Справочник от Автор24
Эконометрика

Конспект лекции
«Статистическое оценивание параметров»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по эконометрике / Статистическое оценивание параметров

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Статистическое оценивание параметров», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Статистическое оценивание параметров». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Статистическое оценивание параметров», текстовый формат

Статистическое оценивание параметров Методы описательной статистики, представленные ранее, используются для лаконичного и компактного описания информации, содержащейся в массиве необработанных данных. После выбора и обоснования математической модели механизма изучаемого явления очередной становится задача статистического оценивания неизвестных значений параметров, участвующих в описании анализируемой модели. Изложению основных элементов этой задачи и посвящена настоящая глава. Постановка задачи оценивания параметров Пусть мы располагаем исходными статистическими данными – выборкой x1 , x2 ,, xn  из исследуемой генеральной совокупности и пусть интересующие нас свойства этой генеральной совокупности могут быть описаны с помощью уравнения (математической модели)  x,   0 , где x – текущее (т.е. подставляемое по нашему усмотрению) значение исследуемого случайного признака,   1 ,, k  – k -мерный параметр, определяющий модель, значения которого неизвестны до получения выборки. Задача статистического оценивания неизвестных параметров  по данной выборке заключается в построении такой k -мерной функции ~   Τ x1 ,, xn  от имеющихся у нас наблюдений, которая давала бы в определенном смысле наиболее точные приближенные значения для истинных (не известных нам) значений параметров   1 ,, k  . Здесь не уточняется ~ ~ пока, в каком именно смысле приближенные значения 1 ,  ,  k соответственно параметров 1 , , k являются наилучшими. В качестве математических моделей могут рассматриваться модели законов распределения вероятностей, модели статистических зависимостей, существующих между анализируемыми показателями и т. п. Например, пусть нашей целью является исследование закона распределения наблюдаемой дискретной случайной величины Χ . На основании общетеоретических рассуждений есть основание считать, что таким законом является распределение Пуассона, Χ~Π λ . Тогда в качестве искомой модели используется соотношение λx Ρ Χ  x,λ   e  , x! где x принимает лишь целочисленные значения, а   ΜΧ – неизвестный параметр   1  . Если исследуется закон распределения непрерывной случайной величины Χ , и предварительный анализ природы исходных данных, осуществляемый с помощью методов описательной статистики, приводит нас к выводу, что этот закон может быть описан нормальной моделью, т.е. Χ~Ν a,σ  , то в качестве модели принимается функция плотности вероятности   x a 2 1 2 e 2 , 2  2 где a  ΜΧ  1 ,   DΧ   2 ,   1 , 2  – неизвестны. И, наконец, речь может идти о построении линейной функции y  a  bx , где y – расходы на приобретение определенной группы товаров, x – располагаемый доход, a и b – неизвестные параметры, значения которых неизвестны до получения наблюдений над переменными x и y . В дальнейшем будем рассматривать, в основном, модели законов распределения вероятностей, т.е. будем считать, что случайная величина Χ имеет плотность p x;  , зависящую от параметра  , одномерного или многомерного, принимающего значения из некоторого множества ,    . В частности, если p x;  – одномерная плотность и независимая выборка получена из распределения с этой плотностью, то n -мерная плотность, соответствующая выборке равна произведению f  x, a ,    n p  Χ; θ   p  x1 ,x2 , ,xn ;θ    p  xi ;θ  . i 1 Хотя мы будем далее говорить о px; θ  как о плотности, все сказанное с очевидными видоизменениями будет применено и к дискретным случайным величинам с законом распределения px;θ   ΡΧ  x;θ, где x принимает счетное или конечное множество значений. Свойства точечных оценок Итак, задача оценивания параметра  , определяющего распределение p x; , состоит в нахождении такой функции ~ θ  Τ  x1 ,x 2 , ,x n  от рассматриваемой выборки, которая в каком-либо смысле близка к параметру  . При этом предполагается, что эта функция не зависит от значения