Осевое растяжение – сжатие прямого бруса. Основные теоретические сведения

Лекционное занятие (заочное обучение). Кафедра механики материалов. Тема 1. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ – СЖАТИЕ ПРЯМОГО БРУСА Основные теоретические сведения и расчётные формулы Вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы, направленные вдоль его оси, а все остальные внутренние усилия равны нулю, называется осевым растяжением или сжатием. Продольная (нормальная) сила N считается положительной при растяжении и отрицательной при сжатии. Величина силы N может быть найдена с помощью метода сечений: она численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось бруса всех внешних сил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения. Действующая в поперечном сечении продольная сила N равномерно распределяется по всему сечению и, как следствие этого, нормальные напряжения  также равномерно распределяются по всему сечению. Для определения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса используется формула N σ , (1.1) A где N - продольная сила в сечении; A - площадь поперечного сечения бруса (в некоторых учебниках и учебных пособиях площадь обозначается латинской буквой F). В системе СИ сила выражается в ньютонах (Н), площадь поперечного сечения - в квадратных метрах (м2), нормальное напряжение - в Паскалях (Па). В системах, отличных от СИ, сила может быть выражена в килограммах, а напряжение - в килограммах, делённых на сантиметр в квадрате. Абсолютное удлинение бруса при растяжении определяется по формуле l  lк  l , (1.2) где l - начальная длина бруса; lк - длина бруса после деформации. Относительное удлинение бруса (относительная продольная деформация) ε  При растяжении l > 0 и отрицательны. Абсолютное поперечное сужение l . (1.3) l  > 0, при сжатии эти величины b  bк  b, (1.4) Лекционное занятие (заочное обучение). Кафедра механики материалов. где b - первоначальный поперечный размер бруса; bк - поперечный размер бруса после нагружения. Относительная поперечная деформация определяется по формуле b ε'  . (1.5) b Абсолютная величина отношения, обозначаемая  : ε' μ (1.6) ε называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона. Он характеризует упругие свойства и является постоянной для каждого материала, величина безразмерная. Коэффициент Пуассона может изменяться в диапазоне 0    0,5 . Между нормальным напряжением и относительным удлинением существует прямая пропорциональная зависимость, называемая законом Гука   E, (1.7) где E - коэффициент пропорциональности (модуль упругости первого рода, или модуль Юнга). Модуль упругости – это физическая характеристика материала, измеряемая в тех же единицах, что и нормальное напряжение. Из (1.7) с учетом (1.1), (1.3) нетрудно получить выражение для вычисления абсолютного удлинения бруса в виде Nl l  . (1.8) EA Для ступенчатого стержня и (или) стержня, нагруженного несколькими внешними силами, удлинение подсчитывается как алгебраическая сумма удлинений каждого из участков бруса, в пределах которых N, E, A постоянны: n N l i i . i 1Ei  Ai l   (1.9) Если же величины N и A изменяются по длине участка (оси z), его абсолютное удлинение вычисляется по формуле N ( z ) dz . E A z ( ) l l   (1.10) Расчет строительных конструкций на прочность осуществляют по методу предельных состояний. Под предельным понимается такое состояние конструкции, при котором она перестает удовлетворять предъявляемым к ней требованиям нормальной эксплуатации, подразумевающей постоянный процесс бесперебойной работы. Метод расчета по предельным состояниям используется в строительной Лекционное занятие (заочное обучение). Кафедра механики материалов. практике с 1956 г. после ввода в действие основного нормативного документа «Строительные нормы и правила» (сокращенно СНиП), в соответствии с которым проектировались все строительные конструкции. Различают три группы предельных состояний: 1. Первое предельное состояние определяется несущей способностью (прочностью и устойчивостью) сооружения. 2. Второе предельное состояние определяется жесткостью, то есть развитием чрезмерных деформаций в элементах конструкций. 3. Третье предельное состояние определяется наличием местных повреждений (трещин), которые могут нарушить или затруднить нормальную эксплуатацию здания или сооружения. Расчет по первому предельному состоянию должен производиться для всех строительных конструкций, независимо от материалов, из которых они изготавливаются. При этом основным параметром сопротивления строительных материалов силовым воздействиям является нормативное сопротивление Rn, устанавливаемое нормами проектирования с учетом условий контроля и статистической изменчивости механических свойств материалов. Нормативное сопротивление для пластичных материалов (сталь, медь, алюминий и т.