Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Начнём приблизительно в 11:25-11:30.
.
1
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Алгоритм является оптимальным, если не существует алгоритма, работающего
быстрее.
Пример, сортировка списка из трёх чисел.
1, 2, 4
2, 4, 1
1<2 да
.1<4 да
2<4 да
2<4 да
2<1 нет
4, 2, 1
4, 2, 1
3 шага
2 шага
𝑥1 ≤ 𝑥2
𝑥1 ≤ 𝑥3
𝑥1 ≤ 𝑥3
𝑥2 ≤ 𝑥3
𝑥3 , 𝑥1 , 𝑥2
𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥3
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3
𝑥1 , 𝑥3 , 𝑥2
𝑥2 ≤ 𝑥3
𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥1
𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1
2
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
N чисел → N! Перестановок (классов входных данных)
Каждый уровень отличается от предыдущего в 2 раза
Число узлов на уровне M равно 2М−1
Число уровней находим из
𝑁! ≤ 2𝑀−1
log 2 (𝑁!) ≤ 𝑀 − 1 тогда log 2 (𝑁!) + 1 ≤ 𝑀
log 2 𝑁! = log 2 𝑁 ∙ 𝑁 − 1 ∙ ⋯ ∙ 1 =
2
= log 2 𝑁 + log 2 𝑁 − 1 + ⋯ + log 2 1 ≈ 𝑁log 2 𝑁
M= 𝑁log 2 𝑁+1=5,7≈5
𝟑
𝟏
𝟒
.
4
𝟐
3
N!=3!=1*2*3=6
1
5
𝟓
𝟔
3
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Рекуррентные соотношения
Формы записи:
4,
𝑇 𝑛 =
4𝑇
если 𝑛 ≤ 4
𝑛
− 1, если 𝑛 > 4
2
или
𝑛
𝑇 𝑛 = 4𝑇
−1
2
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
4
3
2
1
=4
=4
=4
=4
4
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Рекуррентные соотношения
𝑇 𝑛 = 4𝑇
𝑛
2
𝑛
𝑇
4
𝑛
𝑇
8
𝑛
𝑇
16
𝑇
𝑛
2
− 1;
𝑇 4 = 4;
𝑛
−1
4
𝑛
= 4𝑇
−1
8
𝑛
= 4𝑇
−1
16
𝑛
= 4𝑇
−1
32
= 4𝑇
𝑇 3 =4;
𝑇 2 =4; 𝑇 1 =4
𝑛
𝑛
𝑛
− 1 = 4 4𝑇
− 1 − 1 = 16𝑇
−5=
2
4
4
𝑛
𝑛
= 16 4𝑇
− 1 − 5 = 64𝑇
− 13 = ⋯ =
8
8
𝑇 𝑛 = 4𝑇
𝑇 𝑛 = 4𝑚−1 ∙ 4𝑇
𝑛
−(
2
4𝑚−3 )
5
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Рекуррентные соотношения
𝑇 𝑛 = 4𝑇
𝑛
2
𝑇 𝑛 = 4𝑚−1 ∙ 4𝑇
n=8: 𝑇 8 = 4𝑇
n/2=4→n=8
𝑇 4 = 4;
− 1;
8
2
𝑛
2𝑚
𝑇 3 =4;
𝑇 2 =4; 𝑇 1 =4
− ( 4𝑚−3 )
− 1 = 4𝑇 4 − 1 = 4 ∗ 4 − 1 = 15
9
n=9: 𝑇 9 = 4𝑇
− 1 = 4𝑇 4,5 − 1 = 4 ∗ 4 ∗ 4 − 1 − 1 = 43 − 41 − 1
2
16
n=16: 𝑇 16 = 4𝑇
− 1 = 4𝑇 8 − 1 = 4 ∗ 4 ∗ 4 − 1 − 1 = 43 − 41 − 1
2
17
n=17: 𝑇 17 = 4𝑇
− 1 = 4𝑇 8,5 − 1 = 4 ∗ 4 ∗ 𝑇 4,25 − 1 − 1
2
= 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 − 1 − 1 − 1 = 44 − 42 − 41 − 1
6
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Рекуррентные соотношения
𝑇 𝑛 = 4𝑇
𝑛
2
𝑇 𝑛 = 4𝑚−1 ∙ 4𝑇
𝑇 4 =𝑇
𝑇 4 = 4;
− 1;
𝑛
2𝑚
𝑛
2log2(𝑛−3)
𝑇 𝑛 = 4log2
𝑛−3 −1
𝑇 9 = 4log2
6
𝑇 17 = 4log2
𝑇 2 =4; 𝑇 1 =4
− ( 4𝑚−3 )
4
=𝑇
2log2(4−3)
∙ 4𝑇 4 − (
∙𝑇 4 −(
14
𝑇 3 =4;
=𝑇
2log2(1)
=𝑇
log2 𝑛−3 −1 𝑖
4 )=4log2 𝑛−3
𝑖=0
log2 6 −1 𝑖
4 )=42
𝑖=0
∙𝑇 4 −(
4
∙4−(
log2 14 −1 𝑖
3
4
)=4
𝑖=0
4
20
∙𝑇 4 −(
2 −1 𝑖
3
𝑖=0 4 )=4
∙4−(
log2 𝑛−3 −1 𝑖
4)
𝑖=0
−1−4
3 −1 𝑖
3
