Определение передаточной функции ЯР; Изменение передаточной функции

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ЯДЕРНОГО ТОПЛИВНОГО ЦИКЛА ЛЕКЦИЯ №4 «Определение передаточной функции ЯР. Изменение передаточной функции при учете внутреннего теплового контура обратной связи и отравления.» Лектор: доцент ОЯТЦ ТПУ Т.Х. Бадретдинов 2020 План лекции 4.1 Определение передаточной функции ЯР. 4.2 Передаточная функция ЯР при учете внутреннего теплового контура обратной связи. 4.3 Передаточная функция контура отравления. 2 4.1 Определение передаточной функции ЯР. Для вывода передаточной функции реактора по каналу «реактивность – плотность нейтронов N» используем систему уравнений : 6  dN  −   dt = l N +  i Ci i =1   dCi = i N −  C i i  dt l 6 Так как β i (4.1) = i=1 6 dN  = N− dt l  i =1 l i 6 N +  i Ci . i =1 (4.2) 3 4 4.1 Определение передаточной функции ЯР. Из 2-го уравнения системы (4.1) получим 6 6 dCi =  i =1 dt  i =1 l i 6 N −  i Ci . (4.3) i =1 Подставим (4.3) в (4.2), в результате этого получим: 6 dCi  dN   dt = l N −  dt i =1   dCi = i N −  C i i  dt l (4.4) 5 4.1 Определение передаточной функции ЯР. Проведем линеаризацию с помощью метода малых отклонений N = N + N Ci = Ci + Ci  = 0 +  Подставив значения этих переменных в (4.4), получим: 6  d N N dCi  =  + N −   dt l l i =1 dt   d Ci = i N + i N −  C −  C i i i i  dt l l (4.5) 6 4.1 Определение передаточной функции ЯР. Так как для установившегося режима i N l = i Ci , а N l величина второго порядка малости, систему уравнений (4.5) можно переписать следующим образом: 6  d N N d Ci =  −   dt l dt i =1   d Ci = i N −  C i i  dt l (4.6) Дифференциальные уравнения (4.6) – линейные и содержат только постоянные коэффициенты. Выполним преобразование Лапласа к (4.6): 6  N sN ( s ) =  ( s ) − s  Ci ( s ) l i =1  sC = i N ( s ) −  C ( s ) i i i  l (4.7) 7 4.1 Определение передаточной функции ЯР. 6  N sN ( s ) =  ( s ) − s  Ci ( s ) l i =1  sC = i N ( s ) −  C ( s ) i i i  l (4.7) Из 2-го уравнения системы (4.7) получаем Ci = i N ( s ) l ( s + i ) Найдем сумму: i Ci =  N ( s )  i =1 i =1 l ( s + i ) 6 6 Подставим это выражение в (4.7) получаем передаточную функцию реактора по каналу «реактивность – плотность нейтронов» 8 4.1 Определение передаточной функции ЯР. N N ( s ) l W→N ( s ) = = , 6  ( s )  i  s 1 +   l s +  i )  i=1 ( или W→N ( s ) = N l   i s 1 +   l  s  + 1 ( ) i  i=1 i  6 Введем обозначение в выражении (4.9) i 1 Ki = ; Ti = , l i i получаем (4.8) . (4.9) 9 4.1 Определение передаточной функции ЯР. W→N ( s ) = N l  Ki  s 1 +   T s + 1  i=1 i  6 . (4.10) Если за выход системы принять относительное изменение плотности N N = n , то передаточная функция (4.10) примет вид: W→n ( s ) = 1  Ki  l  s 1 +   T s + 1  i=1 i  6 . (4.11) 10 4.1 Определение передаточной функции ЯР. Структурная схема реактора «нулевой мощности» 11 4.1 Определение передаточной функции ЯР. Получим частотные характеристики реактора из (4.11) путем замены s на jω W ( j) = 1 6 l  j +  i =1 Анализ выражения (4.12) При малых частотах упростить (   = 0,012 с−1 ) min W ( j )  i  j  j + i 1 6 j  i =1  где Tи =  i . i =1  i 6 i i = . (4.12) выражение (4.12) можно 1 , Tи  j  (4.13) 12 4.1 Определение передаточной функции ЯР. 1 1 W ( j )  = , 6 i Tи  j  j  i =1  i (4.13) i где Tи =  . i =1  i 6 Таким образом, при малых частотах реактор имеет частотную характеристику, близкую к характеристике интегрирующего звена с постоянной времени Tи (для 235U Tи = 8,310-2 c), сдвиг фаз равен /2. В области средних частот 6 а lj   i i =1 ( min    1 l ) , принимая, что j  +  i  j , получаем W ( j)  1 6  i =1 i 1 = ,  (4.14) 4.1 Определение передаточной функции ЯР. W ( j)  1 6  i =1 1 = ,  13 (4.14) i т.е. в области средних частот характеристика эквивалентна характеристике пропорционального звена с коэффициентом передачи 1/ β. В области высоких частот выражение (4.12) можно записать (   max ) W ( j ) = 1 6 lj +  i = 1 , ( l  ) j + 1 (4.15) i =1 что соответствует характеристике апериодического звена 1-го порядка с постоянной времени l/ β. 14 15 4.1 Определение передаточной функции ЯР. Для многих практических задач выражение (4.11) можно упростить, учитывая одну усредненную группу запаздывающих нейтронов. Передаточная функция реактора с учетом одной усредненной группы запаздывающих нейтронов имеет простой вид: K r (T1s + 1) W→n ( s ) = , s T2 s + 1 (4.16) где  Kr = − коэффициент передачи ЯР [1/с], l  +  1 T1 = − постоянная времени по запаздывающим нейтронам [c],  l T2 = − постоянная времени по мгновенным нейтронам [с]. l  +  4.2 Передаточная функция ЯР при учете внутреннего теплового контура обратной связи. вн W→n ( s ) N Wrtc ( s ) Wtc ( s ) N 16 4.2 Передаточная функция ЯР при учете внутреннего теплового контура обратной связи. 