Основные понятия теории вероятностей

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Донской государственный технический университет» «Курс установочных лекций по математике для студентов заочников» (Теория вероятностей) Ростов-на-Дону 2021 ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Введение Теория закономерности, вероятностей присущие – математическая массовым случайным наука, изучающая явлениям. Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события, то есть события, которое (при некоторых обстоятельствах) может совершиться, а может и не совершиться. События обозначаются, как правило, большими латинскими буквами: А,В,С… Совокупность условий, при которых данное случайное событие может произойти, называют опытом (экспериментом, наблюдением, испытанием). Пример 1. Опыт – однократное бросание монеты, случайное событие А – выпадение «орла»; опыт – стрельба по мишени, случайное событие В – попадание в цель. Элементарными событиями (эти события обычно обозначаются буквой  ) называют взаимоисключающие исходы испытания. Множество всех элементарных событий (которое может быть как конечным, так и бесконечным) называется пространством элементарных событий. Его обозначают буквой . Элементарные события часто называют исходами испытания. Сначала для простоты будем считать, что множество . конечно. При этом случайным событием будем называть любое подмножество пространства  : А  . Элементарные события, входящие в подмножество А пространства  , называются благоприятствующими событию А. Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдѐт эксперимента. Ясно, что это событие совпадает в результате с  , так как ему благоприятствует любое элементарное событие. Невозможным называется случайное событие, которое в результате опыта произойти не может. Его обозначают символом пустого множества  (это означает, что невозможному событию не благоприятствует ни одно элементарное событие). 2 Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в рамках единого эксперимента (т.е. они не могут произойти одновременно в одном опыте). В противном случае события называют совместными. Пример 2. Рассмотрим эксперимент, состоящий в однократном бросании на идеальную горизонтальную поверхность игральной кости (шестигранного кубика), на гранях которой нанесены цифры от 1 до 6. Мы считаем, что игральная кость также имеет идеальную конфигурацию. Ясно, что в результате бросания мы можем получить шесть элементарных событий   {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , где k – событие, заключающееся в выпадении числа k (k=1,2,...,6). Ввиду симметрии игральной кости данные элементарные события можно считать равновозможными. В условиях описанного эксперимента можно рассмотреть различные случайные события. Например, если А – выпадение числа 1, то А  1, т. е. этому событию благоприятствует один исход. Если В – выпадение нечѐтного числа, то В  1 , 3 , 5 , т.е. этому событию благоприятствуют 3 исхода. Событие С – выпало число 7 – не соответствует ни одному элементарному исходу, т.е. это невозможное событие. Событие D – выпало целое число от 1 до 6 – достоверное событие, т.к. ему благоприятствуют все элементарные исходы, т.е. D   . Классическое определение вероятности Определение 1. Пусть множество  конечно, т.е.   1 ,2 ,...,n . Обозначим через F множество всех подмножеств множества  . На F определим функцию Р следующим образом: если подмножеству A  F благоприятствует ровно m элементарных событий, то полагаем: P( A) : m . n Эту функцию Р называют классической вероятностью. 3 (1) Условимся число элементарных событий, из которых состоит событие A, обозначать через |A|. При этом формулу (1) можно записать так: P( A)  | A| . || Пример 2 (продолжение). Пусть A2 (соотв. A3 ) – событие, состоящее в том, что выпавшее в результате бросания кости число делится на 2 (соотв., на 3). Вычислим вероятности событий A2 и A3 . Так как A2  2 , 4 , 6 , а A3  3 , 6 , то применяя классическое определение вероятности, имеем: P( A2 )  A2 n  3 1  , 6 2 P( A3 )  A3 n  2 1  . 6 3 Пример 3. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу выбираем одну карту. Найти вероятность того, что эта карта бубновой масти. Число элементарных событий совпадает с количеством карт в колоде, т.е. n  36 . Пусть A – событие, состоящее в том, что выбрана карта бубновой масти. Так как всего в колоде 9 бубновых карт, то P( A)  A  9 . Поэтому 9 1  . 36 4 Пример 4. Одновременно бросают две монеты. Какова вероятность того, что на обеих выпадет решка? Предположив, что результаты бросаний равновероятны, применим классическую схему. Тогда пространство элементарных событий  можно рассматривать как совокупность пар (орел, решка), (орел, орел), (решка, решка), (решка, орел), то есть n    4 . Ясно, что вероятность элементарного события (решка, решка) равна 1 . 4 Пример 5. Партия из 100 изделий содержит 10 бракованных изделий. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу пяти изделий ровно два изделия окажутся бракованными? Предполагая, что каждая выборка пяти изделий из 100 равновероятна любой другой такой же выборке, применим классическую схему. Как известно, 4 число качественно различных выборок (или, что то же самое, число сочетаний) из r элементов по k вычисляется по формуле: C rk  r! . k!(r  k )! (2) 5 Поэтому в нашем случае n    C100 . Пусть A – событие, состоящее из выборок, содержащих два бракованных изделия и три качественных. Так как два бракованных изделия можно изъять только из 10-ти бракованных, три качественных изделия – из 90 качественных и каждая бракованная пара может при выборе состыковаться с каждой качественной тройкой, то число элементарных событий (пятерок изделий), благоприятствующих событию A равно A  C102  C903 . Таким образом, C102  C 903 5!95!10!90! 3!4  5  95!8!9  10  87!88  89  90 P( A)      5 n C100 100!2!8!3!87! 95!96  97  98  99  100  2!8!3!87! 4  5  9 10  88  89  90 1335    0,07 . 96  97  98  99 100  2 19012 A Замечание. Из определения 1 получаем: P( A)  P()   n  A n , P ( )   n  n  1, n  1  0 , P( k )  k  , где k=1,2,...,n. n n n Действия над событиями. Алгебра событий Над событиями можно проводить все операции, выполнимые для множеств. Пусть  – произвольное множество (произвольное пространство элементарных событий), а F – какая-то совокупность подмножеств (событий) на  . Для определенности  мы будем изображать квадратом, а события из F – кругами в этом квадрате. Пусть A и B – события из F . 5 Суммой событий A и B называется событие A+B, A B состоящее из элементарных событий, благоприятствующих по крайней мере одному из событий A или B. Это означает, что событие A+B совершается тогда и только тогда, когда совершается хотя бы одно из событий A или B. Геометрически сумме событий соответствует операция объединения множеств. Произведением событий A и B называется A событие AB, состоящее из элементарных событий, B благоприятствующих одновременно и событию A, и событию Это B. означает, что событие AB совершается тогда и только тогда, когда совершаются оба события A и B. Геометрически произведению событий соответствует операция пересечения множеств. Противоположным событию A называется событие A , состоящее из элементарных событий, не A благоприятствующих событию A. Это означает, что событие A совершается тогда и только тогда, когда не совершается событие A. Геометрически противоположному событию соответствует операция дополнения множества. Операции над событиями подчиняются точно тем же законам, что и операции над множествами. Например, справедливы соотношения (законы Де Моргана): A  B  A  B, A B  A  B . 6 Определение называется 2. алгеброй Совокупность подмножеств F событий, если множества F и  если A  B  F , A  B  F , A  F для любых A  F и B  F . Так как    , то из определения 2 немедленно следует, что   F для любой алгебры событий F . ЛЕКЦИЯ 2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРОСТРАНСТВА От классического вероятностного пространства к общему вероятностному пространству Пусть теперь мы находимся в рамках некоторого испытания. Придавая каждому событию вероятность P(A) , A, мы связанному тем с данным самым создаем испытанием, некоторую математическую модель, описывающую данное испытание. Построив математическую модель, мы имеем возможность для решения поставленных задач пустить в ход весьма развитый математический аппарат теории вероятностей, в основе которого лежит аксиоматика, впервые предложенная академиком А.