных частот В данном разделе мы рассмотрим формирование новых спектральных составляющих при одновременном воздействии нескольких гармонических сигналов на нелинейный элемент. Рассмотрим воздействие суммы гармонический сигналов: u(t) = U0 + Um1 cos(ω1t+φ1) + Um2 cos(ω2t + φ2) +…+ Umn cos(ωnt + φn) (4.5) На нелинейный элемент, ВАХ которого аппроксимирована степенным рядом i = a0 + a1 (u – U0) + a2 (u – U0)2 +…+ am (u – U0)m (4.6) Подставим выражение (4.5) в (4.6), обозначив для краткости α1 = ω1 t + φ1, α2 = ω2 t + φ2,… αn = ωn t + φn: i(t) = a0 + a1 (Um1 cos α1 + Um2 cos α2 +…) + + a2 (Um1 cos α1 + Um2 cos α2+…)2+…+am(Um1 cos α1 + Um2 cos α2 +…)m (4.7) Проанализируем структуру выражения (4.7). Очевидно, что второй член этой суммы: a1 (Um1 cos α1 + Um2 cos α2 +…) описывает первые гармоники подаваемых на вход гармонических сигналов с частотами ω1, ω2,… Следующий член суммы a2 (Um1 cos α1 + Um2 cos α2 + …)2 после возведения в квадрат преобразуется к выражению 2 2 cos 2 𝛼𝛼1 + 𝑈𝑈𝑚𝑚2 cos 2 𝛼𝛼2 + … + 2𝑈𝑈𝑚𝑚1 𝑈𝑈𝑚𝑚2 cos 𝛼𝛼1 cos 𝛼𝛼2 + ⋯] = 𝑎𝑎2 [𝑈𝑈𝑚𝑚1 1 1 1 1 2 2 = 𝑎𝑎2 �𝑈𝑈𝑚𝑚1 � + cos 2α1 � +𝑈𝑈𝑚𝑚2 � + cos 2α1 � + … 2 2 2 2 + 𝑈𝑈𝑚𝑚1 𝑈𝑈𝑚𝑚2 [cos(𝛼𝛼1 + 𝛼𝛼2 ) + cos(𝛼𝛼1 − 𝛼𝛼2 )] + ⋯ � (4.8) Отсюда видно, что квадратичный член ряда приводит к появлению вторых гармонических частот 2ω1,2ω2, комбинационных составляющих ω1 + ω2 и ω1 – ω2, а также дает некоторое приращение постоянной составляющей. Аналогично кубичный член выражения (4.7) a3 (Um1 cos α1 + Um2 cos α2 +…)3 отвечает за появление третьих гармоник 3ω1,3ω2, а также более сложных комбинационных составляющих вида 2ω1 ± ω2; ω1 ± 2ω2,… ω1 ± ω2 ± ω3. Таким образом, при воздействии нескольких гармонических сигналов на нелинейный элемент возникает большое число спектральных составляющих, и чтобы разобраться и установить закономерности в их формировании, вводится понятие порядка комбинационных частот. Общее выражение для комбинационной частоты можно записать в следующем виде ωком = k1 ω1 + k2 ω2 +…+ kn ωn (4.9) где k1 ,k2,…,kn – целые числа, положительные или отрицательные. Порядком комбинационной частоты называется 67 N = |k1| + |k2| +…+ |kn| (4.10) Например, комбинационные частоты первого порядка – это частоты сигнала на входе нелинейного элемента: ω1,ω2,… Комбинационные частоты второго порядка: 2ω1,2ω2,…ω1 ± ω2; ω1 ± ω3;… Комбинационные частоты третьего порядка: 3ω1, 3ω2,…2ω1 ± ω2; ω1 ± 2ω2;… ω1 ± ω2 ± ω3. В образовании комбинационных частот нужно отметить следующие закономерности. Комбинационные составляющие четного порядка определяются только четными коэффициентами разложения ВАХ нелинейного элемента в степенной ряд a0, a2, a4…, а комбинационные составляющие нечетного порядка – только нечетными коэффициентами a1, a3, a5… Если разложение ВАХ в степенной ряд имеет наивысшую степень, равную n, то наивысший порядок комбинационных частот равен n. Например, если ВАХ нелинейного элемента аппроксимирована квадратичной параболой: i = a0 + a1 (u – U0) + a2 (u – U0)2, то при воздействии на этот нелинейный элемент нескольких гармонических сигналов будут формироваться только комбинационные составляющие 1 и 2 порядков. 4.3. Резонансный усилитель больших колебаний Схема резонансного усилителя изображена на рис. 4.3. Любой резонансный усилитель при достаточно большой амплитуде сигнала переходит в нелинейный режим. Нелинейность является нежелательным, но неизбежным явлением, и ее необходимо учитывать при анализе работы усилителя. Рис. 4.3. Упрощенная схема резонансного усилителя (а) и осциллограммы коллекторного тока, первой гармоники коллекторного тока и напряжения на выходе (б). 68 При анализе работы мощных резонансных усилителей обычно используют кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ, которая описывается двумя параметрами: крутизной S и напряжением начала (излома) характеристики Uбн. Напряжение сигнала, которое подается на базу транзистора, описывается выражением: uб = Uб0 + Uбm cos α (α = ω0t + ϕ). (4.11) Вследствие нелинейности характеристики транзистора коллекторный ток представляет собой периодическую последовательность косинусоидальных импульсов (рис. 4.3, б). Кроме первой гармоники спектр тока содержит ряд высших гармоник (рис. 4.4, б): iк = Iк0 + Iк1 cos(ω0t + ϕ) + Iк2 cos 2(ω0t + ϕ) +…+ Iкn cos n(ω0t + ϕ) +… (4.12) Рис. 4.4. Спектры входного напряжения (а), коллекторного тока (б), напряжения на выходе (г) и модуля сопротивления контура (в). Контур в коллекторной цепи настроен на частоту сигнала ω0 (рис. 4.4, в). Его сопротивление имеет резонансный характер, максимально на частоте сигнала и равно Rр, причем полоса пропускания много меньше резонансной частоты. Коллекторный ток, содержащий большое число гармоник, протекая через контур, создает на нем падение напряжения, пропорционально амплитуде первой гармоники коллекторного тока и резонансному сопротивлению Rр. На частотах других гармоник, в том числе и на нулевой частоте, падение напряжения на контуре пренебрежимо мало. Поэтому для напряжения на контуре мы можем 69 записать: uконт = Rр Iк1 cos(ω0t + ϕ) (4.13) Напряжение на коллекторе транзистора равно разности напряжения питания и напряжения на контуре: uк = uвых(t) = Eк – uконт = Eк – Rр Iк1 cos(ω0t + ϕ). (4.14) Временная диаграмма напряжения на коллекторе представлена на рис. 4.3,б внизу. Основным параметром любого усилителя является коэффициент усиления 𝐾𝐾ус = 𝑅𝑅р 𝐼𝐼к1 . 𝑈𝑈б𝑚𝑚 (4.15) Однако в резонансном усилителе больших колебаний из-за нелинейности коэффициент усиления зависит от амплитуды входного сигнала. Поэтому для описания работы таких усилителей приходится вводить новую характеристику – колебательную характеристику. Колебательная характеристика – это зависимость амплитуды первой гармоники коллекторного тока Iк1 от амплитуды напряжения на базе Uбm: Iк1 = f (Uбm). Вид колебательной характеристики при разных значениях напряжения смещения приведен на рис. 4.5. кривая 1 – Uб0 > Uбн; кривая 2 – Uб0 = Uбн; кривая 3 – Uб0 < Uбн Рис. 4.5. Семейство колебательных характеристик. В некоторых случаях, например, при экспериментальных исследованиях, вместо зависимости Iк1 = f (Uбm) рассматривают зависимость Uкm = f (Uбm), и ее тоже называют колебательной характеристикой. Поскольку Uкm = Rр Iк1, характеристики Uкm = f (Uбm) имеют такой же вид, как на рис. 4.5, отличаясь лишь оцифровкой по оси ординат. Если продолжать увеличивать амплитуду напряжения сигнала на базе, то амплитуда выходного сигнала не может увеличиваться беспредельно. Напряжение источника коллекторного питания Ек начинает влиять на 70 коллекторный ток при амплитуде входного напряжения Uкm ≈ Ек. При этом наблюдается резкое уменьшение коллекторного тока в моменты времени, когда uк(t) < uкэ min (рис. 4.6). В результате амплитуда выходного сигнала не может превысить уровень напряжения коллекторного питания: Uкm < Ек. Откуда следует, что амплитуда первой гармоники коллекторного тока не может превышать уровня Ек /Rр: Iк1 < Ек /Rр. (4.16) В этом случае говорят, что электронный прибор работает в перенапряженном режиме. На рис. 4.5 уровень, ограничивающий амплитуду первой гармоники коллекторного тока и соответствующий условию (4.16), изображен пунктирной линией. С учетом перенапряженного режима колебательные характеристики загибаются на уровне, несколько меньшем Ек /Rр. Рис. 4.6. К пояснению перенапряженного режима Перенапряженный режим может возникать как в очень мощных усилителях, так и в самых маленьких усилителях, собранных на миниатюрных, бескорпусных транзисторах. В большинстве случаев это нежелательный режим, так как приводит к искажениям сигнала и снижению коэффициента полезного действия. Однако это – не аварийный режим, при этом ничего не перегорает, а в отдельных случаях перенапряженный режим может использоваться даже как рабочий режим усилителя. При прохождении через резонансный усилитель модулированных колебаний большой амплитуды возможно появление как нелинейных, так и линейных искажений. 71 Нелинейные искажения возникают при неправильном выборе напряжения смещения на управляющем электроде и питающего напряжения на выходном электроде нелинейного элемента. В результате искажается закон амплитудной модуляции первой гармоники тока и закон амплитудной модуляции выходного напряжения. Линейные искажения возникают при неправильном выборе полосы пропускания линейного частотного фильтра – колебательного контура. В результате искажается спектр выходного напряжения. 4.4. Умножение частоты Умножителем частоты называют электронное устройство, которое преобразует гармоническое напряжение с частотой ω0 в гармоническое напряжение с частотой nω0. Умножитель частоты может быть построен на базе резонансного усилителя, в котором колебательный контур настроен на частоту (4.17) ωр = nω0. Работа устройства основана на выделении контуром n-ой гармоники в спектре коллекторного тока (рис. 4.7). В результате амплитуда сигнала на выходе равна (4.18) 𝑈𝑈𝑚𝑚вых= 𝐼𝐼к𝑛𝑛 𝑅𝑅р . Рис. 4.7. Умножение частоты Чем выше номер гармоники n, тем меньше соответствующий коэффициент передачи. Поэтому на практике используются удвоители и утроители частоты, а 72 если частоту нужно увеличить в большее число раз – используется несколько умножителей частоты, включенных каскадно. Умножение частоты широко используется при создании источников гармонических колебаний с высокой стабильностью частоты. 4.5. Амплитудная модуляция Амплитудная модуляция – это процесс формирования АМ сигнала, огибающая которого повторяет по форме информационный (модулирующий) сигнал. Рассмотрим один из способов получения амплитудной модуляции – амплитудную модуляцию смещением. Для осуществления амплитудной модуляции на нелинейный элемент (например, на транзистор на рис. 4.3) подаются два сигнала: низкочастотный информационный uΩ(t) и высокочастотный немодулированный uω(t) = Uбm cos(ω0t + ϕ). Сумма низкочастотного и высокочастотного сигналов показана на рис. 4.8 слева внизу. Низкочастотный сигнал как бы управляет высокочастотным сигналом, смещая его то вправо, то влево, то есть изменяет напряжение смещения в такт модуляции. Модулирующий каскад ведет себя как резонансный усилитель, управляемый низкочастотным модулирующим сигналом. Высокочастотный сигнал попадает то на участок характеристики с малой крутизной, то с большой крутизной, и в соответствии с этим изменяется амплитуда высокочастотной составляющей тока с частотой ω0. При попадании на участок с большой крутизной амплитуда тока получается большой, при попадании на участок с малой крутизной амплитуда тока сильно уменьшается. Рис. 4.8. Получение АМ сигнала 73 В коллекторной цепи включен колебательный контур, настроенный на частоту ω0. В результате на коллекторе, т.е. на выходе каскада образуется АМ напряжение (график на рис. 4.8 справа внизу). Для описания работы модулирующего Iк1 каскада вводится понятие модуляционной SUбm характеристики. Модуляционная характеристика – это график зависимости первой гармоники коллекторного тока от напряжения смещения на базе (рис. 4.9). С Uб0 помощью модуляционной характеристики UбН +Uбm UбН –Uбm можно оценить качество модуляции в UбН Рис. 4.9. Модуляционная характеристика. каждом конкретном случае. Для получения неискаженной модуляции нужно, чтобы модуляционная характеристика была линейной. Для получения неискаженной модуляции амплитуда модулирующего сигнала UΩ не должна превышать 0,8 Uбm. Процесс получения АМ сигналов при аппроксимации ВАХ степенным рядом можно рассмотреть, применив рассмотренную в разделе 4.2 теорию комбинационных частот. В этом случае в составе тока (рис. 4.10,б) можно получить комбинационные составляющие с частотами, близкими к ω0, которые образуют АМ ток: iАМ(t) = a1Uбm cos(ω0t) + a2UбmUΩ cos((ω0 +Ω) t) + a2UбmUΩ cos((ω0 –Ω) t) (4.19) а uБЭ ω 0 Ω б ω0 iк ω 0 Ω 2Ω в ω0–Ω ω0 ω0+Ω 2ω0 uАМ ω ω0–Ω ω0 ω0+Ω Рис. 4.10. Принцип работы амплитудного модулятора – спектры входного напряжения (а), тока коллектора (б) и выходного напряжения (в). Чтобы не было нелинейных искажений, степенной ряд, аппроксимирующий ВАХ НЭ не должен содержать членов третьей степени и выше, так как они приведут к появлению составляющих с частотами ω0 ± 2Ω и т.д. 74 Кроме ВАХ транзистора на качество модуляции влияет и частотная характеристика колебательного контура. Полоса пропускания колебательного контура должна быть не уже, чем ширина спектра формируемого АМ сигнала. В противном случае наиболее удаленные боковые составляющие спектра будут сильно ослаблены, что приведет к частотным (линейным) искажениям сигнала. 4.6. Детектирование АМ сигналов Детектирование – это процесс, обратный модуляции. В результате детектирования из модулированного сигнала должен быть выделен исходный модулирующий информационный сигнал. Различают несколько видов детекторов. Среди них наибольшее распространение получили коллекторный детектор и диодный детектор. Рассмотрим процесс амплитудного детектирования на примере диодного детектора. Схема диодного детектора изображена на + рис. 4.11. Нагрузкой диодного детектора служит C RC-цепь, причем сопротивление R должно быть e(t) UС R значительно (в сотни раз) больше, чем – сопротивление диода в прямом направлении. Рис. 4.11. Схема диодного Работает детектор следующим образом. На его детектора. вход подается высокочастотный сигнал e(t). Во время действия положительного полупериода напряжения входного сигнала конденсатор C быстро заряжается через небольшое сопротивление открытого диода (рис. 4.12). Во время отрицательного e(t) UС полупериода диод закрыт и конденсатор медленно разряжается через сопротивление нагрузки R. В результате на конденсаторе формируется почти t постоянное, слабо пульсирующее напряжение UC, величина которого немного меньше амплитуды высокочастотного напряжения, подводимого к детектору. Это и есть результат детектирования. Рис. 4.12. Принцип действия Для получения большого коэффициента диодного детектора. передачи диодного детектора kд > 0,9 необходимо, чтобы SR > 100 (где S – крутизна ВАХ диода). Это неравенство является основой для выбора сопротивления нагрузки R. Вторым фактором, который влияет на выбор сопротивления R, является входное сопротивление диодного детектора: 𝑅𝑅 𝑅𝑅вх ≈ . (4.21) 2 Знание входного сопротивления детектора бывает нужно в тех случаях, когда источником сигнала для детектора является колебательный контур. Чтобы 75 детектор не шунтировал колебательный контур и не снижал его добротность, нужно, чтобы входное сопротивление детектора было в несколько раз больше резонансного сопротивления контура. Это требование тоже влияет на выбор величины сопротивления R. На вход детектора подается АМ сигнал: uвх(t) = Um вх [1 + M cos(Ωt + Φ)] cos(ω0t + ϕ). (4.22) Из-за нелинейности диода в спектре тока, протекающего через диод, появляется низкочастотная составляющая с частотой Ω. Нагрузкой диода служит низкочастотный RC-фильтр, который выделяет эту составляющую и подавляет высокочастотную составляющую (несущую частоту). В результате напряжение на коллекторе имеет вид продетектированного низкочастотного сигнала, повторяющего по форме огибающую исходного АМ сигнала. 