Основные понятия вариационного исчисления.

Тема: Основные понятия вариационного исчисления Существует ряд прикладных задач оптимизации, в которых качество выбранного решения не удаётся охарактеризовать с помощью целевой функции. Числовой показатель качества в этих задачах зависит от функции (а не от одной или нескольких переменных), определить которую необходимо так, чтобы этот показатель принял минимальное или максимальное значение. Числовыми показателями в указанных задачах являются функционалы. 1. Функционал и функциональные пространства Пусть задано некоторое множество функций. Отображение : множества в множество действительных чисел называется функционалом на , а множество – областью определения функционала. Обычно это множество представляет собой некоторое линейное пространство функций. Такое пространство называется функциональным пространством. Чаще всего оно бесконечномерное. Функциональные пространства обычно являются нормированными, т.е. в них имеется понятие нормы, характеризующей уклонение функции от тождественного нуля. Норма функции обозначается , она представляет собой некоторое число и должна удовлетворять следующим требованиям: 10. ; 20. ; 30. . Итак, норма в функциональном пространстве играет роль расстояния между функциями. При этом сами функции следует понимать как точки. Рассмотрим некоторые примеры функциональных пространств. Рассмотрим пространство функций , непрерывных на отрезке , норма в котором определяется формулой , а ε-окрестностью точки является множество функций из , для которых выполняется условие . Расстояние между функциями (кривыми) и в пространстве (расстояние нулевого порядка) определяется формулой . (1.1) Рассмотрим пространство функций , непрерывно дифференцируемых на отрезке , с нормой и ε-окрестностью точки вида . (В качестве нормы в можно взять также не сумму, а наибольшее из слагаемых, стоящих в правой части; это различие оказывается несущественным). Расстояние между функциями (кривыми) и в пространстве (расстояние первого порядка) определяется формулой . (1.2) Рассмотрим ги́льбертово пространство функций, суммируемых с квадратом на отрезке Причём интеграл берётся в смысле Лебе́га. Норма в этом пространстве определяется так: . Можно проверить, что каждая из указанных здесь норм удовлетворяет необходимым аксиомам 10 – 30. В курсах функционального анализа доказывается, что указанные здесь пространства обладают свойством полноты, т.е. любая последовательность Коши имеет в этом пространстве предел. Линейное нормированное полное пространство коротко называют ба́наховым пространством. Приведённые выше примеры являются банаховыми пространствами относительно своих норм. Подчеркнём, что всякая функция из принадлежит , а всякая функция из принадлежит . Тем не менее, нельзя считать подпространством , так как эти пространства рассматриваются неразрывно от своих норм. Рассмотрим банахово пространство . Наряду с ранее указанной нормой в этом пространстве часто используют и другую норму . Пусть ε – положительное число. Сильной ε-окрестностью функции называется множество функций , для которых . Слабой ε-окрестностью той же функции называется множество функций , для которых . Из определения следует, что слабая ε-окрестность всегда содержится в сильной ε-окрестности. Поэтому, если функционал , , достигает в точке экстремума для всех , близких к в смысле , то говорят о сильном экстремуме. Если же в точке имеет экстремум для всех , близких к в смысле , то говорят о слабом экстремуме. При этом сильный экстремум всегда будет и слабым. Но обратное не обязательно. В вариационном исчислении важнейшими являются функционалы, заданные с помощью интегралов, например ; ; и т.д. Такие функционалы будем называть интегральными функционалами. При изучении функционалов вводят ряд понятий, аналогичных понятиям для функций: непрерывность, дифференцируемость, экстремум и др. 2. Дифференцируемость функционала Функционал , заданный на нормированном пространстве , называется непрерывным в точке , если для всякого числа существует такая ε-окрестность точки , что для любой точки из этой окрестности выполняется неравенство: . Функционал , заданный на линейном пространстве , называется линейным, если для любых и любых выполняется соотношение . Так, например, функционал является линейным, а функционал не является линейным. В нормированном пространстве функций выберем некоторую функцию , и пусть – произвольная функция из . Разность (2.1) называется вариацией (или приращением) функции (аргумента) функционала . Для данного функционала и данной функции будем называть вариацию этой функции допустимой вариацией, если . Для дифференцируемых функций следует различать производную вариации и вариацию производной . Разность (2.2) называется приращением функционала , соответствующим вариации (приращению аргумента) . Определение. Функционал , заданный в нормированном пространстве с нормой , называют дифференцируемым в точке , если его приращение можно представить как сумму , где – функционал, линейный относительно , а – функционал, являющийся бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при относительно нормы , т.е. при . При этом линейный функционал называют сильным дифференциалом (дифференциалом Фреше́) или просто производной Фреше. Определение. Первой вариацией функционала в точке называют предел . (2.3) Этот предел представляет собой функционал, который каждой вариации ставит в соответствие число. Если этот функционал линеен (по ), то его называют слабым дифференциалом (дифференциалом Гато́) в точке . Теорема 2.1. Если функционал дифференцируем в точке , то его дифференциал Гато в точке существует и совпадает с дифференциалом Фреше. Замечание. Иногда под первой вариацией функционала понимается дифференциал Фреше. При этом на функции, входящие в функционал, приходится накладывать дополнительные условия. 2.1. Формула Тейлора. Формула Тейлора применяется для аппроксимации (приближения) данной функции в окрестности заданной точки многочленом некоторой степени. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения по формуле Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка. В случае функции двух переменных и формула Тейлора в окрестности точки имеет вид , (2.4) где – остаточный член в форме Пеано; . Пример 2.4. Найти сильный дифференциал (дифференциал Фреше) функционала , (2.5) где , а функция – дважды непрерывно дифференцируема. D По определению (2.2) приращения функционала . Применим к подынтегральной функции формулу Тейлора: . Учитывая, что является бесконечно малой величиной по сравнению , если , окончательно получим сильный дифференциал функционала (2.5) . ▲ (2.6) 2.2. Дифференцирование интеграла по параметру. Если , где – гладкие (непрерывно дифференцируемые) функции, то имеет место формула Лейбница дифференцирования интеграла по параметру . (2.7) В частности, когда пределы интегрирования не зависят от параметра, то . (2.8) 2.2. Цепочное правило. Если функция задана как сложная где все функции считаются гладкими, то . (2.9) Пример 2.5. Найти первую вариацию (дифференциал Гато) функционала , . (2.10) D Согласно определению (2.3) первой вариации , где – вариация производной аргумента . Вычисляя производную по параметру с учётом цепочного правила, получаем . Полагая , находим первую вариацию функционала (2.10) . (2.11) При этом подынтегральная функция должна быть непрерывна вместе с её частными производными. ▲ Далее результат (2.11) данного общего примера может использоваться как готовая полезная формула. 3. Основные леммы вариационного исчисления Лемма 3.1 (Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке и для любой бесконечно дифференцируемой функции , для которой , выполнено равенство , то на . Замечания. 10. Назначение данной леммы – обеспечить достаточные условия интегрального типа, при выполнении которых заданная функция обращается в нуль. Она может формулироваться для различных классов пробных функций . При этом, чем уже класс этих функций, тем сильнее утверждение леммы и тем проще проверка достаточных условий. 20. Данная лемма легко обобщается на общий случай функций многих переменных. Обобщением леммы Лагранжа является Лемма 3.2 (Дюбуа́-Реймо́на). Пусть функции и непрерывны на отрезке и для любой бесконечно дифференцируемой на функции , для которой , выполнено равенство . Тогда функция непрерывно дифференцируема на и на . Приступим теперь к поиску экстремума функционалов.