Н.Колмогоровым в 1929 г. Определение называется тройка 3. Классическим  , F , P , где вероятностным пространством   1 , 2 , . . . , n  – некоторое множество, состоящее из конечного числа элементов; F – алгебра всех подмножеств множества  (включая само  и пустое множество  ); P – функция, определенная на F формулой (1). Из определения 2 вытекает, что если алгебра событий F содержит конечную совокупность событий A1 , A2 , . . . , An , то она содержит и события 7 n  Ak :A1  A2  . . .  An k 1 n и  Ak :  A1  A2  . . . An . Однако, вообще говоря, k 1 неверно следующее утверждение: если алгебра событий F содержит бесконечную последовательность событий A1 , A2 , . . . , An , An 1 , . . . , то она  содержит  Ak :A1  A2  . . .  An  An 1  . . . (которое события k 1 выполняется, если выполняется хотя бы одно из событий  A1 , A2 , . . . , An , An 1 , . . . ) и  Ak :  A1  A2  . . . An  An 1  .. . (которое k 1 выполняется, если выполняется каждое из событий A1 , A2 , . . . , An , An 1 , . . . ). Определение 4. Алгебра F называется -алгеброй, если из того, что Ak  F при всех k=1,2,3,..., следует, что   Ak  F . k 1  Из легко доказываемого соотношения   Ak   Ak k 1 F – -алгебра и Ak  F при всех k=1,2,3,..., то следует, что если k 1   Ak  F . k 1 Определение 5. Вероятностным пространством называется тройка , F , P , где  – произвольное множество, F – -алгебра подмножеств множества  , P – функция, определенная на F и удовлетворяющая следующим условиям: 1. (Аксиома положительности). Для любого A  F P( A)  0 , то есть вероятность любого события неотрицательна. 2. (Аксиома нормировки). P()  1 , то есть вероятность достоверного события равна единице. 8 3. -аддитивности). (Аксиома Если содержащаяся в F последовательность событий A1 , A2 ,..., An , An1 , ... такова, что Ai  A j   при всех   n P( Ak ). i  j , то P  Ak    P( Ak ) : lim  n  k 1  k 1  k 1 Заметим, что термины, связанные с общим определением вероятностного пространства, совпадают с терминами, данными в определении 3. Далее в этом пункте мы будем работать в некотором фиксированном вероятностном пространстве , F , P . Определение 6. События A и B называются несовместными, если вероятность их произведения равна нулю, то есть если P( A  B)  0 . Свойства вероятности 1. P( A )  1  P( A) . 2. P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) . Следствие. Для любых событий A и B P( A  B)  P( A)  P( B) . Если события A и B несовместны, то справедлива формула: P( A  B)  P( A)  P( B) . 3. Если из события A следует событие B (то есть если A  B ), то P( A)  P( B) . Пример 6. В книжном шкафу в случайном порядке расставлено 15 книг, причем 5 из них в твердом переплете. Студент берет наудачу 3 книги. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых книг имеет твердый переплет. Нерациональный, но поучительный способ решения. Пусть A – искомое событие (состоящее в том, что хотя бы одна из взятых книг имеет твердый переплет). Введем следующие события: A1 – из взятых книг ровно одна имеет твердый переплет, A2 – ровно две имеют твердый переплет, A3 – ровно три. Ясно, что A  A1  A2  A3 , причем события A1 , A2 и A3 удовлетворяют условию, входящему в аксиому -аддитивности. Применяя эту аксиому, получаем: 9 P( A)  P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 ) . Вероятности событий A1 , A2 и A3 находятся с помощью тех же рассуждений, которые были проведены при нахождении вероятности события A в примере 4. Таким образом, получаем: C51  C102 45 P A1    , C153 91 Окончательно, P( A)  C52  C101 20 P A2    , C153 91 C53 2 P A3   3  . C15 91 45 20 2 67    . 91 91 91 91 Рациональное решение (переход к противоположному событию). Событие A (состоящее в том, что хотя бы одна из взятых книг имеет твердый переплет) и событие A (состоящее в том, что ни одна из взятых книг не имеет твердого переплета) – противоположные события. По свойству 1 вероятности P( A)  1  P( A ) . Вероятность события A вычисляется аналогично вероятности C103 24 24 67 события A3 : P( A )  3  . Поэтому P( A)  1  .  C15 91 91 91 ЛЕКЦИЯ 3. НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ, ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА Независимые события При решении задач свойство 2 вероятности применяется чаще всего, если события A и B независимы. На интуитивном языке, событие A не зависит от события B, если реализация события A не зависит от того, совершилось событие B или нет. Математическая реализация интуитивного понятия независимости содержится в следующем определении. Определение 7. События A и B на вероятностном пространстве , F , P  называются независимыми, если 10 P( A  B)  P( A)  P( B) . События называются (3) A1 , A2 ,..., An , An1 , ... того же вероятностного пространства независимыми в совокупности (соответственно, попарно независимыми), если для любого конечного набора натуральных чисел i1  i2  ...  ik (соотв., для двух любых натуральных чисел i1  i 2 ) выполняется PAi  Ai ... Ai   PAi  PAi ... PAi равенство 1 2 k 1 2 k  (соотв., PAi  Ai   PAi  PAi ). 1 2 1 2 Пример 7. Рассмотрим часть электрической цепи: A1 A2 A3 Вероятность безотказной работы элемента A1 равна 0,7, элемента A2 – 0,8, элемента A3 – 0,9. Найти вероятность того, что ток по цепи пройдет. Обозначим через A1 , A2 и A3 события, состоящие в бесперебойной работе соответствующих элементов. Тогда P A1   0,7, P A2   0,8, P A3   0,9 . Пусть A – событие, состоящее в прохождении тока по цепи. Тогда A  A1  A2  A3 . По свойству 2 вероятности имеем: P A  P A1  A2  A3   P( A1  A2 )  P( A3 )  P A1  A2  A3  . Так как элементы цепи работают независимо, то события независимыми в совокупности в A1 , смысле A2 и A3 можно считать определения 6. Поэтому P A1  A2   P A1   P A2  и P A1  A2  A3   P A1   P A2   P A3  . Окончательно имеем: P( A)  P A1   P A2   P A3   P A1   P A2   P A3   0,56  0,9  0,504  0,956 . 11 Условные вероятности, формула полной вероятности и формула Байеса Определение 8. Пусть A – фиксированное событие из -алгебры F , такое, что P( A)  0 . Для любого B  F определим новую функцию: PB A  P( A  B) . P( A) (4) Эта функция называется условной вероятностью события B при условии, что событие A осуществилось (или просто при условии A). Иногда целесообразно пользоваться следующим обозначением: PА ( B)  PB A. Пример 8. Урна содержит 3 красных и 2 черных шара (шары по форме неразличимы). Эксперимент состоит в том, что из урны наудачу последовательно вынимаются 2 шара. Пусть A – событие, состоящее в том, что первым изъят красный шар, а B – событие, состоящее в том, что вторым вынут   красный шар. Найти условные вероятности PB A и P B A . Вычислим PB A . Так как событие A совершилось, то первым мы вынули красный шар. Следовательно, в урне осталось 2 красных и 2 черных шара. После этого вероятность достать второй шар вычисляется по классической схеме: PB A  2 1  . 4 2 Аналогично рассуждая, получаем   3 PBA  . 4 Определение 9. Совокупность событий H , H 1 2 ,..., H n  положительной вероятности на ,F , P  называется полной группой гипотез, если: 1) события H1 , H 2 ,..., H n  попарно несовместны; 2) H 1  H 2  ...  H n   . 12 Теорема 1 (формула полной вероятности). Если  H1 , H 2 ,..., H n  – полная группа гипотез на ,F , P  , то вероятность любого события A  F можно вычислить по формуле: P( A)  PA H 1   PH 1   PA H 2   PH 2   ...  PA H n   PH n  . (5) Пример 9. Пусть мы находимся в рамках условий примера 8. Требуется найти P(B) . Заметим прежде всего, что в отличие от примера 8 нам ничего не известно о том, совершилось ли событие A или нет. Поэтому естественно ввести гипотезы H 1  A и H 2  A . Очевидно, что H1 , H 2  – полная группа гипотез. По формуле (5) полной вероятности имеем: P( B)  PB H 1   PH 1   PB H 2   PH 2  . Присутствующие здесь условные вероятности мы уже вычислили в примере 8, а именно: классическое   PB H 2   P B A  3 / 4 . PB H1   PB A  1/ 2 , определение вероятности, имеем: Используя PH1   P A  3 / 5 , P  H 2   P  A   2 / 5 . Следовательно, P( B)  1 3 3 2     0,6 . 