Основные понятия математической статистики

130 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ëåêöèÿ 7. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü è âûáîðêà. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ãèñòîãðàììà. Òî÷å÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ: íåñìåùåííîñòü, ñîñòîÿòåëüíîñòü, ýôôåêòèâíîñòü. Òî÷å÷íûå îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë. 7.1. Ïðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà  ýòî íàóêà, êîòîðàÿ ìåòîäàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé èçó÷àåò çàêîíîìåðíîñòè â ìàññîâûõ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèÿõ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (íå ïóòàòü ñî ñòàòèñòèêîé  ðàçäåëîì ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè) óêàçûâàåò ñïîñîáû ñáîðà è ãðóïïèðîâêè ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ (ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé), ðàçðàáàòûâàåò ìåòîäû èõ îáðàáîòêè äëÿ îöåíêè õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäåëåíèÿ, äëÿ óñòàíîâëåíèÿ çàâèñèìîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò äðóãèõ, äëÿ ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç î âèäå ðàñïðåäåëåíèÿ èëè çíà÷åíèÿõ åãî ïàðàìåòðîâ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà âîçíèêëà è ðàçâèâàëàñü ïàðàëëåëüíî ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. 7.2. Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü è âûáîðêà Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ñâÿçàíà ñ íåîáõîäèìîñòüþ îïèñàòü áîëüøóþ ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ. ż íàçûâàþò ãåíåðàëüíîé. Åñëè ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ñëèøêîì ìíîãî÷èñëåííà, èëè å¼ îáúåêòû òðóäíîäîñòóïíû, èëè èìåþòñÿ äðóãèå ïðè÷èíû, íå ïîçâîëÿþùèå èçó÷èòü âñå îáúåêòû, ïðèáåãàþò ê èçó÷åíèþ êàêîéòî ÷àñòè îáúåêòîâ. Ýòà âûáðàííàÿ äëÿ ïîëíîãî èçó÷åíèÿ ÷àñòü íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé. Íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûáîðêà íàèëó÷øèì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿëà ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü, ò.å. áûëà ðåïðåçåíòàòèâíîé (ïðåäñòàâèòåëüíîé). Åñëè ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ìàëà èëè ñîâñåì íåèçâåñòíà, íå óäà¼òñÿ ïðåäëîæèòü íè÷åãî ëó÷øåãî, ÷åì ÷èñòî ñëó÷àéíûé âûáîð. 7.1. Ïóñòü íåîáõîäèìî îöåíèòü êà÷åñòâî èçäåëèé, âûïóñêàåìûõ îïðåäåë¼ííûì öåõîì ìàøèíîñòðîèòåëüíîãî ïðåäïðèÿòèÿ. Äëÿ ýòîãî âûáèðàþò ïàðòèþ èçäåëèé è ïîäâåðãàþò èõ êîíòðîëþ Ïðèìåð Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 131 ñ öåëüþ äåôåêòèðîâàíèÿ. Äîëÿ áðàêîâàííûõ èçäåëèé äëÿ âûáðàííîé ïàðòèè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ çàòåì íà âñþ ïðîäóêöèþ öåõà. Çäåñü ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü  âñå èçäåëèÿ, âûïóñêàåìûå öåõîì, âûáîðêà  îòîáðàííûå äëÿ ïðîâåðêè èçäåëèÿ. Ïðèìåð 7.2. Ïóñòü íåîáõîäèìî îöåíèòü áóäóùèé óðîæàé ïøåíèöû. Äëÿ ýòîãî âûáèðàþò íåáîëüøîé ó÷àñòîê ïîëÿ, íàïðèìåð îäèí êâàäðàòíûé ìåòð, è ïîäñ÷èòûâàþò ÷èñëî çåðåí âî âñåõ êîëîñêàõ è èõ ìàññó. Ïðèáëèæ¼ííî âåñü óðîæàé ðàâåí ïëîùàäè ïîëÿ â ìåòðàõ, óìíîæåííîé íà ìàññó çåðåí, ñîáðàííóþ ñ äàííîãî ó÷àñòêà. Çäåñü ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü  âåñü îæèäàåìûé óðîæàé, à âûáîðêà  óðîæàé, ñîáðàííûé ñ îäíîãî êâàäðàòíîãî ìåòðà. Åñëè âûáðàòü ¾ïëîõîé¿ ó÷àñòîê (íàïðèìåð, áëèçêî ê êðàþ ïîëÿ), òî îöåíêà óðîæàÿ áóäåò çàíèæåííîé. Åñëè æå ó÷àñòîê èìååò ïðåèìóùåñòâà ïåðåä äðóãèìè (íàïðèìåð, ëó÷øå îñâåùàåòñÿ ñîëíöåì), òî îöåíêà óðîæàÿ áóäåò çàâûøåííîé. Ïðèìåð 7.3. Ïðîèçâîäèòñÿ ñîöèîëîãè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ñ öåëüþ ïðîãíîçà ðåçóëüòàòîâ ïðåäñòîÿùèõ âûáîðîâ ìýðà ãîðîäà. Çäåñü ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü  âñå èçáèðàòåëè ãîðîäà, à âûáîðêà  ÷èñëî îïðîøåííûõ ðåñïîíäåíòîâ. Áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò ñïîñîá, êîòîðûì ïîëó÷åíà âûáîðêà. Îøèáêè ïðè âûáîðå ñïîñîáà îòáîðà ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî âûáîðêà ñòàíîâèòñÿ íåðåïðåçåíòàòèâíîé. Åñëè â êà÷åñòâå ðåñïîíäåíòîâ âçÿòü, íàïðèìåð, ñòî ïåðâûõ âñòðå÷íûõ ñ 10 äî 12 ÷àñîâ äíÿ, òî ñîöèîëîãè óçíàþò ìíåíèå íå âñåõ ñëîåâ íàñåëåíèÿ, à òîëüêî äîìîõîçÿåê, íàïðàâëÿþùèõñÿ â ýòî âðåìÿ çà ïîêóïêàìè. Áóäåì ïðîâîäèòü èñïûòàíèÿ è â êàæäîì èç íèõ ôèêñèðîâàòü çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíÿëà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ .  ðåçóëüòàòå m èñïûòàíèé ïîëó÷èì âûáîðêó n çíà÷åíèé, îáðàçóþùèõ ïðîñòóþ ñòàòèñòè÷åñêóþ ñîâîêóïíîñòü íàáëþäåíèé. Îïðåäåëåíèå ìîì âûáîðêè. 7.1. Êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé n íàçûâàåòñÿ îáú¼- Ïðè áîëüøîì ÷èñëå íàáëþäåíèé (ñîòíè, òûñÿ÷è) ïðîñòàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñîâîêóïíîñòü ïåðåñòà¼ò áûòü óäîáíîé ôîðìîé çàïèñè ñòàòèñòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà  îíà ñòàíîâèòñÿ ñëèøêîì ãðîìàäíîé. Äëÿ áîëåå ýêîíîìè÷íîé çàïèñè íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ ãðóïïèðóþò. Ïóñòü â âûáîðêå çíà÷åíèå x1 íàáëþäàëîñü m1 ðàç, x2  m2 ðàç, k X . . ., xk  mk ðàç è mi = n  îáú¼ì âûáîðêè. i=1 132 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îïðåäåëåíèå 7.2. Íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ xi íàçûâàþò âàðèàíòàìè, à èõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàïèñàííóþ â âîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå  âàðèàöèîííûì ðÿäîì. ×èñëà íàáëþäåíèé m1 , m2 , . . . , mk íàçûâàþò ÷àñòîòàìè. Ðàçíîñòü max(xi ) − min(xi ) íàçûâàåòñÿ ðàçìàõîì âàðèàöèîííîãî ðÿäà. Ñòàòèñòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì âûáîðêè íàçûâàþò ïåðå÷åíü âàðèàíò è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ÷àñòîò  òàáë. 7.1. Òàáëèöà 7.1 Ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âàðèàíòû xi x1 . . . xk ÷àñòîòû mi m1 . . . mk 7.3. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ãèñòîãðàììà Ñ êàæäûì èñïûòàíèåì, â êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ íåêîòîðàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ , ìîæíî ñâÿçàòü ñëó÷àéíîå ñîáûòèå ξ = xi , íî èíîãäà óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü ñîáûòèå ξ < xi . 7.3. Ýìïèðè÷åñêîé (ñòàòèñòè÷åñêîé) ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ F ∗ (x), êîòîðàÿ ïðè êàæäîì x ðàâíà îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòå ñîáûòèÿ ξ < x, ò.å. îòíîøåíèþ mx  ÷èñëà íàáëþäåíèé ìåíüøèõ x ê îáú¼ìó âûáîðêè n: Îïðåäåëåíèå mx . n Ïðèìåð 7.4. Ïîñòðîèòü ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äàííîé âûáîðêè: F ∗ (x) = P ∗ (ξ < x) = Âàðèàíòû xi 1 4 6 7 8 10 ×àñòîòû mi 5 10 15 5 10 5 IÎáú¼ì âûáîðêè n ðàâåí 5+10+15+5+10+5=50. Íàèìåíüøàÿ âàðèàíòà ðàâíà 1, ñëåäîâàòåëüíî F ∗ (x) = 0 ïðè x 6 1. Çíà÷åíèå x < 3, 5 à èìåííî x = 1 íàáëþäàëîñü 5 ðàç, ñëåäîâàòåëüíî F ∗ (x) = 50 = 0,1 ïðè 1 < x 6 4. Çíà÷åíèÿ x < 6, à èìåííî x = 1 è x = 4 íàáëþäàëèñü Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 133 15 5+10=15 ðàç, ñëåäîâàòåëüíî F ∗ (x) = 50 = 0,3 ïðè 4 < x 6 6. Àíàëî30 ∗ ãè÷íî ïîëó÷àåì F (x) = 50 = 0,6 ïðè 6 < x 6 7 è ò.ä. Òàê êàê 10  íàèáîëüøàÿ âàðèàíòà, F ∗ (x) = 1 ïðè x > 10.  ïðè x 6 1,     0,1 ïðè 1 < x 6 4,     0,3 ïðè 4 < x 6 6, 0,6 ïðè 6 < x 6 7, F ∗ (x) =   0,7 ïðè 7 < x 6 8,       0,9 ïðè 8 < x 6 10, 1 ïðè x > 10. F *(x) 1 0.9 0.7 0.6 0.3 0.1 1 Ðèñ. 25. 4 6 7 8 10 x Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ãðàôèê íàéäåííîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 25. Èç îïðåäåëåíèÿ F ∗ (x) âûòåêàþò å¼ ñâîéñòâà: 1) 0 6 F ∗ (x) 6 1; 2) F ∗ (x)  ñòóïåí÷àòàÿ íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ; 3) åñëè x1  íàèìåíüøàÿ, à xk  íàèáîëüøàÿ âàðèàíòû, òî F ∗ (x) = 0 ïðè x 6 x1 è F ∗ (x) = 1 ïðè x > xk . Ãèñòîãðàììà ïðåäñòàâëÿåò âûáîðêó áîëåå íàãëÿäíî. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû ðàçäåëèì âåñü äèàïàçîí íàáëþäåíèé íà s èíòåðâàëîâ âèäà (aj−1 ; aj ] è îïðåäåëèì êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé mj , ïîïàâøèõ â j -é èíòåðâàë. Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ â 134 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. mj j -é èíòåðâàë ðàâíà Pj∗ = (m1 + . . . + ms = n), ñóììà âñåõ ÷àn ñòîò, î÷åâèäíî, ðàâíà åäèíèöå. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû ïî îñè Pj∗ mj îðäèíàò îòêëàäûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ = . Ïîëó÷åííàÿ ∆aj n · (aj − aj−1 ) ôèãóðà, ñîñòîÿùàÿ èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ, íàçûâàåòñÿ ãèñòîãðàììîé îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò. Ïëîùàäü êàæäîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòå íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ â äàííûé èíòåðâàë. Äëÿ äàííûõ ïðèìåðà 7.4 ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: N ï/ï aj−1 aj mj Pj∗ = 1 2 3 4 3 6 9 3 5 6 25 9 15 12 5 0.1 0.5 0.3 0.1 mj n Pj∗ ∆aj 1/30 5/30 3/30 1/30 Ïîëó÷èâøàÿñÿ ãèñòîãðàììà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 26. 5 30 3 30 1 30 Ðèñ. 26. 3 6 9 12 x Ãèñòîãðàììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò Äðóãèì íàãëÿäíûì ñïîñîáîì ïðåäñòàâëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëèãîí îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò. Äëÿ åãî ïîñòðîåíèÿ ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâàþòñÿ âàðèàíòû, à ïî îñè îðäèíàò  îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû (ðèñ. 27), è ïîëó÷åííûå òî÷êè ñîåäèíÿþòñÿ ëîìàíîé ëèíèåé. Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 135 Pi* 0.3 0.2 0.1 1 Ðèñ. 27. 4 6 7 8 10 x Ïîëèãîí îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò Äëÿ âûáîðêè èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ãèñòîãðàììà ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì àíàëîãîì ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, à äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëèãîí îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì àíàëîãîì ìíîãîóãîëüíèêà âåðîÿòíîñòåé. Ïðè óâåëè÷åíèè îáú¼ìà âûáîðêè ýòè ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè â îïðåäåë¼ííîì ñìûñëå ïðèáëèæàþòñÿ ê ñâîèì òåîðåòè÷åñêèì àíàëîãàì. 7.1. Íàðÿäó ñ ãèñòîãðàììîé è ïîëèãîíîì îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò èíîãäà ðàññìàòðèâàþò ñîîòâåòñòâåííî ãèñòîãðàììó è ïîëèãîí ÷àñòîò, îòëè÷àþùèåñÿ ìàñøòàáîì ïî îñè îðäèíàò  âñå çíà÷åíèÿ ïî îñè îðäèíàò óìíîæàþòñÿ íà n  îáú¼ì âûáîðêè. Ïîíÿòíî, ÷òî ôîðìó ïîëó÷àåìûõ ôèãóð ýòî íå èçìåíÿåò. Çàìå÷àíèå 7.4. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ãèñòîãðàììà ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â äàííîé ñåðèè èñïûòàíèé. Îäíàêî èíîãäà öåëåñîîáðàçíî îãðàíè÷èòüñÿ áîëåå ïðîñòîé, õîòÿ è íåïîëíîé õàðàêòåðèñòèêîé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðîñòåéøåé õàðàêòåðèñòèêîé ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, êîòîðîå äëÿ ïðîñòîé ñòàòèñòè÷åñêîé ñîâîêóïíîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: n 1X x̄ = xi . (7.1) n i=1 136 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Åñëè äàííûå ñãðóïïèðîâàíû, òî: 1X mi · xi . x̄ = n i=1 k (7.2) Èíûìè ñëîâàìè, âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíåå âçâåøåííîå çíà÷åíèå, ïðè÷¼ì âåñà ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ÷àñòîòàì. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îòíîñèòåëüíî å¼ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ èñïîëüçóåòñÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ 1X (xi − x̄)2 = (x − x̄)2 S = n i=1 n 2 (7.3) äëÿ ïðîñòîé ñîâîêóïíîñòè è 1X S = mi (xi − x̄)2 n i=1 k 2 (7.4) äëÿ ñãðóïïèðîâàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Î÷åâèäíî, âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è êâàäðàò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïðàêòè÷åñêè óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ âåëè÷èíîé, èìåþùåé òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è äàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî èç äèñïåðñèè èçâëå÷ü êâàäðàòíûé êîðåíü. Ýòà âåëè÷èíà √ S = S2 (7.5) íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì (ÑÊÎ). Íà ïðàêòèêå âìåñòî ôîðìóëû (7.3) áûâàåò óäîáíåå ïðèìåíÿòü äðóãóþ: n 1X 2 S2 = x − (x̄)2 = x2 − x2 (7.6) n i=1 i äëÿ ïðîñòîé ñîâîêóïíîñòè è 1X mi x2i − (x̄)2 n i=1 k S2 = äëÿ ñãðóïïèðîâàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. (7.7) Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 137 Äîêàæåì ôîðìóëó (7.6): 1X 2 1X S = (xi − x̄)2 = (x − 2xi x̄ + x̄2 ) = n i=1 n i=1 i n n 2 1X 2 1X = xi − 2x̄ xi + x̄2 = x2 − 2x̄ · x̄ + x̄2 = x2 − x2 . n i=1 n i=1 n n 7.4. Ìîäîé ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (îáîçíà÷àåòñÿ MO ) íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèå, êîòîðîå íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ â èññëåäóåìîé âûáîðêå. Îïðåäåëåíèå Äëÿ ïðîñòîé ñòàòèñòè÷åñêîé ñîâîêóïíîñòè ìîäà âû÷èñëÿåòñÿ ïðîñòûì ïîäñ÷¼òîì. Íàïðèìåð, äëÿ âàðèàöèîííîãî ðÿäà {2, 2, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7}, MO = 5, ò.ê. çíà÷åíèå 5 âñòðå÷àåòñÿ ÷àùå äðóãèõ. Äëÿ ñãðóïïèðîâàííîé âûáîðêè çíà÷åíèå äëÿ ìîäû íåîáõîäèìî àïïðîêñèìèðîâàòü. Ôîðìóëà áóäåò ïðèâåäåíà íèæå (7.8). Ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå èìåþò íåñêîëüêî íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ çíà÷åíèé, íàçûâàþòñÿ ìóëüòèìîäàëüíûìè èëè ïîëèìîäàëüíûìè. Íàïðèìåð, äëÿ âàðèàöèîííîãî ðÿäà: {1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7}, ìîäàìè áóäóò òðè çíà÷åíèÿ MO = {2, 5, 6}. Îïðåäåëåíèå 7.5. Ìåäèàíîé (Me ) íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèå, êîòîðîå ðàçáèâàåò âûáîðêó íà äâå ðàâíûå ÷àñòè. Ïîëîâèíà íàáëþäåíèé ëåæèò íèæå (ëåâåå) ìåäèàíû, à äðóãàÿ ïîëîâèíà âûøå (ïðàâåå) ìåäèàíû. Äëÿ ïðîñòîé ñòàòèñòè÷åñêîé ñîâîêóïíîñòè ìîäà âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èññëåäóåìàÿ âûáîðêà {xi } ñîðòèðóåòñÿ â ïîðÿäêå íå óáûâàíèÿ çíà÷åíèé ýëåìåíòîâ. Äàëåå, åñëè îáú¼ì
âûáîðêè íå÷¼òíîå ÷èñëî, òî Me = x(n+1)/2 , èíà÷å Me = xn/2 + xn/2+1 /2. Íàïðèìåð, äëÿ âàðèàöèîííîãî ðÿäà {1, 3, 5, 7, 9, 9, 12} ìåäèàíà ðàâíà ÷åòâ¼ðòîìó ýëåìåíòó Me = 7, à äëÿ âàðèàöèîííîãî ðÿäà {1, 3, 5, 7, 9, 12} ìåäèàíà ðàâíà òðåòüåãî è ÷åòâ¼ðòîãî ýëåìåíòîâ Me = (5 + 7)/2 = 6. Äëÿ ñãðóïïèðîâàííîé âûáîðêè ÷èñëîâîå çíà÷åíèå äëÿ ìåäèàíû íåîáõîäèìî àïïðîêñèìèðîâàòü. Ôîðìóëà áóäåò ïðèâåäåíà íèæå (7.9). 138 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Äëÿ âûáîðêè, ïðåäñòàâëåííîé â âèäå ñãðóïïèðîâàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, çíà÷åíèå ìîäû àïïðîêñèìèðóþòñÿ â íåêîòîðóþ òî÷êó ìîäàëüíîãî èíòåðâàëà (âíóòðè êîòîðîãî íàõîäèòñÿ ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå): fmo − fmo−1 M0 = X 0 − h , (7.8) fm0−1 − 2fmo + fmo+1 ãäå XO  íèæíåå çíà÷åíèå ìîäàëüíîãî èíòåðâàëà; fmo , fmo−1 , fmo+1  çíà÷åíèå ÷àñòîò â ìîäàëüíîì, ïðåäûäóùåì è ñëåäóþùåì èíòåðâàëàõ, ñîîòâåòñòâåííî; h  ðàçìàõ ìîäàëüíîãî èíòåðâàëà. Äëÿ âûáîðêè, ïðåäñòàâëåííîé â âèäå ñãðóïïèðîâàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, çíà÷åíèå ìåäèàíû àïïðîêñèìèðóþòñÿ â íåêîòîðóþ òî÷êó Me ìåäèàííîãî èíòåðâàëà ïî ôîðìóëå: mP s 1 −1 P 0,5 fk − fk k=1 k=1 (7.9) Me = X 0 + h , fme ãäå XO  íèæíÿÿ ãðàíèöà, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ìåäèàíà (ìåäèàííûé èíòåðâàë); fme  çíà÷åíèå ÷àñòîòû â ìåäèàííîì èíòåðâàëå; h  ðàçìàõ ìåäèàííîãî èíòåðâàëà. 7.5. Ïîêàæåì, êàê ïîñòðîèòü ãèñòîãðàììó è ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, âû÷èñëèòü ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû íà Maxima. Ñôîðìèðóåì ìàññèâ x âûáîðêè n = 500 ñ ïîìîùüþ äàò÷èêà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Ïðèìåð Maxima-ïðîãðàììà: (%i0) kill(all)$ fpprintprec:4$ (%i4) load(distrib)$ numer:true$ n:500$ /*Ãåíåðèðóåì âûáîðêó îáú¼ìà n ïñåâäîñëó÷àéíûìè ÷èñëàìè. */ (%i5) x:random_normal(145, 15, n)$ /*Èçìåíÿåì çíà÷åíèå âûáîðêè äîáàâëåíèåì ñëó÷àéíûõ ÷èñåë â äèàïàçîíå îò 0 äî 10.*/ (%i6)x:makelist(x[i]+random(10),i,1,n)$ /*Çàãðóæàåì áèáëèîòåêó descriptive.*/ (%i7) load (descriptive)$ /*Ñòðîèì ãèñòîãðàììó ÷àñòîò.*/ Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ãèñòîãðàììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò äëÿ ïðèìåðà 7.5 Ðèñ. 28. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïðèìåðà 7.5 Ðèñ. 29. 139 140 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. (%i8) histogram(x, nclasses=20, title="çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ", xlabel="x", ylabel="÷àñòîòû", fill_color=black, fill_density=0.05); /*Ñîðòèðóåì ñïèñîê â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ çíà÷åíèé.*/ (%i9) x:sort(x)$ /*Ðàçáèâàåì âûáîðêó îáú¼ìà n íà s èíòåðâàëîâ äëèíîé delta. */ (%i10) s:20$ delta:(x[n]-x[1])/s; /*T  ìàññèâ óçëîâûõ êîîðäèíàò ðàçáèåíèÿ. */ (%i12) T:makelist(x[1]+delta*k,k,-1,s+1); /*Êîîðäèíàòû ñðåäíèõ òî÷åê îòðåçêîâ.*/ (%i13) t:makelist((T[m]+T[m+1])/2,m,1,s+2); /* ×àñòîòû ïîïàäàíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè.*/ (%i14) h:makelist(0, i, 1, s+2); for j:1 while j<=n do( k:fix((x[j] -x[1])/delta)+1,h[k]:h[k]+1); /*Êîíòðîëüíàÿ ñóììà îáú¼ìà âûáîðêè.*/ (%i15) sum(h[i],i,1,s+2); (%o15) 500 /*Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.