𝑖=0 4 )=4
− 1 − 4 − 42
7
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Рекуррентные соотношения
𝑇 𝑛 = 4𝑇
𝑛
2
− 1;
𝑇 4 = 4;
𝑇 3 =4;
𝑇 2 =4; 𝑇 1 =4
Подставим начальные условия и приведем к замкнутому виду
𝑇 𝑛 = 4log2
𝑛−3
𝑇 𝑛 = 4log2
∙𝑇 4 −(
𝑛−3 +1
−(
log2 𝑛−3 −1 𝑖
4)
𝑖=0
log2 𝑛−3 −1 𝑖
4)
𝑖=0
При желании можно дальше упростить это выражение путем разложений в ряд
и эквивалентных преобразований.
8
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Последовательный поиск
Алгоритм последовательного поиска последовательно просматривает по
одному элементу списка, начиная с первого, до тех пор, пока не найдет
целевой элемент.
1
𝐴 𝑁 =
𝑁
𝑁
𝑖=1
1 𝑁 𝑁+1
𝑁+1
𝑖= ∙
=
𝑁
2
2
1
𝐴 𝑁 =
(
𝑁+1
𝑁
𝑖=1
𝑁+2
𝑖 + 𝑁) ≈
2
У алгоритма последовательного поиска два наихудших случая. В первом случае
целевой элемент стоит в списке последним. Во втором его вовсе нет в списке.
9
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Двоичный поиск
При сравнении целевого значения со средним элементом отсортированного
списка возможен один из трёх результатов: значения равны, целевое значение
меньше элемента списка, либо целевое значение больше элемента списка. В
первом, и наилучшем, случае поиск завершен. В остальных двух случаях можем
отбросить половину списка.
𝐴 𝑁 ≈ log 2 𝑁 + 1 − 1
𝐴 𝑁 ≈ log 2 𝑁 + 1 − 1/2
Анализ алгоритма двоичного
поиска выполняется через дерево
решений (метод турниров).
10
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Многочлены
Вычисление значений многочленов вида:
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0
В цикле for содержится два умножения,
которые выполняются n-1 раз.
Одно умножение выполняется перед
циклом, поэтому общее число умножений
равно 2n-2+1=2n-1.
В цикле выполняется также одно сложение,
и одно сложение выполняется перед
циклом, поэтому общее число сложений
равно n-1+1=n.
Общее количество: 3n-1
11
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Многочлены
Вычисление по схеме Горнера для многочлена вида:
𝑝 𝑥 =((…((𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎𝑛−1 )𝑥 + 𝑎𝑛−2 )𝑥 + ⋯ + 𝑎1 )𝑥 + 𝑎0
Цикл выполняется n раз, причем внутри цикла есть одно умножение и одно сложение.
Поэтому вычисление по схеме Горнера требует n умножений и n сложений.
Общее количество: 2n
12
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Многочлены
Результат можно улучшить, если обработать коэффициенты многочлена до
начала работы алгоритма.
Основная идея состоит в том, чтобы выразить многочлен через многочлены
меньшей степени:
𝑝 𝑥 = 𝑥 𝑗 + 𝑏 𝑞 𝑥 + 𝑟 𝑥 , 𝑗 = 2𝑘−1
В обоих многочленах q и r будет вдвое меньше членов, чем в р.
