Определение весовых коэффициентов в интегральном критерии

ЛЕКЦИИ 13 – 14. Определение весовых коэффициентов в интегральном критерии Определение весовых коэффициентов при частных критериях составляет особую задачу при построении интегрального критерия на основе аддитивных или мультипликативных преобразований. Оно обычно производится на основе опроса нескольких экспертов, по результату которого можно составить матрицу индивидуальных оценок, например, в следующем виде: B b11 b12 ... b1m b21 b22 ... b2 m ... ... ... ... или B = [bij], i = 1,2,…,n; j = 1,2,…,m. bn1 bn 2 ... bnm В этой матрице i-я строка соответствует множеству значений i-го коэффициента, данных всеми экспертами, а j-й столбец – набору значений весов, данных j-м членом совета (m – число экспертов, n – число частных критериев). Задача фактически заключается в преобразовании такой матрицы в вектор-столбец окончательных коэффициентов (b1, b2, ..., bn)Т во взвешенной сумме n E  F ( q1 , q 2 ,..., q n )   bi qi . (1) i 1 Простейший способ преобразования такой матрицы в вектор – нахождение среднего арифметического по столбцам (при условии, что компетентность экспертов считается одинаковой). Однако, обычно применяются более сложные методы и их сочетания, в которых экспертам предлагается не вычислять значения весов, но определять взаимную или абсолютную приоритетность частных критериев. Кроме того, может применяться так называемый метод Дельфы, который проводится в несколько туров. На каждом из них подсчитывается средняя оценка и сообщается экспертам. Экспертов, давших крайние оценки, просят обосновать свое мнение. Эта процедура повторяется до тех пор, пока оценки не сойдутся к достаточно узкому интервалу (более подробно этот метод будет рассмотрен в следующих темах). 1 Метод ранжирования Метод предусматривает установление относительной значимости критериев q1,q2,…,qn. Каждым экспертом производится ранжирование, то есть упорядочение критериев qi в зависимости от их важности: наиболее важному по его мнению показателю присваивается первый ранг, а наименее важному – последний. Обычно число рангов равно числу исследуемых частных критериев. Если эксперт помещает на одно место несколько одинаково важных критериев, то им присваивается стандартизованный ранг, представляющий собой среднее значение мест, падающих на показатели с одинаковой значимостью. Общее число рангов должно быть равно n. Затем для каждого частного критерия qi подсчитывается сумма рангов, присужденных ему экспертами. Критерию, набравшему минимальную сумму, окончательно присваивается первый ранг, критерию, получившему максимальную сумму, – последний. Сумма рангов при ранжировании n критериев равна сумме чисел натурального ряда: n  (n 1) Sn  . (2) 2 Вычисление весовых коэффициентов производится в предположении линейной зависимости между рангом и относительной ценностью критерия (чем меньше значение ранга, тем более важен критерий). В зависимости от ранга критерия определяется относительная оценка i-гo критерия r 1 Ci  1  i . (3) n Затем путем масштабирования осуществляется переход к весовым коэффициентам bi, по формуле C (4) bi  n i ,.  Ck k 1 n где  bi  1 i 1 Метод непосредственной оценки При использовании этого метода весь набор критериев оценивается каждым экспертом эвристически из какого-либо количества баллов, например, по десятибалльной системе, или сразу весовым коэффициентом от 0 2 до 1, согласно проведенному упорядочению по важности. Значения оценок i-гo показателя j-м экспертом Cij должны находиться в невозрастающей зависимости от ранга. Одинаковым по важности критериям должны присваиваться одинаковые оценки. Тогда вес i-го показателя в системе остальных критериев, оцененных j-м экспертом, равен: Cij bij  n , (5)  Ckj k 1 где Сij – оценка i-го показателя j-м экспертом. Среднее значение весового коэффициента i-гo частного критерия определяется формулой: m bij bi  j 1 n m . (6)   bkj k 1 j 1 Ранжирование указывает лишь на относительную значимость показателей, не выявляя их абсолютной важности, поэтому обычно применяют первую его часть (упорядочение частных критериев по важности) в совокупности с другими методами. Пример Метод ранжирования. Пусть проекты (альтернативы) оценивают три эксперта (таблица 1). Число рангов равно числу исследуемых частных критериев и равно двум. Значения Ci вычисляем по формуле (3): 1 1 , C1  1  1 C2  1  2 2 1  0,5 . 