оцениваемого параметра θ . Вообще, любая функция рассматриваемого вида от выборки называется статистикой. ~ Статистика  , используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра θ , называется статистической оценкой. Оценка, полученная в виде одного числа – точки на числовой оси, называется точечной. Все статистики и статистические оценки являются случайными величинами, принимающими различные значения при переходе от одной выборки к другой (даже в рамках одной и той же генеральной совокупности). Однако, значения оценки, подсчитанные по разным выборкам и подверженные случайному разбросу, должны концентрироваться около истинного значения оцениваемого параметра. Это обеспечивается требованиями, предъявляемыми к точечным оценкам, которые формулируются обычно с помощью следующих трех свойств оценок: состоятельности, несмещенности и эффективности. ~ Состоятельность. Оценка  неизвестного параметра θ называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений n (т.е. при n   ) она сходится по вероятности к оцениваемому значению θ , т.е. если для сколь   угодно малого   0 при n   Ρ       0 . ~ Несмещенность. Оценка  неизвестного параметра θ называется несмещенной, если при любом объеме выборки n результат ее усреднения по всем возможным выборкам данного объема приводит к точному истинному ~ значению оцениваемого параметра, т. е. Μ   . ~ Эффективность. Оценка  параметра θ называется эффективной, если она среди всех прочих оценок того же самого параметра обладает наименьшей мерой случайного разброса относительно его истинного значения, т.е. ~ ~ она имеет минимальную дисперсию: D   min ~ D .  Методы статистического оценивания неизвестных параметров Метод максимального (наибольшего) правдоподобия Пусть независимая выборка x1 , x2 ,, xn  извлечена из генеральной совокупности, вероятностные свойства которой описываются функцией p x ,θ , зависящей от одного или нескольких параметров θ . Функцию вида p  x1,  p  x2 ,  n p  xn ,    p  xi ,  i 1 можно рассматривать с двух точек зрения. С точки зрения теории вероятностей – это совместная плотность распределения выборки, где xi являются текущими значениями, а параметр θ фиксирован. С точки зрения математической статистики, наоборот, фиксированными являются значения xi (в реальных наблюдениях – это числа), а параметр θ неизвестен. Поэтому эта функция, именно в таком смысле, будет функцией аргумента θ : n L    pxi ,  . i 1 А так как функция L  задает вероятность получения при извлечении выборки объема n именно наблюдений x1 , , xn (или величину, пропорциональную вероятности получения приблизительных значений в непосредственной близости от этих точек в непрерывном случае), то чем больше зна- чение L  , тем правдоподобнее (или более вероятна) система наблюдений x1 , x2 , , xn  при заданном значении параметра θ . Отсюда и название функции L  – функция правдоподобия. Оценкой максимального правдоподобия (МП-оценкой) называется оценка ~  мп  T  x1 ,, xn  , которая обращает в максимум функцию правдоподобия: ~ L  мп  max L  .     Таким образом, согласно методу максимального правдоподобия, в фор~ мальной записи МП-оценка  мп параметра θ по независимым наблюдениям x1 , x2 , , xn может быть представлена в виде n  мп  arg max  pxi ,  . ~   i 1 Естественность такого подхода к определению статистических оценок вытекает из смысла функции правдоподобия. Действительно, по определению функция Lθ  при каждом фиксированном значении параметр θ является мерой правдоподобности получения набора x1 , x2 , , xn . Поэтому, изменяя значения параметра θ при данных конкретных (имеющихся у нас) величинах x1 , x2 , , xn , мы можем проследить, при каких значениях θ эти наблюдения являются более правдоподобными, а при каких – менее и выбрать в конечном ~ счете такое значение параметра  МП , при котором имеющаяся у нас выборка наблюдений x1 , x2 , , xn выглядит наиболее правдоподобной (очевидно, что ~ это значение  мп определяется конкретными значениями x1 , x2 , , xn , т. е. является некоторой функцией от них). Так, например, пусть Χ – заработная плата работников, подчиненная логарифмически нормальному закону ( ln Χ ~ N  a,  ). И пусть с целью определения приближенной оценки средней величины логарифма заработной платы работников a  Μ ln Χ  мы зафиксировали значения