2 5 4 5 Пример 10. По цели произведено три выстрела. Вероятность попасть в цель при первом выстреле (событие A1 ) - p1  0,3 , при втором выстреле (событие A2 ) – p 2  0,6 , при третьем выстреле (событие A3 ) – p3  0,8 . Вероятность разрушения цели при одном попадании равна 0,4 , при двух попаданиях – 0,7, при трех попаданиях – 1. Определить вероятность разрушения цели после произведения трех выстрелов (событие A). Введем систему гипотез: H 1 – произошло одно попадание в цель, H 2 – произошло два попадания в цель, H 3 – три попадания, H 4 – нет попаданий. Ясно, что H1 , H 2 , H 3 , H 4  есть полная группа гипотез. Вычислим вероятности этих гипотез. 13 В цель осуществлено ровно одно попадание, если при первом выстреле было попадание, а при втором и третьем – промах; или при втором выстреле было попадание, а при первом и третьем – промах; или при третьем выстреле было попадание, а при первом и втором – промах. Поэтому H 1  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 , причем ясно, что слагаемы в данной сумме попарно несовместны. Следовательно,       PH1   P A1  A2  A3  P A1  A2  A3  P A1  A2  A3 . Так как первый, второй и третий выстрелы никак не связаны друг с другом, то можно считать, что события A1 , A2 и A3 независимы в совокупности. То есть             PH 1   P A1   P A2  P A3  P A1  P A2   P A3  P A1  P A2  P A3  . Следовательно, PH 1   p1 1  p2 1  p3   1  p1  p 2 1  p3   1  p1 1  p 2  p3  0,332 . Рассуждая аналогично, получаем: PH 2   p1 p 2 1  p3   p1 1  p 2  p3  1  p1  p 2 p3  0,468 , PH 3   p1 p2 p3  0,144 , PH 4   1  p1 1  p 2 1  p3   0,056 . Запишем теперь условные вероятности разрушения цели при выполнении соответствующих гипотез. Эти вероятности заданы в условии: PA H 1   0,4, PA H 2   0,7, PA H 3   1, PA H 4   0 . Применяя формулу (5) полной вероятности, получаем: P( A)  PA H1  PH1   PA H 2  PH 2   PA H 3  PH 3   PA H 4  PH 4    0,4  0,332  0,7  0,468  1  0,144  0  0,056  0,6044. Представим теперь себе ситуацию, что событие A осуществилось. Это обстоятельство H , H 1 2 позволяет пересмотреть вероятности исходных гипотез ,..., H n , то есть вычислить так называемые апостериорные вероятности гипотез (в отличие от априорных вероятностей, которые получаются до 14 реализации какого-либо события). Речь идет об условных вероятностях PH1 A, PH 2 A, ..., PH n A . Теорема 2 (формула Байеса). Для любого k  1,2, ..., n справедлива формула: PH k A  P  A H k   PH k   P A H   PH  n i i 1 . (6) i Пример 11 (продолжение примера 9). Пусть в условиях примеров 8 и 9 осуществилось событие B (то есть во второй раз из урны вынули красный шар). Какова вероятность того, что первым был вынут также красный шар? Так как A  H 1 , то нам нужно вычислить условную вероятность PH 1 B  . По формуле Байеса (6) имеем: PH 1 B   PB H 1   PH 1  P B   0,5  0,6  0,5 . 0,6 В рассмотренном примере условные вероятности PH 1 B  и PB H 1  оказались равными. Это получилось совершенно случайно и не отражает никакой закономерности. Пример12 (продолжение примера 10). Пусть в условиях примера 10 цель разрушена (то есть совершилось событие A). Какова вероятность того, что при этом в цель было два попадания? Очевидно, наша задача – вычислить условную вероятность PH 2 A. Имеем по формуле (6): PH 2 A  PA H 2   PH 2  0,7  0,468   0,542 . P  A 0,6044 ЛЕКЦИЯ 4. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ НА РАЗЛИЧНЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Схема Бернулли С понятием «независимых событий» связано понятие «независимых испытаний (опытов)». Несколько опытов называются независимыми, если их 15 исходы представляют собой независимые в совокупности события. Другими словами, если проводится несколько испытаний, т.е. опыт выполняется при данном комплексе условий многократно, причѐм вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми. Примерами независимых испытаний могут служить: несколько (n раз) подбрасываний монеты; стрельба n раз по мишени без поправок на ранее допущенную ошибку при новом выстреле и т.д. Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (его называют успехом) с вероятностью P A  p или противоположное ему событие A (его называют неудачей) с  вероятностью Р А  q  1  p , называется схемой независимых испытаний Бернулли. Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно k раз  0  k  n . Вероятность этого события будем обозначать Pn (k ) . Формулу для еѐ нахождения даѐт следующая теорема: Теорема 3. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p, а вероятность его непоявления равна q  1  p, то вероятность того, что событие А произойдѐт k раз определяется формулой Бернулли: Pn k   Cnk p k q nk . (7) Пример 14. Игральная кость бросается десять раз. Найти вероятность того, что при этом выпало ровно три шестерки. При каждом бросании будем считать успехом выпадение шестерки, а неудачей – выпадение любого другого числа. Тогда мы будем находиться в 1 5 рамках схемы Бернулли с n  10, m  3, p  , q  . Используя формулу (7), 6 6 получаем: 16 1 PH 3   C    6 3 10 3 7  5  10  9  8  5   0,155 .   10 6 1  2  3  6   7 Пример 15. Стрелок стреляет по мишени 3 раза. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны 0,9. Какова вероятность: а) промаха; б) хотя бы одного попадания; в) не менее двух попаданий. Проводится 3 независимых испытания, т.е. n  3. В качестве события А выступает попадание в мишень, т.е. p  0,9. Вероятность промаха (события В) вычисляем по формуле Бернулли при k  0 : P( B)  P3 (0)  C30 p 0 q 3  1  1  0,13  0,001. Рассмотрим событие С – произошло хотя бы одно попадание, найдѐм его вероятность, учитывая, что противоположное событие – это промах при трѐх выстрелах, т.е. С  B. Тогда по первому свойству вероятности: P(C )  1  P(C )  1  P( B)  1  0,001  0,999. Рассмотрим событие D – произошло не менее двух попаданий. Вероятность этого события равна сумме вероятностей того, что произошло 2 попадания и вероятности того, что произошло 3 попадания: P( D)  P3 (2)  P3 (3)  C32 p 2 q1  C33 p 3 q 0  3  0,92  0,11  1  0,93  0,10   3  0,81  0,1  0,729  0,243  0,729  0,972. Случайные величины на конечных вероятностных пространствах Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причѐм неизвестно заранее, какое именно. Дадим ряд более строгих определений. Определение 10. Конечным вероятностным пространством называется такое вероятностное пространство , F , P  (см. определение 4), у 17 которого пространство элементарных событий  состоит из конечного числа элементов, а -алгебра F представляет собой совокупность всех подмножеств множества . Большинство примеров, рассмотренных в первой части наших лекций, было реализовано на конечных вероятностных пространствах. Заметим, что классическое вероятностное пространство (см. определение 3) есть частный случай конечного вероятностного пространства. Определение 11. Пусть дано конечное вероятностное пространство , F , P . Числовая функция X  X  , определенная на пространстве элементарных событий , называется случайной величиной (с.в.) на , F , P . Для обозначения случайных величин мы, в основном, применяем большие латинские буквы X , Y , Z и т.д. Пример 16 (продолжение примера 2). Пусть мы находимся в условиях примера 2. Здесь мы имеем классическое вероятностное пространство, у которого   1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , где k – элементарное событие, заключающееся в выпадении числа k (k=1,2,...,6). Тогда функция X  X   , заданная формулой X  k   k , (k=1,2,...,6), является с.в. на данном вероятностном пространстве. Случайная величина, принимающая конечное или счѐтное множество значений (т. е. определѐнная на конечном или счѐтном пространстве  ) называется дискретной. Закон распределения случайной величины в случае конечного вероятностного пространства (дискретные с.в.) Определение 12. Пусть X  X   – с.в. на конечном вероятностном пространстве ,F , P  и x1  x 2  ...  x m – всевозможные значения этой с.в. Законом распределения данной с.в. называется таблица 18 x1 x2 ... xm p1 p2 ... pm , (8) где нижний ряд состоит из чисел p k , равных вероятностям принятия случайной величиной X  X   значений xk , то есть pk  P  : X    xk  , причем p1  p2  ...  p m  1. Пример 17 (продолжение примера 16). Очевидно, закон распределения случайной величины, определенной в примере 16, имеет вид: X 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 (9) Пример 18. С.