1 Таким образом, частота среза RC-цепи �ωс = � должна быть значительно 𝑅𝑅𝑅𝑅 больше частоты модуляции и значительно меньше несущей частоты: 1 ≪ ω0 . Ω≪ RC Это условие используют для выбора емкости конденсатора. (4.23). Если не выполняется правая часть UС неравенства (4.23), то есть емкость конденсатора слишком мала, то недостаточно подавляются колебания высокой (несущей) частоты и продетектированный сигнал имеет вид, t показанный на рис. 4.13,а. Искажения сигнала такого рода не являются б) UС недопустимыми, так как высокочастотная составляющая спектра сигнала может быть с помощью последующей t подавлена фильтрации. Если емкость конденсатора слишком велика, и не выполняется левая часть неравенства (4.23), то могут возникать Рис. 4.13. Искажения АМ сигнала при так называемые инерционные искажения. детектировании. При достаточно большом коэффициенте модуляции может получиться, что конденсатор разряжается через резистор R медленнее, чем убывает амплитуда сигнала. Происходит своеобразный «отрыв» напряжения UC от огибающей сигнала (рис. 4.13,б), что воспринимается как неприятные на слух нелинейные искажения. Эффективность работы детектора принято оценивать коэффициентом детектирования: а) kдет = Um вых / (M Um вх), 76 (4.24) равным отношению амплитуды низкочастотного сигнала на выходе к «размаху» изменения амплитуды высокочастотного сигнала на входе. При детектировании слабых сигналов возникает режим квадратичного детектирования, когда полезный эффект детектирования (Um вых) 2 пропорционален 𝑈𝑈𝑚𝑚 вх , поэтому детектирование АМ сигналов с малыми амплитудами является квадратичным. Квадратичное детектирование сопровождается искажениями передаваемого сообщения. Нелинейные искажения оказываются весьма значительными при глубокой амплитудной модуляции на входе. При напряжениях входного сигнала более 0,2-0,3 В детектор переходит в линейный режим детектирования. Со стороны больших напряжений уровень сигнала ограничивается пробивной прочностью диода, что составляет 50-100 В. Поэтому диодные детекторы отличаются большим динамическим диапазоном и минимальными искажениями сигнала. 4.7. Преобразование частоты. Супергетеродинный приемник Преобразование частоты – это такой вид нелинейных преобразований сигналов, когда на вход нелинейного элемента подаются два сигнала: информационный модулированный сигнал uc(t) = Ucm(t) cos(ωсt + ϕc(t)), имеющий обычно небольшую амплитуду, и гармонический сигнал (напряжение гетеродина) uг(t) = Uгmcos(ωгt + ϕг). В результате взаимодействия этих двух сигналов возникают различные комбинационные составляющие, среди которых наибольший интерес представляет составляющая с частотой ωп = ωг – ωс. Эту частоту обычно называют промежуточной частотой. Если сигнал на входе преобразователя частоты промодулирован по амплитуде, по частоте или по фазе, то закон модуляции полностью переносится на промежуточную частоту. Основное применение преобразователи частоты находят в супергетеродинных приемниках. Первые радиоприемники, которые выпускались до 1930-х годов, были собраны по схеме прямого усиления (рис. 4.14). Принимаемый антенной сигнал поступает на колебательный контур, настроенный на частоту сигнала ωс, затем на усилитель высокой частоты (УВЧ), также настроенный на частоту ωс, затем детектируется, усиливается в усилителе низкой частоты и подается на громкоговоритель. УВЧ Д УНЧ Рис. 4.14. Структурная схема приемника прямого усиления. Схема прямого усиления имеет ряд недостатков. Для эффективного 77 подавления помех и сигналов соседних радиостанций полоса пропускания входного контура и усилителя высокой частоты должна соответствовать ширине спектра сигнала. Это удается сделать в диапазонах длинных и средних волн (150 кГц – 1500 кГц), но оказывается невозможным в диапазоне коротких волн. Например, при частоте сигнала 10 МГц и добротности контуров Q = 100 полоса пропускания составит 100 кГц. При ширине спектра АМ сигнала около 10 кГц в полосе пропускания приемника может одновременно оказаться до 10 радиостанций, что совершенно недопустимо. Выход из положения состоит в том, чтобы принимаемый сигнал перенести на более низкую (промежуточную) частоту (например, для АМ сигнала промежуточная частота равна fп = 465 кГц). Так возникла схема супергетеродинного приемника (рис. 4.15). fс УВЧ fс ПЧ fп УПЧ Д УНЧ fг ГЕТ Рис. 4.15. Структурная схема супергетеродинного приемника. Принимаемый антенной сигнал предварительно отфильтровывается входным колебательным контуром, усиливается в УВЧ и подается на преобразователь частоты (ПЧ). Кроме принимаемого информационного сигнала на вход преобразователя частоты подается напряжение гетеродина uг(t) = Uгmcos(ωгt + ϕг). Преобразователь частоты содержит нелинейный элемент (например, транзистор) и колебательный контур, настроенный на промежуточную частоту fп = fг – fс. Промежуточная частота является постоянной для данного приемника. Если приемник надо перестраивать, настраиваясь на другую станцию с другой частотой сигнала, то одновременно изменяется и частота гетеродина fг так, чтобы разность fг – fс оставалась неизменной. Далее сигнал поступает на усилитель промежуточной частоты (УПЧ), где происходит основное усиление и основная фильтрация сигнала. УПЧ обычно содержит систему колебательных контуров с частотной характеристикой, близкой к прямоугольной. В результате взаимодействия напряжения сигнала и напряжения гетеродина кроме полезной составляющей с частотой ωг – ωс возникают еще другие комбинационные составляющие, которые могут приводить к появлению паразитных каналов приема. Например, если на вход преобразователя частоты поступает сигнал другой радиостанции с частотой ωг + ωп, то в результате его взаимодействия с напряжением гетеродина возникнет составляющая с частотой ωп, которая в дальнейшем будет усилена в УПЧ и отделить ее от полезного 78 сигнала будет невозможно. Это так называемый зеркальный канал приема. Кроме этого, возможно образование паразитных каналов приема при взаимодействии второй или третьей гармоник гетеродина с сигналами радиостанций, работающих на частотах 2ωг ± ωп, 3ωг ± ωп. На рис. 4.16 приведена диаграмма частот, на которых возможен прием сигналов при заданных ωг и ωп. канал прямого основной зеркальный прохождения канал канал ω ωп ωг – ωп ωг ωг + ωп 2ωг – ωп 2ωг 2ωг + ωп 3ωг – ωп 3ωг 3ωг + ωп Рис. 4.16. Диаграмма частот, на которых возможен прием паразитных каналов. Среди паразитных каналов приема самым опасным является канал «прямого прохождения» с частотой, равной ωп. Если на вход приемника попадает сигнал с частотой ωп, то он беспрепятственно проходит через ПЧ как через усилитель, не взаимодействуя с напряжением гетеродина. Для подавления паразитных каналов приема применяют колебательные контуры, настроенные на частоту полезного сигнала, во входных цепях приемника перед преобразователем частоты. Параметры этих контуров, а также значение промежуточной частоты ωп подбираются таким образом, чтобы обеспечить достаточное подавление сигналов на паразитных каналах приема. Для борьбы с каналом «прямого прохождения», кроме этого, принимаются организационные меры: запрет на функционирование любых радиосредств, работающих на частоте, равной ωп или близкой к ней. Поэтому значения промежуточной частоты стандартизованы: для АМ приемников – 465 кГц, для ЧМ приемников – 8,4 МГц, для телевидения – 30 МГц и т.д. Существуют различные варианты схемной Eк реализации преобразователей частоты. Среди fр = fп uконт них наиболее распространенным является преобразователь частоты на транзисторе, R1 Cр схема которого изображена на рис. 4.17. Схема выглядит так же, как у резонансного усилителя, только контур в uс uк коллекторной цепи настроен на R2 промежуточную частоту ωп. На вход uг транзистора подается небольшое напряжение сигнала uc(t) = Ucmcos(ωсt + ϕc) и напряжение Рис. 4.17. Упрощенная схема гетеродина uг(t) = Uгmcos(ωгt + ϕг), амплитуда преобразователя частоты. которого обычно составляет около 1 В. При такой большой амплитуде сигнала транзистор работает в нелинейном режиме. А 79 для сигнала, амплитуда которого обычно составляет не более нескольких милливольт, нелинейностью можно пренебречь, и рассматривать каскад как линейный усилитель с управляемой крутизной. Пусть проходная характеристика транзистора аппроксимирована степенным рядом (ряд должен быть квадратичным для обеспечения линейности преобразования): iк = f(uб) = b0 + b1 uб + b2 uб2 , (4.25) тогда зависимость крутизны от напряжения на базе (рис. 4.18) описывается выражением: 𝑆𝑆 = iк d𝑖𝑖к d𝑢𝑢б = 𝑏𝑏1 + 2𝑏𝑏2 𝑢𝑢б (4.26) Подставляя в (4.26) выражение для напряжения гетеродина, получим: (4.27) 𝑆𝑆 = 𝑏𝑏1 + 2𝑏𝑏2 𝑈𝑈г𝑚𝑚 cos(ωг 𝑡𝑡 + φг ) uб то есть крутизна оказывается S(t) S периодической функцией времени (рис. 4.17). Выражение (4.27) можно записать в t uб uб 0 виде ряда Фурье: Uгm 𝑆𝑆(𝑡𝑡) = 𝑆𝑆0 + 𝑆𝑆1 cos(ωг 𝑡𝑡 + φг ), (4.28) где 𝑆𝑆1 = 2𝑏𝑏2 𝑈𝑈г𝑚𝑚 – первая гармоника крутизны и.т.д. t Запишем выражение для составляющих Рис. 4.18. Принцип действия коллекторного тока, связанных с преобразователя частоты. подаваемым на базу полезным сигналом: ∆𝑖𝑖к = 𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑈𝑈с𝑚𝑚 cos(ωс 𝑡𝑡 + φс ) = = 𝑆𝑆0 𝑈𝑈с𝑚𝑚 cos(ωс 𝑡𝑡 + φс ) + 𝑆𝑆1 𝑈𝑈с𝑚𝑚 cos(ωс 𝑡𝑡 + φс ) cos(ωг 𝑡𝑡 + φг ) = 𝑆𝑆1 𝑈𝑈с𝑚𝑚 = 𝑆𝑆0 𝑈𝑈с𝑚𝑚 cos(ωс 𝑡𝑡 + φс ) + cos[(ωг + ωс )𝑡𝑡 + φг + φс ] + 2 𝑆𝑆1 𝑈𝑈с𝑚𝑚 + cos[(ωг − ωс )𝑡𝑡 + φг − φс ] 2 Среди этих составляющих основной интерес представляет составляющая с промежуточной частотой ωп = ωг – ωс: 𝑆𝑆1 𝑈𝑈с𝑚𝑚 (4.29) cos[(ωг − ωс )𝑡𝑡 + φг − φс ], ∆𝑖𝑖кп = 2 которая далее будет выделена контуром в коллекторной цепи преобразователя частоты и системой контуров в УПЧ. Амплитуда составляющей тока с промежуточной частотой определяется выражением: 𝑆𝑆1 𝐼𝐼кп = 𝑆𝑆п 𝑈𝑈с𝑚𝑚 , где 𝑆𝑆п = − крутизна преобразования, (4.30) 2 а амплитуда напряжения на выходе преобразователя частоты: 80 𝑈𝑈вых = 𝑅𝑅р 𝐼𝐼кп = 𝑆𝑆п 𝑅𝑅р 𝑈𝑈с𝑚𝑚 , (4.31) где Rр – резонансное сопротивление контура в коллекторной цепи. В качестве нелинейного элемента в преобразователях частоты кроме транзисторов могут использоваться электронные лампы или (в СВЧ-диапазоне, где транзисторы работают плохо) специальные СВЧ-диоды. Контрольные вопросы 1. При каком условии нелинейное преобразование сигнала можно считать безынерционным? 2. Как изменяется спектр гармонического сигнала при его воздействии на нелинейный элемент? 3. Что такое порядок комбинационной частоты? 4. Какие комбинационные частоты появятся при воздействии суммы двух гармонических сигналов на нелинейный элемент с квадратичной аппроксимацией ВАХ? 5. В чем состоит принцип работы нелинейного резонансного усилителя? 6. Что такое колебательная характеристика? 7. В чем состоит принцип работы умножителя частоты? 8. В чем состоит принцип работы амплитудного модулятора? 9. В чем состоит принцип работы амплитудного детектора? 10. Как выбрать параметры нагрузки амплитудного детектора? 11. Что такое коэффициент детектирования? 12. Когда возникает квадратичный режим работы детектора? 81 5. Основы теории дискретных сигналов 5.1. Математические модели дискретных сигналов Дискретные импульсные последовательности Сообщения, передаваемые в системах радиосвязи, описываются, как правило, непрерывными функциями времени, заданными на достаточно протяженном временном интервале. Повысить эффективность использования радиоканалов можно за счет передачи не самого первичного сигнала s(t), а отсечных значений (отсчетов) sk = s(tk). Отсчеты определяются на множестве точек (…, t0, t1,…,tk,…), отстоящих друг от друга через интервал дискретизации Тд. Представление сигнала s(t) в виде совокупности отсчетных значений (…, s0, s1,…,sk,…) называют дискретизацией данного сигнала (рис. 5.1,а). Рис. 5.1. Рис. 5.2. Отсчет sk передают с помощью короткого импульса sиk(t) (рис. 5.1, б), площадь которого равна (или пропорциональна) величине отсчета: ∞ � 𝑠𝑠и𝑘𝑘 (𝑡𝑡)d𝑡𝑡 = 𝑠𝑠𝑘𝑘 −∞ (5.1) Импульс sиk(t) считают коротким, если (5.2) τиk<< Тд, где τиk – длительность импульса. Таким образом, по радиоканалу можно передавать не сам сигнал s(t), а соответствующую ему последовательность импульсов sиk – дискретную импульсную последовательность sд(t) (рис. 5.1,в). При этом в паузах между импульсами можно передавать другую информацию. Так, на рис. 5.2 показан случай, когда прерывающиеся во времени первичные сигналы s1(t) и s2(t) отображены с помощью неперекрывающихся импульсных последовательностей 82 sд1(t) и sд2(t). Данные последовательности можно передавать по одному радиоканалу. При этом временное разделение сигналов sд1(t) и sд2(t) в приемнике осуществляют с помощью электронного ключа (коммутатора). Итак, использование дискретных импульсных последовательностей повышает эффективность использования радиоканалов. Кроме того, дискретизация сигналов позволяет обрабатывать информацию с помощью быстродействующих ЭВМ и специализированных вычислительных устройств. В настоящее время область применения дискретизации сигналов непрерывно расширяется. 5.2. Теорема Котельникова, выбор шага дискретизации. Спектр дискретного сигнала Очевидно, дискретизация должна осуществляться без потери информации, заключенной в первичном сигнале. Только в этом случае первичный сигнал может быть без искажений восстановлен в приемном устройстве. Условие адекватной дискретизации определяется теоремой Котельникова, которая формулируется следующим образом. Любой сигнал, спектр которого ограничен сверху частотой ωВ, полностью определяется своими отсчетами, равномерно следующими друг за другом во времени с интервалом Тд ≤ π / ωВ. (5.3) Смысл теоремы Котельникова становится понятным, если рассмотреть спектр дискретной импульсной последовательности sд(t). Как доказывается в теории сигналов, спектральная плотность последовательности sд(t), удовлетворяющей условиям (5.1) и (5.2), описывается выражением ∞ 1 𝑆𝑆д (ω) = � 𝑆𝑆�ω − 2π𝑛𝑛/𝑇𝑇д �, 𝑇𝑇д 𝑛𝑛=−∞ где S(ω) – спектральная плотность первичного сигнала s(t). (5.4) В соответствии с (5.4) спектр дискретной импульсной последовательности образован спектром первичного сигнала, периодически повторяющимся через 2π/Тд (рис. 5.3,б). Пользуясь рис. 5.3, нетрудно убедиться, что если спектр S(ω) ограничен частотой ωВ (рис. 5.3,а) и период Тд удовлетворяет условию (5.3), то соседние спектры S(ω – 2πn/Тд) не перекрываются. Центральная часть (центральный лепесток) спектра полностью совпадает со спектром исходного непрерывного сигнала. Отсюда следует простой способ восстановления исходного непрерывного сигнала из дискретного: надо пропустить его через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза ωв. Частотная характеристика восстанавливающего фильтра приведена на рис. 5.3,в. 83 Рис. 5.3. Спектр исходного непрерывного сигнала (а), спектр дискретизированного сигнала (б), частотная характеристика восстанавливающего фильтра (в) и спектр восстановленного сигнала (г). Число степеней свободы сигнала Строго говоря, все реальные сигналы имеют конечную длительность и, следовательно, бесконечно протяженный спектр. Однако, начиная с некоторых значений частоты, значения спектра становятся настолько малыми, что ими можно пренебречь. Таким образом, сигнал может быть приближенно описан конечным числом дискретных значений. Число дискретных значений, которыми полностью описывается сигнал, называется числом степеней свободы сигнала. Найдем число степеней свободы сигнала при дискретизации по времени. Пусть длительность сигнала равна Тс, а наивысшая частота спектра fв. Тогда сигнал может быть описан значениями, взятыми с интервалом 1/(2fв). Общее число дискретных значений N будет равно Тс/Т = 2Тсfв. 84 5.3. Ошибки дискретизации и восстановления сигналов Если условия теоремы Котельникова нарушены (Тд > π/ωВ), то соседние спектры, образующие спектр Sд(ω), перекрываются (рис. 5.4). При этом даже идеальный ФНЧ не позволяет без искажений восстановить первичный сигнал. Рис. 5.4. Неправильный выбор шага дискретизации Итак, дискретизация без потери информации возможна лишь при выполнении неравенства (5.3), которое можно сформулировать так: частота следования отсчетный импульсов в дискретной последовательности sд(t) должна быть по крайней мере в два раза больше верхней частоты в спектре первичного сигнала s(t). Однако, описанные выше идеальные условия дискретизации и восстановления сигналов реализовать на практике бывает очень сложно, что приводит к некоторым погрешностям при обработке сигналов. Прежде всего, практически все реальные сигналы имеют бесконечный спектр, убывающий асимптотически, и оказывается невозможным назвать значение частоты ωв, за пределами которой спектр исходного непрерывного сигнала строго равен нулю. Это приводит к тому, что соседние составляющие спектра дискретного сигнала перекрываются друг с другом, как схематически показано на рис. 5.5,а. Если сигнал с таким спектром пропустить через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза ωв, то восстановленный сигнал будет отличаться от исходного непрерывного сигнала f(t). Это отличие состоит не только в том, что обрезаются составляющие спектра выше ωв, но также и в том, что на спектр восстановленного сигнала накладываются «хвосты» от соседних спектральных составляющих (рис. 5.5,в). Основным методом снижения погрешности восстановления сигнала является повышение частоты дискретизации. Еще одним эффективным приемом снижения погрешности является пропускание исходного непрерывного сигнала через идеальный фильтр нижних частот перед дискретизацией. При этом отрезаются составляющие спектра выше ωв (они все равно будут потеряны), но зато потом при восстановлении сигнала не происходит наложение «хвостов» от соседних составляющих спектра на основной сигнал. При этом суммарная погрешность восстановления сигнала уменьшается вдвое. 85 Рис. 5.5. Погрешность дискретизации сигнала со спектром, убывающим асимптотически: а – спектр дискретного сигнала; б – спектр сигнала после прохождения через идеальный фильтр нижних частот; в – спектр сигнала погрешности. Вторым фактором, приводящим к погрешности восстановления сигналов, является неидеальность частотной характеристики восстанавливающих фильтров. Как известно, идеальная прямоугольная частотная характеристика фильтра нижних частот физически нереализуема. Реальные фильтры имеют постепенно спадающую частотную характеристику (рис. 5.6,б). В результате, даже если частота дискретизации выбрана в соответствии с теоремой Котельникова и соседние составляющие спектра дискретного сигнала не перекрываются (рис. 5.6,а), в сигнале, восстановленном с помощью такого фильтра, кроме полезной составляющей будут присутствовать остатки от соседних, высокочастотных составляющих спектра. Для минимизации этой погрешности надо частоту дискретизации выбирать равной не π/ωв, как требует теорема Котельникова, а в 2-5 раз выше, а в качестве восстанавливающих фильтров использовать фильтры Баттерворта 10-15 порядка. В этом случае между соседними составляющими спектра образуются «окна», в которых должна поместиться убывающая часть частотной характеристики сглаживающего фильтра (рис. 5.7). Использование этих приемов позволяет сделать погрешности дискретизации и восстановления сигналов сколь угодно малыми. 86 Рис. 5.6. Погрешность восстановления сигнала при неидеальной характеристике восстанавливающего фильтра: а – спектр дискретного сигнала; б – частотная характеристика восстанавливающего фильтра; в – спектр сигнала после восстанавливающего фильтра. Рис. 5.7. Восстановление сигнала при правильно подобранных интервале дискретизации сигнала и частотной характеристике фильтра: а – спектр дискретного сигнала; б – частотная характеристика восстанавливающего фильтра. 87 5.4. Цифровая обработка сигналов Любая система цифровой обработки сигналов независимо от ее сложности содержит цифровое вычислительное устройство – универсальную цифровую вычислительную машину, микропроцессор или специально разработанное для решения конкретной задачи вычислительное устройство. Сигнал, поступающий на вход вычислительного устройства, должен быть преобразован к виду, пригодному для обработки на ЭВМ. Он должен иметь вид последовательности чисел, представленных в коде машины. Для преобразования аналогового сигнала в цифровой после дискретизации по времени должна следовать дискретизация по уровню (квантование). Необходимость квантования вызвана тем, что любое вычислительное устройство может оперировать только числами, имеющими конечное число разрядов. Таким образом, квантование представляет собой округление передаваемых значений с заданной точностью. Сигнал, дискретизированный и по времени, и по уровню, называется цифровым. Правильный выбор интервалов дискретизации по времени и по уровню очень важен при разработке цифровых систем обработки сигналов. Чем меньше интервал дискретизации, тем точнее дискретизированный сигнал соответствует исходному непрерывному. Однако при уменьшении интервала дискретизации по времени возрастает число отсчетов, и для сохранения общего времени обработки сигнала неизменным приходится увеличивать скорость обработки, что не всегда возможно. При уменьшении интервала квантования требуется больше разрядов для описания сигнала, вследствие чего цифровой фильтр становится более сложным и громоздким. Цифровое представление отсчетов. Пусть sk – отсчет непрерывного сигнала s(t) в момент времени tk = kТд. Данный отсчет можно записать в двоичной системе счисления: ∞ sk = α ∑ Cki 2−i . (5.5) i =0 Здесь i – номер двоичного разряда, Cki – коэффициент i-го двоичного разряда, принимающий значение 0 или 1. Поскольку ∞ ∑ 2−i = 2 , то в зависимости i =0 от коэффициентов Cki отсчет sk может принимать значения в пределах (5.6) 0 ≤ sk < 2α . Таким образом, размерный коэффициент α в формуле (5.5) всегда можно выбрать так, чтобы диапазон изменения сигнала s(t) попадал в область (5.6). Цифровые устройства могут оперировать только числами, имеющими конечное число разрядов. Это обусловлено поразрядным принципом хранения и обработки цифровой информации. Цифровое представление отсчета sk имеет вид: 88 N −1 xk = α ∑ Cki 2−i . (5.7) i =0 где N – число разрядов, которое используется в конкретном вычислительном устройстве. Переход от точного значения отсчета (5.5) к цифровому представлению (5.7) сопровождается округлением (отбрасыванием членов ряда (5.5)), поэтому в общем случае xk ≠ sk. Разность ξk = sk – xk называют ошибкой квантования. Максимальный вклад в xk, равный α, обусловлен старшим разрядом двоичного представления отсчета (первым членом ряда (5.7) при Ck0 = 0). Младший разряд (последний член ряда (5.7)) при Ck N–1 = 0 дает минимальный вклад в xk, называемый шагом квантования и определяемый по формуле ∆= α . (5.8) 2 N −1 Процесс перехода от непрерывного сигнала s(t) к цифровым отсчетам {xk} иллюстрируется на рис. 5.8. Рис. 5.8. На первом этапе осуществляется дискретизация сигнала s(t) по времени (рис. 5.8,б). На втором этапе выполняется дискретизация последовательности отсчетов по уровню (рис. 5.8,в), которую обычно называют квантованием по уровню. Максимальная величина ошибки квантования не превышает шага квантования ∆. Из формулы (5.8) следует, что для уменьшения ошибки квантования необходимо увеличивать число разрядов N. Однако при этом возрастает сложность цифрового устройства. На рис. 5.9 приведена основная структурная схема цифровой обработки непрерывных сигналов. Непрерывный сигнал поступает на аналого-цифровой преобразователь (АЦП), который осуществляет цифровое представление отсчетов. На выходе АЦП формируются уровни напряжений u0, u2, … , uN–1. Каждый из этих уровней несет информацию о соответствующем двоичном разряде в (5.7): 89  E , Cki = 1 . (5.9) ui =  1 E , C = ki  0 где Е1 и Е0 – фиксированные уровни напряжений, заранее известные для используемой серии цифровых микросхем. Рис. 5.9. Структурная схема цифровой обработки непрерывных сигналов. Таким образом, цифровой отсчет xk существует в цифровом устройстве в виде совокупности уровней напряжений u0, u2, … , uN–1 на сигнальных шинах отдельных разрядов (рис. 5.10). Следующему отсчету xk+1 будет соответствовать уже новая совокупность уровней. Данный способ представления цифровой информации называют представлением в параллельном коде. Напряжения с выхода АЦП можно также преобразовать в последовательность импульсов с амплитудами Е1 или Е0 и постоянной длительностью (рис. 5.11). При этом говорят о представлении цифровой информации в последовательном коде. Рис. 5.10. Рис. 5.11. После АЦП последовательность цифровых отсчетов входного сигнала {xk} обрабатывается в цифровом процессоре, который состоит из арифметического устройства и блока памяти. Результатом вычислений является последовательность цифровых отсчетов {yk} на выходе процессора. Расчеты в цифровом процессоре осуществляются в соответствии с заданным алгоритмом. 90 Цифровые процессоры могут быть реализованы в виде специализированных больших интегральных схем, алгоритм работы которых определяется конкретной электрической схемой. В этом случае говорят о цифровом процессоре с жесткой логикой. Наряду с этим часто используются цифровые процессоры с программируемой логикой (микропроцессоры, ПЛИС), которые осуществляют вычисления по программе, хранящейся в блоке памяти. В этом случае для изменения алгоритма вычисления достаточно изменить программу. Сигнал на выходе цифрового процессора имеет вид последовательности чисел, представленных в коде машины (цифровой сигнал). Дальнейшая обработка этого сигнала может быть различной в зависимости от назначения устройства. Например, выходной сигнал непосредственно в цифровой форме без преобразования можно использовать для управления некоторыми процессами или можно вывести на дисплей для считывания информации. Для преобразования цифрового сигнала в аналоговый используют восстанавливающее устройство – цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Обеспечивает согласованную работу всех блоков цифрового устройства генератор импульсов синхронизации (рис. 5.9). Частота следования синхроимпульсов задает скорость обработки отсчетов. Поскольку при обработке отсчетов в реальном времени в течение интервала дискретизации Тд должно быть выполнено множество микрокоманд в соответствии с алгоритмом обработки, частота синхроимпульсов должна быть кратна частоте дискретизации и существенно выше её. Интенсивное развитие цифровой техники не означает, что должны быть полностью отброшены и забыты аналоговые устройства для обработки сигналов. Каждому из типов фильтров, каждому методу обработки сигналов присущи свои преимущества и недостатки и в зависимости от конкретных условий следует применять тот или иной тип фильтра. Основным преимуществом цифровых фильтров перед аналоговыми является возможность реализации сложных алгоритмов обработки сигналов, которые неосуществимы с помощью аналоговой техники, например адаптивных алгоритмов, изменяющихся при изменении параметров входного сигнала. Точность обработки сигнала цифровыми фильтрами определяется точностью выполняемых расчетов. Она может быть несоизмеримо выше точности обработки сигнала в аналоговых фильтрах. Одним из источников погрешности аналоговых фильтров является нестабильность их параметров, вызываемая колебаниями температуры, старением, дрейфом нуля, изменением питающих напряжений и т. д. В цифровых фильтрах эти неприятные эффекты отсутствуют. При разработке цифровых фильтров не возникает проблема согласования нагрузок. 