Ортотропные пластинки

Ортотропные пластинки Минимум будет при n=1, варьируем число полуволн m (для пластинки а>>b): Подкрепленные пластинки Граничные условия: - условие симметрии (ребро вместе с пластиной подвергается действию сжимающих напряжений) где Интересно, что при К лежит ниже, чем для гладкой пластинки. В этом случае ребро не является подкрепляющим элементом, а само поддерживается пластинкой. Увеличивая изгибную жесткость можно увидеть местное выпучивание каждой половины пластинки и общую потерю устойчивости пластинки вместе с ребром. Несущая способность сжатых тонкостенных стержней Устойчивость круглых пластинок Граничные условия: Жесткая заделка Шарнирное опирание Для осесимметричных задач: где Защемленная по контуру пластинка под действием радиального сжатия Принимая , получим Обозначим уравнение Бесселя, интегралом которого является уравнение где , - бесселевы функции 1-го и второго рода с индексом 1 соответственно. Примем , т.к. при является неограниченной функцией. Отсюда Где - бесселева функция с индексом 0. Приближенное решение Б-Г: Обозначим (9%) Шарнирно закрепленная по контуру круглая пластинка Шарнирное опирание Для осесимметричного случай получим Подставим во второе граничное условие с учетом выражения для бесселевых функций Из таблиц (при ) Для квадратной шарнирно опертой пластинки со стороной 2с сжатой в двух направлениях усилиями р: Приближенное решение Б-Г: При Для защемленной пластинки , поэтому критическое напряжение оказывается примерно в 3,5 раза больше, чем для шарнирно опертой пластинки Асимметричное выпучивание пластинки Теперь считаем, что прогиб меняется не только по радиусу, но и по дуге. Рассмотрим поведение радиально сжатой пластинки. Примем - уравнение, аналогичное рассмотренному ранее для прямоугольной пластинки сжатой в двух направлениях. - бесселева функция с индексами m=1,2,3 и т.д. является решением Для жесткой заделки получим: Определитель дает: В результате получим: Корни этого уравнения при разных m дают критические напряжения. m определяет число узловых диаметров, а число узловых окружностей зависит от . При m=1 первый корень уравнения дает К=26,4; второму корню соответствует К=70,6. Как видим асимметричному выпучиванию соответствуют более высокие собственные значения задачи, чем осесимметричному, поэтому асимметрия может иметь место лишь в случаях подкрепленной пластинки. Несимметричное выпучивание под поперечной нагрузкой Здесь приходится использовать теорию гибких пластинок, учитывающую начальный прогиб w0 и функцию начальных напряжений в срединной поверхности Ф0. Для симметричных форм (кривая 1) Для несимметричных форм при получим аналогичные соотношения, но с другими коэффициентами. Кривая 2 соответствует m=8. В точке пересечения кривых 1 и 2 ( , ) происходим потеря устойчивости осесимметричной формы, при этом возникает 8 вмятин вдоль окружности. Кольцевые пластинки Примем В осесимметричном случае Для асимметричного случая На графике указано наименьшее число узловых диаметров m, которому соответствует наименьшее напряжение при данном a/b. Температурная устойчивость круглых пластин Рассмотрим пластинку, закрепленную в обойме. - коэффициенты температурного расширения пластинки и обоймы. - температура, при которой контактное усилие в радиальном зазоре равно нулю. Контактное усилие возникает при при нагреве, а также при при охлаждении. В осесимметричном случае В нагреваемой пластине Если обойму считать абсолютно жесткой и пренебречь ее деформацией, то приравнивая окружные температурные деформации обоймы окружным удлинениям пластины, получим К зависит от способа закрепления пластины. Отличительные черты задач устойчивости стержней, пластин и оболочек