Организации эффективного итерационного процесса на гиперсфере

ПРИЕМ СМЕНЫ ПАРАМЕТРА ПРОДОЛЖЕНИЯ Предельная точка Рис 8. Силовое нагружение Рис 9. Кинематическое 14 нагружение Геометрическая интерпретация вариантов выбора параметра продолжения Валишвили Н.В. Ободном алгоритме решения нелинейных краевых задач// ПММ, т.32, 1968, вып. 6, с. 1089-1091. E. Riks, “The Application of Newton’s Method to the Problem of Elastic Stability,” J. Appl. Mech. 39,1060–1065 (1972). M. A. Crisfield, “A Fast Incremental/Iterative Solution Procedure that Handles ‘Snap-Through’,” Comput. Struct. 13 (1), 55–62 (1981). 15 В настоящей работе использовался комбинированный способ выбора параметра продолжения сохраняющий эффективные стороны подходов Валишвили и Крисфилда. Сущность предлагаемой модификации заключается в организации эффективного итерационного процесса на гиперсфере с сохранением идеи использования в качестве параметра продолжения физически понятного параметра , получившего на последнем шаге максимальное приращение. (2)  (2)  n(0) 1  max   x j  n   x j  n 1  , j  1, 2,..., p Начальная величина шага продолжения для n+1 шага, связывается с радиусом гиперсферы, с центром в точке, соответствующей решению (Xext) на n-ном шаге В ходе k-той итерации компонента вектора , используемая в качестве параметра продолжения, корректируется согласно условию 2 m 1 2   xr ( k )     xr     n2     xi ( k )   xi   n 1  n n 1 n  , (9)    i ,i  r 2 Таким образом, обеспечивает итерирование на гиперсфере и сохраняется физический смысл движения по параметру. 16 Основные проблемы численного счета возникают в окрестностях особых или сингулярных точек. Особенности коразмерности два и выше можно устранить посредством шевеления параметров системы, что принципиально позволяет выбрать траекторию процесса, проходящую мимо окрестностей таких особых точек. Обход производится с помощью приема численного счета названного нами приемом смены подпространства управляющих параметров. Суть приема заключается в следующем: при подходе к окрестности особой точки следует перейти к другой однопараметрической системе, для которой проекция равновесной поверхности на ось параметра управления в рассматриваемом диапазоне его изменений не имеет особенностей коразмерности выше первой. Стратегия численного исследования представляет собой кусочно-гладкий процесс продолжения решения по параметру в пространстве состояний всех систем, причем на каждом гладком участке процесса, численный анализ сводится к решению однопараметрической задачи. 17 Прием смены пространства управляющих параметров Гаврюшин С.С. Чиcлeннoe мoдeлиpoвaниe и анализ процессов нелинейного деформирования гибких оболочек // Известия РАН. Механика твердого тела, N1, 1994. c.109-119. b  c c pR 2 ,  ,Q  , vo   2 R 4 Eh Rh 2 v (0 ) , = h 4 12(1 -  2 ) 18 Соотношения нелинейной теории тонких упругих оболочек. (Е.Рейсснер, Н.В.Валишвили, С.С. Гаврюшин). du  (1   m 0 ) cos   cos  0 , dS 0 dv  (1   m 0 ) sin   sin  0 , dS 0 d 0 d  (1   m 0 )  m 0  dS 0 dS 0  cos   Nt dU   (1   m 0 )  U   q u  , dS 0 X0  u  X0  u   cos   dV   (1   m 0 )  V  q v  , dS 0  X0  u   cos  dM m M m  M   (1   m 0 )  dS 0 X0  u t  U 1 U cos   V sin     B M m X 0  u  sin   km0    D X 0  X 0  u N t   U cos   V sin    Eh em0  M t  M m  Eh  X 0  u    12  X 0  u , X0 sin  0  ,  X 0  u , X0 sin  0 sin   X0  u X0  sin   V cos    B  Eh 1  2 , D = Eh3 1 2 (1   2 )     19 Влияние параметра кривизны оболочки на упругую характеристику Радиус опорной поверхности, [мм] Толщина оболочки, [мм] Модуль упругости, [МПа] Коэффициент Пуассона 2.8 0.05 13e4 0.3 Рис.10 Расчетная схема мембраны Рис.11 Семейство упругих характеристик 20 21 Рис.12 Упругая характеристика ( R =30 мм ) Рис.13 Деформированные формы меридиана 22 Исследование характера перестройки упругой характеристики в окрестности бифуркационной точки Рис 14. Упругие характеристики при монотонном изменении радиуса кривизны в пространстве: прогиб (v) – радиус кривизны (R) – внешнее давление (p) 23 т. «А» - особая точка; Две равновесные формы соответствующие одному и тому же значению прогиба в центре оболочки ( точка А ) Рис.15 Упругая характеристика ( R =35.6 мм ) Рис.16 Упругая характеристика ( R =34.8 мм ) Эллипс касается основной кривой в точке А Рис.17 Деформированные формы меридиана ( R =34.8 мм ) 24 Перестройка зависимости безразмерный прогиба в центре купола – v0 от безразмерного давления - Q при изменении геометрического параметра - b от 4.472 до 4.924 25 Зависимость безразмерный прогиба в центре купола – v0 от безразмерного давления Q для геометрического параметра b = 6 26 Рис.18 Упругая характеристика ( R =33.6 мм ) Эллипс пересекает основную кривую в точках B,С Рис.19 Деформированные формы меридиана ( R =33.6 мм ) т. «B», «С» - особые точки; Критический параметр радиуса кривизны: Рис.20 Упругая характеристика ( R =33.5 мм ) Образование двух «петелек» после бифуркации 27 28