Осевые и центробежные моменты инерции; полярный момент инерции

ЛЕКЦИЯ №9 Площадь. Статические моменты. Осевые и центробежные моменты инерции. Полярный момент инерции. Радиус инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном осей. При решении задач, связанных с изгибом, кручением возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими характеристиками поперечных сечений стержня. Эти характеристики применяются в основном при решении задач изгиба и в силу своего узкого прикладного значения в общем курсе геометрии не изучаются. Их рассматривают в курсе сопротивления материалов. 1. Статические моменты инерции Возьмем некоторое поперечное сечение стержня (рис. 9.1). Свяжем его с системой координат x,y и рассмотрим два следующих интеграла: S x = ∫ ydA ; S y = ∫ xdA . A (9.1) A Рис. 9.1 Каждый из этих интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадей dА на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом поперечного сечения относительно оси x, а второй – статическим моментом поперечного сечения оси y. Статический момент измеряют в [см3] или [мм3]. При параллельном переносе осей статические моменты изменяются. Рассмотрим две пары параллельных осей x1,y1 и x2,y2 (рис. 9.2). Пусть a и b расстояния между x1 и x2, y1 и y2 соответственно. Положим, что площадь сечения F и статические моменты относительно осей x1 и y1, т.е. Sx1 и Sx2, заданы. Требуется определить Sx2 и Sy2. Очевидно, x2=x1-a, y2=y1-b. Искомые статические моменты будут равны: S x 2 = ∫ ( y1 − b)dA ; S y 2 = ∫ ( x1 − a )dA . F F или S x 2 = S x1 − bA ; S y 2 = S y1 − aA . (9.2) Рис. 9.2 Таким образом, при параллельном переносе осей статический момент изменяется на величину, равную произведению площади А на расстояние между осями. Рассмотрим более детально, например, первое полученное выражение: S x 2 = S x1 − bA . Величина b может быть любой: как положительной, так и отрицательной. Поэтому ее всегда можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы произведение bА было равно Sx1. Тогда статический момент Sx2 , относительно оси x2 обращается в нуль. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельных осей она является единственной и расстояние до этой оси от некоторой, произвольно взятой оси x1 равно: b = yc = S x1 . A (9.3) Аналогично для другого семейства параллельных осей: a = xc = S y1 A . (9.4) Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения. Путем поворота осей можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. Нетрудно установить тождественность данного определения и обычного определения центра тяжести как точки приложения равнодействующих сил тяжести. Если уподобить рассмотренное сечение однородной пластинке, то сила тяжести пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной площади dF, а момент сил тяжести, равен нулю. В нуль обращается, следовательно, и статический момент относительно центральной оси. Выражения для xc и yc дают возможность определить положение центра тяжести, если найдены статические моменты, или, наоборот, найти статические моменты, если известно положение центра тяжести. Пример 9.1. Найти на каком расстоянии от оси x1 расположен центр тяжести треугольника. Рис. 9.3 Сначала определим статический относительно оси x1, согласно (4.1): момент S x1 = ∫ y1 ⋅ dA ; dA = c ⋅ dy1. A Из подобия треугольников АВD и AB1D1 треугольного сечения c=b h − y1 , таким образом h h b bh 2 . S x1 = ∫ (h − y1 ) ⋅ y1 ⋅ dy1 = 6 h0 Теперь можно определить положение центра тяжести: S x1 bh 2 / 6 h = = . yc = A bh / 2 3 Получили результат, известный из школьного курса геометрии. 2. Моменты инерции сечения В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще 3 интеграла (см. рис. 9.1): I x = ∫ y 2 dA ; I y = ∫ x 2 dA ; I xy = ∫ xydA , A A A (9.5) где по-прежнему через x и y обозначены текущие координаты элементарной площадки dА в произвольно взятой системе координат x,y. Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей x и y соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей x и y. Измеряют моменты инерции в [см3] или [мм3]. Осевые моменты всегда положительны, поскольку положительной считается площадь dА. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей x и y. Введем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно x1,y1 (см. рис. 9.2). Требуется определить моменты инерции относительно осей x2,y2: I x2 = ∫ y2 dA ; I y 2 = ∫ x2 2 dA ; I x2 y2 = ∫ x2 y2 dA . 2 A A A Учитывая, что x2=x1-a, y2=y1-b, получим: I x2 = ∫ ( y1 − b) 2 dA = I x1 − 2bS x1 + b 2 A , A I y2 = ∫ ( x1 − a ) 2 dA = I y1 − 2aS y1 + a 2 A , A I x2 y2 = ∫ ( y1 − b)( x1 − a )dA = I x1 y1 − aS x1 − bS y1 + abA . A Если оси x1 и y1 – центральные, то статические моменты относительно этих осей будут равны нулю, т.е. S x1 = S y1 = 0 и полученные выражения упрощаются: I x2 = I x1 + b 2 A , I y2 = I y1 + a 2 A , (9.6) I x2 y2 = I x1 y1 + abA . Следовательно, при параллельном переносе системы осей (если одна из систем центральная) осевые моменты изменяются на величину равную произведению квадрата расстояния между осями на площадь сечения. Из первых двух формул следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (a=0, b=0). Поэтому легко запомнить, что при переходе от центральных осей к нецентральным осевым моментам инерции увеличиваются и величины a2А и b2А следует к моментам прибавлять, а при переходе от нецентральных осей к центральным – вычитать. При определении центробежного момента, следует учитывать знак величин a и b. Пример 9.2. Найти момент инерции прямоугольника с основанием b и высотой h относительно основания и относительно центральной оси, параллельной основанию (рис. 9.4). Момент инерции прямоугольного сечения относительно оси x1 равен (4.5): h bh3 . I x1 = ∫ y1 dA = ∫ y b ⋅ dy1 = 3 A 2 2 1 Воспользовавшись формулой параллельного переноса (9.6) найдем момент инерции относительно центральной оси: 2 bh3 bh3 bh3 h − = . I x = I x1 −   ⋅ A = 2 3 4 12   Рис. 9.4 Результат определения момента инерции относительно центральной оси не изменится, если воспользоваться формулой (9.5): h 2 by 3 I x = ∫ y d A = 2 ∫ y ⋅ b ⋅ dy1 = 2 1 3 A 2 1 2 1 h 2 =2 bh3 bh3 = . 3 ⋅ 8 12