91 При обработке низкочастотных и инфранизкочастотных сигналов элементы пассивных аналоговых фильтров (индуктивные катушки и конденсаторы) оказываются очень громоздкими. В этом случае цифровые фильтры более компактны. Недостатком цифровых фильтров является их большая сложность по сравнению с аналоговыми и более высокая стоимость. Ведь кроме процессора устройство для цифровой обработки сигналов содержит аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи и другие устройства сопряжения. Поэтому в тех случаях, когда алгоритм обработки сигналов несложен и не требуется высокой точности, целесообразнее применять более простые аналоговые фильтры. Другим существенным недостатком цифровых фильтров является их сравнительно невысокое быстродействие. Чтобы произвести обработку каждого значения поступающего сигнала, требуется проделать значительное число арифметических операций. Вследствие этого наивысшие частоты спектра сигналов, обрабатываемых цифровыми фильтрами, пока что не превышают нескольких десятков мегагерц. Для обработки более высокочастотных сигналов применяют аналоговые фильтры на пассивных элементах и фильтры на поверхностных акустических волнах. В цифровых фильтрах появляются специфические погрешности, вызванные дискретизацией, квантованием сигнала и округлением значений обрабатываемого сигнала в процессе вычислений. Чтобы сделать эти погрешности достаточно малыми, требуется внимательное их изучение. 92 6. Основы теории случайных сигналов 6.1. Случайные процессы и их статистические характеристики Случайные процессы (или сигналы) — это такие сигналы, значения которых не могут быть предсказаны с абсолютной точностью в наперед заданные моменты времени. Случайные процессы в радиотехнике — это, как правило, помехи. Источниками помех являются грозовые разряды, электросварка, коронные разряды на проводах ЛЭП высокого напряжения, системы зажигания автомобилей, а также собственные шумы радиоаппаратуры. Практически всегда при приеме радиосигналов, особенно при приеме слабых сигналов, приходится бороться с помехами. В радиотехнике часто возникает необходимость приема сигналов, которые на несколько порядков слабее помех, и такую задачу удается успешно решать. Возможность выделения сигналов на фоне помех основана на том, что характеристики сигналов и помех могут существенно различаться. Чтобы успешно решать задачу помехоустойчивого приема сигналов, необходимо знать характеристики помех, чем они отличаются от характеристик сигналов и на основании этого создавать фильтры, эффективно подавляющие помехи при минимальных искажениях сигнала. 6.1.1. Некоторые сведения из теории вероятностей Случайные величины Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, какие именно, зависит от случайных обстоятельств и заранее предсказано быть не может. Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Примером дискретной случайной величины является количество очков, выпадающее при бросании игральной кости (кубика). Дискретная случайная величина считается заданной, если заданы значения x, которые она может принимать и вероятности этих значений P(x). Непрерывная случайная величина может принимать любые значения в пределах некоторой области существования этой величины. Примеры непрерывной случайной величины: координаты точки попадания при стрельбе в цель; значения емкости конкретных конденсаторов при работе автоматической линии, изготавливающей конденсаторы определенного номинала. Непрерывная случайная величина задается плотностью вероятности p(x). Плотность вероятности можно определить как P ( x0 < x < x0 + ∆x) p( x) = lim . (6.1) ∆ x ∆x→ 0 С помощью плотности вероятности нетрудно вычислить вероятность того, что случайная величина лежит в заданном интервале (x1, x2): 93 P ( x1 < x < x2 ) = x2 ∫ p( x) d x . (6.2) x1 Важное свойство плотности вероятности: ∞ ∫ p( x) d x = 1. (6.3) −∞ Смысл этого выражения состоит в том, что единице равна вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет любое из возможных значение. Основные характеристики случайной величины, связанные с плотностью вероятности — это математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия. Математическое ожидание случайной величины x определяется следующим образом: x= ∞ ∫ xp( x) d x . (6.4) −∞ Черта над каким-либо выражением означает вычисление среднего значения этого выражения. В общем случае f ( x) = ∞ ∫ f ( x) p( x) d x — это среднее значение −∞ выражения f(x). Использование черты над выражением вместо записи интеграла позволяет существенно сократить объем математических выражений. Иногда вводится понятие центрированной случайной величины x0 как отклонение от среднего значения: x 0 = x − x . Дисперсией случайной величины называется средний квадрат отклонения от среднего значения: ( ∞ ) ∫ (x − x) 2 σ = x− x = 2 2 p( x) d x. (6.5) −∞ Использование записи с чертой сверху позволяет получить еще одно выражение для дисперсии: ( )2 ( )2 ( )2 (6.6) σ2 = x − x = x2 − 2 x x + x = x2 − x . Кроме плотности вероятности для описания случайной величины вводится интегральный закон распределения: F ( x) = x ∫ p( x) d x . (6.7) −∞ Функция F(x) численно равна вероятности того, что случайная величина принимает значения меньше заданного значения x. 94 Рассмотрим в качестве примера несколько законов распределения случайных величин. Примеры законов распределения случайных величин Равномерный закон распределения Любые значения случайной величины в пределах некоторого интервала (xmin, xmax) имеют одинаковую вероятность. Плотность вероятности равномерного закона распределения изображена на рис. 6.1 а, а интегральный закон распределения — на рис. 6.1 б. а) б) p(x) F(x) 1 xmax − xmin 1 0 xmin xmax 0 xmin x xmax x Рис. 6.1. Плотность вероятности равномерного закона распределения (а) и интегральный закон распределения (б). Аналитически плотность вероятности описывается выражением: 1  ( xmin < x < xmax )  p( x) =  xmax − xmin .  ( x < xmin , x > xmax ) (6.8) Математическое ожидание при равномерном законе распределения равно середине отрезка ( a1 , a2 ) : x +x x = max min . (6.9) 2 Дисперсию легко вычислить по формуле (6.5): xmax ( xmax − xmin ) 2 1 σ = ∫ ( x − x) dx= . 12 − x x max min x 2 2 (6.10) min Нормальный закон распределения Нормальный закон распределения встречается в радиотехнике наиболее часто. Плотность вероятности при нормальном законе распределения описывается следующим выражением: − ( x− x) 2 2 1 (6.11) e 2σ , 2 πσ где x — математическое ожидание (среднее значение), σ 2 — дисперсия. Примечательно, что если задано выражение для плотности вероятности вида (6.11), то для определения математического ожидания и дисперсии нет p( x) = 95 необходимости вычислять интегралы вида (6.4), (6.5), так как математическое ожидание x и дисперсия σ 2 входят в это выражение в явном виде. − ( x− 3) 2 8 1 e 2π⋅ 2 соответствует закону распределения, изображенному на рис. 6.2. Математическое ожидание здесь равно 3, а дисперсия — 4. Например, выражение для плотности вероятности p ( x) = p(x) 0,2 0,1 1 1 3 5 7 x Рис. 6.2. Плотность вероятности при нормальном законе распределения Совместный закон распределения двух случайных величин p(x,y) Для пары случайных величин x и y вводится двумерная совместная плотность вероятности p(x, y). Геометрически она может быть представлена в виде некоторой поверхности (рис. 6.3). Если выделить некоторую область (a1 < x < a2 , b1 < y < b2), то вероятность попадания в эту область можно определить как двойной интеграл от плотности вероятности в этой области: y x Рис.6.3. Двумерная плотность вероятности P (a1 < x < a 2 , b1 < y < b2 ) = a 2 b2 ∫ ∫ p( x, y) d x d y . (6.12) a1 b1 Очевидно, что полный объем под поверхностью рис. 6.3 равен единице: P (−∞ < x < ∞,−∞ < y < ∞) = ∞ ∞ ∫ ∫ p( x, y) d x d y = 1. (6.13) −∞ −∞ Двумерная плотность вероятности может использоваться, например, для описания координат точки попадания (x, y) при стрельбе в цель. В случае необходимости от двумерной плотности вероятности можно перейти к одномерной, проинтегрировав по «лишней» переменной: 96 p( x) = ∞ ∫ p( x, y) d y; p ( y) = −∞ ∞ ∫ p( x, y) d x . (6.14) −∞ Если случайные величины x и y независимы, то двумерная плотность вероятности может быть записана как произведение двух одномерных: (6.15) p( x, y) = p( x) ⋅ p( y). В качестве примера запишем выражение для двумерного нормального закона распределения:   ( x− a ) 2 ( x− a )( y − b ) ( y − b ) 2   − − 2r + σ xσ y 2(1− r 2 )  σ2x σ2y  1 p( x, y) = 1 2 πσxσ y 1 − r 2 e . (6.16) 2 Здесь а и b — математическое ожидание случайных величин х и y, σ x и σ y — дисперсии случайных величин x и y , r — коэффициент корреляции, речь о котором пойдет ниже. 2 Корреляция Случайные величины х и у могут быть связаны друг с другом. Если увеличение одной величины влечет за собой увеличение другой величины, то говорят, что эти величины коррелированы. Это может быть проиллюстрировано диаграммами вероятных значений величин х и у на рис. 6.4. На рис. 6.4 а изображена диаграмма для некоррелированных случайных величин х и у , на рис. 6.4 б — слабо коррелированных, на рис. 6.4 в — сильно коррелированных. Степень корреляции количественно описывается коэффициентом корреляции r. При отсутствии корреляции r = 0, при максимальной (полной) корреляции r = 1. а) б) в) y y y x x x Рис. 6.4. Иллюстрация корреляции случайных величин: а — корреляция отсутствует, б — слабая корреляция, в — сильная корреляция Если случайные величины х и у независимы, то они некоррелированы. Обратное утверждение в общем случае несправедливо, т. е. случайные величины могут быть зависимыми, но некоррелированными. Только для нормального закона распределения некоррелированность и независимость совпадают. Если в формуле (6.16) положить r = 0, то нетрудно видеть, что двумерный закон распределения можно записать как произведение двух одномерных: 97 1 p ( x, y) = e 2 πσ1σ2 − ( x− a ) 2 2σ12 − e ( y−b) 2 2σ22 = p ( x) ⋅ p ( y). (6.17) Следовательно, если нормальные случайные величины некоррелированы, то они независимы. 6.1.2. Характеристики случайных процессов Случайным процессом называется случайная величина, изменяющаяся во времени. В радиотехнике случайный процесс – это чаще всего напряжение или ток, изменяющиеся по случайному закону. В отличие от детерминированных сигналов, временное представление случайного процесса оказывается малоинформативным, так как невозможно точно предсказать, как поведет себя случайный процесс в каждом конкретном случае. Обычно изображают какую-либо реализацию случайного процесса, однако это не означает, что в действительности случайный процесс поведет себя именно таким образом. Реализация показывает, как в принципе может выглядеть случайный процесс, и обычно количество возможных реализаций случайного процесса бесконечно велико. На рис. 6.6. изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса. x(1) (t) t x(2) (t) t x(3) (t) t Рис. 6.6. Реализации случайного процесса x(t) 98 Значение случайного процесса в некоторый момент времени t1 представляет собой случайную величину x(t1), которую для краткости часто обозначают x1. Эта случайная величина описывается плотностью вероятности p(x1). Аналогично значение случайного процесса в момент времени t2 представляет собой случайную величину x(t2) = x2, которая описывается плотностью вероятности p(x2). Таким образом, случайный процесс можно описать набором одномерных плотностей p(xi). Однако такое описание случайного процесса является неполным, так как не учитывает связь между значениями случайного процесса в соседние моменты времени. Многомерная плотность вероятности Наиболее полным является описание случайного процесса с помощью многомерной плотности вероятности p(x1, x2,..., xi,...), которая учитывает статистические связи между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Многомерная плотность вероятности позволяет определить вероятность прохождения реализации через заданную систему «ворот», как показано на рис. 6.7: P (a1 < x1 < b1, a 2 < x2 < b2 ,..., a n < xn < bn ) = ∞ ∞ ∞ ∫ ∫  ∫ p( x1, x2 ,..., xn ) d x1 d x2 ... d xn . −∞ −∞ (6.21) −∞ При достаточно большом количестве отсчетных моментов времени t1, t2, ..., tn и достаточно узких воротах многомерная плотность вероятности фактически описывает вероятность каждой реализации. Однако такое описание случайного процесса оказывается практически неосуществимым, так как для его реализации необходимо охватить чрезвычайно большое (строго говоря, бесконечно большое) число значений x1, x2, ..., xi . x(t) a1 b1 an bn t2 t1 tn t a2 b2 Рис. 6.7. Определение многомерной плотности вероятности Выход из положения был найден советским математиком А.Н. Колмогоровым. Он предложил следующий способ описания случайного процесса: случайный процесс считается заданным, если задано правило написания его любой многомерной плотности вероятности. Однако и такой способ описания случайных процессов нельзя считать универсальным. Правило написания любой многомерной плотности вероятности удается задать для нормального случайного процесса и в некоторых других 99 частных случаях, причем это правило оказывается очень громоздким. Поэтому использование многомерной плотности вероятности в инженерной практике оказывается нецелесообразным, и для описания случайных процессов используются другие, более простые методы, о чем речь пойдет ниже. Стационарность Понятие многомерной плотности вероятности может быть использовано для определения стационарности случайных процессов. Случайный процесс является стационарным, если любая многомерная плотность вероятности не изменяется при одновременном смещении всех отсчетных моментов времени t1, t2,..., tn на одну и ту же величину ∆t (см. рис. 6.8): (6.22) p ( x(t1 ), x(t 2 ),..., x(t n )) = p ( x(t1 + Δt ), x(t2 + ∆t ),..., x(tn + ∆t )) . x(t) t1 t1+∆t t2 t2+ ∆t t tn tn+ ∆t Рис. 6.8. Определение стационарности случайного процесса В рамках данного курса мы будем рассматривать только стационарные случайные процессы. 6.1.3. Одномерная плотность вероятности и связанные с нею числовые характеристики Очень часто для решения практических задач достаточно бывает знать одномерную плотность вероятности стационарного процесса. Опытный инженер по виду реализации случайного процесса может определить приблизительный вид плотности вероятности. Например, рассмотрим случайный процесс, состоящий из отрезков прямых линий, угол наклона которых изменяется по случайному закону (рис. 6.9): x(t) p(x) a 1/a t a x Рис. 6.9. Случайный процесс с равномерным законом распределения 100 Хорошо видно, что все значения случайного процесса в интервале от 0 до а имеют одинаковую вероятность, и поэтому случайный процесс имеет равномерный закон распределения. Случайный процесс с нормальным законом распределения характеризуется наличием выбросов как «вверх», так и «вниз» (рис. 6.10). Чем больше величина выбросов, тем меньше их вероятность. Выбросы более 3σ встречаются редко. По виду реализации случайного процесса можно приблизительно определить величину математического ожидания (среднего значения) и дисперсии. Например, случайный процесс, реализация которого изображена на рис. 6.10, имеет математическое ожидание около 2 В и дисперсию около 1 В2. x(t) 4 3σ 2 –2 t Рис. 6.10. Реализация нормального случайного процесса 6.2. Корреляционная функция и энергетический спектр случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина 6.2.1. Корреляционная функция Одномерная плотность вероятности является недостаточно полной характеристикой случайного процесса, так как не характеризует скорость его протекания. На рис. 6.11 изображены реализации двух случайных процессов с одинаковой плотностью вероятности, но различной скоростью протекания. Скорость протекания случайного процесса может быть охарактеризована его корреляционной функцией. а) б) x1(t) x2 (t) 10 10 20 30 40 20 30 40 t, мкс t, мкс Рис. 6.11. Реализации двух случайных процессов с одинаковой плотностью вероятности, но различной скоростью протекания Корреляционная функция случайного процесса (правильнее ее назватьавтокорреляционной функцией в отличие от взаимно корреляционной функции, которая будет определена ниже) определяется через двумерную плотность вероятности: 101 Rx (t1, t2 ) = ( x1 − x1 )( x2 − x2 ) = ∞ ∞ ∫ ∫ ( x1 − x1 )( x2 − x2 ) p( x1, x2 ) d x1 d x2 , (6.23) −∞ −∞ где обозначено x1 = x(t1), x2 = x(t2). Корреляционная функция характеризует степень линейной связи между значениями случайного процесса в моменты времени t1 и t2. Для стационарного процесса корреляционная функция зависит от разности моментов времени t1 и t2: Rx (t1, t2 ) = Rx (t2 − t1 ) = Rx ( τ) , где τ = t2 − t1. Свойства корреляционной функции рассмотрим применительно к стационарным случайным процессам. 1. Rx(τ) — четная функция, т. е. Rx(–τ) = Rx(τ). 2. Rx(0) = σ2 , т. е. Rx(0) равно дисперсии случайного процесса. 3. При τ = 0 корреляционная функция приобретает максимальное значение, т. е. при любом τ Rx(τ) ≤ Rx(0). Доказательство этих свойств мы предоставляем читателю. R( τ) Иногда корреляционную функцию нормируют на дисперсию: r ( τ) = 2 . σ Очевидно, что r(0) = 1. Корреляционная функция показывает, на какое расстояние по времени простирается линейная связь (корреляция) значений случайного процесса. Для быстро протекающих процессов, как на рис. 6.11 б, связь между значениями случайного процесса утрачивается быстро; уже на расстоянии 1 мкс корреляция между значениями случайного процесса практически отсутствует. Такому случайному процессу соответствует корреляционная функция, изображенная на рис. 6.12 б. Для медленно протекающих процессов (рис. 6.11 а) корреляция сохраняется на значительном отрезке времени; такому случайному процессу соответствует корреляционная функция, изображенная на рис. 6.12 а. а) б) R1(τ) R1(τ) τ τ Рис. 6.12. Корреляционные функции двух случайных процессов с различной скоростью протекания Иногда корреляционная функция имеет периодический характер, например, для гармонического сигнала со случайной равномерно распределенной фазой x(t ) = Acos(ω0t + ϕ) . Для нахождения корреляционной функции этого сигнала воспользуемся выражением (6.23), точнее, его первой частью, поскольку 102 двумерная плотность вероятности для гармонического сигнала с равномерно распределенной фазой нам не известна. В тех случаях, когда усредняемое выражение зависит только от одной случайной величины, операция статистического усреднения может проводиться как взятие интеграла от усредняемого выражения, умноженного на плотность вероятности этой случайной величины. В нашем примере необходимо записать такое выражение: π ∫ Acos(ω0t1 + ϕ) Acos(ω0t2 + ϕ) p(ϕ) d ϕ . Rx (t1, t2 ) = −π Подставляя сюда p (ϕ) = правилам тригонометрии: Rx (t1, t2 ) = A2 2 1 , преобразуем произведение косинусов по 2π π 1 [ ] [ ] { } t t t t cos ω ( ) 2 cos ω ( ) + + ϕ + − 1 2 2 1 ∫ 2π −π d ϕ. Интеграл от первого косинуса берется за два периода ϕ и поэтому равен нулю. Аргумент второго косинуса от φ не зависит, поэтому в результате интегрирования получаем: A2 cos[ω0 (t 2 − t1 )] . 2 Обозначая t2 − t1 = τ , окончательно получим: Rx (t1, t2 ) = Rx (τ ) = A2 cos(ω0 τ ) . 2 График этой корреляционной функции изображен на рис. 6.13. (6.24) R(τ) σ = А /2 2 2 τ Рис. 6.13. Корреляционная функция гармонического сигнала Рассмотрим физический смысл полученного выражения. Прежде всего отметим, что при τ = 0 корреляционная функция равна A2 , т. е. равна квадрату 2 эффективного напряжения или дисперсии случайного процесса. Далее обсудим, каков физический смысл периодического характера корреляционной функции, почему при τ, равном целому числу периодов гармонического сигнала, корреляционная функция принимает максимальное значение, равное дисперсии. Очевидно, это вызвано тем, что через целое число 103 периодов любые значения гармонического сигнала повторяются, т. е. между ними существует полная корреляция. А вот через полпериода, полтора или два с половиной периода корреляционная функция принимает отрицательное значение, по модулю равное дисперсии. Это вызвано тем, что через полуцелое число периодов значения гармонического сигнала совпадают по абсолютной величине, но противоположны по знаку, т. е. между ними существует отрицательная корреляция. При τ, равном четверти периода, корреляционная функция равна нулю. Это объясняется тем, что если рассматривать значения гармонического сигнала, разнесенные на четверть периода, то количество пар, совпадающих по знаку и имеющих противоположные знаки, оказывается одинаковым и поэтому средняя величина произведений этих значений оказывается равной нулю. Следовательно, значения гармонического сигнала, разнесенные на четверть периода, некоррелированы, однако, их нельзя считать независимыми. Напомним, что только для нормального случайного процесса некоррелированность и независимость совпадают, а гармонический сигнал имеет плотность вероятности, отличающуюся от нормального закона распределения. 6.2.2. Энергетический спектр Спектральное описание случайного процесса является важной его характеристикой, однако, подход к спектральному описанию случайных процессов должен быть совсем не такой, как для детерминированных процессов. Специфика состоит в том, что все реализации случайного процесса разные, фазовые характеристики их спектров сильно различаются, и если усреднить комплексные спектры всех реализаций, то в результате суммирования получится что-то близкое к нулю. 104 105 106 Свойства энергетического спектра 1. Энергетический спектр (спектр мощности случайного процесса) W(ω) — положительная неотрицательная функция. Это непосредственно следует из определения энергетического спектра. 2. W(ω) — четная функция. (6.31) W (−ω) = W (ω) . 3. Теорема Винера-Хинчина: спектр мощности (энергетический спектр) связан с корреляционной функцией случайного процесса W (ω) = Rx ( τ) = ∞ ∫ Rx (τ) e − jωτ dτ. (6.29) 1 W (ω ) e jωτ d ω. ∫ 2π − ∞ (6.30) −∞ ∞ 4. Интеграл от энергетического спектра с точностью до постоянного коэффициента равен дисперсии: ∞ ∞ 1 1 W (ω) d ω = ∫ W (ω) d ω. σ = Rx (0) = ∫ 2π − ∞ π0 2 (6.32) Вследствие того, что значения энергетического спектра при положительных и отрицательных значениях частоты одинаковы, нет необходимости рассматривать его в бесконечной полосе частот от −∞ до +∞; достаточно ограничиться областью положительных частот. Для реализации этого 1 принципа вводится односторонний энергетический спектр F (ω) = W (ω) , π причем F(ω) определяют только в области положительных частот (ω ≥ 0). Связь одностороннего энергетического спектра с корреляционной функцией описывается косинус-преобразованиями Фурье: 107 ∞ 2 F (ω) = ∫ Rx ( τ) cos(ωτ) d τ , π0 (6.33) ∞ Rx ( τ) = ∫ F (ω) cos(ωτ) d ω. (6.34) Особенно простым оказывается выражение для определения дисперсии: ∞ σ = ∫ F (ω) d ω. 2 (6.35) Для определения энергетического спектра по известной корреляционной функции и, наоборот, для определения корреляционной функции по энергетическому спектру не обязательно вычислять интегралы преобразований Фурье. Можно воспользоваться таблицей соответствия корреляционных функций и энергетических спектров, где приведена необходимая информация для наиболее часто встречающихся случаев. 6.2.3. Примеры случайных процессов Белый шум Белым шумом называется случайный процесс, корреляционная функция которого описывается выражением R(τ) = W0 δ(τ). Найдем его энергетический спектр: W(ω) W0 ∞ W (ω) = ∫ W0δ( τ)e − jωτ dτ = W0 . (6.36) −∞ Энергетический спектр белого шума постоянен и равен W0 на любых частотах, вплоть до бесконечно больших (рис. 6.15). ω Термин «белый шум» введен по аналогии с Рис. 6.15. Энергетический спектр белого шума белым светом, спектр которого постоянен во всей видимой области, от красного до фиолетового, только белый шум имеет значительно более широкий и постоянный спектр, чем белый свет. Белый шум – это абстракция, он реально существовать не может, так как спектр никакого реального сигнала не может простираться до бесконечно больших частот. К тому же, заметим, дисперсия белого шума равна бесконечности, т. е. он имеет бесконечную мощность. Тем не менее, белый шум — очень полезная абстракция, так как во многих случаях реальный случайный процесс можно считать белым шумом, если ширина его спектра значительно больше полосы пропускания устройства, на которое этот процесс подается. 108 Белый шум с ограниченным спектром Так называется случайный процесс, спектр которого имеет прямоугольную форму (рис. 6.16). Найдем корреляционную функцию белого шума с ограниченным спектром. 1 R( τ) = 2π ωв ∫ W0 e jωτ d ω = − ωв W0 (e jωв τ − e − jωв τ ) W0 sin(ωв τ) . = πτ 2π ⋅ jτ Обычно для удобства построения графика выражение для W0 корреляционной функции записывают в виде произведения множителя, равного дисперсии, и сомножителя, зависящего от τ, значение которого при τ = 0 равно ω ωв –ωв 1. В нашем случае выражение для Рис. 6.16. Энергетический спектр белого шума с корреляционной функции можно ограниченным спектром записать следующим образом: W ω sin(ωв τ) R( τ) = 0 в ⋅ . (6.37) π ωв τ График корреляционной функции (6.37) изображен на рис. 6.17. W(ω) К(τ) σ2 τ Рис. 6.17. Корреляционная функция белого шума с ограниченным спектром Шум с равномерным спектром в полосе частот от ω 1 до ω 2 Энергетический спектр шума изображен на рис. 6.18. В данном случае удобнее пользоваться односторонним энергетическим спектром, что позволяет сократить объем математических операций при нахождении корреляционной функции. F(ω) Найдем корреляционную функцию с помощью формулы косинусF0 преобразования Фурье: ω1 Рис. 6.18. Энергетический равномерный в полосе частот ω2 ω спектр шума, R( τ) = ω2 ∫ ω1 F0 cos(ωτ) d ω = F0 (sin(ω2 τ) − sin(ω1τ)) . τ Используя известные тригонометрические правила, представим получившееся выражение в виде произведения нескольких сомножителей: 109  (ω − ω1 )τ  sin  2  2  (ω + ω2 )τ   (6.38) ⋅ cos  1 R( τ) = F0 (ω2 − ω1 ) ⋅  . (ω2 − ω1 )τ 2  2 Первый сомножитель равен дисперсии. Нетрудно убедиться, что в соответствии с выражением (6.35) он равен площади под односторонним энергетическим спектром. Второй сомножитель можно рассматривать как нормированную огибающую корреляционной функции. Третий сомножитель — высокочастотное заполнение корреляционной функции. График корреляционной функции (6.38) изображен на рис. 6.19. R(τ) σ2 τ Рис. 6.19. Корреляционная функция шума с равномерным спектром в полосе частот 6.3. Источники шумов в радиотехнических устройствах Среди источников собственного шума радиотехнической аппаратуры основную роль играют тепловой шум и дробовой шум. Рассмотрим эти источники шума подробнее. 