*/ (%i16) F[1]:h[1]; for j:2 while j<=s+2 do(F[j]:F[j-1]+h[j]); (%i17) listarray(F); /*Ãðàôèê ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.*/ (%i18) wxplot2d([['discrete,makelist([t[j],F[j]/n],j,1,s+2)]], [style,[lines,3,5]], [gnuplot_preamble,"set grid"], [ylabel,""])$ /* Íàéäåì òàêæå íåêîòîðûå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè äàííîé âûáîðêè: Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå.*/ (%i19) mean(x); Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 141 /* Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ. (%i20) var(x); /* Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.*/ (%i21) std(x); /* Íåñìåùåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ.*/ (%i22) var1(x); /* Íåñìåùåííîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.*/ (%i23) std1(x); /* Ìåäèàíà.*/ (%i24) median(x); 7.5. Òî÷å÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ è ÑÊÎ ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè òî÷å÷íûõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. 7.6. Òî÷å÷íîé îöåíêîé e an íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà a ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ îò íàáëþäåíèé: e an = e a(x1 , . . . , xn ). Îïðåäåëåíèå Äëÿ èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ ýòîé îöåíêè å¼ ðàññìàòðèâàþò êàê ôóíêöèþ îò n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn , èìåþùèõ òàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òî è ξ ; x1 , . . . , xn â ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íàáëþäåíèÿ íàä ýòèìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè: x1  ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ξ1 , x2  íàáëþäåííîå çíà÷åíèå ξ2 è ò.ä. Ñàìà îöåíêà e an â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà òî÷å÷íîé îöåíêè e an , êîòîðûå ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ ¾õîðîøèìè¿. Îïðåäåëåíèå 7.7. Îöåíêà e an íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè ïðè n → ∞ îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó a: lim P {|e an − a| < ε} = 1 äëÿ ∀ ε > 0. n→∞ 142 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îïðåäåëåíèå 7.8. Îöåíêà e an íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé, åñëè å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó a: M (e an ) = a. Èíîãäà òî÷å÷íûå îöåíêè îáëàäàþò áîëåå ñëàáûì ñâîéñòâîì: èõ ñìåùåíèå M (e an ) − a ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Òàêèå îöåíêè íàçûâàþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåù¼ííûìè. 7.9. Íåñìåù¼ííàÿ îöåíêà e an íàçûâàåòñÿ ýôôåêåñëè å¼ äèñïåðñèÿ íàèìåíüøàÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè íåñìåù¼ííûìè îöåíêàìè. Îïðåäåëåíèå òèâíîé, Íà ïðàêòèêå îöåíêà íå âñåãäà óäîâëåòâîðÿåò âñåì ýòèì òðåáîâàíèÿì îäíîâðåìåííî. 7.6. Äîêàçàòü, ÷òî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå x̄ ÿâëÿåòñÿ íåñìåù¼ííîé è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (ãåíåðàëüíîãî ñðåäíåãî) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïðèìåð IÎáîçíà÷èì M (ξ) = a, D(ξ) = σ 2 . Ðàññìàòðèâàÿ x̄ êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, íàéäåì å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Ïðè ýòîì, êàê áûëî îòìå÷åíî ðàíåå, ñ÷èòàåì M (ξ1 ) = . . . = M (ξn ) = a, D(ξ1 ) = . . . = D(ξn ) = σ 2 .  M (ξ) = M  n X  ξi  = n X i=1 M (ξi ) = na = a. n n n Íåñìåù¼ííîñòü âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî äîêàçàíà. Îöåíèì òåïåðü äèñïåðñèþ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî: n X  n  D(ξi ) X nσ 2 σ2 i=1 ξ i  = D(ξ) = D  = = . n2 n2 n i=1 n  ñîîòâåòñòâèè ñ íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà (òåîðåìà 5.3) ïîëó÷àåì ∀ ε > 0:  σ 2 /n 1 > P ξ − M (ξ) < ε > 1 − 2 . ε Çàìåíÿÿ M (ξ) = a è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷àåì  1 > lim P ξ − a < ε > 1, i=1 n→∞ Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. îòêóäà ïîëó÷àåì: lim P n→∞  143 ξ − a < ε = 1. Ýòî ðàâåíñòâî è îçíà÷àåò ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè x̄. 7.2. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå áóäåò ýôôåêòèâíîé îöåíêîé ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Çàìå÷àíèå Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ S 2 ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé è ñìåù¼ííîé îöåíêîé äèñïåðñèè σ 2 : M (S 2 ) = n−1 2 σ . n (7.10) Ïðèìåì ýòî áåç äîêàçàòåëüñòâà. Ïðè ìàëûõ îáú¼ìàõ âûáîðêè n äëÿ îöåíêè äèñïåðñèè σ 2 èñïîëü2 çóþò èñïðàâëåííóþ âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ S ∗ : 1 X n S2 = (xi − x̄)2 . = n−1 n − 1 i=1 n S ∗2 (7.11) Îöåíêà S ∗ ÿâëÿåòñÿ íåñìåù¼ííîé, ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé äèñïåðñèè σ 2 . 2 Ôîðìóëà (7.11) ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü S ∗ äëÿ ïðîñòîé ñîâîêóïíîñòè. Äëÿ ñãðóïïèðîâàííûõ äàííûõ èñïîëüçóþò àíàëîãè÷íóþ ôîðìóëó (7.12): 2 1 X = ni (xi − x̄)2 . n − 1 i=1 k S Çàìå÷àíèå êîé ÑÊÎ S . ∗2 (7.12) 7.3. Èñïðàâëåííîå ÑÊÎ S ∗ ÿâëÿåòñÿ ñìåù¼ííîé îöåí- 7.6. Ðàñïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóåìûå â ñòàòèñòèêå Ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè íåïðåðûâíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ðàñïðåäåëåíèå χ2 (õè-êâàäðàò). Ïóñòü èìååòñÿ n íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , ξi ∼ N (0; 1), i = 1, . . . , n. 144 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îïðåäåëåíèå 7.10. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû χ2n = n X íàçûâàåòñÿ χ2 ðàñïðåäåëåíèåì ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. ξi2 i=1 Î÷åâèäíî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà χ2n > 0. Ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:  k −1   x 2  e− x2 ïðè x > 0, k k f (x) = 2 Γ 2 2   ïðè x < 0. Çäåñü Γ(x) = R∞ tx−1 · e−t dt  ãàììà ôóíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ îáîáùå- íèåì ïîíÿòèÿ ôàêòîðèàëà: Γ(x) = (x − 1)! ïðè x > 1. Çàìå÷àíèå 7.4. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn ñâÿçàíû êàêîéíèáóäü çàâèñèìîñòüþ, íàïðèìåð ξ1 + . . . + ξn = n · x, òî ÷èñëî ñòån X ïåíåé ñâîáîäû óìåíüøàåòñÿ, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξi2 áóäåò èìåòü ðàñïðåäåëåíèå χ2n−1 . i=1 Ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà. Ïóñòü èìååòñÿ n + 1 íåçàâèñèìàÿ ñòàíäàðòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ, ξ1 , . . . , ξn . Îïðåäåëåíèå 7.11. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ t= r χ2n n íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:   n+1 2 2 1 + x2 f (x) = n−1  √ . 2 2 Γ n2 πn Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íóëÿ (ïëîòíîñòü  ÷¼òíàÿ ôóíêöèÿ), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî íóëþ. Ñòüþäåíò  ïñåâäîíèì àíãëèéñêîãî ñòàòèñòèêà Ãîññåòà. Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 145 F Ðàñïðåäåëåíèå ÔèøåðàÑíåäåêîðà. Ïóñòü èìååòñÿ n + k íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ âåëè÷èí: ξ1 , . . . , ξn ; ζ1 , . . . , ζk ; ξi ∼ N (0; 1), i = 1, . . . , n; ζi ∼ N (0; 1), j = 1, . . . , k . Îïðåäåëåíèå 7.12. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû χ2n Fn,k = n2 χk k íàçûâàåòñÿ Fðàñïðåäåëåíèåì ÔèøåðàÑíåäåêîðà (ðàñïðåäåëåíèåì Ôèøåðà èëè Fðàñïðåäåëåíèåì) ñ n, k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Î÷åâèäíî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Fn,k > 0. Ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:  m + k     n  n2  Γ  n n − n+k 2  −1 2 2 · x 1 + x n k  f (x) = k k  ·Γ Γ   2 2  ïðè x > 0, ïðè x < 0. Äëÿ âñåõ ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé èìåþòñÿ òàáëèöû ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ; èõ ìîæíî òàêæå âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì íà ÝÂÌ (òàêèõ, êàê Excel, Mathcad, Maxima è ïðî÷.). 7.7. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ Íàðÿäó ñ ðàññìîòðåííûìè òî÷å÷íûìè îöåíêàìè, îïðåäåëÿåìûìè îäíèì ÷èñëîì, èñïîëüçóþò èíòåðâàëüíûå îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìûå äâóìÿ ÷èñëàìè  êîíöàìè èíòåðâàëà, äàþùèìè âåðîÿòíîñòíóþ îöåíêó ñâåðõó è ñíèçó íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü ïðè ìàëîì îáú¼ìå âûáîðêè, êîãäà äèñïåðñèÿ òî÷å÷íîé îöåíêè âåëèêà è îíà ìîæåò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îò îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà. 7.13. Äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì äëÿ íåñìåù¼ííîãî ïàðàìåòðà a íàçûâàþò èíòåðâàë (a1 ; a2 ) ñî ñëó÷àéíûìè ãðàíèöàìè, çàâèñÿùèìè îò íàáëþäåíèé: a1 = a1 (x1 , . . . , xn ), a2 = = a2 (x1 , . . . , xn ), íàêðûâàþùèé íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ γ : P {a ∈ (a1 ; a2 )} = γ . Âåðîÿòíîñòü γ íàçûâàåòñÿ Îïðåäåëåíèå 146 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ èëè íàäåæíîñòüþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. Îáû÷íî γ çàäàþò ðàâíûì 0,95; 0,99 è áîëåå. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Iγ äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè èìååò âèä:  σ σ  Iγ = x̄ − τγ/2 √ ; x̄ + τγ/2 √ , (7.13) n n ãäå âåëè÷èíà τγ/2 îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ: γ Φ(τγ/2 ) = (7.14) 2 ïî òàáëèöàì ôóíêöèè Ëàïëàñà èëè ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà, à x̄  âûáîðî÷íîå ñðåäíåå. Çàìå÷àíèå 7.5. Ïðè âîçðàñòàíèè îáú¼ìà âûáîðêè n, êàê âèäíî èç (7.13), äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë óìåíüøàåòñÿ. Ïðè óâåëè÷åíèè íàäåæíîñòè γ óâåëè÷èâàåòñÿ âåëè÷èíà τγ/ , ò.ê. ôóíêöèÿ Ëàïëàñà â (7.14) âîçðàñòàþùàÿ; ñëåäîâàòåëüíî, óâåëè÷èâàåòñÿ è äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (7.13). Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà (7.13) çàìåòèì, ÷òî åñëè íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi ∼ N (a; σ), i = 1, . . . , n, òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ξ¯ = (ξ1 + . . . ξn )/n òîæå ðàñïðåäåëåíî íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè: ¯ = a, σ(ξ) ¯ = √σ . M (ξ) (7.15) n Ôîðìóëû (7.15) áûëè ïîëó÷åíû â ïðèìåðå 7.1. Áóäåì èñêàòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ a â âèäå: P {|ξ¯ − a| < ε} = γ, (7.16) ãäå γ  çàäàííàÿ äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ε âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (5.7), êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå ñ ó÷¼òîì (7.15) ïðèíèìàåò âèä:  ε  √ . P {|ξ¯ − a| < ε} = 2Φ σ/ n Íàéä¼ì ε èç óðàâíåíèÿ:  ε  γ  ε  ε √ √ √ = τ γ =⇒ = γ =⇒ Φ = =⇒ 2Φ 2 2 σ/ n σ/ n σ/ n σ ε = τγ · √ . 2 n Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 147 Ñ ó÷¼òîì ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû ε äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (7.16) ïðèíèìàåò âèä (7.13). Ïðèìåð 7.7. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Iγ äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñî ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ = 2 ïî âûáîðêå îáú¼ìà n = 64 ñ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì x̄ = 5,2. Íàäåæíîñòü äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà γ = 0,95. I Èç óðàâíåíèÿ (7.14) ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 2 íàõîäèì äëÿ = 0,475 τ γ = 1,96. Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå â (7.13), ïîëó2 ÷àåì Iγ = (4,71; 5,69). Îòâåò: Iγ = (4,71; 5,69). Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Iγ äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè èìååò âèä:  S∗  S∗ Iγ = x̄ − tγ √ ; x̄ + tγ √ , (7.17) n n γ 2 ãäå âåëè÷èíà tγ îïðåäåëÿåòñÿ ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 3 êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ α = 1 − γ è k = n − 1 èëè ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà èç óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà Fst (x) c n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû: Fst (tγ ) = 1+γ , 2 (7.18) ãäå x̄ è S ∗  ñîîòâåòñòâåííî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è èñïðàâëåííîå ÑÊÎ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà (7.17) ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî åñëè íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi ∼ N (a; σ), i = 1, . . . , n, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà t= ξ¯ − a √ S ∗/ n (7.19) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû (ñì ï. 93.4). Îáîçíà÷èì tγ çíà÷åíèå, ïðè êîòîðîì ñ âåðîÿòíîñòüþ γ âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî: P {|t| < tγ } = γ. (7.20) 148 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ñ ó÷¼òîì ÷åòíîñòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà fst (t) çíà÷åíèå tγ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ: 1−γ P {|t| < tγ } = γ ⇐⇒ P {|t| > tγ } = 1 − γ =⇒ P {t > tγ } = ⇐⇒ 2 1−γ 1+γ ⇐⇒ Fst (tγ ) = . ⇐⇒ 1 − Fst (tγ ) = 2 2 Ïîäñòàâëÿÿ â (7.20) âûðàæåíèå (7.19), ïîëó÷àåì:   ¯   ξ−a ξ¯ − a √ < tγ = γ ⇐⇒ P − tγ < ∗ √ < tγ = γ, P S ∗/ n S / n îòêóäà ïîëó÷àåì äëÿ a äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë â âèäå (7.17). Çàìå÷àíèå 7.6.  