Определенный интеграл.

Определенный интеграл. Пусть на отрезке [𝑎, 𝑏] задана непрерывная функция 𝑓(𝑥). y M m a xi b x Обозначим 𝑚 и 𝑀 наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [𝑎, 𝑏] Разобьем отрезок [𝑎, 𝑏] на части (не обязательно одинаковые) 𝑛 точками. 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < … < 𝑥𝑛 Тогда 𝑥1 – 𝑥0 = 𝑥1 , 𝑥2 – 𝑥1 = 𝑥2 , … ,𝑥𝑛 – 𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛 ; На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции. [𝑥0 , 𝑥1 ] → 𝑚1 , 𝑀1 ; [𝑥1 , 𝑥2 ] → 𝑚2 , 𝑀2 ; … [𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 ] → 𝑚𝑛 , 𝑀𝑛 . Составим суммы: 𝑆𝑛 = 𝑚1 𝑥1 + 𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑥𝑛 = n  m x i 1 𝑆𝑛̅ = 𝑀1 𝑥1 + 𝑀2 𝑥2 + ⋯ + 𝑀𝑛 𝑥𝑛 = i i n  M x i 1 i i Сумма 𝑆 называется нижней интегральной суммой, а сумма 𝑆̅ – верхней интегральной суммой. Т.к. 𝑚𝑖  𝑀𝑖 , то 𝑆𝑛  𝑆𝑛̅ , а 𝑚(𝑏 – 𝑎)  𝑆𝑛  𝑆𝑛̅  𝑀(𝑏 – 𝑎) Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку 𝑖 . 𝑥0 < 1 < 𝑥1 , 𝑥1 < 2 < 𝑥2 , … , 𝑥𝑛−1 < 𝑛 < 𝑥𝑛 . Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏]. 𝑆𝑛 = 𝑓(1 )𝑥1 + 𝑓(2 )𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑛 )𝑥𝑛 = i 1 Тогда можно записать: 𝑚𝑖 𝑥𝑖  𝑓(𝑖 )𝑥𝑖  𝑀𝑖 𝑥𝑖 Следовательно, n  m x i i 1 n  f ( )x n n i 1 i 1 i i   f ( i )xi   M i xi i Sn  Sn  Sn Геометрически это представляется следующим образом: график функции 𝑓(𝑥) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной. Обозначим max 𝑥𝑖 – наибольший отрезок разбиения, а min 𝑥𝑖 – наименьший. Если max 𝑥𝑖 → 0, то число отрезков разбиения отрезка [𝑎, 𝑏] стремится к бесконечности. Если S n  n  i 1 f ( i )xi , то lim max xi 0 n  f ( )x i 1 i i  S. Определение: Если при любых разбиениях отрезка [𝑎, 𝑏] таких, что max 𝑥𝑖 → 0 и произвольном выборе точек 𝑖 интегральная сумма S n  n  f ( )x i 1 i i стремится к пределу 𝑆, который называется определенным интегралом от 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏]. b Обозначение :  f ( x)dx. a 𝑎 – нижний предел, 𝑏 – верхний предел, 𝑥 – переменная интегрирования, [𝑎, 𝑏] – отрезок интегрирования. Определение: Если для функции 𝑓(𝑥) существует предел lim max xi 0 n  i 1 b f ( i )xi   f ( x)dx, то функция a называется интегрируемой на отрезке [𝑎, 𝑏]. Также верны утверждения: lim max xi 0 lim max xi 0 b n  m x   f ( x)dx i 1 i i a n b i 1 a  M i xi   f ( x)dx Теорема: Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏], то она интегрируема на этом отрезке. Свойства определенного интеграла. 1) b b a a  Af ( x)dx  A f ( x)dx , где 𝐴 – число; b 2)  ( f ( x)  f 1 2 a b b a a ( x))dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx ; a 3)  f ( x)dx  0 ; a 4) Если 𝑓(𝑥)  (𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏], 𝑎 < 𝑏, то b b a a  f ( x)dx   ( x)dx ; 5) Если 𝑚 и 𝑀 – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏], то: b m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) ; a 6) Теорема о среднем. Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏], то на этом отрезке существует точка  такая, что b  f ( x)dx  (b  a) f () a 7) Для произвольных чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏, справедливо равенство: b  a c b a c f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов. 8) b a a b  f ( x)dx   f ( x)dx Обобщенная теорема о среднем. Если функции 𝑓(𝑥) и (𝑥) непрерывны на отрезке [𝑎, 𝑏], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что b  a b f ( x)( x)dx  f ()  ( x)dx a Вычисление определенного интеграла. Теорема: Для всякой функции 𝑓(𝑥), непрерывной на отрезке [𝑎, 𝑏], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. b Пусть в интеграле  f ( x)dx нижний предел а = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, а верхний предел 𝑏 изменяется. Очевидно, что если a изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла. x Обозначим  f (t )dt = Φ(𝑥). Найдем производную функции Ф(𝑥) по переменному верхнему пределу 𝑥. a x d f (t )dt  f ( x) dx a Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела. Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция 𝐹(𝑥) – какая- либо первообразная от непрерывной функции 𝑓(𝑥), то b  b f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a) a a это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница. Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов. Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования. Замена переменных. b Пусть задан интеграл  f ( x)dx , где 𝑓(𝑥) – непрерывная функция на отрезке [𝑎, 𝑏]. a Введем новую переменную в соответствии с формулой 𝑥 = (𝑡). Тогда если 1) () = а, () = 𝑏 2) (𝑡) и (𝑡) непрерывны на отрезке [, ] 3) 𝑓((𝑡)) определена на отрезке [, ], то b  a   f ( x)dx   f [(t )](t )dt Тогда      f [(t )](t )dt  F[(t )]  F [()]  F [()]  F (b)  F (a) При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду. 3 Пример: Вычислить ∫0 𝑥 2 √9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 . Воспользуемся тригонометрической заменой 𝑥 = 3 cos 𝑡, тогда корень исчезнет: √9 − 𝑥 2 = √9 − 9 cos 2 𝑡 = √9(1 − cos 2 𝑡) = 3√sin2 𝑡 = 3 sin 𝑡. Найдем дифференциал: 𝑥 ′ 𝑑𝑥 = (3 cos 𝑡)′ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 = −3 sin 𝑡 𝑑𝑡 и пределы 𝜋 интегрирования: 𝑥 = 3 cos 𝑡 ⟹ 0 = 3 cos 𝑡 ⟹ cos 𝑡 = 0 ⟹ 𝑡1 = = 𝛼 и 𝑥 = 3 cos 𝑡 ⟹ 3 = 3 cos 𝑡 ⟹ cos 𝑡 = 1 ⟹ 𝑡2 = 2 0 = 𝛽. Полученные результаты подставляем в интеграл: 3 ∫𝑥 2√ 9− 𝑥 2 𝑑𝑥 2 = ∫ 9 cos 𝑡 ⋅ 3 sin 𝑡 ⋅ (−3 sin 𝑡)𝑑𝑡 = −81 ∫ cos 2 𝑡 ⋅ sin2 𝑡 𝑑𝑡 = 𝜋 2 𝜋/2 выражение под интегралом сперва преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла 1 81 = −81 ∫ (2 cos 𝑡 ⋅ sin 𝑡)2 𝑑𝑡 = − ∫ sin2 (2𝑡) 𝑑𝑡 = 4 4 𝜋 2 𝜋 2 потом с помощью формулы понижения степени 81 1 81 1 81 0 81 = − ∫ (1 − cos(4𝑡))𝑑𝑡 = − (∫ 𝑑𝑡 − ∫ cos(4𝑡) 𝑑(4𝑡)) = − 𝑡|𝜋 + sin(4𝑡)|𝜋 = 4 2 8 4 4 32 𝜋 2 𝜋 2 = 𝜋 2 2 2 81 𝜋 81 𝜋 81 81 𝜋 81 (sin(4 ⋅ 0) − sin (4 ⋅ )) − (0 − ) = ⋅0− ⋅ (− ) = 𝜋. 32 2 4 2 32 4 2 8 Интегрирование по частям. Если функции 𝑢 = (𝑥) и 𝑣 = (𝑥) непрерывны на отрезке [𝑎, 𝑏], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям: b b b a a a  udv  uv   vdu. Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла. 𝑒 Пример: Вычислить ∫1 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 . Положим 𝑢 = ln 𝑥и 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥, тогда 𝑑𝑢 = 𝑒 2 𝑒 𝑒 𝑑𝑥 𝑥 2 и𝑣= 𝑥2 2 подставляем в формулу, получаем: 𝑒 𝑒 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑒2 12 1 1 1 𝑥2 ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 ⋅ | − ∫ ⋅ = (ln 𝑒 ⋅ − ln 1 ⋅ ) − ∫ 𝑥𝑑𝑥 = ( 𝑒 2 − 0) − ⋅ | = 2 1 2 𝑥 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 𝑒 2 − (𝑒 2 − 12 ) = 𝑒 2 − 𝑒 2 + = (𝑒 2 + 1). 2 4 2 4 4 4