Основные понятия дифференциальных уравнений высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Лекция. Основные понятия дифференциальных уравнений высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка Определение. Дифференциальное уравнение порядка выше первого называется дифференциальное уравнение высших порядков. Например дифференциальное уравнение (далее – ДУ) второго порядка в общем случае записывается в виде . Определение. Решением ДУ называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение Общее это функция , где и произвольные постоянные не зависящие от , удовлетворяющая условиям: 1. является решением ДУ для любого фиксированного значение и ; 2. каковы бы ни были начальные условия ; существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения и удовлетворяет начальным условиям. Частное всякое решение уравнения, получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных ; . Задача нахождения решения ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши. Теорема (существования и единственности решения задачи Коши) Если в уравнении функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области Д изменения переменных и , то для всякой точки существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; . Задача Коши для ДУ п-го порядка: найти решение ДУ удовлетворяющее начальным условиям: ; ; Метод интегрирования ДУ высших порядков – метод понижения порядка. Суть метода: с помощью замены данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже. Рассмотрим 3 типа уравнений 1 тип ход решения: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения. 2 тип а) не содержит явно искомой функции . Замена ; , где б) не содержит независимую переменную . Замена ; получаем уравнение с разделяющимися переменными. в) Замена ; и уравнение примет вид . 3 тип а) которое не содержит явно независимую переменную . Вводим новую переменную , пологая уравнение запишем в виде - общее решение ДУ. б) . Замена ; ;