Основные понятия теории статистических решений

Лекция 3. Статистические решения 3.1. Основные понятия теории статистических решений Теория статистических решений может быть истолкована как теория поиска оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Согласно А.Вальду, поведение считается оптимальным, если оно минимизирует риск в последовательных экспериментах, т.е. математическое ожидание убытков статистического эксперимента. В такой постановке любая задача статистических решений может рассматриваться как игра двух лиц, в которой одним из игроков является "природа". Иногда усредненные характеристики некоторого случайного процесса испытывают тенденцию к стабилизации, и появляется возможность либо замены его детерминированным, либо использования каких-то методов исследования стационарных случайных процессов (методов теории массового обслуживания и др.). Однако большинство процессов характеризуется "дурной неопределенностью", для которой невозможно найти законы распределения и другие вероятностные характеристики. В таких ситуациях приходится прибегнуть к экспертным оценкам. Возникает и проблема выбора критерия оптимальности, поскольку решение, оптимальное для каких-то условий, бывает неприемлемым в других и приходится искать некоторый компромисс. Пусть задан некоторый вектор S = (S1,S2,..,Sn), описывающий n состояний внешней среды, и вектор X=(X1,X2,..,Xm), описывающий m допустимых решений. Требуется найти вектор X* =(0,0,..,0, Xi ,0,..,0), который обеспечивает оптимум некоторой функции полезности W(X,S) по некоторому критерию K. Информация об указанной функции представляют матрицей размерности m x n c элементами Wij=F(Xi,Sj), где F - решающее правило. Рассмотрим типичный пример формирования такой матрицы. Планируется выпуск новой продукции, для чего необходимо закупить станки. Система оптовой торговли может поставить не более 50 станков; комплект поставки - 10 станков. Минимальный объем поставок - 20 станков. Соответственно, вектор решений об объеме поставок X = (20,30,40,50). Ежегодный доход от продукции, снимаемой с одного станка, составляет 21.9 тыс. руб. Оптовая цена одного станка 4.775 тыс. руб., эксплуатационные расходы - 3.6 тыс. руб. Затраты на подготовку производства составляют 25.5 тыс. руб. и не зависят от числа станков и объема выпуска. Пусть спрос пропорционален количеству продукции, снимаемой с S работающих станков, и для простоты ограничимся вектором состояний спроса S = (0,10,20,30,40,50). Если решающее правило сформулировать как "доход - издержки", то можно рассчитать элементы матрицы полезности:    S1=0 S2=10 S3=20 S4=30 S5=40 S6=50 X1=20 -121 62 245 245 245 245 X2=30 -168.75 14.25 197.25 380.25 380.25 380.25 X3=40 -216.5 -33.5 149.5 332.5 515.5 515.5 X4=50 -264.25 -81.25 101.75 284.75 467.75 650.75 Например, W11 = -(4.775* 20+25.5) = -121, W12 = (21.9-3.6)* 10-(4.775ґ 20+25.5) = 62, W13 = (21.9-3.6) * 20-(4.775ґ20+25.5) = 245, W14 = W15 = 245 (спрос останется неудовлетворенным). 3.2. Выбор критерия принятия решения При известных вероятностях Pj для спроса Sj можно найти математическое ожидание функции полезности и определить вектор X* , дающий его максимум: Если для приведенного примера предыдущий опыт позволит задать вектор P = (0.01, 0.09, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1), то математические ожидания прибыли при разных выборах: W1 =-121*0.01 + 62*0.09 + 245*0.2 + 245*0.3 + 245*0.3 + 245*0.1 = 224.87, W2 = 305.22, W3 = 330.675, W4 = 301.12 и выбор максимального из этих значений обнаруживает оптимальность варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 330.675 тыс. руб. 3.2.1. Критерий Лапласа В основе этого критерия лежит "принцип недостаточного основания": если нет достаточных оснований считать, что вероятности того или иного спроса имеют неравномерное распределение, то они принимаются одинаковыми и задача сводится к поиску варианта, дающего Для нашего примера W1 = (-121 + 62 + 245 + 245 + 245 + 245) / 6 = 153.5 , W2 = 197.25 , W3 =210.5 , W4 = 193.5 и выбор максимального значения обнаруживает оптимальность выбора варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 210.5 тыс. руб. 3.2.2. Критерий Вальда Критерий Вальда обеспечивает выбор осторожной, пессимистической стратегии в той или иной деятельности и его суждения близки к тем суждениям, которые используют в теории игр для поиска седловой точки в пространстве чистых стратегий: для каждого решения Xi выбирается самая худшая ситуация (наименьшее из Wij) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект: В нашем примере W = max(-121, -168.75, -216.5, -264.25) = -121, т.е. по этому критерию следует закупить 20 станков и максимальный возможный убыток не превысит 121 тыс. руб. 3.2.3. Критерий Гурвица Ориентация на самый худший исход является своеобразной перестраховкой. Однако опрометчиво выбирать политику, которая излишне оптимистична. Критерий Гурвица предлагает некоторый компромисс: где параметр a принимает значение от 0 до 1 и выступает как коэффициент оптимизма. Так в нашем примере при различных a: W=    a=0.1 a=0.2 a=0.5 a=0.8 a=0.9 X1=20 -84.4 -47.0 62 171 206.4 X2=30 -113.85 -58.95 105.75 270.45 325.35 X3=40 -140.3 -70.1 149.5 369.1 442.3 X4=50 -172.75 -81.25 193.25 467.75 559.25 При a =0.5 (равновероятных шансах на успех и неудачу) следует закупить 50 станков и ожидать прибыль порядка 193.25 тыс. руб. При вероятности успеха 0.2 не следует закупать более 20 станков с надеждой, что убытки не превысят 47 тыс. руб. 3.2.4. Критерий Cэвиджа Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии. Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления. Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из первого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т. д.    S1=0 S2=10 S3=20 S4=30 S5=40 S6=50 X1=20 -135.25 -270.5 -405.75 X2=30 -47.75 -47.75 -47.75 -135.25 -270.5 X3=40 -95.5 -95.5 -95.5 -47.75 -135.25 X4=50 -143.25 -143.25 -143.25 -95.5 -47.75 Наибольшее значение среди минимальных элементов строк здесь равно max[-405.75, -270.5, -135.25, -143.25]=-135.25 и, покупая 40 станков, мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 тыс. руб. Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам: 1. по критерию Лапласа приобретать 40 станков, 2. по критерию Вальда - 20 станков, 3. по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма, 4. по критерию Сэвиджа - 40 станков. Возможность выбора критерия дает свободу лицам, принимающим экономические решения, при условии, что они располагают достаточными средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям.