Определение линейного пространства

Лекция 1 §1. Определение линейного пространства Непустое множество элементов называется линейным (векторным) пространством над числовым полем если в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число (скаляр) из поля причем для них выполняются следующие условия (аксиомы): 1. операция сложения коммутативна, т. е. для 2. операция сложения ассоциативна, т. е. для 3. существует нулевой элемент такой, что для 4. для существует противоположный элемент такой, что 5. операция умножения на скаляр ассоциативна, т. е. 6. для и 7. операция умножения на скаляр дистрибутивна относительно сложения элементов множества т. е. для и 8. операция умножения на скаляр дистрибутивна относительно сложения скаляров, т.е. для и Элементы линейного пространства будем называть векторами. Если есть поле действительных чисел то пространство называется действительным линейным (векторным) пространством, если то называется комплексным линейным (векторным) пространством. Приведем примеры линейных пространств: 1) множество действительных чисел является действительным линейным пространством; 2) множество комплексных чисел является действительным и комплексным линейным пространством; 3) арифметическое мерное векторное пространство является действительным линейным пространством; 4) множество матриц размера с элементами из поля является линейным пространством над полем 5) множество многочленов от переменного с действительными коэффициентами является действительным линейным пространством. Отметим некоторые простейшие свойства, которые вытекают из определения линейного пространства. 1. В любом линейном пространстве существует единственный нулевой вектор. 2. Для каждого в существует единственный противоположный вектор причем 3. В любом линейном пространстве тогда и только тогда, когда или или Это свойство говорит о том, что в любом линейном пространстве любое равенство формально можно сокращать на общий ненулевой множитель независимо от того, является ли этот множитель числом или вектором. 4. В любом линейном пространстве уравнение имеет единственное решение которое называют разностью векторов и и обозначают символом 5. Операция умножения на скаляр дистрибутивна относительно вычитания векторов, т.е. для 6. Операция умножения на скаляр дистрибутивна относительно вычитания скаляров, т.е. для §2. Размерность и базис линейного пространства Пусть линейное пространство над полем R и произвольные векторы этого пространства. Вектор является линейной комбинацией векторов этого пространства (или линейно выражается через векторы ), если где Система векторов () линейного пространства над полем называется линейно зависимой, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация Система векторов называется линейно независимой, если равенство выполняется только тогда, когда все коэффициенты равны Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов: 1. система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима; 2. любая подсистема линейно независимой системы линейно независима; 3. система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда он нулевой; 4. если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима; 5. система, содержащая более одного вектора, линейно зависима только тогда, когда среди них имеется такой вектор, который линейно выражается через остальные; 6. если система линейно независима, а при добавлении к ней ещё одного вектора становится линейно зависимой, то вектор линейно выражается через Для линейного пространства состоящего не только из нулевого вектора возможны два случая: либо в нем существует линейно независимая система, содержащая сколь угодно большое число векторов, либо существует линейно независимая система, содержащая максимальное число векторов. В первом случае линейное пространство называется бесконечномерным, во втором – конечномерным. Размерностью конечномерного линейного пространства называется максимальное число линейно независимых векторов. Таким образом, если линейное пространство размерности (будем обозначать это ), то в нем существует хотя бы одна система из линейно независимых векторов, а любая система, содержащая вектор линейно зависима. Базисом мерного линейного пространства называется любая система из линейно независимых векторов этого пространства. Если базис то любой вектор является линейной комбинацией этих векторов, т.