Определенный интеграл и его свойства

Определенный интеграл и его свойства 1. Определение определенного интеграла. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x) , определенную на промежутке [a; b] ( a < b ). Проведем следующие операции: 1) Разобьем промежуток [a; b] точками x0 = a; x1 ; x2 ;...; xk ; xk +1;...; xn = b произвольным образом на n частей. Введем следующие обозначение ∆xk = xk +1 − xk - длина участка разбиения, λ = sup{∆xk } - диаметр разбиения (наибольшая из всех длин участков разбиения). 2) На каждом частичном участке [ xk ; xk +1 ] возьмем произвольную точку ξ k и вычислим в ней значение функции f (ξ k ) . 3) Составим произведение f (ξ k ) ⋅ ∆xk . n −1 4) Составим сумму σ n =  f (ξ k ) ⋅ ∆xk . Назовем эту сумму интегральной суммой k =0 или суммой Римана. 5) Измельчая дробление (за счет увеличения числа точек дробления n ) и устремляя при этом диаметр разбиения к нулю ( λ → 0 ), найдем предел последовательности интегральных сумм J = lim σ n . n→∞ λ →0 Определение 1. Если существует предел последовательности интегральных сумм, не зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точек ξ k , то он назвается определенным интегралом от функции f ( x) на промежутке [a; b] и обозначается b J =  f ( x)dx , a где числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Более компактно можно дать определение определенного интеграла следующим n −1 образом: J = lim  f (ξ k )∆xk . n →∞ k = 0 λ →0 В случае, когда для функции b f (x) существует определённый интеграл J =  f ( x)dx , функция f (x) называется интегрируемой на промежутке [a; b] . a Замечание 1. В приведённом определении предполагается, что a < b . Понятие определённого интеграла можно обобщить и на случай, когда a > b или a = b . Действительно, будем считать по определению, что если если a > b , то b a a b  f ( x)dx = − f ( x)dx , b если a = b , то  f ( x)dx = 0 . a Замечание 2. Определенный интеграл не завит от обозначения переменной интегрирования: b b a a  f ( x)dx =  f (t )dt . Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости). Если функция f ( x) кусочно-непрерывная на промежутке [a; b] , то на этом промежутке она интегрируема, b т.е. существует  f ( x)dx . a 2. Теорема существования определённого интеграла Возникает вопрос: всякая ли функция f (x) интегрируема на данном промежутке [a; b] . Напомним определение кусочно-непрерывной функции. Определение 2. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на данном промежутке [a; b] , если на этом промежутке она ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва. Геометрически кусочно-непрерывную функцию можно изобразить линией, состоящей из конечного числа непрерывных участков. Очевидно, что функция, непрерывная на промежутке [a; b] , является частным случаем кусочно-непрерывной функции. Приведём теперь без доказательства теорему существования определённого интеграла. Теорема 2. (достаточное условие интегрируемости) Если функция f (x) кусочно-непрерывна на промежутке [a; b] , то на этом промежутке она интегрируема, т.е. b существует  f ( x)dx . a Заметим, что класс функций, указанных в теореме, практически исчерпывает все функции, встречающиеся в приложениях. В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваются только такие функции. 3. Геометрический смысл определенного интеграла Допустим, что функция f ( x) непрерывна и положительна на промежутке [a; b] . n −1 Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD . Интегральная сумма σ n =  f (ξ k ) ⋅ ∆xk k =0 дает нам сумму площадей прямоугольников с основаниями ∆xk = xk +1 − xk и высотами f (ξ k ) . Ее можно принять за приближенное значение площади криволинейной трапеции ABCD , т.е. n −1 S ABCD ≈  f (ξ k ) ⋅ ∆xk , k =0 причем это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n → +∞ и λ → 0 мы получим b S ABCD =  f ( x)dx . a В этом и заключается геометрический смысл определённого интеграла. 4. Свойства определенного интеграла: Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: b b  A ⋅ f ( x)dx = A ⋅ f ( x)dx , где A = const . a a b b b a a a Свойство 2.  ( f ( x) ± g ( x))dx =  f ( x)dx ±  g ( x)dx . Свойство 3. Для любых трех чисел a , b , c справедливо равенство b c b a a a  f ( x)dx =  f ( x)dx + c  f ( x)dx , если все эти три интеграла существуют. Геометрическая интерпретация: площадь криволинейной трапеции с основанием [a; b] равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями [a; с] и [с; b] . Свойство 4. Если на отрезке [a; b] , где a < b , функции f ( x) и g ( x) удовлетворяют условию f ( x) ≤ g ( x) , то b b a a  f ( x)dx ≤  g ( x)dx . Геометрическая интерпретация: площадь криволинейной трапеции aA2 B2 b не меньше площади криволинейной трапеции aA1 B1b . Следствия: а) Если a < b и ∀х ∈ [a; b] : f ( x) ≥ 0 , то в) Если a < b и ∀х ∈ [a; b] : f ( x) ≤ 0 , то b  f ( x)dx ≥ 0 ; a b  f ( x)dx ≤ 0 ; a Свойство 5. (Теорема об оценка определённого интеграла) Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f ( x) на отрезке [a; b] и a ≤ b , то b m(b − a ) ≤  f ( x)dx ≤ M (b − a ) . a Геометрическая интерпретация дана на рисунке для f ( x) ≥ 0 . Площадь прямоугольника aA1 B1b равна m(b − a ) , площадь прямоугольника aA2 B2 b − соответственно M (b − a ) . Неравенство показывает, что площадь криволинейной трапеции не меньше площади первого прямоугольника, и не больше площади второго. Свойство 6. (Теорема о среднем) Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [a; b] , то на этом отрезке найдется такая точка ξ , что справедливо следующие равенство: b  f ( x)dx = f (ξ )(b − a) , a b 1 где f (ξ ) = f ( x)dx называется средним значением функции f ( x) на отрезке [a; b] . b − a a Геометрическая интерпретация дана на рисунке для f ( x) > 0 . Так как значение f (ξ )(b − a ) численно равно площади прямоугольника с основанием b − a и высотой f (ξ ) , то теорема о среднем утверждает, что существует прямоугольник, площадь которого равна площади криволинейной трапеции aABb . Вычисление определенного интеграла 1. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (Теорема Барроу) Теорема 3. Если функция f ( x) непрерывна на промежутке [a; b] , то интеграл с x пременным верхним пределом Φ ( x) =  f (t )dt , имеет производную, равную значению a подыинтегральной функции при переменном верхнем пределе, т.е. Φ ' ( x) = f ( x) . Замечание. Из теоремы следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, так как по теореме о существовании определенного интеграла она интегрируема, а по доказанной теореме ее первообразной является. 2. Формула Ньютона-Лейбница Теорема 4. Если функция F ( x) является первообразной функции f ( x) на отрезке [a; b] , то справедлива формула b  f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a Данная формула называется формулой Ньютона-Лейбница, где выражение называется знаком двойной подстановки. 2 Пример 1. Вычислить определенный интеграл:  x 2 dx . 1 3 2 2 x Решение.  x dx = 3 1 2 1 2 3 13 8 1 7 = − = − = . 3 3 3 3 3 π Пример 2. Вычислить определенный интеграл 2.  sin xdx . π 2 π π  sin xdx = − cos x π Решение. π 2 π  = − cos π − cos  = −(−1) = 1 . 2  2 x −1 dx . 1 x e Пример 3. Вычислить определенный интеграл  e e e e x −1 dx e  1 Решение.  dx =  1 − dx =  dx −  = x 1 − ln x 1 = e − 1 − (ln e − ln1) = x 1 x 1 1 1 x = e − 1 − (1 − 0) = e − 2 . e 3 Пример 4. Вычислить определенный интеграл  3 Решение.  3 = 1 + x2 1 = 1 + x2 2 xdx 3  d (x2 ) 1 = 1 + x2 2 = 1 + 3 − 1 + 0 = 2 − 1 = 1. 3  d ( x 2 + 1) 1 + x2 xdx 1+ x 2 . 1 = ⋅ 2 1 + x2 2 3 = b a 3. Замена переменных в определенном интеграле Теорема 5. Если: 1) функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] , 2) функция x = ϕ (t ) непрерывна и имеет непрерывную производную ϕ ' (t ) на отрезке [α ; β ] , где a = ϕ (α ) , b = ϕ ( β ) , 3) функция f (ϕ (t )) определена и непрерывна на отрезке [α ; β ] , β b  f ( x)dx = α f (ϕ (t ) )ϕ '(t )dt . то a Замечание. В отличие от неопределенного интеграла, в определенном интеграле нет необходимости возвращаться к прежней переменной интегрирования, так как результатом вычисления будет число, не зависящее от выбора переменной. 8 Пример 5. Вычислить определенный интеграл  3 x−3 dx . x +1 u = x +1  x +1 = u  x = u2 −1 2 8 Решение.  3 dx = (u 2 − 1)' du = 2udu x−3 dx = x +1 x1 = 3  u1 = 3 + 1 = 2 u2 −1− 3 2udu = u 2 3 = x2 = 8  u1 = 8 + 1 = 3 u3 = 2  (u − 4)du = 2  u du − 8 du = 2⋅ 3 2 2 2 3 3 2 3 3  33 2 3  − 8u 2 = 2 ⋅  −  − 8(3 − 2) = 3 3 3 2 2 38 38 24 14  27 8  = 2⋅ −  −8= −8= − = . 3 3 3 3  3 3 x 3 dx  (x − 1) 2 . 2 3 Пример 6. Вычислить определенный интеграл u = x −1 x = u +1 dx = (u + 1)' du = 1du = du 2 (u + 1) 3 x 3 dx =  ( x − 1) 2 x = 2  u = 2 − 1 = 1 =  u 2 du = 1 1 2 1 x2 = 3  u1 = 3 − 1 = 2 3 Решение. 2 3 2 2 2 2 (u + 1) 3 u + 3u 2 + 3u + 1 3 1  du 2 du  = du =  du =   u + 3 + + 2 du =  udu + 3 du + 3 + 2 = u u  u2 u2 1 1 1 1 1 1 u 1u 2 u2 = 2 = 2 2 2 + 3u 1 + 3ln u 1 1 2 1 4 1 1  − = − + 6 − 3 + 3 ln 2 − 3 ln1 −  − 1 = u1 2 2 2  3 1 + 3 + 3 ln 2 + = 3 ln 2 + 5 . 2 2 Пример 7. Вычислить определенный интеграл 1 Решение.  e x dx e 2x +1 (e ) + 1 x 2 1 e x dx e2x + 1  u = ex d (e x ) e = 1 . e = x1 = 0  u1 = e 0 = 1 =  x2 = 1  u1 = e1 = e 1 du u +1 2 =  e + e2 + 1  . = ln u + u + 1 = ln e + e + 1 − ln 1 + 2 = ln   1  1+ 2  e 2 2 7 Пример 8. Вычислить определенный интеграл  x x − 3dx . 3 x − 3 = u  x − 3 = u2  x = 3 + u2 7 dx = (u 2 + 3)' du = 2udu 3 x1 = 3  u1 = 3 − 3 = 0 Решение.  x x − 3dx = 2 =  (u 2 + 3)u ⋅ 2udu = x1 = 7  u1 = 7 − 3 = 4 = 2 2 u5 u4 =  (2u + 6u )du = 2  u du + 6  u du = 2 ⋅ + 6⋅ 5 0 4 2 2 4 2 3 4 2 3  32   16  = 2 − 0  + 6 − 0  =  5  4  64 184 + 24 = . 5 5 4. Интегрирование по частям. Теорема 6. Если функции u ( x) и v( x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a; b] , то = b  udv = uv a b b a −  vdu . a 2 Пример 9. Вычислить определенный интеграл  xe x dx . 1 2 Решение.  xe x dx = 1 = 2 xe x 12 −  e x dx = xe x 2 1 u=x du = ( x)' dx = 1 ⋅ dx = dx x x dv = e x dx v =  e dx = e − ex 2 1 = uv b b a −  vdu = a = 2e 2 − e − (e 2 − e) = 2e 2 − e − e 2 + e = e 2 . 1 1 Пример 10. Вычислить определенный интеграл  x 3 ln xdx . 2 Решение.  x 3 ln xdx = 1 u = ln x dv = x 3 dx du = (ln x)' dx = x4 v =  x dx = 4 3 1 dx ⋅ dx = x x = uv b b a −  vdu = a 2 2 2 2 2 4 x4 x dx x 4 12 3 x4 1 x4 = ln x ⋅ − = = ln x −  x dx = ln x − 4 1 1 4 x 4 4 4 4 4 1 1 1 1 24 1 1  24 1  1  16 1  15 = ln 2 − ln 1 −  −  = 4 ln 2 −  −  = 4 ln 2 − . 4 4 4 4 4 4  4 4 16 5. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах Теорема 7. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [−a; a ] , симметричном относительно точки x = 0 . Тогда a a  f ( x)dx = 2 f ( x)dx , если −a f (x) - четная функция; a  f ( x)dx = 0 , если f (x) - нечетная функция; −a x2 Пример 11. 1.  xdx = 2 −1 1 π 2. π sin 3 1 = −1 1 1 − = 0, 2 2 x cos 4 xdx = 0 . − Несобственный интеграл В предыдущих параграфах рассматривались определенные интегралы, соответствующие с геометрической точки зрения площадям замкнутых ограниченных областей (криволинейных трапеций). Расширим понятие определенного интеграла на случай неограниченной области. Такую область можно получить, либо приняв какойлибо из пределов интегрирования равным бесконечности, либо рассматривая график функции с бесконечными разрывами (то есть неограниченной). Рассмотрим отдельно каждый из указанных случаев. 1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы 1-го рода) Пусть функция f (x) определена и непрерывна при x ≥ a . Тогда интеграл b  f ( x)dx a имеет смысл при любом b > a и является непрерывной функцией аргумента b . b Определение 2. Если существует конечный предел lim  f ( x)dx , то его называют b→+∞ a несобственным интегралом 1-го рода от функции f (x) на интервале [a;+∞) и +∞ обозначают  f ( x)dx . a +∞ Таким образом, по определению  a b f ( x)dx = lim  f ( x)dx . b→+∞ a При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если не существует конечного предела, то несобственный интеграл не существует или расходится. Замечание. Аналогичным образом можно определить и несобственный интеграл 1b  го рода: b −∞ f ( x)dx = lim  f ( x)dx ; a →−∞ a Геометрический смысл несобственного интеграла в случае, когда f ( x) ≥ 0 : если b интеграл выражает площадь области, ограниченной кривой y = f (x) , осью  f ( x)dx a абсцисс и ординатами x = a , x = b , несобственный интеграл +∞  f ( x)dx выражает площадь a неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями y = f (x) , x = a и осью абсцисс. Несобственный интеграл +∞  −∞ c +∞ −∞ c f ( x)dx =  f ( x)dx +  b b a →−∞ a b →+∞ a f ( x)dx = lim  f ( x)dx + lim  f ( x)dx . +∞ Пример 12. Вычислить несобственный интеграл  1 +∞ Решение.  1 − dx . x4 b b b dx dx x −3 1 1 1 −4 lim lim lim lim lim = = x dx = = = − =   b→+∞ − 3 b→+∞ − 3 x 3 b→+∞ x 3 3 x 4 b→+∞ 1 x 4 b→+∞ 1 1 1 1 b b 1 1  1 lim  3 − 1 = . Данный интеграл сходится. 3 b→+∞ b  3 +∞ Пример 13. Вычислить несобственный интеграл  1 +∞ Решение.  1 dx . x b b dx dx = lim  = lim ln x 1 = lim (ln b − ln 1) = ∞ . b→+∞ x b→+∞ 1 x b→+∞ Данный интеграл расходится. +∞ dx . 2 ( 3 x + 2 ) ln ( 3 x + 2 ) 1 d (3 x) +∞ b b dx dx 3 Решение.  = lim  = lim  = 2 b→+∞ (3 x + 2) ln 2 (3 x + 2) b→+∞ (3 x + 2) ln 2 (3 x + 2) ( 3 x + 2 ) ln ( 3 x + 2 ) Пример 14. Вычислить несобственный интеграл  b b   1 d (3x + 2) 1 d (ln(3 x + 2) ) 1 1  = = lim  = lim  2 = lim  − 2 3 b→+∞ 0 (3 x + 2) ln (3 x + 2) 3 b→+∞ 0 ln (3 x + 2) 3 b→+∞ ln(3 x + 2)  0 b =−  1 1 1  1 lim  −  = = const . Данный интеграл сходится. 3 b→+∞ ln(3b + 2) ln 2  3 ln 2 +∞ Пример 15. Вычислить несобственный интеграл dx  1 + x2 . −∞ +∞ dx dx Решение.  =  + 2 2 −∞ 1 + x −∞ 1 + x +∞  b dx dx dx = lim  + lim  = 2 2 a →−∞ 1 + x b→+∞ 1 + x 2 1+ x a b = lim arctgx a + lim arctgx 0 = lim (arctg 0 − arctga) + lim (arctgb − arctg 0) = a →−∞ b→+∞ a→−∞ b→+∞ = 0 − arctg (−∞) + arctg (+∞) − 0 = arctg (+∞) + arctg (+∞) = π 2 + π 2 =π . Данный интеграл сходится. 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода) Определение 3. Пусть функция f ( x) определена и непрерывна при a ≤ x < b , а при b x = b функция не определена, либо терпит разрыв. Тогда интеграл  f ( x)dx a определяется следующим образом: b b −ε a a  f ( x)dx = lim  f ( x)dx ε →0 и называется несобственным интегралом 2-го рода. Если предел, стоящий справа, существует и конечен, интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогичным образом определяются другие несобственные интегралы 2го рода: 1) Если функция f ( x) имеет разрыв в точке x = a , то b b a a +ε  f ( x)dx = lim  f ( x)dx . ε →0 2) Если функция f ( x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри отрезка [a; b] , то b c b b −ε b a a c a a +ε  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx = lim  f ( x)dx + lim  f ( x)dx . ε →0 ε →0 b При этом в последним пункте интеграл  f ( x)dx считается сходящимся, если a сходятся оба интеграла, стоящие справа и расходящимся, если расходится хотя бы один из этих интегралов. 1 dx Пример 16. Вычислить несобственный интеграл  2 . −1 x Решение. При х = 0 подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Имеем: −ε 0−ε 1 dx 0 dx 1 dx dx dx  1  1 + lim  2 = lim −  + lim −  =  x 2 =  x 2 +  x 2 = εlim  2 ε →0 ε →0  x  ε →0  x  →0 −1 −1 −1 x 0+ε x −1 ε 1 1 1   1  1 1 1  1  = lim − +  + lim − +  = lim − 1 + lim − 1 = ∞ , т.е. данный интеграл ε → 0 − ε − 1  ε → 0 1 ε  ε → 0 ε  ε → 0 ε  расходится. Замечание. Если бы мы вычисляли данный интеграл по формуле НьютонаЛейбница, не обращая внимания на точку разрыва, то получили бы сходящийся интеграл: 1 1 dx  1  1 1 = − = − + = −1 − 1 = −2 .    2  х 1 −1 −1 x −1 Этот результат неверен и явно противоречит следствию 2 из свойства 4 определенного интеграла, т.к. подынтегральная функция положительна. 1 dx Пример 17. Вычислить несобственный интеграл  . 0 x Решение. При х = 0 подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Имеем: 1 1 1 dx dx = lim ln x ε = lim(ln 1 − ln ε ) = ∞ .  x ε →0  x = εlim →0 ε →0 0+ ε Это означает, что несобственный интеграл расходится. Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции εABb неограниченно возрастает при ε → 0. 1 dx . 0 1− x Решение. При х = 1 подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Имеем: 1−ε 1−ε 1−ε 1−ε 1−ε dx dx − d (− x) d (1 − x) = lim  = lim  = − lim  = − lim 2 1 − x = −2 lim 1 − x = ε →0 ε →0 ε →0 1 − x ε →0 0 1 − x ε →0 0 1 − x 1 − x Пример 18. Вычислить несобственный интеграл  1  = −2 lim( 1 − (1 − ε ) − 1 − 0 ) = −2 lim( ε − 1) = 2 , т.е. данный интеграл сходится. ε →0 ε →0