6.3.1. Тепловой шум Тепловой шум возникает в результате хаотического теплового движения электронов в проводнике. Каждый электрон, двигаясь по своей траектории, создает на концах проводника некоторое очень маленькое напряжение. Поскольку в любом проводнике число электронов чрезвычайно велико, все они вместе создают шумовое напряжение с нормальным законом распределения, энергетический спектр которого может быть вычислен по формуле Найквиста: 2 F (ω) = kTR , (6.39) π где k = 1,38⋅10 –23 Дж/град — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, в градусах Кельвина, R — сопротивление проводника, Ом. Формула (6.39) справедлива во всем диапазоне радиочастот вплоть до частоты 1012 Гц, т. е. во всем диапазоне используемых в радиотехнике частот кроме оптического диапазона тепловой шум можно считать белым. Дисперсию теплового шума можно найти, умножив энергетический спектр на полосу частот, в которой действует шум: 110 2 (6.40) kTRΔω = 4kTRΔf . π Найдем в качестве примера дисперсию теплового шума, создаваемого резистором R = 1 кОм в полосе частот ∆f = 1 МГц при комнатной температуре: σ2 = σ2 = 4 ⋅ 1,38 ⋅ 10 − 23 ⋅ 293 ⋅ 103 ⋅ 106 = 1,6 ⋅ 10 −11 В2. Эффективное напряжение шума равно корню из дисперсии: Uэфф = σ = 4⋅10 –6 В = 4 мкВ. Источниками теплового шума являются только активные сопротивления. Реактивные элементы: емкость и индуктивность не шумят. Если источником шума является сложная цепь, сопротивление которой Z = R + jX имеет как активную, так и реактивную составляющие, то энергетический спектр и дисперсия шума этой цепи могут быть вычислены по формулам (6.39), (6.40) , где R — активная составляющая сопротивления этой цепи. 6.3.2. Дробовой шум Дробовой шум возникает в полупроводниковых приборах при движении носителей заряда через p-n-переход и в электровакуумных приборах при перелете электронов от катода к аноду. Наиболее сильно дробовой шум проявляется в режиме насыщения, когда движение каждого конкретного электрона (или дырки) не зависит от движения соседних носителей заряда. Каждый электрон (или дырка) при движении создает короткий импульс тока, а все вместе – случайную последовательность импульсов. В результате суммарный ток содержит постоянную составляющую i0 и переменную (шумовую) составляющую, дисперсия которой определяется выражением σi2 = i0e , T (6.41) где e = 1,6·10-19 Кл — заряд электрона, Т — время усреднения тока. Энергетический спектр дробового шума практически постоянен вплоть до частот в десятки или сотни мегагерц и определяется формулой Шотки: F (ω) = i0e . (6.42) π Оценим величину дисперсии дробового шума диода в режиме насыщения при токе i0 = 100 мА и полосе частот 1 МГц: 0,1 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 σi = ⋅ ∆ω = 2π⋅ 106 = 3,2 ⋅ 10 −14 A2 , π π Эффективное значение шумового тока равно корню из дисперсии: σi = 1,79⋅10–7 А. Такая величина представляется очень маленькой, но этот ток протекает через сопротивление нагрузки диода, создавая на нем шумовое напряжение. При сопротивлении нагрузки 1 кОм эффективное значение 2 i0e 111 напряжения будет равным Uэфф = 1,79⋅10–4 В = 179 мкВ, что почти в 50 раз больше, чем тепловой шум такого же резистора. Из рассмотренного примера следует, что интенсивность дробового шума может быть значительно больше, чем у теплового шума. Однако столь высокая интенсивность дробового шума наблюдается только в режиме насыщения, когда движение соседних носителей заряда не зависит друг от друга. В обычном режиме, при относительно небольших значениях тока в области p-n-перехода образуется облако пространственного заряда, которое сильно сглаживает флюктуации тока и его дисперсия уменьшается на 2–3 порядка. В транзисторах существует несколько источников шума. Основными из них являются следующие: • тепловой шум сопротивления базы, как электрода с самым большим сопротивлением; • дробовой шум эмиттерного перехода; • дробовой шум коллекторного перехода; • шум токораспределения: носители, прошедшие через эмиттерный переход, могут попадать как на коллектор, так и на базу (этот процесс является случайным и вносит свой вклад в шум транзистора); • шум 1/f , или фликкер-эффект. Энергетический спектр этого шума зависит от частоты как 1/f и поэтому он проявляется на самых низких частотах. В связи со сложностью расчета характеристик шума в транзисторах иногда применяют упрощенный подход, когда все источники шума заменяются некоторым эквивалентным шумящим сопротивлением, подключенным ко входу транзистора. Контрольные вопросы 17. Что такое плотность вероятности, математическое ожидание и дисперсия? 18. Как записать плотность вероятности нормального закона распределения, если известны математическое ожидание и дисперсия? 19. Что такое корреляция? В каком случае случайные величины считаются коррелированными? 7. Что такое реализация случайного процесса? 8. Что такое многомерная плотность вероятности? 9. Дайте определение стационарности случайных процессов. 10. Изобразите примерный вид реализации нормального случайного процесса. Чем отличаются друг от друга реализации нормального процесса и случайного процесса с равномерным законом распределения? 11. Каков физический смысл математического ожидания и дисперсии случайного процесса? 12. Дайте определение корреляционной функции случайного процесса. Каков физический смысл корреляционной функции? Какова связь между дисперсией и корреляционной функцией? 13. Что такое энергетический спектр случайного процесса? Как он связан с корреляционной функцией? 14. Как связан энергетический спектр случайного процесса с дисперсией? 15. Что такое белый шум? Чему равна дисперсия белого шума? 16. Какова физическая природа источников собственного шума радиоаппаратуры? 17. Каковы статистические характеристики теплового шума; дробового шума? 112 7. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные стационарные системы 7.1. Спектральный метод анализа прохождения случайных сигналов через линейные стационарные системы Наша задача состоит в том, чтобы сформулировать методы определения статистических характеристик случайных процессов на выходе линейных систем, если известны статистические характеристики случайного процесса на входе. Нас интересуют в первую очередь основные статистические характеристики, необходимые для решения инженерных задач: математическое ожидание, дисперсия, плотность вероятности, корреляционная функция и энергетический спектр. В рамках данного учебного пособия ограничимся рассмотрением стационарных случайных процессов, для которых задача о воздействии на линейные цепи решается наиболее просто. Наиболее просто задача о воздействии случайных процессов на линейные цепи решается с помощью спектрального метода. Обозначим случайный процесс на входе линейной цепи – x(t), на выходе – y(t) (рис 7.1). Пусть известен энергетический спектр процесса на входе – Wx(ω). Для того, чтобы найти энергетический спектр случайного процесса на выходе, нужно каждую составляющую энергетического спектра на y(t) x(t) входе умножить на квадрат модуля коэффициента K(ω) передачи цепи на соответствующей частоте, т. е. энергетический спектр — это спектр мощности, а Рис. 7.1. К постановке задачи мощность сигнала на выходе пропорциональна квадрату модуля коэффициента передачи. Таким образом, мы получаем формулу для определения энергетического спектра случайного процесса на выходе цепи: 2 Wy (ω) = Wx (ω) ⋅ K (ω) . Аналогичное выражение энергетического спектра: можно записать (7.1) для одностороннего 2 F y (ω) = Fx (ω) ⋅ K (ω) . (7.2) Если известен энергетический спектр, можно легко найти корреляционную функцию случайного процесса на выходе цепи: ∞ 1 Ry ( τ) = Wy (ω) e jωτ d ω ∫ 2π − ∞ (7.3) или, при использовании одностороннего энергетического спектра: ∞ Wy ( τ) = ∫ F y (ω) cos(ωτ) d ω. 113 (7.4) Если в формуле (7.4) положить ω = 0, получим выражение для определения дисперсии случайного процесса на выходе цепи: ∞ σ y = ∫ F y (ω) d ω . 2 (7.5) 7.2. Воздействие белого шума на линейные цепи Задача о воздействии белого шума на линейные цепи или системы решается наиболее просто. Пусть F0 – односторонний энергетический спектр белого шума на входе цепи. Тогда его корреляционная функция Rx ( τ) = πF0δ( τ ) . Энергетический спектр шума на выходе цепи в соответствии с (7.2) определим как произведение энергетического спектра на входе и квадрата частотной характеристики цепи: 2 F y (ω) = F0 ⋅ K (ω) . (7.6) Корреляционную функцию шума на выходе найдем по теореме ВинераХинчина как обратное преобразование Фурье от энергетического спектра: ∞ ∞ 1 1 2 R y ( τ) = Fy (ω) e jωτ d ω = F0 ∫ K (ω) e jωτ d ω . ∫ 2 π −∞ 2 π −∞ (7.7) И, наконец, найдем дисперсию шума на выходе цепи как интеграл от энергетического спектра: |K(ω)| ∞ 2 2 Kм2 , ∞ σ y = ∫ F y (ω) d ω = ∫ F0 K (ω) d ω. (7.8) 2 ∆ωш ω Для удобства расчетов вводится новое понятие – эквивалентная шумовая полоса цепи ∆ωш (для краткости ее часто называют шумовой полосой цепи): Рис.7.2. Определение шумовой полосы цепи Δωш = 1 ∞ ∫K K2 2 (ω) d ω, (7.9) м 0 где Kм , – максимальное значение коэффициента передачи цепи. Шумовая полоса равна ширине основания прямоугольника высотой Kм2 , площадь которого равна интегралу от квадрата частотной характеристики цепи, как показано на рис. 7.2. Использование понятия шумовой полосы цепи позволяет очень просто вычислять дисперсию шума на выходе цепи: σ2y = F0 Kм2 Δωш . 114 (7.10) Важной характеристикой случайного процесса является плотность вероятности. К сожалению, задача об определении плотности вероятности случайного процесса на выходе цепи при известной плотности вероятности на входе в общем случае не имеет решения. Можно говорить только о тенденции к нормализации случайного процесса при прохождении через линейную цепь. Чем уже полоса пропускания цепи по сравнению с шириной спектра случайного процесса на входе, тем сильнее процесс на выходе цепи приближается к нормальному. Если случайный процесс на входе линейной цепи имеет нормальный закон распределения, случайный процесс на выходе также будет нормальным. 7.3. Воздействие случайных процессов на RC-цепь Рассмотрим в качестве примера воздействие случайных процессов на простейшую RC–цепь (рис. 7.3). Для этого нам необходимо сначала R найти новые характеристики RC-цепи: квадрат модуля частотной характеристики, C y(t) x(t) автокорреляционную функцию и шумовую полосу. Рис. 7.3. RC-цепь Сначала найдем частотный коэффициент передачи (комплексную частотную характеристику): 1 1 α 1 jωC , где α = . K ( jω) = = = 1 RC α ω 1 ω RC j j + + R+ jωC 2 K (ω) = K ( jω) K ( jω) = * α2 . α2 + ω2 Затем найдем эквивалентную шумовую полосу RC-цепи: Δωш = 1 Kм2 ∞ ∫ 2 K (ω) d ω = ∞ ω∞ π = ⋅ =α . d ω α arctg ∫ α2 + ω2 α 0 2 α2 (7.11) (7.12) Теперь рассмотрим конкретные случаи. Пример 7.1. Воздействие белого шума на RC цепь. Пусть энергетический спектр белого шума на входе цепи равен F0, а его корреляционная функция: Rx ( τ) = πF0δ( τ) . Энергетический спектр шума на выходе RC-цепи: 2 F y (ω) = F0 ⋅ K (ω) = F0 ⋅ 115 α2 α2 + ω2 . (7.13) Корреляционную функцию шума на выходе RC-цепи можно найти по таблице: R y ( τ) = σ 2y e −α τ . (7.14) Дисперсия шума на выходе RC-цепи: σ 2y = F0 K м2 Δω ш = F0 πα 2 . (7.15) Полученные результаты используем для определения собственного шума RC-цепи. Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 7.4 а, т. е. резистор, зашунтированный конденсатором. Реальный шумящий резистор заменим идеальным нешумящим сопротивлением и последовательно с ним включенным источником шума Еш (рис. 7.4 б). а) б) R R С C y(t) y(t) Еш Рис. 7.4. К примеру 7.1: а — RC-цепь; б — эквивалентная схема RC-цепи Нетрудно видеть, что задача сводится к уже рассмотренной задаче о воздействии белого шума на RC-цепь. Найдем дисперсию шума на выходе цепи. 2 Шум резистора будем считать белым, его энергетический спектр равен kTR . π Подставляя это значение в формулу (7.15), получаем πα 2 π kT . (7.16) σ2y = F0 = kTR = 2 π 2 RC C Этот результат на первый взгляд кажется неожиданным и непонятным: как известно, конденсатор не шумит, а шумит резистор, а согласно формуле (7.16) дисперсия шума зависит только от емкости конденсатора и не зависит от сопротивления резистора. Чтобы разобраться в этом факте, рассмотрим спектры шума для двух значений сопротивления резистора: маленького и большого и одинаковой емкости конденсатора. Если сопротивление резистора R мало, то энергетический спектр шума на входе F0 имеет невысокое значение (рис. 7.5 а). Однако, из-за малости 1 сопротивления R ширина частотной характеристики RC-цепи α = получается RC большой. Соответственно, и спектр шума на выходе получается широким, а 116 величина дисперсии шума равна интегралу от спектра, т. е. площади заштрихованной области на рис. 7.5, а. а) F(ω) б) F(ω) F0 F0 /2 F0 F0 /2 α ω α ω Рис. 7.5. Энергетический спектр шума RC – цепи: а — при малой постоянной времени, б — при большой постоянной времени Если сопротивление резистора R велико, то энергетический спектр шума на входе F0 имеет большое значение, но спектр шума на выходе получается нешироким из-за небольшой ширины частотной характеристики цепи (рис. 7.5 б). В результате интеграл от энергетического спектра (дисперсия шума на выходе) получается таким же, как при малом значении R. Таким образом, от величины сопротивления R не зависит только дисперсия шума на выходе RC-цепи. Остальные характеристики шума — энергетический спектр и корреляционная функция существенно зависят от величины сопротивления. Пример 1. На последовательную RC-цепь (рис. 7.1) подается белый шум с энергетическим спектром F0 = 10–8 В2.с и математическим ожиданием, равным нулю. Найти дисперсию, энергетический спектр, корреляционную функцию и плотность вероятности шума на конденсаторе. Параметры цепи: R = 1 кОм, С = 10 нФ. Решение. R Сначала найдем энергетический спектр шума на выходе цепи с помощью спектрального C y(t) x(t) метода, как произведение энергетического спектра входного шума на квадрат модуля частотной характеристики цепи. Рис. 7.1. Частотная характеристика цепи определяется выражением 1 1 α jωC , K ( jω) = = = 1 1 ω α ω + j RC + j R+ jωC где α = 1 = 105 1/с. RC 117 (7.1) Квадрат модуля частотной характеристики равен 2 α2 * K (ω) = K ( jω) K ( jω) = α 2 + ω2 . (7.2) Энергетический спектр шума на конденсаторе RC-цепи: α2 2 Fy (ω) = F0 ⋅ K (ω) = F0 ⋅ . α 2 + ω2 (7.3) Подставляя значения параметров цепи, получим: Fy (ω) = 100 10 10 +ω 2 В2.