Основные методы получения точечных статистических оценок

Элементы теории точечного параметрического оценивания Постановка задачи. Имеется Х  ( X1 ,..., X n ) – НПВ из генеральной совокупности  , распределение которой принадлежит параметрическому семейству P ,   Rk .   (1 ,...,k )  – неизвестный k-мерный параметр этого распределения. Надо построить точечную оценку для заданной параметрической функции g( ) – оценить величину g( ) . Основные методы получения точечных статистических оценок 1) Метод моментов. 2) Метод квантилей. 3) Метод максимального правдоподобия. 4) Метод подстановки. Метод моментов. Пусть  имеет начальные моменты до k–го порядка включительно. Берем начальные моменты m1,...,mk (или центральные моменты 2 , . . .  , k) и приравниваем их к соответствующим выборочным аналогам m1* ,...,mk* (или 2 ,...,k ). Получаем систему уравнений метода моментов:  m1  m1*   2   2*  или  ... ...   * *   m  m  k  k  k  k относительно неизвестных параметров 1 ,..., k . Далее решаем систему относительно * 1 ,..., k . Решение системы называют оценкой параметра обозначение ОММ . *  по методу моментов. Ее Метод квантилей. Берем какие–либо r различных квантилей { x pk , k  1,...,r} распределения  и приравниваем их к выборочным квантилям { x *pk , k  1,...,r} . Получаем систему уравнений метода квантилей:  x p1  x*p1  ...   x  x* pr  pr Решение этой системы относительно методу квантилей. Ее обозначение ОМК .  называют оценкой параметра  по Примечание. Обычно метод квантилей используется только для распределений непрерывного типа, у которых функция распределения FX ( х ) непрерывна. Для нахождения ОМК уравнение метода квантилей можно записать в следующей эквивалентной форме: FX ( х р )  p * Функция правдоподобия выборки Функцией правдоподобия выборки Х  ( X1 ,..., X n ) называется случайная величина L( ; Х )  L( ; X1 ,..., X n ) , значения которой при Х  x  ( x1 ,..., xn ) определяются с помощью соотношений: n L( ; x )   P (  x i ), если   P (  x );  i i 1 L( ; x )  n  i 1 f ( x i , ), если   f ( x, ). Метод максимального правдоподобия Статистику ОМП называют оценкой максимального правдоподобия параметра  , если при этом значении параметра функция правдоподобия выборки достигает своего супремума (sup): L( ОМП ; Х )  sup L( ; X ).   Для нахождения оценки используются следующие соображения. 1) sup может достигаться во внутренней точке области  , в точке локального экстремума. В этом случае для нахождения ОМП используется необходимое условие экстремума  L( , Х ) 0   1 ...  L( , Х ) 0    r 2) sup может достигаться на границе области  . 3) Точки sup функций L( ; Х ) и ln L( ; Х ) достигаются при одном и том же значении параметра  . Поэтому для нахождения ОМП лучше использовать необходимое условие экстремума   ln L( , Х ) 0  1  ...   ln L( , Х ) 0   r  Теорема Зехна (принцип инвариантности для ОМП). Пусть ОМП – ОМП параметра    R , g   – k –мерная функция, причем G – множество ее значений – содержит некоторый k –мерный параллелепипед. r Тогда оценка по методу подстановки g(ОМП ) является оценкой максимального правдоподобия для функции g( ) .