заработной платы x1  190 ден. ед., x2  175 ден. ед. и x3  205 ден. ед. у трех случайно отобранных из интересующей нас совокупности работников. Тогда, расположив yi  ln xi i  1,2,3 на оси возможных значений нормально распределенной случайной величины Υ  ln Χ , мы будем стараться подобрать такое значение a~мп параметра a в N a,  -распределении, при котором наши наблюдения y1 , y2 , y3 выглядели бы наиболее правдоподобными, а именно, при котором   произведение трех ординат плотности p y; a, 2 нормального закона, вычисленных в точках соответственно y1  ln190  5,25 , y2  ln175  5,16 и y3  ln 205  5,32 , достигало бы своего максимального значения: La~   max p y ; a, 2  p y ; a, 2  p y ; a, 2 . мп a  1   2   3    На рис. 1 изображены графики функции плотности p y; a, 2 при значении параметра a~мп  y  5,243 , соответствующем наибольшей правдоподоб- ности наблюдений y1  5,25 , y2  5,16 и y3  5,32 (сплошная кривая), и при ~  5,443, при котором наши наблюдения выглядят явно значении параметра a неправдоподобными, – пунктирная кривая (значение дисперсии σ 2 определено в обоих случаях с помощью подправленной на несмещенность оценки максимального правдоподобия и равно 0,0064). Отмеченная естественность подхода, исходящая из максимальной правдоподобности имеющихся наблюдений, подкрепляется хорошими свойствами МП-оценок. Можно показать, что при достаточно общих условиях регулярности, накладываемых на изучаемый закон распределения px; θ  , оценки ~ максимального правдоподобия  мп параметра θ являются состоятельными, асимптотически несмещенными (т. е. их смещения стремятся к нулю при неограниченном увеличении объема выборки), асимптотически эффективными и асимптотически нормальными (т.е. при выборках большого объема закон распределения оценок может быть описан нормальной моделью). p(y; a; σ ) p(y; 5,243; 0,08) p(y; 5,443; 0,08) 5,00 5,10 5,16 5,25 5,32 5,443 y Рис. 1 ~ Если функция Lθ  дифференцируема по θ , то оценку  мп можно найти, решив относительно θ уравнение правдоподобия дL   0, д или систему уравнений правдоподобия дL1 ,, k   0, j  1,, k д j в случае многих неизвестных параметров. При получении МП-оценок можно находить максимум не функции правдоподобия, а логарифмической функции правдоподобия n l    ln L    ln pxi ;0 i 1 в силу монотонного характера этой зависимости. Таким образом, согласно методу максимального правдоподобия для ~ нахождения  мп следует:  найти решения уравнения (или системы уравнений) правдоподобия дl  д ln L    0, д д ~ при этом оценкой  мп считается лишь такое решение, которое зависит от x1 , x2 , , xn ;  среди решений, лежащих внутри множества значений неизвестного параметра     , выделить точки максимума;  если уравнение (система) не определено, не разрешимо или среди решений нет точки максимума внутри  , то точку максимума следует искать на границе области  . Пример 1. Найти МП-оценки параметров a и σ 2 нормального распределения по выборке x1 , x2 , , xn  объема n . Решение. Пусть независимая выборка x1 , x2 , , xn  объема n извлечена из нормальной генеральной совокупности, т.е. исследуемая случайная величина Χ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием MΧ  a , дисперсией DΧ  σ 2  D (значения этих параметров неизвестны до получения выборки), и имеет плотность  x a 2  1 p x; a, D   e 2D . 2D Найдем функцию правдоподобия: n La, D    p xi ; a, D   i 1 n 1 n  1 e 2D  x1 a 2 2D  1  e 2D  x2 a 2 2D  1  e 2D  xn a 2 2D   1  2  2 D i1 xi a   .  e  2D  Соответствующая логарифмическая функция правдоподобия имеет вид n n 1 n xi  a 2 . l a, D   ln La, D    ln 2  ln D   2 2 2 D i 1 Дифференцируя l a, D по a и D и последовательно приравнивая соответствующие частные производные к нулю, получаем систему уравнений правдоподобия:  дla, D  1 n  дa  D   xi  a   0 i 1 .  