2 Значения весовых коэффициентов вычисляем по формуле (4): 1 b1   0,66 , 1,5 0,5 b2   0,34 . 1,5 Проверка: b1 + b2 = 1. 3 Таблица 1 Частные критерии выбора Стоимость внедрения Срок реализации 2 1 1 2 1 2 4 5 1 2 1 0,5 Эксперты 1. Иванов 2. Сидоров З. Петров Сумма рангов Конечный ранг показателя ri Значение Ci Значение весового коэффициента bi 0,66 0,34 Метод непосредственной оценки. Пусть оценку критериев производят те же три эксперта и ими были даны оценки по пятибалльной шкале, приведенные в таблице 2. Таблица 2 Эксперты 1. Иванов 2. Сидоров 3. Петров Оценки показателей Сi Стоимость внедрения Срок реализации 3 5 4 3 5 2 Сумма оценок 8 7 7 Определим вес каждого показателя в системе остальных критериев, оцененных каждым экспертом по формуле (5) и запишем в таблицу 3: 3 5 3 4 5 b11   0,38 , b12   0,57 , b13   0,71 , b21   0,63 , b22   0,43 , 8 7 8 7 7 2 b23   0,29 . 7 Таблица 3 Оценка Cij Весовой коэффициент bij C11 C12 C13 C21 C22 3 4 5 5 3 C23 2 b11 b12 b13 b21 b22 b23 0,38 0,57 0,71 0,63 0,43 0,29 По формуле (6) вычисляем значения весовых коэффициентов bi. 4 0,38  0,57  0,71  0,55 , 0,38  0,57  0,71  0,63  0,43  0,29 0,63  0,43  0,29 b2   0,45 . 0,38  0,57  0,71  0,63  0,43  0,29 Проверка: b1 + b2 = 1. b1  Метод последовательных сравнений Этот метод предназначен для повышения достоверности информации, полученной Методами ранжирования или непосредственной оценки. Метод последовательных сравнений рекомендуется применять в тех случаях, когда число частных критериев не превышает 7. В данном методе производится сравнение (n – 2) пар специально подобранных абстрактных объектов. Эксперт фактически должен определить, какой из двух объектов лучше: обладающий только i-м свойством или совокупностью из i+1, i+2,…, n свойств. Применение этого метода удобно записать в виде следующего алгоритма. 1. Проводится ранжирование частных критериев и присваивание первоначальных значений коэффициентам Сij методами ранжирования или непосредственной оценки. 2. Для i = 1, 2, …, (n – 2) выясняется, будет ли объект, обладающий только i-м критерием, важнее объекта, обладающего совокупностью критериев, получивших меньшую оценку (i+1, i+2, …, n), и составляется набор отношений: n Cij R   Ckj , (7) k  i 1 где [R] – операция отношения; [R] ≡ «>», если i-й показатель более ценен, чем вместе взятые показатели с меньшим рангом; [R] ≡ «<», если i-й показатель менее ценен, чем вместе взятые показатели с меньшим рангом; [R] ≡ «=», если i-й показатель и совокупность показателей с меньшими рангами имеют одинаковую ценность. 3. Проводится проверка составленных в п. 2 отношений на соответствие оценкам Сij, выбранным в п.1. Если неравенство не выполняется, то либо изменяются значения Сij для i от (n – 2) до 1 так, чтобы составленные неравенства были истинны и не нарушилась первоначальная ранжировка критериев, либо изменяется знак отношения. Следует заметить, что если начать эту проверку не с конца, а с начала, то на каждом шаге пришлось бы 5 возвращаться и корректировать значения уже рассмотренных коэффициентов, т. к. изменение Сij может повлечь и нарушение отношений. 4. Проводится масштабирование значений Cij для получения весовых коэффициентов bij (рассчитываются по формуле (5)). Окончательные значения весовых коэффициентов bi, рассчитываются по формуле (6). Пример Пусть j-й эксперт выставил ряд оценок коэффициентов Cij, отражающих его мнение об относительной ценности шести частных критериев некоторого объекта. Значения Сij приведены в таблице 4. Таблица 4 ai Cij a1 1.0 a2 0.9 a3 0.7 a4 0.6 a5 0.3 a6 0.1 Для уточнения оценок Сij эксперт сравнивает четыре пары абстрактных объектов, каждый из которых представлен вектором x = (x1, x2, …, xi, …, xn), где xi = 1 соответствует включению i-го критерия в абстрактный объект; xi = 0, если i-й критерий не рассматривается. Пусть в результате сравнения эксперт получил следующие соотношения: 1) (100000) 2) (010000) 3) (001000) 4) (000100) (011111); C1 j  хуже 6 Ckj . k 2 6 (001111); C 2 j  лучше (000111); C3 j  хуже (000011); C4 j  лучше  C kj . k 3 6  C kj . k 4 6  Ckj . k 5 В ходе проверки на соответствие полученных неравенств и оценок коэффициентов Сij (табл. 4) экспертом корректируются значения оценок для 1-го и 2-го критериев таким образом, чтобы выполнялись соотношения 1) и 2) и не нарушалась ранжировка критериев. По окончании проверки путем масштабирования по формуле (5) эксперт получает значения коэффициентов bij. Результаты корректировки и масштабирования сведены в таблице 5. 6 Таблица 5 ai a1 a2 a3 a4 a5 a6 Cij 2.5 2.0 0.7 0.6 0.3 0.1 bij 0.4 0.32 0.11 0.1 0.05 0.02 Метод парных сравнений Этот метод используется в том случае, когда применение метода последовательных сравнений становится трудоемким из-за большого числа частных критериев. При этом не требуется проводить предварительное ранжирование частных критериев. При попарном сравнении всех критериев более важному из них присваивается экспертная оценка 1, а менее важному – значение 0. Если пары критериев сравниваются однократно, то число сравнений, выполняемых одним экспертом, равно: n  ( n  1) S . (8) 2 Если в оценивании участвуют несколько экспертов, то определяется среднее значение весового коэффициента: m  bij bi  j 1 n m , (9)   bkj k 1 j 1 где bij = fij/S – вес i-гo критерия по данным j-го эксперта; fij – средняя частота предпочтения, данная j-м экспертом i-му показателю по сравнению с другими: n a  f ij   f  i  , (10) k 1  a k  j ik где f(аi/ak)j – частота предпочтения, отдаваемого показателю ai по сравнению с показателем ak, равная 0 или 1. Пример. Пусть группе экспертов предложено оценить 6 свойств некоторого объекта. Число сравнений, выполняемых каждым экспертом, равно S = 15. 7 Эксперт Иванов, выполняя попарное сравнение критериев, получил соотношения критериев, приведенные в таблице 6. Здесь 1 означает предпочтение критерия аi по сравнению с критерием аk. Значения fij, полученные всеми экспертами, а также результаты расчета коэффициентов bi, приведены в таблице 7. В процессе расчетов получим: b1 = 11/45 = 0,24; b2 = 13/45 = 0,29; b3 = 8/45 = 0,18; b4 = 3/45 = 0,07; b5 = 4/45 = 0,09; b6 = 6/45 = 0,13. Таблица 6 Критерии ai Критерии ai a3 a4 1 a5 1 Значение a1 a1 --- a2 a6 1 a2 1 --- 1 1 1 1 a3 1 --- 1 1 3 a4 --- 1 1 a5 --- 1 1 a6 1 1 --- 2 3 5 Таблица 7 1. Иванов a1 3 a2 5 Критерии a3 a4 3 1 2. Петров 3. Сидоров 4 4 4 4 2 3 1 1 2 1 2 2 0.24 0.29 0.18 0.07 0.09 0.13 Эксперты Коэффициент bi a5 1 a6 2 Контрольные вопросы 1. С какой целью при построении интегрального критерия вводятся весовые коэффициенты? 2. Поясните простейший метод получения весовых коэффициентов для частных критериев? 8 3. Поясните принцип нахождения весовых коэффициентов частных критериев методом ранжирования. 4. Поясните принцип нахождения весовых коэффициентов частных критериев методом непосредственной оценки. 5. Для чего предназначен и в каких случаях следует применять метод последовательных сравнений? 6. Объясните принцип работы метода последовательных сравнений. 7. Для чего предназначен и в каких случаях следует применять метод парных сравнений? 8. Объясните принцип работы метода парных сравнений. 9