Определение, предмет, объект эконометрики. Методы эконометрики. Цели и задачи эконометрики. Роль и место эконометрики среди других дисциплин. Актуальность эконометрических исследований. Перспективы и пути совершенствования знаний в области эконометрики.

Эконометрика Лекция №1. Определение, предмет, объект эконометрики. Методы эконометрики. Цели и задачи эконометрики. Роль и место эконометрики среди других дисциплин. Актуальность эконометрических исследований. Перспективы и пути совершенствования знаний в области эконометрики. Эконометрика – наука, занимающаяся построением и использованием на практике специального класса моделей, отображающих взаимосвязи между социально-экономическими процессами. Объект изучения эконометрики – взаимосвязи между социальноэкономическими явлениями и процессами. Предмет эконометрики – количественная оценка взаимосвязей между социально-экономическими явлениями и процессами. Методы эконометрики – теория вероятности и математическая статистика, регрессионный анализ и специальные методы для решения нелинейных задач. Цели эконометрики:  анализ социально-экономических процессов;  прогнозирование социально-экономических процессов;  управление социально-экономическими процессами. Построение эконометрической модели Предполагается, что закономерности моделируемого процесса складываются под воздействием других факторов. 𝑦𝑡 = 𝑓 (𝛼, 𝑋𝑡 ) + 𝜀𝑡 (1) t=1…n показывает распределение уровней ряда (процесса) по совокупности однородных объектов; 𝑦𝑡 – моделируемый процесс, (эндогенный фактор) изменяющийся в зависимости от t; 𝑋𝑡 – независимые (экзогенные) факторы, под воздействием которых изменяется моделируемый процесс 𝑦𝑡 1 𝛼 = (𝛼0; 𝛼1 … 𝛼𝑚 ) параметры модели, выражающие степень влияния факторов X на переменную 𝑦; 𝜀𝑡 – случайная ошибка модели. В зависимости от t данные при построении эконометрических моделей делятся на :  временные , уровни ряда изменяются во времени (например, по годам, месяцам, дням, неделям);  пространственные , уровни ряда изменяются в пространстве (например, по регионам, странам, людям, предприятиям);  смешенные или панельные, уровни ряда изменяются и во времени, и в пространстве (например, данные нескольких предприятий изменяются по месяцам или показатели регионов РФ изменяются по годам). По количеству включаемых факторов эконометрические модели делятся на:  однофакторные (парные) – предполагается, что моделируемый процесс изменятся под воздействием одного фактора 𝑥𝑡 𝑦𝑡 = 𝑓 (𝛼, 𝑥𝑡 ) + 𝜀𝑡 (2);  многофакторные (множественные) – предполагается, что моделируемый процесс изменяется под воздействием двух и более факторов 𝑦𝑡 = 𝑓 (𝛼, 𝑥1𝑡 … … 𝑥𝑚𝑡 ) + 𝜀𝑡 (3). По виду функционала эконометрические модели делятся на:  линейные 𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1𝑥1𝑡 + ⋯ + 𝛼𝑚 𝑥𝑚𝑡 + 𝜀𝑡  нелийные правая полулогарифмическая 𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1ln(𝑥1𝑡 ) + ⋯ + 𝛼𝑚 ln(𝑥𝑚𝑡 ) + 𝜀𝑡 …(4) 𝛼 𝛼 𝛼 степенная 𝑦𝑡 = 𝛼0 ∗ 𝑥1𝑡1 ∗ 𝑥2𝑡2 ∗ … ∗ 𝑥𝑚𝑡𝑚 + 𝜀𝑡 ………………………………….(5) гиперболическая 𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑥1𝑡 + ⋯+ лог-гиперболическая ln(𝑦𝑡 ) = 𝛼0 + 𝛼𝑚 𝑥𝑚𝑡 𝛼1 𝑥1𝑡 + 𝜀𝑡 ………………………………(6) + ⋯+ 𝛼𝑚 𝑥𝑚𝑡 + 𝜀𝑡 ……………………….(7) 2 обратная линейная (Торнквиста) 1 𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑥1𝑡 +⋯+ 𝛼𝑚 𝑥𝑚𝑡 + 𝜀𝑡 ………………(8) Линеаризация – процесс приведения нелинейных моделей к линейному виду. Нелинейный эконометрические модели делятся на:  нелинейный по переменным, которые всегда можно линеаризировать путем замены переменной. Примеры: 1. 𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 ln(𝑥𝑡 ) + 𝜀𝑡 Можно линеаризовать заменой ln(𝑥𝑡 ) = 𝑧𝑡 Получаем линейную модель 𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1𝑧𝑡 + 𝜀𝑡 2. ln(𝑦𝑡 ) = 𝛼0 + 𝛼1 𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 Можно линеаризовать заменой ln(𝑦𝑡 ) = 𝜔𝑡 ; 1 𝑥𝑡 = 𝑧𝑡 Получаем линейную модель 𝜔𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1𝑧𝑡 + 𝜀𝑡 3. 1 𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 Можно линеаризовать заменой 1 𝑦𝑡 = 𝜔𝑡 ; 1 𝑥𝑡 = 𝑧𝑡 Получаем линейную модель 𝜔𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1𝑧𝑡 + 𝜀𝑡  Нелинейные по параметрам, которые не всегда поддаются линеаризации Примеры: 𝛼 1. 𝑦𝑡 = 𝛼0 ∗ 𝑥1𝑡1 + 𝜀𝑡 В случае, если ошибка аддитивна, степенную модель нельзя линеаризировать. 3 𝛼 𝑦𝑡 = 𝛼0 ∗ 𝑥1𝑡1 ∗ 𝜀𝑡 В случае, если ошибка мультипликативна, степенную модель можно линеаризировать путем преобразования взятия логарифма и дальше заменой переменных. ln(𝑦𝑡 ) = ln(𝛼0 ) + 𝛼1ln(𝑥𝑡 ) + ln(𝜀𝑡 ) Можно линеаризовать заменой ln(𝑦𝑡 ) = 𝜔𝑡 ; ln(𝑥𝑡 ) = 𝑧𝑡 Получаем линейную модель 𝜔𝑡 = 𝛼0∗ + 𝛼1𝑧𝑡 + 𝜀𝑡 ∗ Актуальность эконометрических исследований состоит в том, чтобы дать исследователям инструмент для прогнозирования поведения экономического объекта в различных ситуациях и на базе прогнозирования решать практические задачи по оптимальному управлению объектом, выбору стратегии поведения на рынке и т.п Лекция №2. Парная линейная модель. Общий вид модели. Геометрическая интерпретация. Природа возникновения ошибки в регрессионных моделях. Определение параметров парной линейной регрессии методом наименьших квадратов. Свойства полученных оценок параметров. Общий вид модели. 𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 ………………………………………………………….(9); где t=1…n показывает распределение уровней ряда (процесса) по совокупности однородных объектов; 𝑦𝑡 – моделируемый процесс, (эндогенный фактор) изменяющийся в зависимости от t; 𝑥𝑡 – независимый (экзогенный) фактор, под воздействием которого изменяется моделируемый процесс 𝑦𝑡 𝛼 = (𝛼0; 𝛼1 ) параметры модели, выражающие степень влияния фактора x на переменную 𝑦; 𝜀𝑡 – случайная ошибка модели. 4 Причины возникновения ошибки в эконометрических моделях: 1. Неправильно выбранный функционал модели, модель не всегда линейная. 2. Не возможность учесть все факторы, влияющие на моделируемый процесс. 3. Ошибки измерения исходных факторов. Метод наименьших квадратов для определения параметров модели парной линейной регрессии (МНК). Суть МНК заключается в том, чтобы найти такие оценки параметров модели при которых суммарный квадрат ошибки будет минимальным. Критерий метода: 𝑆 2 = ∑𝑛𝑡=1 𝑒𝑡2 → 𝛼0 ;𝛼1 𝑚𝑖𝑛 ………………………………….(10) Предпосылки метода: 1. 𝑀(𝜀𝑡 ) = 0; 2. 𝛿𝜀2𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; ошибка является белым шумом……….(11) 3. 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖 ; 𝜀𝑗 ) = 0 4. 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑡 ; 𝑥𝑡 ) = 0 Оценка параметров модели по МНК. 𝑦𝑡 – исходные значения процесса ; 𝑦̂𝑡 – модельные (расчетные) значения процесса; 𝑦̂𝑡 = 𝛼 ̂0 + 𝛼 ̂𝑥 1 𝑡; 𝑒𝑡 – фактическая ошибка модели; 𝑒𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑦̂𝑡 . 2 𝑆 2 = ∑𝑛𝑡=1 𝑒𝑡2 = ∑𝑛𝑡=1(𝑦𝑡 − 𝛼 ̂0 − 𝛼 ̂𝑥 1 𝑡) → 𝛼0 ;𝛼1 𝑚𝑖𝑛 ; 5 𝜗𝑆 2 = 2 ∗ ∑𝑛𝑡=1(𝑦𝑡 − 𝛼 ̂0 − 𝛼 ̂𝑥 1 𝑡 ) ∗ (−1) = 0 𝜗𝛼 {𝜗𝑆 20 =2∗ 𝜗𝛼1 ∑𝑛𝑡=1(𝑦𝑡 ; −𝛼 ̂0 − 𝛼 ̂𝑥 1 𝑡 ) ∗ (−𝑥𝑡 ) = 0 ∑𝑛𝑡=1(𝑦𝑡 − 𝛼 ̂0 − 𝛼 ̂𝑥 1 𝑡) = 0 { 𝑛 ; ∑𝑡=1(𝑦𝑡 − 𝛼 ̂0 − 𝛼 ̂𝑥 1 𝑡 ) ∗ (𝑥𝑡 ) = 0 { ∑𝑛𝑡=1 𝑦𝑡 = 𝑛 ∗ 𝛼 ̂0 + 𝛼 ̂1 ∗ ∑𝑛𝑡=1 𝑥𝑡 ; ∑𝑛𝑡=1 𝑦𝑡 ∗ 𝑥𝑡 = 𝛼 ̂0 ∑𝑛𝑡=1 𝑥𝑡 + 𝛼 ̂1 ∗ ∑𝑛𝑡=1 𝑥𝑡 2 { 𝛼 ̂0 = 𝑦̅ − 𝛼 ̂1 ∗ 𝑥̅ ; 𝑥 ∗ 𝑦 = (𝑦̅ − 𝛼 ̅̅̅̅̅̅ ̂1 ∗ 𝑥̅ ) ∗ 𝑥̅ + 𝛼 ̂1 ∗ ̅̅̅ 𝑥2 α ̂0 = y̅ − α ̂1 ∗ x̅ { ̅̅̅̅̅−(y x∗y ̅∗x̅) ;……………………………………………….(12) α ̂1 = ̅̅̅2 2 x −𝑥̅ Геометрическая интерпретация 10 𝜀4 9 8 7 𝜀2 6 4 3 2 1 𝜀5 𝜀3 yt 5 0 𝜀1 𝑦1 1 𝑥1 2 3 xt 4 5 6 Рисунок 1 Наблюдаемые или исходные значения y на графике показывают в виде точек. Теоретические или модельные значения y на графике показывают в виде прямой линии. 6 Ошибка является разностью между исходными и расчетными значениями y. Параметр 𝛼0 на графике является пересечением линии регрессии с осью Y, он показывает точку начала отсчета процесса. Так как большинство экономических показателей положительно определены, то при 𝛼0 < 0 параметр не имеет экономической интерпретации. Параметр 𝛼1 на графике является тангенсом угла наклона линии регрессии и показывает на сколько единиц изменится y при изменении x на 1 единицу. Также можно заметить, что при прямой связи между x и y, угол наклона линии регрессии <90 и 𝛼1 = 𝑡𝑔(𝛼) > 0 (Рисунок 1). При обратной связи между x и y, угол наклона линии регрессии >90 и 𝛼1 = 𝑡𝑔(𝛼) < 0 (Рисунок 2). Характер связи можно определить с помощью парного линейного коэффициента корреляции. 𝑟𝑥,𝑦 = ∑𝑛 ̅) 𝑡=1(𝑥𝑡 −𝑥̅ )(𝑦𝑡 −𝑦 =𝛼 ̂1 ∗ 2 𝑛 2 ̅) √∑𝑛 𝑡=1(𝑥𝑡 −𝑥̅ ) ∗√∑𝑡=1(𝑦𝑡 −𝑦 14 2 √∑𝑛 𝑡=1(𝑥𝑡 −𝑥̅ ) ̅)2 √∑𝑛 𝑡=1(𝑦𝑡 −𝑦 =𝛼 ̂1 ∗ 𝛿𝑥 𝛿𝑦 …………..(13) 𝜀1 0 12 10 𝜀2 8 yt 6 𝜀3 𝜀4 4 2 𝑦1 1 𝑥1 𝜀5 2 3 xt 4 5 6 7 Рисунок 2 Можно сделать важный вывод, что знак коэффициента корреляции должен совпадать со знаком коэффициента регрессии 𝛼1. 7 Статистические свойства параметров уравнения регрессии , найденных по МНК. Важной задачей моделирования является задача оценивания по выборочным данным параметров закона распределения признака Х генеральной совокупности. Статистические оценки бывают: 1. точечные; 2. интервальные. Точечная оценка неизвестного параметра – число, которое приблизительно равно оцениваемому параметру и его можно заменить с достаточной степенью точности в статистических расчетах. Для того, чтобы точечные статистические оценки обеспечивали хорошее приближение неизвестных параметров, они должны обладать свойствами: 1. Несмещенность – математическое ожидание оценки параметра равно оцениваемому параметру. 𝑀(𝜃̂ ) = 𝜃……………………………………………………………………..(14) 2. Состоятельность – оценка по вероятности сходится к оцениваемому параметру. 𝜃̂ → 𝑛→∞ 𝜃……………………………………………………………………(15) 3. Эффективность – оценка при фиксированном n имеет наименьшую дисперсию в классе всех несмещенных оценок. Оценка МО 1 ̂ М(𝑥 ) = 𝑥̅ = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ……………………………………(16) 𝑛 ̂ (𝑥 ) = 𝜎̂2 = 1 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑀 ̂ )2 ………….(17) Оценка дисперсии смещенной 𝐷 𝑛 2∗ = ̂ ∗ (𝑥 ) = 𝜎̂ Оценка дисперсии несмещенной 𝐷 1 𝑛−1 ̂ ̂ )2 =𝐷(𝑥) 𝑛.(18) ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑀 𝑛−1 Оценка среднеквадратического отклонения ̂ ∗ (𝑥 ) = √ 𝜎̂ = √𝐷 1 𝑛−1 ̂ )2…………………………………………..(19) ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑀 Оценка парного линейного коэффициента корреляции 8 𝑟̂𝑥,𝑦 = ∑𝑛 ̅) 𝑡=1(𝑥𝑡 −𝑥̅ )(𝑦𝑡 −𝑦 ………………………………………………..(20) 𝑛 𝑛 2 √∑𝑡=1(𝑥𝑡 −𝑥̅ ) ∗√∑𝑡=1(𝑦𝑡 −𝑦̅)2 Оценка ковариации 𝑐𝑜𝑣𝑥,𝑦 ∑𝑛𝑡=1(𝑥𝑡 − 𝑥̅ )(𝑦𝑡 − 𝑦̅) = 𝑛 Оценки параметров регрессии парной линейной по МНК: α ̂0 = y̅ − α ̂1 ∗ x̅ { ̅̅̅̅̅−(y x∗y ̅∗x̅) ;……………………………………………..………….(21) α ̂1 = ̅̅̅2 2 x −𝑥̅ Статистические свойства оценок параметров: Построим регрессию для центрированных значений: 𝑦̇ = 𝑦 − 𝑦̅ – центрированные значения у 𝑥̇ = 𝑥 − 𝑥̅ – центрированные значения x (𝑦̂ − 𝑦̅) = 𝛼 ̂0 + 𝛼 ̂(𝑥 − 𝑥̅ ) 1 Из формулы 21 следует, что 𝑦̅ = 𝛼 ̂0 + 𝛼 ̂𝑥̅ 1 Тогда 𝑦̂ − 𝑦̅ = 𝛼 ̂0 + 𝛼 ̂𝑥 ̂0 − 𝛼 ̂𝑥̅ ̂(𝑥 − 𝑥̅ ) 1 −𝛼 1 =𝛼 1 ẏ̂ = α ̂ẋ 1 …………………………………………………………………………(22) Применим МНК для модели в центрированных значениях: 𝑒𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑦̂𝑡̇ 2 𝑆 2 = ∑𝑛𝑡=1 𝑒𝑡2 = (𝑦̇ 𝑡 − 𝛼 ̂𝑥̇ 1 𝑡 ) → 𝑚𝑖𝑛 𝛼1 𝑛 𝜗𝑆 2 = 2 ∗ ∑(𝑦̇ 𝑡 − 𝛼 ̂𝑥̇ 1 𝑡 ) ∗ (−𝑥𝑡̇ ) = 0 𝜗𝛼1 𝑡=1 𝑛 𝑛 ∑ 𝑦̇ 𝑡 ∗ 𝑥̇ 𝑡 = 𝛼 ̂1 ∗ ∑ 𝑥̇ 𝑡 2 𝑡=1 𝛼 ̂1 = 𝑡=1 ∑𝑛𝑡=1 𝑦̇ 𝑡 ∗ 𝑥̇ 𝑡 ∑𝑛𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 2 9 𝜔𝑡 = ∑𝑛 Обозначим 𝑥𝑡̇ 𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 2 Свойства 𝜔𝑡 : 2. 3. ∑ 𝑥𝑡̇ 𝑛 ∑𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 2 ∑(𝑥𝑡 −𝑥̅ ) 𝑛∗𝑥̅ −𝑛∗𝑥̅ = 𝑛 =0 2 𝑛 ∑𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 ∑𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 2 2 ∑ 𝑥𝑡̇ 𝑥𝑡 ∑ 𝑥𝑡̇ (𝑥̇ 𝑡 −𝑥̅ ) ∑𝑛 𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 −𝑥̅ ∑ 𝑥𝑡̇ 𝑛 ∑𝑡=1 𝜔𝑡 𝑥𝑡 = 𝑛 = 𝑛 = 2 ∑𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 2 ∑𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 2 ∑𝑛 𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 ∑ 𝑥𝑡̇ 2 1 ∑𝑛𝑡=1 𝜔𝑡 2 = = 𝑛 2 ∑𝑡=1 𝑥̇ 𝑡2 (∑𝑛𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 2 ) 1. ∑𝑛𝑡=1 𝜔𝑡 = = 2 ∑𝑛 𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 = ∑𝑛 𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 2 =1 Докажем свойства оценок параметров. 1. Линейность если получаем оценки параметров по МНК, процесс не исказится и останется линейным. 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝛼 ̂1 = ∑ 𝜔𝑡 𝑦̇ 𝑡 = ∑ 𝜔𝑡 (𝑦𝑡 − 𝑦̅) = ∑ 𝜔𝑡 𝑦𝑡 − 𝑦̅ ∑ 𝜔𝑡 = ∑ 𝜔𝑡 𝑦𝑡 𝑡=1 𝑡=1 𝑡=1 𝑡=1 𝑡=1 = 𝜔1𝑦1 + ⋯ + 𝜔𝑛 𝑦𝑛 Место для формулы. 𝑛 𝑛 ∑ 𝑦𝑡 𝛼 ̂0 = 𝑦̅ − 𝛼 ̂𝑥̅ ̅ − 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝑦𝑡 = − 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝑦𝑡 1 =𝑦 𝑛 𝑛 𝑡=1 𝑛 𝑡=1 1 = ∑ ( − 𝑥̅ 𝜔𝑡 ) 𝑦𝑡 = ∑ 𝛽𝑡 𝑦𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑡=1 2. Несмещенность 𝑛 𝛼 ̂1 = ∑ 𝜔𝑡 𝑦𝑡 𝑡=1 10 𝑛 𝑀𝛼 ̂1 = 𝑀(∑ 𝜔𝑡 𝑦𝑡 ) 𝑡=1 = 𝑀(∑ 𝜔𝑡 (𝛼0 + 𝛼1𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 ) = 𝑀(𝛼0 ∑ 𝜔𝑡 + 𝛼1 ∑ 𝜔𝑡 𝑥𝑡 + ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) = 𝑀(0 + 𝛼1 + ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) = 𝛼1 + ∑ 𝜔𝑡 𝑀(𝜀𝑡 ) = 𝛼1 𝑛 1 𝑀𝛼 ̂0 = 𝑀(∑( − 𝑥̅ 𝜔𝑡 )𝑦𝑡 ) 𝑛 𝑡=1 1 = 𝑀(∑( − 𝑥̅ 𝜔𝑡 )(𝛼0 + 𝛼1𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 )) 𝑛 1 = 𝑀(∑( (𝛼0 + 𝛼1𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 ) − 𝑥̅ 𝜔𝑡 (𝛼0 + 𝛼1 𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 ) 𝑛 = 𝑀(𝛼0 + 𝛼1𝑥̅ + 𝜀̅ − 𝛼0 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 − 𝛼1𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝑥𝑡 − 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) = 𝑀(𝛼0 +𝛼1𝑥̅ + 0 − 0 − 𝛼1 𝑥̅ − 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) = 𝛼0 − 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝑀(𝜀𝑡 ) = 𝛼0 3. Эффективность Найдем дисперсии параметров 𝑛 𝛼 ̂1 = ∑(𝜔𝑡 𝑦𝑡 ) 𝑡=1 = ∑ 𝜔𝑡 (𝛼0 + 𝛼1 𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 ) = 𝛼0 ∑ 𝜔𝑡 + 𝛼1 ∑ 𝜔𝑡 𝑥𝑡 + ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) = 𝛼1 + ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 11 𝑛 1 𝛼 ̂0 = ∑( − 𝑥̅ 𝜔𝑡 )𝑦𝑡 𝑛 𝑡=1 1 = ∑( − 𝑥̅ 𝜔𝑡 )(𝛼0 + 𝛼1𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 ) 𝑛 1 = ∑( (𝛼0 + 𝛼1 𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 ) − 𝑥̅ 𝜔𝑡 (𝛼0 + 𝛼1𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 ) 𝑛 = 𝛼0 + 𝛼1𝑥̅ + 𝜀̅ − 𝛼0 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 − 𝛼1𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝑥𝑡 − 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 = 𝛼0 +𝛼1𝑥̅ + 0 − 0 − 𝛼1 𝑥̅ − 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) = 𝛼0 − 𝑥̅ ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 𝜎𝛼21 = 𝑀(𝛼 ̂1 − 𝑀(𝛼 ̂1))2 = 𝑀(𝛼 ̂1 − 𝛼1)2 = 𝑀(𝛼 ̂1 2 ) − 2𝛼12 + 𝛼12 2 2 2 = 𝑀(𝛼 ̂1 ) − 𝛼1 = 𝑀 (𝛼1 + ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) − 𝛼12 2 2 = 𝑀(𝛼1 + 2𝛼1 ∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 + (∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) − 𝛼12 2 = 𝛼12 + 2𝛼1 ∑ 𝜔𝑡 𝑀𝜀𝑡 + 𝑀 (∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) − 