n   дl a , D n 1 2     xi  a   0  дD 2 D 2 D 2 i 1 2 Решение этой системы относительно a и D дает оценки максимального правдоподобия этих параметров 1 n 1 n ~ 2 ~ и a мп   xi  x Dмп   xi  x   Dв . n i 1 n i1 Можно также проверить и достаточные условия максимума функции ~ l a , D в точке a~мп , Dмп . Таким образом, МП-оценками неизвестного математического ожидания и неизвестной дисперсии являются выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Проверим, будут ли найденные оценки несмещенными. Все xi , составляющие выборку, распределены по тому же закону, что и     случайная величина Χ , т. е. xi ~ Ν a, 2 , поэтому Μxi  a, Dx i   2  D для всех i  1,, n . Найдем Μa~мп , используя свойства математического ожидания: 1 n  1 n na Μa~мп  Μ   xi    Μxi  a. n n n i 1  i1  Так как математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру, то МП-оценка математического ожидания в виде выборочного среднего является несмещенной. Используя свойства дисперсии, найдем дисперсию a~мп : 1 n  1 n nD D Daмп  D   xi   2  Dxi  2   0 при n   . n n  n i 1  n i 1 С использованием более строгого определения эффективности показано, что a~мп  x является эффективной, и кроме этого, состоятельной оценкой. ~ Прежде чем определить ΜD мп , представим МП-оценку неизвестной дисперсии в виде 2 2 1 n 1 n 1 n 2 Dмп    xi  a  a  x     xi  a    x  a   2  x  a     xi  a   n i 1 n i 1 n i 1 2 1 n 2    xi  a    x  a  . n i 1 ~ Найдем ΜD мп : 2 2 1 n 1 n 2 2 ΜDмп  Μ    xi  a    x  a     Μ  xi  a   Μ  x  a    n i 1  n i 1 1 D D  nD   D   D n n n (здесь мы учли, что 2 2 D 2 Μ  xi  a   Dxi  D, Μ  x  a   Μ  a мп  Μa мп   Da мп  ). n ~ Так как ΜDмп  D , то МП-оценка неизвестной дисперсии, найденная в виде выборочной дисперсии, является смещенной, хотя, конечно же, асимпD тотическая несмещенность имеет место; смещение оценки равно  , при n увеличении объема выборки, т.е. при n   , смещение стремится к нулю. ~ Обычно смещение в оценке D устраняют, следуя специальной методике. Несмещенной и асимптотически эффективной оценкой дисперсии будет так называемая исправленная выборочная дисперсия 2 n 1 n s2  Dв  xi  x  .   n 1 n  1 i 1 Она действительно будет несмещенной оценкой теоретической дисперсии, так как n n n  D  n  Μs 2  Μ  Dв   ΜDв  ΜDмп  D    D. n 1 n  1 n  n 1  n 1 Таким образом, несмещенными оценками неизвестного математического ожидания и неизвестной дисперсии нормальной случайной величины будут 1 n a   xi  x n i 1 . n 2 1 D  2  xi  x   s 2   n  1 i 1 Пример 2. Исследуемая случайная величина Χ распределена по закону Пуассона с неизвестным значением параметра λ . Найти МП-оценку этого параметра по независимой выборке x1 , x2 , , xn  объема n . Решение. Для случайной величины Χ~Π λ имеем λ x λ px; λ   ΡΧ  x; λ  e , x  0,1,2,, x!   ΜΧ – неизвестный параметр. Функция правдоподобия равна x n  x1    x2    xn    i L      p  xi ;    e  e e  e  n . x1 ! x2 ! xn ! x1 ! x2 ! xn ! i 1 Логарифмическая функция правдоподобия: n  n  l     ln L       xi  ln    ln  xi !  n . i 1  i 1  Уравнение правдоподобия: n xi дl     i 1   n  0, д  1 n x  x . n i 1 i Легко видеть, что эта оценка несмещенная, так как 1 n  1 n nλ Μλмп  Μ   xi    Μxi  λ n n n i 1  i 1  (здесь все xi ~Π λ , Μxi  λ, i  1,, n ). ~ Вычислим дисперсию оценки  мп : отсюда мп  1 n  1 n n  Dмп  D   xi   2  Dxi  2  . n n  n i 1  n i 1 ~ ~ Так как D мп  0 при n   , то можно считать оценку  мп и эффективной. Таким образом, несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой неизвестного математического ожидания для распределения Пуассона также является выборочное среднее. Метод моментов Пусть независимая выборка x1 , x2 , , xn  извлечена из распределения с плотностью px;1 , 2 , , r  , зависящей от r неизвестных параметров 1 , 2 , , r . Предположим, что первые r начальные моменты существуют и конечны: mk 1 , 2 ,, r   ΜΧ k   x k px;1 , 2 ,, r dx , k  1,, r . (здесь интеграл берется по спектру данной случайной величины, а в случае дискретного распределения интеграл следует заменить суммой). По этой выборке построим так называемые выборочные или эмпириче~ , которые будут несмещенными оценками соотские начальные моменты m k ветствующих теоретических моментов: n ~  1 x k , k  1,, r . m  i k n i 1 Метод моментов состоит в том, что оценки неизвестных параметров ~  k , k  1,, r , находятся как решение системы уравнений: ~  m1 1 ,, r   m 1  m  ,,   m ~  2 1 r 2      ~ . mr 1 ,, r   m r Использование начальных моментов необязательно; здесь могут использоваться центральные и абсолютные моменты и соответствующие им эмпирические моменты. К достоинствам метода моментов следует отнести его сравнительно простую вычислительную реализацию, а также то, что оценки, полученные из решения системы, являются функциями от выборочных моментов. Это упрощает исследование статистических свойств оценок метода моментов. В то же время такие оценки не всегда будут асимптотически эффективными, и в этом отношении они уступают оценкам, полученным методом максимального правдоподобия. Тем не менее, метод моментов часто очень удобен на практике.   