Определенные интегралы

Сыктывкарский лесной институт. Самородницкий Александр Анатольевич. samorod@gmail.com Лекция по дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения 1 курса направлений подготовки транспортно-технологического факультета Весна 2020 – 2021 учебного года Тема 6: Определённые интегралы 1. Определённые интегралы. Существует множество понятий определённого интеграла. Наиболее известные из них – это интеграл Римана2, интеграл Лебега3 и интеграл Стильтьеса4. В их основе лежит формула Ньютона5 – Лейбница6: если 𝐹(𝑥) – любая первообразная функции 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏], то есть 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], то 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑥=𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). 𝑎 2. Вычисление площадей. 𝑆 = {(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2 (𝑥)} 𝑏 𝑆 = ∫(𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥 𝑎 𝑆 = {(𝑥, 𝑦): 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑥1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2 (𝑦)} 𝑑 𝑆 = ∫(𝑥2 − 𝑥1 )𝑑𝑦 𝑐 2 Георг Фридрих Бернхард Риман (годы жизни: 1826 – 1866) – немецкий математик и физик. Анри Леон Лебег (годы жизни: 1875 – 1941) – французский математик. 4 Томас Иоаннес Стилтьес (годы жизни: 1856 – 1894) – нидерландский математик. 5 Исаак Ньютон (годы жизни: 1643 – 1727) – английский физик и математик. 6 Готфрид Вильгельм Лейбниц (годы жизни: 1646 – 1716) – немецкий учёный. 3 7 Сыктывкарский лесной институт. Самородницкий Александр Анатольевич. samorod@gmail.com Пример 1 – 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 𝑆(𝑦2 = −𝑥 + 4, 𝑦1 = 𝑥 2 + 2𝑥). Решение. 1) 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏 : − 𝑥 + 4 = 𝑥 2 + 2𝑥 ⇒ 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑎 = −4; 𝑥2 = 𝑏 = 1. 𝒚𝟏 = 𝟎: 𝑥 2 + 2𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 + 2) = 0 ⇒ ⇒ 𝑥1 = −2, 𝑥2 = 0. 2) 1 1 𝑆 = ∫(𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥 = ∫(−𝑥 + 4 − (𝑥 2 + 2𝑥))𝑑𝑥 = −4 1 −4 1 −𝑥 3 3𝑥 2 = ∫(−𝑥 − 3𝑥 + 4)𝑑𝑥 = ( − + 4𝑥)| = 3 2 𝑥=−4 2 −4 −13 3 ∙ 12 =( − + 4 ∙ 1) − 3 2 −(−4)3 3 ∙ (−4)2 −1 3 64 48 −( − + 4 ∙ (−4)) = ( − + 4) − ( − − 16) = 3 2 3 2 3 2 −2 − 9 + 24 128 − 144 − 96 13 −112 125 = − = − = . 6 6 6 6 6 Пример 3 – 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 𝑆(𝑥 + 𝑦 = 7, 𝑦 = 6𝑥 2 , 𝑦 = 0). 1 𝑦 𝑦 1 2 √ Решение. 𝟑) 𝑥2 = 7 − 𝑦, 𝑥1 = ⇒ 𝑥1 = = ∙ 𝑦 2 ; 𝑐 = 0, 𝑑 = 6. 