17 Wtc(s) может быть определена из следующих общих рассуждений. Пусть в реакторе с неподвижным теплоносителем происходят периодические изменения потока нейтронов. Тогда при изменении δn изменяется температура топливных элементов: tтэ = A  δn , A − постоянная, зависящая от свойств замедлителя и теплоносителя. При изменении температуры топлива tтэ изменяется и температура замедлителя tз, но этот процесс более инерционный, по сравнению с изменением tтэ: 1 tтэ ( s ) , Ttc  s + 1 Ttc − постоянная времени теплопередачи. tз ( s ) = 4.2 Передаточная функция ЯР при учете внутреннего теплового контура обратной связи. 18 С учетом того, что изменение температуры замедлителя вызывает изменение реактивности ρ = Btз (B – температурный коэффициент замедлителя), получаем: Ktc A B Wtc ( s ) = = . Ttc s + 1 Ttc s + 1 (4.17) W→n ( s ) Wrtc ( s ) = 1 + Wtc ( s ) W→n ( s ) (4.18) 4.2 Передаточная функция ЯР при учете внутреннего теплового контура обратной связи. 19 Частотные характеристики построены по передаточной функции (4.18) для реактора с временем жизни нейтронов l = 10-4 c и Ttc = 0,2 c: На очень низких частотах передаточная функция определяется только обратной связью Ktc. Коэффициент усиления реактора уже не растет до бесконечности, а составляет некоторую конечную величину, примерно равную 1/ Ktc. Величина фазового сдвига становится близкой нулю. Величина этого опережения выходного сигнала по фазе зависит от величины Ttc. 4.2 Передаточная функция ЯР при учете внутреннего теплового контура обратной связи. По мере снижения мощности влияние внутреннего контура тепловой обратной связи падает, так что на нижних уровнях мощности реактор труднее поддается регулированию, чем на больших. Ввиду этого диапазон автоматического регулирования обычно ограничен двумя декадами, т.е. от 1 до 100% Nnom. В этом диапазоне при проектировании системы регулирования передаточная функция реактора может быть взята в относительном виде (4.16): Kr (T1s + 1) W→n ( s ) = . s T2 s + 1 20 21 4.3 Передаточная функция контура отравления. вн N Wrtc ( s ) WXe ( s ) N 22 4.3 Передаточная функция контура отравления.   +  −  Xe   −  Xe J Xe Xe  Xe Xe s + 1    +  −  Xe   N +   Xe Xe  J J Xe Xe . W (s) = Xe   1  1  s + 1  s + 1    N +    J   Xe Xe  ( ) (4.19) В выражении явно выделены коэффициент передачи и постоянные времени передаточной функции. Ясно видно, что и коэффициент передачи и постоянные времени сильно зависят от величины Xe , которая в свою очередь зависит от стационарной плотности нейтронов. С учетом материала лекции №2, можно получить данную передаточную функцию по отравлению 4.3 Передаточная функция контура отравления. 1. Используем уравнения динамики отравления 2. Для решения этих уравнений в общем виде поделим их почленно на величину  f 3. Линеаризация методом малых отклонений 4. Исключаем из уравнений члены установившегося режима 5. Приводим к операторному виду 6. Преобразуем и получаем передаточную функцию 23 24 4.3 Передаточная функция контура отравления. Соотношение между Xe(0) и N(0) в общем виде определяется из уравнения для равновесной концентрации отравления: Xe(0) =  ( Xe +  J ) Xe + Xe N (0) N (0). (4.20) 4.3 Передаточная функция контура отравления. 25 Логарифмические частотные характеристики передаточной функции (4.19) За единицу принят коэффициент передачи контура обратной связи по отравлению при потоке 1014. Из фазовых характеристик видно, что для потоков ниже 31011 [н/см2c] запаздывание по фазе на высоких частотах составляет -90 град, однако при больших значениях потока на тех же частотах оно равно -270 градусов. Коэффициент передачи на низких частотах при увеличении потока становится меньше, и при потоках до 1014 еще остается постоянным. При больших значениях потока коэффициент передачи монотонно спадает при уменьшении частоты. Это явление можно объяснить эффектом насыщения отравления. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕАКТОРА С УЧЕТОМ КОНТУРА ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО ОТРАВЛЕНИЮ 26 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕАКТОРА С УЧЕТОМ КОНТУРА ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО ОТРАВЛЕНИЮ 27