Пример 3. Случайная величина Χ~Ν a,σ 2 , при этом значения параметров a и  2 неизвестны. Найти методом моментов оценки этих параметров по независимой выборке x1 , x2 , , xn  объема n .   Решение. Так как для Χ~Ν a,σ 2 первый и второй начальные теоретические моменты существуют и равны соответственно 1 2 2 2 m1  ΜΧ  a, m2  ΜΧ  σ  a , то система для определения оценок a~ и ~ 2 примет вид  1 n a  n  xi  i 1 .  n 1  2  a 2  xi2   n i 1 Решениями этой системы будут 1 n a   xi  x n i 1 . 2 1 n 2 1 n 2 2    xi   x     xi  x   Dв n i 1 n i 1 Мы получили методом моментов те же оценки неизвестного математического ожидания и неизвестной дисперсии, что и методом максимального правдоподобия. Пример 4. Методом моментов найти оценку параметра λ распределения Пуассона по выборке x1 , x2 , , xn  объема n . Решение. Для случайной величины Χ , распределенной по закону Пуассона, неизвестный параметр   ΜΧ  m1 . Таким образом, имеем одно уравнение n ~ или   1 x  x . m1  m  1 n i 1 i Распределение Пуассона, так же как и нормальное распределение, относится к тем редким случаям, когда оценки по методу моментов совпадают с оценками по методу максимального правдоподобия. Замечание. При применении метода моментов к группированным выборкам, т. е. выборкам, представленным в виде примыкающих друг к другу интервалов шириной h , необходима корректировка оценок теоретических моментов. Эмпирические моменты, найденные в этом случае по серединам интервалов, не всегда будут несмещенными оценками соответствующих теоретических моментов. Смещение в оценках устраняют, вводя так называемые поправки Шеппарда. Несмещенной оценкой первого теоретического начального момента будет 1 k ~ m1   ni xi0 , где xi0 – середина i -го интервала, а ni – соответствующая чаn i 1 стота. Несмещенная оценка второго теоретического начального момента равна 1 k h2 0 2 m2   ni xi  . n i 1 12  h2  Здесь величина    и есть поправка Шеппарда.  12  Несмещенные оценки третьего и четвертого теоретических начальных моментов с учетом поправок Шеппарда запишутся как 1 k h2 1 k 0 3 m3   ni xi    ni xi0 , n i 1 4 n i 1 1 k h2 1 k 7h4 0 4 0 2 m4   ni xi    ni xi  . n i 1 2 n i 1 240         Пример 5. При тестировании группы студентов есть основание считать, что средний балл Χ – это равномерно распределенная на отрезке a, b случайная величина. Результаты обследований представлены в виде интервального вариационного ряда: x i  x i 1 0–2 2–4 4–6 6–8 8 – 10 ni 12 10 9 9 10 n   ni  50 Найти методом моментов оценки параметров a и b . Решение. Для равномерного на отрезке a ,b распределения имеем  1  b  a , x   a, b  . p  x; a, b    0, x   a, b   Теоретические начальные моменты первого и второго порядков равны соответственно: b b 1 b2  a 2 ab m1  ΜΧ   xp  x; a, b  dx  xdx    m1  a, b  ,  b  a 2 b  a 2   a a 1 b3  a 3 b 2  ab  a 2 2 m2  ΜΧ   x p  x; a, b  dx  x dx    m2  a, b  .  b  a 3 b  a 3   a a Для нахождения эмпирических начальных моментов от заданного интервального ряда перейдем к точечному: b 2 b 2 x i0 1 3 5 7 9 ni 12 10 9 9 10 . Тогда 1 5 1 m1   ni xi0  12  1  10  3  9  5  9  7  10  9   4,8; n i 1 50 2 1 5 h2 1 4 m2   ni xi0   12  12  10  32  9  52  9  7 2  10  92   31,2267 . n i 1 12 50 12 По методу моментов оценки двух неизвестных параметров a и b определятся как решения системы уравнений: ~  m1 a, b   m 1 .  ~ m2 a, b   m2 Имеем a  b  4,8  2 .  2 2 b  ab  a   31,2267  3 Отсюда a  b  9,6 .  2 2 b  ab  a  93 , 6801  ~ Из решения этой системы уравнений получаем a~  0,31, b  9,76 .     Кроме описанных методов оценивания параметров существует ряд других, например, метод наименьших квадратов, который мы рассмотрим ниже в разделах, посвященных эконометрическому моделированию. Следует отметить, что в последние годы развиваются так называемые робастные, или устойчивые, методы оценивания, позволяющие находить оценки, хотя и являющиеся наилучшими в рамках предполагаемого закона распределения, но обладающие достаточно устойчивыми свойствами при отклонении реального закона от предполагаемого [28, 29].