íåêîòîðûõ ïàêåòàõ ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì äëÿ ÝÂÌ, íàïðèìåð â Excel, ïîä ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ïîíèìàåòñÿ 1 − Fst (x). Ïîýòîìó, çàäàâàÿ çíà÷åíèå 1 − γ è ÷èñëî ñâîáîäû, ñ ïîìîùüþ îáðàòíîé ôóíêöèè ìîæíî ñðàçó ïîëó÷èòü çíà÷åíèå tγ äëÿ äâóñòîðîííåãî èíòåðâàëà (áåç èñïîëüçîâàíèÿ (7.18)). Óêàçàííûå îñîáåííîñòè ìîæíî óçíàòü èç èíñòðóêöèé ê ïðîãðàììàì. Ïðèìåð 7.8. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Iγ äëÿ íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì x̄ = 10,5 è èñïðàâëåííûì ÑÊÎ S ∗ = 1,6 ïî âûáîðêå îáú¼ìà n = 16. Íàäåæíîñòü äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà γ = 0,99. IÏî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 3 äëÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû k = n−1 = 15 è α = 1 − γ = 0,01 íàõîäèì tγ = 2,95. Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå â (7.17), ïîëó÷àåì çíà÷åíèå äëÿ ðàäèóñà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ε: S∗ 1,6 ε = tγ √ = 2,95 √ = 2,95 · 0,4 = 1,18. n 16 Íàõîäèì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Iγ = (10,5 − 1,18; 10,5 + 1,18) = (9,32; 11,68). Îòâåò: Iγ = (9,32; 11,68). Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 149 7.8. Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè Ðàññìîòðèì âûáîðêó îáú¼ìà n èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè çíà÷åíèé äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; ζ), ò.å. n ïàð íàáëþäåíèé (xi ; yi ). Ïîñêîëüêó ìíîãèå çíà÷åíèÿ â ýòîé âûáîðêå ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, èõ çàíîñÿò â òàê íàçûâàåìóþ êîððåëÿöèîííóþ òàáëèöó (òàáë. 7.4).  ïåðâîì ñòîëáöå ýòîé òàáëèöû ïåðå÷èñëåíû çíà÷åíèÿ xi , âî âòîðîì  yi â âèäå âàðèàöèîííûõ ðÿäîâ. Íà ïåðåñå÷åíèè i-é ñòðîêè Òàáëèöà 7.4 Êîððåëÿöèîííàÿ òàáëèöà ξ\ζ y1 y2 ys ni· x1 n11 n12 n1s n1· x2 n21 n22 n2s n2· xk n·j nk1 nk2 n·1 n·2 nks n·s nk· n è j -ãî ñòîëáöà  ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòîòà nij , ò.å. êîëè÷åñòâî ðàç, êîòîðîå íàáëþäåíèå (xi ; yj ) âñòðåòèëîñü â âûáîðêå. Ïðè îáðàáîòêå êîððåëÿöèîííîé òàáëèöû â ïîñëåäíåì ñòîëáöå óêàçûâàþò ñóììó ÷àñòîò s X ïî ñòðîêàì ni· = nij , à â ïîñëåäíåé ñòðîêå  ñóììó ÷àñòîò ïî j=1 ñòîëáöàì n·j = k X nij . Ñóììà âñåõ ýëåìåíòîâ ïîñëåäíåãî ñòîëáöà èëè i=1 ñòðîêè äàñò îáú¼ì âûáîðêè n= k X s X nij = i=1 j=1 k X ni· = i=1 s X n·j . j=1 Ïåðâûé è ïîñëåäíèé ñòîëáöû êîððåëÿöèîííîé òàáëèöû îáðàçóþò ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , à ïåðâàÿ è ïîñëåäíÿÿ ñòðîêè îáðàçóþò âûáîðêó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ . Îáðàáîòàâ èõ, êàê îïèñàíî â ï. 96.4 ïðåäûäóùåé ëåêöèè, ïîëó÷èì ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè k X x= k X ni· xi i=1 n , x2 = ni· x2i i=1 n , Sx2 = x2 − x2 , 150 Ëåêöèÿ 7. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. s X y= j=1 Îïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ: s X n·j yj y2 = , n·j yj2 j=1 Sy2 = y 2 − y 2 . , n n ∗ 7.14. Âûáîðî÷íûì êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè rxy ∗ rxy = xy − x · y , S x · Sy k X s X ãäå (7.21) nij xi yj i=1 j=1 . (7.22) n Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè, ðàññìîòðåííîãî â ëåêöèè 95, è îí îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ìû ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà: ∗ ∗ 1) rxy = ryx ; 2) Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ îò ∗ −1 äî 1: −1 6 rxy 6 1; ∗ 3) |rxy | = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìåæäó çíà÷åíèÿìè xi è yi ∗ èìååòñÿ ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü. ×åì áëèæå rxy ê íóëþ, òåì õóæå ýòà çàâèñèìîñòü àïïðîêñèìèðóåòñÿ ëèíåéíîé. xy = 7.15. Óñëîâíûì ñðåäíèì yx íàçûâàþò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèé ζ ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ξ = x. Äëÿ êîððåëÿöèîííîé òàáëèöû 7.4 óñëîâíîå ñðåäíåå yx ïîëó÷àåòñÿ óñðåäíåíèåì çíà÷åíèé ζ ïî ñòðîêå, ñîîòâåòñòâóþùåé ξ = x. S P yj n1j Îïðåäåëåíèå Òàê, íàïðèìåð, yx1 = ñðåäíåå xy . j=1 n1 . . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâíîå