Определение напряжения во вращающемся диске постоянной толщины с постоянной угловой скоростью.

Определение напряжения во вращающемся диске постоянной толщины с постоянной угловой скоростью.  Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска. Рассмотрим задачу о расчете диска постоянной толщины. Расчет такого диска положен в основу некоторых приближенных способов расчета дисков любого профиля. Воспользуемся некоторыми результатами, полученными при выводе формул для расчета толстостенных цилиндров. Предположим, что по толщине диска, принимаемой равной единице, напряжения и не меняются; осевое напряжение будем считать равным нулю. Составим условия равновесия элемента АВ, выделенного из диска двумя меридиональными сечениями и двумя концентрическими цилиндрическими поверхностями. В данном случае, кроме сил, действующих по граням элемента АВ, необходимо принять во внимание также и силу инерции, направленную вдоль радиуса от центра к внешнему контуру диска. Вместо ранее полученного уравнения равновесия для цилиндра получим: (1) Из уравнения совместности деформаций : и из обобщенного закона Гука: получим: (2) Подставляя в это уравнение значение разности из (1), находим: (3) Дифференцируя уравнение (1) по r и подставляя в него вместо его значение из формулы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение или Интегрируя это уравнение, находим: (4) Из (1) и (4) следует, что (5) В формулах (4) и (5) А и В — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из условий на контуре диска, g – гравитационная постояння. Можно использовать уравнение (1): и условие пластичности для данной задачи6 Проинтегрируем уравнение (6) с применением условия (7) и получим: Из первого краевого условия, используя уравнение (8) получим (почему?) С=0 . (9) Из третьего, четвертого краевых условий применяя уравнения (4,5, 7,8) имеем Решая уравнения (11) относительно А и В получим: Используя выражения (12) и (9) преобразуем формулы для (4,5) и (8). В результате получим в упругой области