с. Так как на входе RC-цепи действует белый шум, то дисперсию шума на конденсаторе можно найти по формуле σ 2y = F0 K м2 Δωш , (7.4) где KМ = 1 – максимальное значение модуля частотной характеристики, Δωш – шумовая полоса цепи. Шумовая полоса цепи определяется формулой Δωш = 1 ∞ ∫ K (ω) K м2 0 2 dω = ∞ ∫ α2 2 2 0α +ω dω = πα . 2 (7.5) Эту формулу можно также получить, воспользовавшись таблицей соответствия корреляционных функций и энергетических спектров. Для заданных параметров цепи Δωш = 1,57 ⋅ 105 1/с и дисперсия σ 2y = 1,57 ⋅10 −3 В2. Корреляционную функцию на выходе RC-цепи можно найти по теореме Винера-Хинчина. Воспользовавшись таблицей соответствия корреляционных функций и энергетических спектров, получим : R y ( τ) = σ 2y e −α τ = 1,57 ⋅ 10 −3 e −105 τ В2. Плотность вероятности шума на выходе любой линейной цепи, если на вход подается белый шум, является нормальной. ( )  y−m 2  1 y  p( y) = exp − . 2   2p ⋅ σ y 2 σ y   118 (7.6) Математическое ожидание на выходе линейной цепи определяется по формуле my = mx. |K(ω)| = 0. Тогда окончательно  y2  1  , где σ 2 = 1,57 ⋅10 −3 В2. exp − y 2   2p ⋅ σ y 2 σ y  Пример 2. На последовательную RC-цепь подается стационарный шум с дисперсией 4 2 В и равномерным энергетическим спектром в полосе частот от 0 до 5 МГц. Параметры цепи: R = 10 кОм, С = 10 нФ. Определите дисперсию, корреляционную функцию и энергетический спектр шума на конденсаторе. Решение. Шумовая полоса RC-цепи равна (см. формулу (7.5)) p( y ) = Δωш = π π πα = = ⋅ 105 1/с. 2 2 RC 2 Эффективная ширина энергетического спектра шума на входе Δω x = 2π ⋅ 5 ⋅ 106 = π ⋅ 107 1/с. Как видно из расчетов, ширина энергетического спектра шума на входе RCцепи в 200 раз превосходит шумовую полосу цепи, поэтому входной шум можно приближенно считать белым. Найдем его энергетический спектр: F0 = σ2 = 4 ⋅ 10 − 7 В2.с. Δω x π Дисперсию шума на выходе цепи можно приближенно найти по формуле (7.4) σ 2y = F0 K м2 Δωш = 4 π 10 − 7 π 5 10 = 0,02 В2. 2 Энергетический спектр на выходе цепи в приближении белого шума равен Fy (ω) = F0 ⋅ α2 2 α +ω 2 = 4 π ⋅10 − 7 1010 10 10 +ω 2 = 4 ⋅ 103 π 10 + ω 10 2 В2.с. Корреляционная функция шумового напряжения на конденсаторе R y ( τ) = σ 2y e −α τ = 0,02 e −105 τ В2. 119 7.4. Анализ воздействия случайных процессов на линейные избирательные цепи Рассмотрим воздействие произвольного широкополосного случайного процесса на произвольную избирательную цепь (колебательный контур, резонансный усилитель, систему колебательных контуров). Энергетический спектр входного шума Fx(ω) представлен на рис. 7.6 a. Там же изображена частотная характеристика избирательной цепи. Запишем выражение для энергетического спектра шума на выходе цепи: F y (ω) = Fx (ω) ⋅ K (ω) 2 . При обычных значениях добротности полоса пропускания избирательной цепи в 30-100 раз меньше резонансной частоты ω0. Это позволяет считать спектр входного шума постоянным в пределах резонансной кривой избирательной цепи и равным Fx(ω0). Тогда для энергетического спектра шума на выходе можно записать F y (ω) = Fx (ω0 ) ⋅ K (ω) 2 . Найдем корреляционную функцию шума на выходе избирательной цепи: ∞ Ry ( τ) = ∫ F y (ω) cos(ωτ) d ω. а) Fx(ω) Fx(ω 0) |K(ω)|2 б) ω0 ω ω0 ω Fy(ω) Рис. 7.6. Прохождение широкополосного шума через избирательную цепь Введем новую переменную Ω = ω − ω0 и преобразуем выражение для корреляционной функции: 120 ∞ Ry ( τ) = ∫ F y (ω0 + Ω) cos[(ω0 + Ω)τ]⋅ d ω = − ω0 = ∞ ∞ − ω0 − ω0 ∫ F y (ω0 + Ω) cos(ω0 τ) ⋅ cos(Ωτ) ⋅ d ω − ∫ F y (ω0 + Ω) sin(ω0 τ) ⋅ sin(Ωτ) ⋅ d ω = = a ( τ) cos(ω0 τ) − b( τ) sin(ω0 τ) , где a ( τ) = ∞ ∫ F y (ω0 + Ω) ⋅ cos(Ωτ) ⋅ d ω, b( τ ) = − ω0 (7.17) ∞ ∫ F y (ω0 + Ω) ⋅ sin(Ωτ) ⋅ d ω. − ω0 Учитывая, что для частот меньше −ω0 подынтегральные функции практически равны нулю, можно заменить нижний предел на −∞ : a ( τ) = b(ττ = ∞ ∫ F y (ω0 + Ω) ⋅ cos(Ωτ) ⋅ d ω, (7.18) ∫ F y (ω0 + Ω) ⋅ sin(Ωτ) ⋅ d ω. (7.19) −∞ ∞ −∞ Если частотная характеристика избирательной цепи симметрична относительно частоты ω0, и Fy(ω0 + Ω) – четная функция, то b(τ) = 0 и корреляционная функция случайного процесса на выходе избирательной цепи может быть записана в следующем виде: Ry ( τ) = a ( τ) cos(ω0 τ) = σ2yρ( τ) cos(ω0 τ) , (7.20) 2 где σ y ρ( τ) – огибающая корреляционной функции, ρ( τ) – нормированная огибающая корреляционной функции. Характерный вид корреляционной функции случайного процесса на выходе избирательной цепи представлен на рис. 7.7. Ry(τ) σ2 σ 2ρ (τ) τ Рис. 7.7. Корреляционная функция шума на выходе избирательной цепи 121 Пример 1. Воздействие белого шума на одноконтурный резонансный усилитель Частотная характеристика одноконтурного резонансного усилителя имеет следующий вид: K0 K0 ω K (ω) = = α= 0 . ω-ω 0 , где 1 + jξ 1+ j 2Q α Энергетический спектр на выходе усилителя будет иметь вид: K 02 W y (ω) = F0 = F0 K 02 α 2 α 2 + (ω − ω 0 )2  ω − ω0  1+    α  Корреляционную функцию шума на выходе можно найти по таблице: 2 Ry ( τ) = παK02 F0 e −α τ cos(ω0 τ) . (7.21) График корреляционной функции (7.21) изображен на рис. 7.8. Дисперсию шума на выходе Ry(τ) резонансного усилителя определим как значение корреляционной функции при τ = 0: σ2y = παK02 F0 . (7.22) σ2 τ Рис. 7.8. Корреляционная функция шума на выходе одноконтурного резонансного усилителя Сравнивая это выражение с (7.10), одноконтурного резонансного усилителя: Δωш = πα . найдем шумовую полосу (7.23) Пример 2. Собственный шум колебательного контура Источником шума в колебательном контуре является активное сопротивление катушки индуктивности. Для нахождения характеристик собственного шума изобразим схему замещения колебательного контура с источником шумовой ЭДС (рис. 7.9). 122 Как известно, коэффициент передачи последовательного контура при резонансе равен добротности контура Q. Подставляя это значение и значение F0, вычисленное по формуле Найквиста, в (7.10), получаем выражение для дисперсии собственного шума колебательного контура L ωp kT 2 . (7.24) = σ2y = kTrQ 2 πα = 2kTrQ 2 C π 2Q C y(t) r Корреляционная функция собственного шума колебательного контура: Еш Ry ( τ) = σ2y e −α τ cos(ωp τ) . (7.25) Рассчитаем в качестве примера значение эффективного напряжения собственного шума колебательного контура при емкости конденсатора контура 100 пФ и температуре окружающей среды 200С или 293 К. Подставляя Рис. 7.9. Схема замещения колебательного контура эти значения в (7.24), получаем σy = 2 1,38 ⋅ 10 − 23 ⋅ 293 −10 = 4,04 ⋅ 10 −11 В2 , а 10 эффективное напряжение шума равно корню из дисперсии или 6,36 мкВ. Пример 3. На вход одноконтурного резонансного усилителя (рис. 7.6) подается белый шум с энергетическим спектром F0 = 10–12 В2.с. Параметры усилителя: резонансная частота fр = 1 МГц, полоса пропускания 2∆f0,707 = 20 кГц, коэффициент усиления на резонансной частоте – 20. Определить эффективное напряжение, энергетический спектр и корреляционную функцию шума на выходе усилителя. Решение. • Частотный коэффициент передачи • одноконтурного резонансного усилителя определяется L,r C формулой • • Еб Eк • Рис. 7.6. K (ω) = Kр 1 + jξ = 1+ j Kр 2Q(ω-ω р ) (7.6) ωр где ωр = 2πf р , Kр = 20 – коэффициент усиления на резонансной частоте, Q= fр 2∆f 0,707 = 106 20 ⋅ 103 = 50 – добротность контура. Квадрат модуля частотного коэффициента передачи равен 123 2 K (ω) = ωр K 2р ⋅ α 2 α 2 + (ω − ω р )2 , (7.7) 2πf р 2π 106 = = ≈ 6,283 ⋅ 10 4 1/с. где параметр α = 2Q 2Q 2 ⋅ 50 Так как на входе линейной цепи действует белый шум, то дисперсию шума на выходе можно найти по формуле σ 2y = F0 K 2р Δωш , (7.8) где Δωш = πα = π ⋅ 6,283 ⋅ 10 4 ≈ 1,974 ⋅105 (1/с)– шумовая полоса усилителя (по таблице соответствия корреляционных функций и энергетических спектров). Подставляя заданные параметры, получим σ 2y = 10 −12 ⋅ 400 ⋅1,974 ⋅105 = 78,96 ⋅10 − 6 В2. Эффективное напряжение шума на выходе усилителя равно U эфф = σ y = 78,8 ⋅ 10 − 6 ≈ 8,886 мВ. Энергетический спектр шума на выходе усилителя найдем с помощью спектрального метода, как произведение энергетического спектра входного шума на квадрат модуля частотной характеристики цепи: 2 Fy (ω) = F0 ⋅ K (ω) . (7.9) Подставляя значения параметров цепи, получим: Fy (ω) = F0 ⋅ K 2р ⋅ α 2 α 2 + (ω − ω р )2 1,579 = ( 3,948 ⋅ 109 + ω − 6,283 ⋅ 106 )2 В2.с. Корреляционную функцию на выходе усилителя можно найти по теореме Винера-Хинчина. Воспользовавшись таблицей соответствия корреляционных функций и энергетических спектров, получим: R y ( τ) = σ 2y e −α τ ⋅ cos(ω0 ⋅ τ ) = 78,96 ⋅ 10 − 6 e − 6,283⋅10 4 τ ⋅ cos(2π ⋅ 106 ⋅ τ ) В2. Графики энергетического спектра и корреляционной функции шума на выходе усилителя представлены на рис. 7.7 и рис. 7.8. 124 Fy (f ), В2.с 4 .10 10 2 .10 10 9.8 .105 9.9 .105 1 .106 1.01 .106 f, Гц 1.02 .106 Рис. 7.7. Ry ( τ ), В 2 1 .10 4 5 .10 5 5 .10 5 1 .10 4 2 .10 5 1 .10 5 Рис. 7.8. τ, с 1 .10 5 2 .10 5 Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Как изменяется энергетический спектр случайного процесса при его прохождении через линейную систему? Как найти корреляционную функцию случайного процесса на выходе линейной цепи? Что такое шумовая полоса цепи? Как рассчитать дисперсию случайного процесса на выходе линейной цепи при действии на его вход белого шума? Как изменяется плотность вероятности случайного процесса при прохождении через линейную систему? Каков характерный вид корреляционной функции случайного процесса на выходе линейной избирательной цепи? Как найти характеристики собственного шума RC-цепи и колебательного контура? 125 8. Оптимальная линейная фильтрация 8.1. Оптимальный фильтр, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму Обычно сигнал на вход приемника поступает вместе с шумом и помехами, и надо отфильтровать его таким образом, чтобы максимально подавить шум и помехи, а сигнал при этом выделить и усилить. В зависимости от того, какой параметр сигнала имеет для нас наибольшее значение, различают различные виды оптимальных фильтров. Рассмотрим два способа фильтрации. Первый обеспечивает максимально возможное отношение сигнала к шуму на выходе фильтра для сигнала известной формы; второй способ — минимум среднеквадратической погрешности сигнала. Пусть на вход фильтра с неизвестной пока частотной характеристикой K(ω) подается сигнал известной формы s(t) и белый шум с энергетическим спектром F0 (рис. 8.1). Поскольку фильтр линейный, сигнал и шум проходят через него s(t) + n(t) sвых(t) + n вых(t) независимо друг от друга. Найдем сигнал и K(ω) шум на выходе фильтра. Обозначим спектр входного сигнала Рис. 8.1. К постановке задачи об через S (ω) . Тогда сигнал на выходе фильтра оптимальной фильтрации можно записать в виде следующего выражения: ∞ 1 sвых (t ) = S (ω) K (ω) e jωt d ω. ∫ 2π − ∞ (8.1) Дисперсия шума на выходе: 2 σвых ∞ = ∫ F0 K (ω) d ω = 2 F0 2 ∞ ∫ K (ω) 2 d ω. (8.2) −∞ Будем добиваться, чтобы в определенный момент времени t0 отношение величины сигнала к шуму было максимальным. Запишем отношение максимального значения сигнала к эффективному напряжению шума на выходе фильтра: ∞ q= sвых (t0 ) σвых = 1 S (ω) K (ω) e jωt d ω ∫ 2π − ∞ F  0  2  ∞ ∫ 1 2 . (8.3) K (ω) d ω 2   В математике известно неравенство Коши-Буняковского, которое для двух комплексных функций f1(x) и f2(x) может быть записано в следующем виде: ∞ ∗  −∞ ∞ ∫ f1 ( x) f 2 ( x) d x ≤  ∫ −∞  −∞ 126 f12 ( x) d x ∞ 1 2 ∫ f 2 ( x) d x  −∞ 2  , (8.4) причем равенство получается только в том случае, когда функции f1(x) и f2(x) равны друг другу с точностью до постоянного коэффициента k: f1(x) = k f2(x). Примем f1 ( x) ⇒ K (ω) , f2* ( x) ⇒ S (ω) e jωt0 , f2 ( x) ⇒ S* (ω) e − jωt0 Подставляя эти выражения в (8.3) и используя неравенство КошиБуняковского, получаем ∞ 1 q≤ 2π F0 ∞ 1 2   K (ω) 2 d ω S (ω) 2 d ω ∫   ∫ − ∞ − ∞  .  1 2 ∞  K (ω) 2 d ω   ∫   −∞ Проводя сокращение, после некоторых преобразований получаем 2 Wc , πF0 q≤ (8.5) ∞ 1  (ω) 2 d ω — энергия сигнала. S где Wc = 2 π −∫∞ Наибольшее отношение сигнала к шуму, определяемое формулой (8.5), получается при выполнении условия (8.6) K (ω) = k ⋅ S ∗ (ω) e − jωt0 . Формула (8.6) определяет требования к частотной характеристике оптимального фильтра, обеспечивающего максимально возможное отношение сигнала к шуму на выходе. Найдем импульсную характеристику оптимального фильтра как обратное преобразование Фурье от частотной характеристики: ∞ ∞ k 1 h(t ) = k ⋅ S ∗ (ω) e − jωt0 e jωt d ω = S ∗ (ω) e jω(t −t0 ) d ω = k ⋅ s (t0 − t ) . ∫ ∫ 2π − ∞ 2π − ∞ (8.7) Импульсная характеристика фильтра повторяет по форме входной сигнал, обращенный во времени и сдвинутый вправо на t0 (рис.8.2). Такую импульсную характеристику называют согласованной с формой сигнала, а такой оптимальный фильтр – согласованным фильтром. Чтобы согласованный фильтр был физически реализуемым, нужно, чтобы его импульсная характеристика была тождественно равна нулю при отрицательных значениях t. Для этого время запаздывания t0 должно быть не меньше, чем длительность сигнала. 