д.) связано с пределом текучести т; для хрупких (чугун, кирпич, бетон и пр.)– с пределом прочности в. Возможное отклонение сопротивления материала в неблагоприятную сторону от нормативного значения учитывается коэффициентом надежности по материалу γm >1. Характеристика, получаемая делением нормативного сопротивления на коэффициент γm называется расчетным сопротивлением материала и обозначается R, т.е. Rn . (1.11) m Таким образом, расчетное сопротивление соответствует наименьшему возможному сопротивлению материала за все время эксплуатации конструкции. Условие прочности по первому предельному состоянию записывается в виде  max  R c (1.12) где R - расчетное сопротивление материала, γс – коэффициент условий работы, отражающий особенности действительной работы конструкции, которые не учитываются в расчетной схеме прямым образом (далее принимается γс=1, и в расчетных формулах этот коэффициент не учитывается). R С использованием условия прочности (1.12) можно решить три основных задачи сопротивления материалов. 1. Подобрать сечение растянутого (сжатого) бруса, при котором его прочность будет обеспечена. Расчётная формула в этом случае имеет вид Лекционное занятие (заочное обучение). Кафедра механики материалов. (1.13) N  R, A где N - продольная сила в опасном сечении бруса (сечении, в котором действует максимальное нормальное напряжение); A - площадь поперечного сечения бруса. Отсюда определяется необходимая площадь его сечения N A . (1.14) R Зная площадь, можно определить линейные размеры сечения или по сортаменту подобрать требуемый стандартный профиль: уголок, швеллер, двутавр и т. д. 2. Определить допускаемую нагрузку, если известны прочностные свойства материала и площадь поперечного сечения бруса. Расчётная формула, вытекающая из условия прочности (1.12), принимает вид N  A R , (1.15) и позволяет вычислить наибольшее значение продольной силы N, действующей в опасном сечении и, следовательно, величину внешних нагрузок, приложенных к брусу. 3. Проведение поверочного расчёта прочности бруса. При поверочном расчёте нагрузки, размеры и материал, из которого изготовлен брус, считаются известными. Вычисляется наибольшее нормальное напряжение в опасном поперечном сечении и сравнивается с расчетным сопротивлением: N σ max   R . A Если выполняется условие σ max  R , то прочность бруса обеспечена. При расчёте по методу разрушающих нагрузок в качестве условия прочности выставляется требование, чтобы наибольшая нагрузка на сооружение не превосходила некоторой допускаемой нагрузки [P ] , которая равняется разрушающей (опасной) нагрузке, деленной на коэффициент запаса прочности Pразр Pmax  [ P ]  . (1.16) n Коэффициент запаса n принимается на основе целого ряда соображений, аналогичных тем, которые учитываются в методе расчёта по первому предельному состоянию. Для определения разрушающей нагрузки в конструкциях из материалов, обладающих большой пластичностью и сравнительно небольшим упрочнением, принимается упрощенная диаграмма растяжения (сжатия), Лекционное занятие (заочное обучение). Кафедра механики материалов. показанная на рис. 1.1, на которой площадка текучести распространяется безгранично. В этом случае при центральном растяжении или сжатии разрушающая сила будет определяться равенством Pразр   dA   т А . (1.17) A Для хрупких материалов вместо предела текучести надо взять предел прочности Pразр   в А . (1.18) Т   Рис. 1.1. Упрощенная диаграмма растяжения В статически неопределимых системах из пластичных материалов появление текучести только в одном наиболее нагруженном элементе еще не приводит систему к разрушению. Так, например, стержень, показанный на рис. 1.2, а, при появлении текучести на одном только участке не разрушается. Для полного его разрушения необходимо, чтобы текучесть распространилась на обе части стержня. В этом случае разрушающая нагрузка, равная сумме внутренних продольных сил, в двух частях стержня (рис. 1.2, б) будет определяться равенством Pразр  2 А т . F а) а б) N1=Aт b F N2=Aт Рис. 1.2. Расчётная схема стержня к определению разрушающей нагрузки Еще более сложно определить разрушающую нагрузку в задаче, показанной на рис. 1.3, в которой бесконечно жёсткий брус удерживается тремя стержнями. Здесь сила F разр будет определяться из условия текучести по крайней мере двух стержней. Так, например, если стержень АВ менее Лекционное занятие (заочное обучение). Кафедра механики материалов. напряжен, а в двух других стержнях CD и EK появилась текучесть, то F разр найдется из условия равенства нулю суммы моментов относительно точки А l  М А  Pразр 2  A2 т l1  A3 т l  0 . Аналогично можно составить еще два уравнения, если предположить, что текучесть появится в двух стержнях АВ и ЕК или стержнях АВ и CD. Из трех найденных значений сил в расчёт вводится наименьшая сила, которая и считается разрушающей. D К B A1 l1 A A2 A3 С l 2 E l 2 F Рис. 1.3. Расчётная схема бруса на трёх стержнях Рассмотрим определение перемещений узлов (шарниров) стержневых систем. Эти перемещения определяют по известным удлинениям и укорочениям стержней, сходящихся в рассматриваемом узле. Пусть, например, требуется найти перемещение шарнира А кронштейна, изображенного на рис. 1.4, а. l1 l1 а) (ЕА)1 В  l2 (ЕА)2 l2 - l С А К l1 + l 1 в) D N1  N2 v А F u А D F l 2 vА А1 uА=l1 К 2 б) l2 А А1 А1 Лекционное занятие (заочное обучение). Кафедра механики материалов. Рис. 1.4. К определению перемещений шарнира А: а - расчётная схема кронштейна; б - схема определения усилий; в - диаграмма перемещений узла А Вырезая узел А и составляя для него два уравнения равновесия ( U  0 и V  0 ), находим силы в стержнях (рис. 1.4, б). Очевидно, сила N1 – растягивающая, N 2 – сжимающая. По формуле Гука находим изменения длин стержней. Для нахождения положения шарнира А после деформации следует мысленно разъединить стержни, отложить по их направлениям величины l1 и l2 (отрезки AD и AK на рис. 1.4, а) и, вращая стержни вокруг центров В и С, вновь свести их вместе. Таким образом, положение шарнира А после деформации (точка A1 ) находится на пересечении дуг, проведенных из центров В и С радиусами l1  l1 и l2  l2 . Построение, показанное на рис. 1.4, а, выполнено со значительным нарушением масштабов: отрезки AD и AK, изображающие изменения длин 1 1 от величин l1 и l1 и l2 стержней примерно равны соответственно и 5 15 l2 , в то время как фактически упругие удлинения стальных стержней не 1 от их длины. превышают 1000 В силу малости удлинений (укорочений) можно заменить дуговые засечки перпендикулярами, проведенными из точек D и K к направлениям стержней, и считать новым положением шарнира точку A1 . Если бы удалось выполнить рассмотренные построения без искажения масштабов (для этого потребовался бы лист бумаги весьма больших размеров – порядка 2  1 м ), можно было бы убедиться, что дуговые засечки и перпендикуляры практически сливаются. Достоинством указанного построения, называемого диаграммой перемещений, является его простота и возможность выполнения в произвольном масштабе, не связанном с масштабом чертежа самой стержневой системы. Диаграмма перемещений может быть построена отдельно, как показано на рис. 1.4, в; при этом, если построение выполнено в достаточно крупном масштабе, можно не устанавливать аналитической зависимости между l1 , l2 и перемещением узла А, а замерив отрезок диаграммы AA1 и умножив его на масштаб, получить искомое перемещение. На этом же чертеже показаны горизонтальная u A и вертикальная v A составляющие полного перемещения. Статически неопределимыми называются задачи, которые нельзя решить Лекционное занятие (заочное обучение). Кафедра механики материалов. при помощи только уравнений статики. Недостающие уравнения составляются из условия деформаций системы. Общий план решения статически неопределимой задачи состоит в следующем: 1. Рассматривая возможные перемещения точек системы, составляем уравнения, связывающие деформации отдельных элементов. Будем называть эти уравнения уравнениями совместности деформаций. 2. Заменяем в уравнениях совместности деформаций величины деформаций через усилия или напряжения по закону Гука. 3. Составляем уравнения статики. 4. Решаем полученную систему уравнений. Приводимый пример решения задачи № 2 поясняет эту схему. В задаче рассматривается статически неопределимая конструкция, стержневые элементы которой работают на растяжение или сжатие и число неизвестных сил, приложенных к абсолютно жёсткому брусу, превышает возможное число уравнений статики. Разность между числом неизвестных усилий и числом возможных уравнений статики определяет степень статической неопределимости системы. Уравнения, недостающие для определения усилий в стержнях, можно получить, рассматривая возможную деформацию системы. Условие, выражающее зависимость между деформациями отдельных элементов системы (конструкции), называется условием совместности деформаций. Оно получается из геометрических соотношений между деформациями элементов конструкции. Метод расчёта статически неопределимой системы по предельной грузоподъемности (по разрушающим нагрузкам) достаточно подробно изложен в учебной литературе и в данном пособии рассмотрен на конкретном примере. Лекционное занятие (заочное обучение). Кафедра механики материалов.