6 6 √6 4) 6 6 𝑆 = ∫(𝑥2 − 𝑥1 )𝑑𝑦 = ∫ (7 − 𝑦 − 2 3 𝑦2 1 √6 1 ∙ 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 = 6 𝑦 1 − ∙ )| = 2 √6 3 2 0 2 6 1 2 3 = (7 ∙ 6 − − ∙ ∙ 62 ) − 0 = 2 √6 3 1 2 = 42 − 18 − ∙ ∙ 6√6 = 24 − 4 = 20. √6 3 = (7𝑦 − 8 Сыктывкарский лесной институт. Самородницкий Александр Анатольевич. samorod@gmail.com 3. Площади и двойные интегралы. 𝑆 = {(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2 (𝑥)} 𝑏 𝑦2 𝑏 𝑑 𝑆 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = ∫(𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥 𝑆 𝑎 𝑦1 𝑆 = {(𝑥, 𝑦): 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑥1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2 (𝑦)} 𝑥2 𝑑 𝑆 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 − 𝑥1 )𝑑𝑦 𝑎 𝑆 𝑐 𝑥1 𝑐 Пример 5 – 7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 𝑆(𝑦2 = 3√6𝑥; 2𝑦1 = 𝑥 2 ). Решение. 5) 𝒚𝟐 = 𝟑√𝟔𝒙 ⇒ 𝑦 = 3√6𝑥 ⇒ 𝑦 2 = 9 ∙ 6𝑥 ⇒ 𝑦2 𝒚𝟐 2 ⇒ 𝑦 = 54𝑥 ⇒ 𝑥 = ⇒ 𝒙𝟏 = ; 54 𝟓𝟒 𝒙𝟐 𝑥2 𝒚𝟏 = ⇒𝑦= ⇒ 𝑥 2 = 2𝑦 ⇒ 𝑥 = √2𝑦 ⇒ 𝟐 2 ⇒ 𝒙𝟐 = √𝟐𝒚 . 6) 𝑏 𝑦2 6 3√6𝑥 6 𝑥2 𝑆 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ (3√6𝑥 − ) 𝑑𝑥 = 2 𝑆 𝑎 6 = ∫ (3√6 ∙ 1 𝑥2 𝑦1 𝑥2 2 6 1 2 2 1 𝑥3 − ∙ 𝑥 ) 𝑑𝑥 = (3√6 ∙ ∙ 𝑥√𝑥 − ∙ )| = 2 3 2 3 0 63 = (2√6 ∙ 6√6 − ) − 0 = 72 − 36 = 36. 6 7) 𝑑 𝑥2 18 √2𝑦 18 𝑦2 54 𝑦2 𝑆 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ (√2𝑦 − ) 𝑑𝑦 = 54 𝑆 𝑐 18 = ∫ (√2 ∙ 1 𝑦2 𝑥1 18 1 2 1 𝑦3 2 − ∙ 𝑦 ) 𝑑𝑦 = (√2 ∙ ∙ 𝑦√𝑦 − ∙ )| = 54 3 54 3 0 9 Сыктывкарский лесной институт. Самородницкий Александр Анатольевич. samorod@gmail.com 2 1 183 182 = (√2 ∙ ∙ 18√18 − ∙ = 72 − 36 = 36. ) − 0 = 12√36 − 3 54 3 3∙3 4. Тройной интеграл. Пример 8 – 10. Вычислите при 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) : − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1, −3 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4} интеграл 𝐼 = ∭(12𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 . 𝑉 Решение. 1 2 −1 1 −3 2 4 1 2 −1 −3 4 6𝑧 2 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫(12𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∙ (12𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧 + = )| 2 𝑧=0 1 2 = ∫ 𝑑𝑥 ∫((12𝑥 ∙ 4 − 2𝑦 ∙ 4 + 3 ∙ 42 ) − 0)𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫(48𝑥 − 8𝑦 + 48)𝑑𝑦 = −1 1 −3 −1 −3 2 8𝑦 2 = ∫ 𝑑𝑥 ∙ (48𝑥𝑦 − + 48𝑦)| = 2 𝑦=−3 −1 1 = ∫ ((48𝑥 ∙ 2 − 4 ∙ 22 + 48 ∙ 2) − (48𝑥 ∙ (−3) − 4 ∙ (−3)2 + 48 ∙ (−3))) 𝑑𝑥 = −1 1 = ∫(96𝑥 − 16 + 96 + 144𝑥 + 36 + 144)𝑑𝑥 = −1 1 1 240𝑥 2 = ∫(240𝑥 + 260)𝑑𝑥 = ( + 260𝑥)| = 2 𝑥=−1 −1 = (120 + 260) − (120 − 260) = 520. 10