127 а) б) s(t) t0 h(t) t t0 t Рис. 8.2. Импульсная характеристика согласованного фильтра: а — сигнал на входе согласованного фильтра, б — импульсная характеристика согласованного фильтра Анализируя выражение для частотной характеристики (8.6), можно дать физическое объяснение работы согласованного фильтра. Модуль частотной характеристики согласованного фильтра повторяет модуль спектра входного сигнала. На тех частотах, где сигнал сильнее шума, коэффициент передачи фильтра делается большим, чтобы усилить сигнал; там, где шум сильнее сигнала, коэффициент передачи — небольшой, а на тех частотах, где спектральная плотность сигнала равна нулю, коэффициент передачи фильтра должен быть равен нулю, чтобы полностью подавить шум. Теперь о том, что означает комплексная сопряженность спектра в формуле (8.6). Спектральная плотность сигнала может быть записана в виде S (ω) = S (ω) e jϕ(ω) , т. е. каждая спектральная составляющая имеет фазу ϕ(ω). Частотная характеристика согласованного фильтра пропорциональна комплексно сопряженному спектру сигнала S* (ω) = S (ω) e − jϕ(ω) , таким образом, при прохождении через согласованный фильтр каждая составляющая приобретает дополнительную фазу –ϕ(ω). В результате суммарная фаза каждой составляющей становится равной нулю. Это означает, что в определенный момент времени все составляющие спектра складываются в фазе, давая в сумме максимально возможное значение сигнала. А множитель e − jωt0 вводится для того, чтобы это сложение всех составляющих в фазе произошло после окончания сигнала, чтобы все составляющие сигнала участвовали в формировании максимума. Форма сигнала при прохождении через согласованный фильтр изменяется. Найдем выражение для сигнала на выходе фильтра как свертку входного сигнала и импульсной характеристики: sвых (t ) = ∞ ∫ −∞ ∞ s (t − τ)h( τ) d τ = k ⋅ ∫ s (t − τ) s (t0 − τ) d τ = k ⋅ ψ(t − t0 ) , (8.8) −∞ где ψ(t) – автокорреляционная функция входного сигнала. Нетрудно видеть, что максимум автокорреляционной функции получается в момент t0, когда все спектральные составляющие складываются в фазе. 128 Пример 8.1. Согласованный фильтр для прямоугольного импульса Рассмотрим в качестве примера согласованный фильтр для прямоугольного импульса длительностью Т (см. рис. 8.3 а). Положим t0 = T. При этом импульсная а) s(t) б) h(t) E kE t T в) T sвых(t) t Рис. 8.3. Согласованная фильтрация прямоугольного импульса: а б — импульсная характеристика согласованного фильтра, в — выходной сигнал T — прямоугольный 2T импульс, характеристика согласованного фильтра (рис. 8.3 б) полностью совпадает с видом сигнала. Напомним, что импульсная характеристика – это сигнал на выходе фильтра, получающийся при действии δ-функции на входе. Фильтр с такой импульсной δ(t) h(t) σ(t) характеристикой может быть реализован ∫ в виде схемы, изображенной на рис. 8.4. t0 σ(t-t0) При действии δ-функции на вход ЛЗ интегратор превращает ее в функцию Рис.8.4. Структурная схема согласованного фильтра скачка. Линия задержки задерживает для прямоугольного импульса скачок на t0. В вычитающем устройстве из первого скачка вычитается второй, сдвинутый во времени, в результате чего на выходе получается прямоугольный импульс. Временные диаграммы на рис. 8.5. поясняют формирование импульсной характеристики фильтра. – δ(t) σ(t) t t σ(t – t0) t0 t0 t h(t) = σ(t) – σ(t – t0) t Рис. 8.5. Формирование импульсной характеристики согласованного фильтра 129 t Пример 8.2. Полезный сигнал представляет собой прямоугольный видеоимпульс с амплитудой U0 и длительностью Ти. Найти максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе линейного фильтра при обнаружении этого сигнала на фоне белого шума со спектральной плотностью мощности F0. Решение. Максимально возможное отношение сигнал/шум при обнаружении сигнала на фоне белого шума получается на выходе оптимального фильтра. Это отношение рассчитывается по следующей формуле: Es Es qmax = = , (8.1) W0 πF0 где Es – энергия сигнала, которая определяется формулой: Es = ∞ ∫s 2 (t )dt . (8.2) −∞ Для прямоугольного видеоимпульса энергия сигнала равна: Tи Es = ∫ U 02 dt = U 02 ⋅ Tи . Подставляя полученный результат в формулу для максимально возможного отношения сигнал/шум, получим: U 02 ⋅ Tи qmax = . (8.3) πF0 Как видно из полученной формулы отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра можно увеличить как за счет увеличения амплитуды сигнала, так и за счет увеличения его длительности. Пример 8.3. Полезный сигнал представляет собой прямоугольный видеоимпульс с амплитудой U0 и длительностью Ти = 10 мкс. Белый шум на входе оптимального фильтра характеризуется спектральной плотностью мощности F0 = 10–12 В2.с/рад. Найти минимальное значение U0, при котором возможно обнаружение этого сигнала, если факт присутствия сигнала можно надежно индицировать при отношении сигнал/шум qmax≥3. Решение. Отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра при обнаружении прямоугольного видеоимпульса на фоне белого шума рассчитывается по формуле (см. предыдущую задачу 8.1): U 02 ⋅ Tи . qmax = πF0 Выразим из этой формулы амплитуду сигнала: 130 2 qmax ⋅ πF0 9 ⋅ π 10 −12 U0 = = ≈ 1,68 ⋅ 10 −3 В . − 6 Tи 10 ⋅ 10 Таким образом, минимальное значение U0, при котором возможно обнаружение заданного сигнала, составляет примерно 1,68 мВ. 8.2. Квазиоптимальные фильтры Согласованные фильтры, как правило, оказываются достаточно сложными в реализации. И поэтому перед разработчиками аппаратуры возникает естественный вопрос: нельзя ли вместо сложного согласованного фильтра применить какое-то более простое устройство и подобрать его параметры так, чтобы получить отношение сигнал/шум ненамного хуже того, которое обеспечивает согласованный фильтр. Фильтры такого типа называются квазиоптимальными. Пример 1. Рассмотрим задачу о воздействии суммы гармонического сигнала и белого шума на RC-цепь (рис. 8.6). Подберем параметры фильтра таким образом, чтобы обеспечить максимальное отношение сигнал/шум на выходе. Так как цепь линейная, можно рассматривать прохождение гармонического сигнала и шума по отдельности. R C Частотный коэффициент передачи цепи определяется выражением: Рис.8.6. RC-цепь 1 1 𝐾𝐾̇ (𝜔𝜔) = , где α = . 1+𝑗𝑗𝑗𝑗/𝛼𝛼 RC Амплитуда сигнала на выходе RC-цепи равна: Авх . Авых = Авх ∙ |𝐾𝐾(𝜔𝜔)| = 2 𝜔𝜔 �1 + � 0 � 𝛼𝛼 πα Дисперсия шума на выходе RC-цепи равна F0 . Рассчитаем величину 2 отношения сигнала к шуму на выходе: 𝑞𝑞 = Авых = 𝜎𝜎вых Авх = Авх √2 𝛼𝛼 . � 2 2 �𝐹𝐹0 𝜋𝜋 𝛼𝛼 + 𝜔𝜔0 2 �1 + �𝜔𝜔0 � ∙ �𝐹𝐹0 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝛼𝛼 2 . Отношение сигнал/шум принимает максимальное значение, когда функция 𝛼𝛼 𝑓𝑓(𝛼𝛼) = 2 2 имеет максимум. 𝛼𝛼 +𝜔𝜔0 График функции f (αT ) представлен на рис. 8.8. 131 f(α) max α αопт Рис. 8.8. Зависимость отношения сигнал/шум на выходе RC-цепи от α Чтобы найти максимум функции, приравняем нулю производную функции по α: ′ 𝛼𝛼 𝛼𝛼 2 + 𝜔𝜔0 2 − 2𝛼𝛼 2 =0 � 2 � = (𝛼𝛼 2 + 𝜔𝜔0 2 )2 𝛼𝛼 + 𝜔𝜔0 2 . Отсюда 𝛼𝛼опт = 𝜔𝜔0 . Т.е. если частота сигнала совпадает с границей полосы пропускания RC-цепи (с частотой среза ФНЧ), отношение сигнал/шум получается наибольшим. Пример 2. Рассмотрим задачу о фильтрации прямоугольного импульса на фоне белого шума. В качестве простейшего фильтра выберем RC-цепь (рис. 8.6), параметры которой подберем таким образом, чтобы обеспечить максимальное отношение сигнал/шум на выходе. При действии прямоугольного импульса на R C RC-цепь на выходе получается сигнал (рис. 8.7), максимальное значение которого равно Рис.8.6. RC-цепь E (1 − e − αT ) , где Е – амплитуда импульса, Т – его длительность, α = 1 RC . uC(t) E Т t Рис. 8.7. Вид сигнала на выходе RC-цепи Дисперсия шума на выходе RC-цепи равна F0 отношения сигнала к шуму на выходе: q= ( E 1 − e − αT F0 132 πα 2 ). πα . Рассчитаем величину 2 виду: Домножим числитель и знаменатель на q= T и преобразуем это выражение к Wc 1 − e − αT , πF0 αT (8.9) 2 где Wc – энергия сигнала, которая в нашем случае равна Е2Т. Выражение (8.9) для отношения сигнал/шум на выходе RС-цепи отличается от получающегося на выходе согласованного фильтра (8.5) множителем 1 − e − αT f (αT ) = . αT 2 График функции f (αT ) представлен на рис. 8.8. Эта функция имеет максимальное значение, равное 0,9 при αТ = 1,256. Отсюда легко найти значение постоянной времени RC-цепи, при котором получается максимальное отношение сигнала к шуму. Но наиболее интересный результат состоит в том, что это отношение лишь на 10% хуже того, которое обеспечивает сложный согласованный фильтр. Отсюда следует вывод, что использование согласованных фильтров для обработки таких простых сигналов, как прямоугольный импульс, вряд ли целесообразно. q 1 0,5 1 2 3 4 5 6 αТ Рис. 8.8. Зависимость отношения сигнал/шум на выходе RC-цепи от αТ Однако это не означает, что применение согласованных фильтров нецелесообразно и для других сигналов. Существует широкий класс так называемых «сложных» сигналов, для которых согласованные фильтры дают выигрыш в сотни и даже тысячи раз по сравнению с простыми фильтрами. К таким сигналам относятся импульсы с линейной частотной модуляцией, фазоманипулированные сигналы и другие сигналы имеющие одновременно большую длительность при большой ширине спектра. 133 8.3. Оптимальный фильтр, обеспечивающий минимум среднеквадратической погрешности сигнала Очень часто, например, в радиовещании, телевидении, форма сигнала заранее не известна, а принятый сигнал должен как можно меньше отличаться от передаваемого. В этом случае применяется другой тип оптимальных фильтров – тип, обеспечивающий минимум среднеквадратической погрешности сигнала. Пусть на вход фильтра подается полезный сигнал x(t) и помеха n(t). Сигнал на выходе фильтра обозначим y(t). Отличие выходного сигнала y(t) от входного x(t), т. е. погрешность в передаче сигнала, обозначим через ξ(t): ξ(t) = y(t) – x(t). (8.10) Формирование разностного сигнала можно представить с помощью следующего воображаемого устройства (рис. 8.9). x(t) ξ(t) n(t) K(jω) y(t) Рис. 8.9. Структурная схема формирования сигнала погрешности Поскольку сигнал и помеха на входе фильтра некоррелированы, энергетический спектр результирующего сигнала на выходе устройства, т. е. энергетический спектр погрешности можно записать как сумму энергетических спектров сигнала и помехи на выходе: Sξ(ω) = Sx(ω) | 1 – K(jω) |2 + Sn(ω) | K(jω) |2 . (8.11) Мы должны добиваться минимума энергетического спектра погрешности на всех частотах. Запишем частотную характеристику оптимального фильтра в виде (8.12) K ( jω) = K ( jω) exp[ jβ(ω)] и распишем выражение | 1 – K(jω) |2 в формуле (8.11): | 1 − K ( jω) |2 = (1− | K ( jω) | exp[ jβ(ω)])(1− | K ( jω) | exp[− jβ(ω)]) = (8.13) = 1 − 2 | K ( jω) | cos(β(ω) )+ | K ( jω) | . Очевидно, что величина энергетического спектра (8.11) минимальна, когда минимальна величина | 1 – K(jω) |2 (8.13), а это происходит при β(ω) = 0. Следовательно, оптимальный фильтр должен вносить нулевой фазовый сдвиг на всех частотах. При этом коэффициент передачи оптимального фильтра – величина вещественная: K(jω) = K(ω). С учетом этого выражение (8.11) упрощается: 2 134 Sξ(ω) = Sx(ω) [ 1 – K(ω) ]2 + Sn(ω) K(ω)2. (8.14) Для получения минимума погрешности передачи сигнала величина Sξ(ω) должна принимать минимальное значение при любых значениях частоты. Для нахождения оптимальных значений K(ω), удовлетворяющих этому требованию, обозначим K(ω) = z и найдем экстремум функции (8.14), продифференцировав ее по z и приравняв производную нулю: d Sx (ω)(1 − z) 2 + Sn (ω) z2 = 2Sx (ω)(1 − z) + 2 zSn (ω) = 0, dz Sx (ω) z = K (ω) = . (8.15) Sx (ω) + Sn (ω) Выражение (8.15) определяет частотную характеристику оптимального фильтра, обеспечивающего минимум среднеквадратической погрешности передачи сигнала. Поясним принцип действия фильтра с помощью следующего примера. Пусть спектры сигнала и помехи частично перекрываются (рис. 8.10 а). Тогда в соответствии с формулой (8.15) коэффициент передачи фильтра должен быть максимален и равен единице на тех частотах, где Sn(ω) = 0, равен ½ там, где Sx(ω) = Sn(ω), и стремиться к нулю там, где Sn(ω) >> Sx(ω) (рис. 8.10 б). При этом будет достигаться одновременно максимальное подавление помехи при минимальных искажениях формы сигнала. [ ] а) Sx(ω) Sn(ω) ω б) K(ω) 1 0.5 ω Рис. 8.10. Характеристика фильтра, обеспечивающего минимум среднеквадратической погрешности передачи сигнала 135 Контрольные вопросы 1. Что такое оптимальный линейный фильтр? 2. Каково максимально возможное отношение сигнала к шуму на выходе фильтра при действии на его вход белого шума и сигнала известной формы? 3. Что такое согласованный фильтр? Каковы его частотная и импульсная характеристики? Объясните физику работы согласованного фильтра. 4. Что представляет собой сигнал на выходе согласованного фильтра? Отличается ли его форма от формы сигнала на входе фильтра? 5. Для чего вводится запаздывание t0 при реализации согласованного фильтра? Можно ли реализовать согласованный фильтр без запаздывания? 6. Что такое квазиоптимальный фильтр? В каких случаях целесообразно применять квазиоптимальный фильтр вместо оптимального? 7. Какова должна быть частотная характеристика фильтра, обеспечивающего минимум среднеквадратической погрешности сигнала на выходе? 136 Литература Штыков В.В. Введение в радиоэлектронику. – Юрайт, 2017. Баскаков С.И. .Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2000. Карташев В.Г., Жихарева Г.В. Основы теории сигналов М.: МЭИ, 2002. Крамм М.Н. Преобразование и фильтрация радиосигналов в электронных цепях. – М.: МЭИ, 1990. 5. В.Г.Карташев, Е.В.Шалимова. Основы теории случайных процессов — М.: Издательство МЭИ, 2005. 6. Баскаков С.И. Лекции по теории цепей. – М.: Либорком, 2013. 1. 2. 3. 4. 137 Приложение 1. Таблица соответствия корреляционных функций и энергетических спектров ∞ R(τ ) = ∫ F (ω ) cos(ωτ )dω F (ω ) = ∞ 2 ∫ R(τ ) cos(ωτ )dτ π π F0δ (τ) 2 4 π ατ 2 −α τ s e 4 π ατ 3πα 16 ) 3 ⋅ π ⋅α 2 α ασ π α + (ω − ω 0 ) 2 πα ⋅ 2 ασ 2ω 2π 4α ω 2 2 + (ω 2 − ω 2π ) 2 ωπ =α 2 ⋅ ( 2 ; α 3σ 2 ) 2  (ω − ω 0 ) 2  σ2  exp − 2   2p α 2 α   σ 2 /(2α ),   0, 138 πα + ω 02 π α 2 + (ω − ω ) 2  α 2τ 2   ⋅ cos(ω 0τ )  2   ⋅ cos(ω 0τ ) 4 2 2 ⋅ (1 + α τ ) ⋅ cos(ω 0τ ) sin(ατ ) ) 2 1 ⋅ cos(ω 0τ ) s 2 exp − s2 +ω πα 2 2 σ 2 δ (ω − ω 0) σ 2 cos(ω 0τ) s e πα 2  ω2  2 σ2 ⋅ exp − 2   2α  p α   2 σ / α , ω ≤ α   0, ω >α σin(ατ )   α ⋅  cos(ω 0τ ) + sin(ω 0τ )  ω0   2 (  α 2τ 2    2   2 −α τ (α α 3σ 2 16 α σ ⋅ 3π α 2 + ω 2 σ 2 exp − −α τ ⋅ 5 1   σ 2 exp(−α τ ) ⋅ 1 + α τ + α 2τ 2  3   s 2e ασ ⋅ 2 π α2 +ω2 σ 2 exp(−α τ ) ⋅ (1 + α τ ) σ2 ∞ F0 σ 2 exp(−α τ ) ∆ω (ω 0 − α ) ≤ ω ≤ (ω 0 + α ) вне интервала πα 2 2π α 2α