в. Х, равная числу успехов в серии из n независимых испытаний, в силу формулы (7) имеет следующий закон распределения: Х P n q 1 npq 2 n 1 ... n . nn  1 2 n  2 p q 2 ... p (10) n Этот закон распределения называется биномиальным. Заметим, что аналогично можно ввести в рассмотрение счѐтное вероятностное пространство и случайную величину, определѐнную на нѐм. Рассмотрим пример такой случайной величины. Пример 19. На некотором счетном вероятностном пространстве ,F , P  рассмотрим с.в. X, принимающую значения 0,1,2,...,m,... с вероятностями a m a p m  P  : X    m   e , где число a0 . m! Закон распределения с.в. X выражается таблицей: X 1 2 ... m ... P ea a e  a a 2 e  a 2 ... a m e  a m! ... Такой закон распределения называется пуассоновским (с параметром a). 19 (11) Случайные величины на произвольном вероятностном пространстве Определение 13. Случайной пространстве ,F , P  элементарного события    : a  X ()  b величиной называется  , что такая для на X функция любых чисел вероятностном X  X ( ) ab от событие содержится в -алгебре F. Такую случайную величину невозможно описать с помощью табличного закона распределения: для еѐ описания используют следующую функцию. Определение 14. Функцией распределения случайной величины X  X () называется функция y  F (x) с областью определения R, задающаяся формулой: F ( x)  P X  x   P   : X ()  x. Теорема 4. Пусть X  X ( ) – с.в. на (12) , F , P . Тогда справедливы формулы: Pa  X  b  F b  F a  (13) P X  a   F a  0  F a  (14) Непрерывные случайные величины Определение вероятностном 15. Случайную пространстве величину , F , P , будем X, определенную называть на абсолютно непрерывной, если ее функцию распределения F (x) можно представить в виде: F ( x)  x  p(t )dt ,  где p ( x)  0 (15) – некоторая функция на числовой прямой, называемая плотностью распределения с.в. X. Из (15) следует формула, выражающая плотность распределения p(x ) через функцию распределения F (x ) 20 p ( x)  F / ( x) , (16) а также свойство нормировки:   p( x)dx  1 . (17)  Рассмотрим два важных примера распределений, использующихся на практике. Пример 20 (равномерное распределение на отрезке). Рассмотрим функцию: 1   , y  p ( x)   b  a   0, y  p( x ) y 1 b a a O x  a , x  b, график которой представлен на рисунке. x b a  x  b, Распределение этой с.в. называется равномерным распределением на отрезке a, b. O x  a,  0, x  a F ( x)   , a  x  b, b  a  x  b,  1, y  F( x) y 1 a x b Пример 21 (нормальное распределение). Рассмотрим функцию y p ( x)  y  p( x ) a O 1 2   ( a  R,   0 ), x  e ( xa )2 2 2  1  xa  ,     график которой представлен на рисунке. Этот график симметричен относительно прямой x  a и имеет в точке x  a единственный экстремум (максимум), равный 1 2   . Распределение этой с.в. называется нормальным распределением с параметрами a и . 21 Числовые характеристики случайных величин Дискретная с.в. Абсолютно-непрерывная с.в. Описание случайной величины Закон распределения (8) Плотность вероятности (16), функция распределения (12) Математическое ожидание  MX  x1 p1  x2 p2  ...  xm pm MX   x p( x)dx  Дисперсия с.в. Х – это математическое ожидание квадрата еѐ отклонения от своего математического ожидания, т.е. DX  M ( X  MX ) 2  DX  MX 2  ( MX ) 2   xi2 pi  ( MX ) 2 DX   x 2 p( x)dx  ( MX ) 2 i  Среднее квадратическое отклонение с.в. Х  ( Х )  DX  ( Х )  DX Пример 22 (продолжение примера 20). Вычислим математическое ожидание с.в. X, равномерно распределенной на отрезке a, b. Применяя формулу, приведѐнную в таблице (см. выше), имеем:  1 1 x2 MX   xp( x)dx   x  dx   ba ba 2  a b Таким образом, MX  b a b2  a2 a  b .   2(b  a) 2 ab находится на середине отрезка a, b. 2 Вычислим дисперсию с.в. X, равномерно распределенной на отрезке a, b:  1 1 x3 M  X    x  p( x)dx   x  dx   ba ba 3  a 2 b 2 b  2 DX  M  X 2   MX  b  a  . a  ab  b a b     3 12  2  2 2 a b 3  a 3 a 2  ab  b 2  3(b  a) 3 2 2 2 Среднее квадратическое отклонение:  ( Х )  DX  Пример 23 (продолжение примера 21). ba 2 3 Можно показать, что математическое ожидание с.в. X, имеющей нормальное распределение с параметрами a и  равно параметру а. т.е. MX  a ; среднее квадратическое отклонение равно параметру  , т.е.  X   . Тогда дисперсия для нормального распределения DX   2 . 22