к. система векторов состоит из вектора, а значит линейно зависима. Поэтому можно дать другое определение базиса конечномерного линейного пространства. Линейно независимая система векторов, через которые линейно выражается каждый вектор линейного пространства называется его базисом, а число векторов в нем называется размерностью линейного пространства (предварительно надо доказать, что все базисы линейного пространства, если они существуют, состоят из одинакового числа векторов). §3. Координаты вектора. Операции в координатах Любой вектор линейного пространства можно записать в виде линейной комбинации векторов фиксированного базиса где При этом числа определяются однозначно и называются координатами вектора относительно этого базиса. Понятие базиса позволяет свести операции над элементами линейного пространства (векторами) к соответствующим операциям над числами из поля P. Действительно, пусть заданы своими координатами относительно одного и того же базиса т.е. Тогда Для имеем Получили, что при сложении двух векторов линейного пространства их координаты относительно любого фиксированного базиса складываются, а при умножении на числа все его координаты умножаются на это число. §4. Матрица перехода. Преобразование координат вектора при изменении базиса Даны два базиса линейного пространства над полем P (1) (2) (1) – “старый” базис, (2) – “новый” базис. Векторы нового базиса запишем в старом базисе (3) Матрицу из координат этих векторов, записанных по столбцам, назовем матрицей перехода от старого базиса к новому и обозначим её (4) Учитывая, что векторы базисов записаны в каком-то базисе, и обозначая матрицы из их координат, записанных по столбцам через и запишем равенства (3) в матричной форме (5) Отсюда Матрица перехода является невырожденной, т.к. система векторов (2), как базис линейного пространства, линейно независима. В мерном линейном пространстве над полем P можно выбрать столько различных базисов, сколько существует невырожденных квадратных матриц порядка с элементами из поля R т.к. любая такая матрица является матрицей перехода от одного базиса к некоторому другому базису Пусть произвольный вектор Запишем его в базисах (1) и (2). (6) (7) Подставим в (7) вместо их выражения через по формулам (3) и учтем, что координаты вектора в фиксированном базисе определяются однозначно. Получим, что (8) Если обозначить через координатный столбец вектора в (1) базисе, а через его координатный столбец в базисе (2), то равенства (3) можно записать в матричной форме (9) Так как матрица невырожденная, то из равенства (9) следует равенство (10) Таким образом, координатный столбец вектора в новом базисе равен координатному столбцу этого вектора в старом базисе, умноженному слева на матрицу перехода от старого базиса к новому. §5. Подпространства Непустое подмножество линейного пространства над числовым полем P называется подпространством, если оно само является линейным пространством над полем P Теорема (критерий подпространства). Для того чтобы непустое подмножество линейного пространства над числовым полем P было подпространством необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1. для их сумма 2. для и произведение Рассмотрим примеры подпространств: 1) множество, которое состоит только из нулевого вектора линейного пространства является его подпространством; 2) линейное пространство является своим подпространством; Нулевое подпространство и само пространство называют тривиальными или несобственными подпространствами пространства 3) множество решений системы однородных линейных уравнений с неизвестными является подпространством пространства 4) Пусть произвольная система векторов пространства Обозначим множество всех векторов пространства которые являются линейными комбинациями данных векторов, т.е. Множество является подпространством пространства Оно называется линейной оболочкой векторов или подпространством, натянутым на векторы Если система векторов линейно независима, то она является базисом подпространства т.е. подпространство размерности Можно сделать вывод, что линейное пространство размерности имеет подпространства размерности Такими подпространствами являются линейные оболочки любых линейно независимых векторов пространства §6. Системы линейных уравнений с точки зрения линейных пространств Пространство решений системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений Рассмотрим случай, когда система линейных однородных уравнений является совместной неопределенной, т.е. имеет ненулевые решения. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными мы записываем в виде n- мерного вектора . Рассмотрим множество этих векторов-решений. Среди них можно выделить такие линейно независимые решения, через которые линейно выражаются все решения системы. Если ранг матрицы системы , то система имеет n-r линейно независимых решений . При этом любое решение данной системы уравнений является линейной комбинацией решений . Набор решений (векторов) называется фундаментальной системой решений системы линейных однородных уравнений. Общее решение системы линейных уравнений имеет вид: , где - произвольные числа. Алгоритм нахождения фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений. 1. Привести матрицу системы к ступенчатому виду (r