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Автоматика и управление

Идентификация объектов и систем управления .Теория оценивания

Идентификация объектов и систем управления Теория оценивания Андрей Масленников Москва, 2018 Тема лекций: Теория оценивания 1. Теория оценивания. 2. Н...

Высшая математика

Статистическое оценивание числовых характеристик случайных величин.

ЛЕКЦИЯ 2 СТАТИСТИЧЕКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Вопросы 1. Сущность выборочного метода 2. Понятие статистической оценки, тр...

Эконометрика

Эконометрика.Продвинутый уровень.

Кто владеет информацией – тот владеет миром У. Черчилль Эконометрика Эконометрика (продвинутый уровень) НИУ ВШЭ Ратникова Т.А. 2018 1 Что такое эконом...

Автор лекции

Ратникова Т.А.

Авторы

Эконометрика

Построение нулевой гипотезы; t- критерий Стьюдента

ЛЕКЦИЯ по дисциплине эконометрика Тема . Методы регрессионного анализа Занятие 3. Проверка гипотез 1. . Содержание Введение. Учебные вопросы: 1. Понят...

Эконометрика

Эконометрика

Эконометрика. Лекции Эконометрика - это наука в которой с помощью статистических методов устанавливаются количественные взаимосвязи между анализируемы...

Эконометрика

Эконометрика

ЭКОНОМЕТРИКА Курс лекций ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 1.1. Эконометрика: основные понятия и...

Эконометрика

Методы построения общей линейной статистической модели (ОЛСМ)

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и информатики Кафедра математического моделирования и анализа данных В. И. МАЛ...

Автор лекции

Малюгин В.И.

Авторы

Товароведение

Основы управления качеством в строительстве

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНСКОЙ ГО...

Информатика

Математическое и имитационное моделирование

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАМЧАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВО «К...

Автор лекции

И.Г. Проценко

Авторы

Высшая математика

Статистические оценки параметров распределения

Лекция 9-10 Тема: «Статистические оценки параметров распределения». При рассмотрении предмета и задач математической статистики было отмечено, что в б...

Смотреть все