𝛼12 = 𝑀 (∑ 𝜔𝑡 𝜀𝑡 ) 2 = (∑ 𝜔𝑡 ) 𝑀 (𝜀𝑡2 ) = 𝜎𝛼21 𝜎𝜀2 = 𝑛 ∑𝑡=1(𝑥𝑡 − 𝑥̅ )2 𝜎𝛼20 ̅̅̅ 𝑥 2 𝜎𝜀2 = 𝑛 ∑𝑡=1(𝑥𝑡 − 𝑥̅ )2 1 ∑𝑛𝑡=1 𝑥̇ 𝑡 2 2 𝜎 2 𝜀 Интервальные оценки параметров регрессии Интервальная оценка – оценка, которая определяется 2 числами концами интервала. Для построения интервальной оценки рассмотрим событие, которое заключается в том, что отклонение точечной оценки параметра 𝜃̂ от истинного значения этого параметра 𝜃 по абсолютной величине не превышает некоторую положительную величину ∆. 12 Вероятность такого события 𝑃(|𝜃 − 𝜃̂ | < ∆) = 𝛾 Или 𝑃(𝜃̂ − ∆< 𝜃 < 𝜃̂ + ∆) = 𝛾 Вероятность, что доверительный интервал (𝜃̂ − ∆; 𝜃̂ + ∆) заключает в себя неизвестный параметр 𝜃 равна 𝛾 и называется доверительной вероятностью или надежностью интервальной оценки. ∆ - точность оценки; 1- γ – вероятность выхода за интервал или уровень значимости 𝛼 = 1 − 𝛾 𝛼0 − 𝛼 ̂0 ~Стьюдент(𝛼; 𝑛 − 2) 𝜎𝛼0 𝛼0 ∈ (𝛼 ̂0 − 𝜎𝛼0 ∗ 𝑡𝛼,𝑛−2; 𝛼 ̂0 + 𝜎𝛼0 ∗ 𝑡𝛼,𝑛−2) 𝛼1 − 𝛼 ̂1 ~Стьюдент(𝛼; 𝑛 − 2) 𝜎𝛼1 𝛼1 ∈ (𝛼 ̂1 − 𝜎𝛼1 ∗ 𝑡𝛼,𝑛−2; 𝛼 ̂1 + 𝜎𝛼1 ∗ 𝑡𝛼,𝑛−2) Где: n- количество наблюдений; α ̂0 = y̅ − α ̂1 ∗ x̅; α ̂1 = x∗y (y ̅̅̅̅̅− ̅∗x̅) ; ̅̅̅ x2 −𝑥̅ 2 𝜎𝛼1 = √∑𝑛 𝜎𝜀2 𝑡=1(𝑥𝑡 −𝑥̅ ) 𝜎𝛼0 = √∑𝑛 2 ; 2 ; ̅̅̅ 𝑥 2̅𝜎𝜀2 𝑡=1(𝑥𝑡 −𝑥̅ ) 𝑡𝛼,𝑛−2 – квантиль распределения Стьюдента на уровне 𝛼, с числом степеней свободы n-2. Прогнозирование по модели парной линейной регрессии 𝑦̂𝑡 = 𝛼 ̂0 + 𝛼 ̂𝑥 1 𝑡; 𝑦̂𝑡 – модельные (расчетные) значения процесса 13 α ̂0 = y̅ − α ̂1 ∗ x̅ ̅̅̅̅̅−(y x∗y ̅∗x̅) ; α ̂1 = ̅̅̅2 2 x −𝑥̅ Прогнозное значение на 1 период времени 𝑦 ̂ ̂0 + 𝛼 ̂𝑥 𝑡+1 = 𝛼 1 𝑡+1 Прогнозное значение на 2 периода времени 𝑦 ̂ ̂0 + 𝛼 ̂𝑥 𝑡+2 = 𝛼 1 𝑡+2 Для нахождения прогнозных значений xt+1; xt+2 использовать тренды: 1. Линейный тренд 𝑥𝑡 = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑡 2. Квадратичный 𝑥𝑡 = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑡 + с ∗ 𝑡 2 3. Кубический 𝑥𝑡 = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑡 + с ∗ 𝑡 2 + 𝑑 ∗ 𝑡 3 4. Экспоненциальный 𝑥𝑡 = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 5. Степенной 𝑥𝑡 = 𝑎𝑡 𝑏 6. Логарифмический 𝑥𝑡 = 𝑎 + 𝑏 ∗ ln(𝑡) Для определения степени доверия к прогнозу, рассчитывается стандартная ошибка прогноза и интервал прогнозирования. 14 Стандартная ошибка прогноза 𝛿 2 ∑𝑛 ∑𝑛 ̂) (𝑦𝑡 −𝑦 𝑒𝑡 2 𝑡 𝑡=1 𝑡=1 √ √ 𝑦̂ = 𝑡+1 = 𝑛−1 𝑛−1 Доверительный интервал прогноза 𝑦𝑡+1 ∈ (𝑦 ̂ 𝑡+1 − 𝜎𝑦̂ ∗ 𝑡𝛼,𝑛−2 ∗ √1 + 𝑡+1 + 𝜎𝑦̂ ∗ 𝑡𝛼,𝑛−2 ∗ √1 + 𝑡+1 (𝑥𝑡+1 − 𝑥̅ )2 1 + 𝑛 ; 𝑛 ∑𝑡=1(𝑥𝑡 − 𝑥̅ )2 ̂ 𝑦𝑡+1 1 (𝑥𝑡+1 − 𝑥̅ )2 + 𝑛 ) 𝑛 ∑𝑡=1(𝑥𝑡 − 𝑥̅ )2 15