13
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Многочлены
Пример
Дано
𝑝 𝑥 = 𝑥 7 + 4𝑥 6 − 8𝑥 4 + 6𝑥 3 + 9𝑥 2 + 2𝑥 − 3
Сначала определим 𝑥 𝑗 + 𝑏 .
Степень многочлена p равна 7, т. е. 23 − 1 = 8 − 1 = 7 → 𝑘 = 3
𝑗 = 2𝑘−1 = 23−1 = 22 = 4
Теперь выберем b по правилу
𝑏 = 𝑎𝑗−1 − 1 = 𝑎4−1 − 1 = 𝑎3 − 1 = 6 − 1 = 5
14
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Многочлены
Пример
Найдём q и r из
𝑥 7 + 4𝑥 6 − 8𝑥 4 + 6𝑥 3 + 9𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 𝑥 4 + 5 𝑞 𝑥 + 𝑟(𝑥),
то есть
p 𝑥 = 𝑥 4 + 5 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 0𝑥 1 + 8 + 𝑥 3 − 11𝑥 2 + 2𝑥 1 − 37
15
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Многочлены
Пример
Аналогично делаем с q и r
𝑞 𝑥 = 𝑥 2 − 1 𝑥 + 4 + 𝑥 + 12
𝑟 𝑥 = 𝑥 2 + 1 𝑥 − 11 + (𝑥 − 26)
В итоге получаем
p 𝑥 = 𝑥4 + 5
𝑥 2 − 1 𝑥 + 4 + 𝑥 + 12
+
𝑥 2 + 1 𝑥 − 11 + (𝑥 − 26)
16
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Многочлены
Число операций для
многочлена степени 7
Число операций для
многочлена степени N
17
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Умножение матриц
Стандартный алгоритм
умножения
Алгоритм умножения по Винограду
18
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Умножение матриц
Если посмотреть на результат умножения двух матриц, то видно, что каждый элемент в
нем представляет собой скалярное произведение соответствующих строки и столбца
исходных матриц. Можно заметить также, что такое умножение допускает
предварительную обработку, позволяющую часть работы выполнить заранее.
𝑉 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 )
Исходные вектора
𝑊 = (𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 , 𝑤4 )
𝑉 ∙ 𝑊 = 𝑣1 𝑤1 +𝑣2 𝑤2 +𝑣3 𝑤3 +𝑣4 𝑤4
Перепишем выражение в другом виде 𝑉 ∙ 𝑊:
𝑉 ∙ 𝑊 =(𝑣1+𝑤2 )(𝑣2 +𝑤1 )+(𝑣3 +𝑤4 )(𝑣4 +𝑤3 )-𝑣1 𝑣2 -𝑣3 𝑣4 -𝑤1 𝑤2 -𝑤3 𝑤4
19
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Численные алгоритмы. Умножение матриц
Алгоритм Штрассена работает с квадратными матрицами. Он настолько
эффективен, что иногда разумно расширить матрицы до квадратных, и при этом
он все равно дает выигрыш, превышающий расходы на введение
дополнительных элементов.
Формулы Штрассена:
𝑥1 = (𝐺1,1 +𝐺2,2 ) (𝐻1,1 +𝐻2,2 )
𝑥2 = (𝐺2,1 +𝐺2,2 ) (𝐻1,1 )
𝑥3 = (𝐺1,1 ) (𝐻1,1 −𝐻2,2 )
𝑥4 = (𝐺1,1 ) (𝐻1,2 −𝐻2,2 )
𝑥5 = (𝐺1,1 +𝐺2,2 ) (𝐻2,2 )
𝑥6 = (𝐺2,1 −𝐺1,1 ) (𝐻1,1 +𝐻1,2 )
𝑥7 = (𝐺2,1 −𝐺2,2 ) (𝐻2,1 +𝐻2,2 )
𝑅1,1 = 𝑥1 + 𝑥4 −𝑥5 +𝑥7
𝑅2,1 = 𝑥2 + 𝑥4
𝑅1,2 = 𝑥3 + 𝑥5
𝑅2,2 = 𝑥1 + 𝑥3 − 𝑥2 +𝑥6
20
Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 12. Основы анализа алгоритмов
Всем спасибо, все свободны)
21