Одномерные динамические системы

ЛЕКЦИЯ 4 ОДНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Нелинейные динамические системы К нелинейным можно отнести следующие явления: 1. бифуркации в динамических системах – качественные изменения в системах, происходящие при изменении параметра системы; 2. хаос динамических системах – появление в нелинейных системах дифференциальных уравнений нерегулярных решений при определенных значениях параметра системы; 3. фрактальность случайных процессов и временных ядов – анализ особого класса временных ядов и случайных процессов, так называемого масштабного инварианта; 4. склонность к появлению экстремальных событий – способность возникновения экстремальных (резко выделяющихся) событий в сложных системах. Нелинейные динамические системы Динамическая система – любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Число степеней свободы – наименьшее число независимых координат (величин), необходимых для однозначного определения состояния системы. Фазовое пространство – пространство, на координатных осях которого отложены значения переменных состояния системы , называемых фазовыми переменными. Например, для одномерного фазового пространства в качестве координат используют , а двухмерное фазовое пространство задается двумя своими координатами . Нелинейные динамические системы Переменные изменяются во времени по определенному закону эволюции, так что каждому состоянию системы соответствует изображающая точка с координатами . Так в двумерном случае (на плоскости) изображающую точку можно задать так . Совокупность изображающих точек называется фазовой траекторией. Пусть в начальный момент времени динамическая система характеризуется точкой . Дальше увеличиваем время, то есть состояние системы изменяется, и получаем точку . Таким образом, множество изображающих точек формирует фазовую траекторию. Или говорят, что изображающая точка движется по фазовой траектории из точки в точку , оставляя след в виде фазовой траектории. Нелинейные динамические системы Совокупность фазовых траекторий при различных начальных положениях системы называется фазовым портретом системы. Одним из свойств динамической системы является то, что фазовые траектории в фазовом портрете не пересекаются. Это следует из теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений. Фазовый портрет динамической системы полностью описывает картину ее поведения. Нелинейные динамические системы Динамическая система является определенной, если: 1) задано фазовое пространство X, образующее полное метрическое пространство; 2) задано множество моментов времени ; 3) задан оператор эволюции – некоторое отображение: , который каждому состоянию в начальный момент времени однозначно ставит в соответствие некоторое состояние в любой другой момент времени , то есть . Нелинейные динамические системы Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы. Во-первых, , где — тождественное отображение на , для всех . Свойство означает, что динамическая система не изменяет своего состояния «спонтанно» и изначально заданные эволюционные характеристики сохраняются. Во-вторых, , что означает, что для любых x ∈ X и . Другими словами, результат эволюции системы в течение единиц времени тот же самый, как если бы сначала зафиксировать изменение системы за единиц времени и затем получить состояние измененной системы еще через t единиц времени. Свойство означает, что закон эволюции динамической системы не изменяется во времени. В этом случае говорят, что система «автономна». Классификация динамических систем • динамическая система с непрерывным временем (континуальные системы) , где – вектор-функция; • динамическая система с дискретным временем ( N -мерные отображения) , – одномерное отображение. Одномерное отображение позволяет по числу определить следующее число , и таким образом определяется вся последовательность ; • по виду оператора эволюции , которые делятся на линейные системы , , , и нелинейные системы, для которых не выполняются приведенные выше условия ; Классификация динамических систем • автономные системы (не зависят явно от времени) ; • неавтономные системы (явно зависят от времени) ; • точечные системы, фазовой переменной которой является функция от времени . Модели континуальных точечных систем – это обыкновенные дифференциальные уравнения; • распределенные системы, фазовой переменной которой является не только функция от времени, но и от обобщенной координаты . Модели систем – это дифференциальные уравнения с частными производными; • детерминированные динамические системы, это по сути все ранее рассмотренные системы; • случайные динамические системы , где – шум определенного вида. Модели таких систем – это стохастические дифференциальные уравнения. Определение устойчивости решений Пусть некоторый процесс описывается автономной динамической системой с начальным условием . Необходимо ответить на вопрос: на сколько чувствительны решения динамической системы при больших временах () к малым изменениям начальных условий? Решение динамической системы устойчиво по Ляпунову, если для любого найдется число , такое, что если , то для всех . Две близкие на старте траектории остаются близкими всегда. Малое начальное возмущение устойчивых по Ляпунову фазовых траекторий не возрастает с течением времени. Определение устойчивости решений Если решение динамической системы устойчиво не только по Ляпунову, но и удовлетворяет соотношению при условии , то решение является асимптотически устойчивым. Естественно, если решение асимптотически устойчиво, то оно и устойчиво по Ляпунову, а вот обратное не верно. . Проверка ряда на наличие тренда При проверке гипотезы о существовании тренда во временном ряду с помощью критерия «разности средних уровней», основанного на сравнении средних уровней, временной ряд из наблюдений делится на две примерно равные части (т.е. предположим существование ): • Объем первой части равен: где • Объем второй части равен: где Шаг 1. Для каждой из частей вычислим средние значения и несмещенную выборочную дисперсию: Проверка ряда на наличие тренда Шаг 2. Проверим гипотезу об однородности дисперсий обеих частей ряда с помощью критерия Фишера: для этого вычисляем расчетное значение критерия Фишера () и сравниваем его с табличным значением F-критерия (). Правило вычисления расчетного значения критерия Фишера через дисперсионное соотношение: Проверка ряда на наличие тренда Если дисперсии однородны и выполнено предположение о нормальности распределения исходного временного ряда, тогда статистика имеет распределение Фишера . Смысл данной статистики состоит в том, что когда дисперсии сильно отличаются, статистика будет существенно больше единицы. Если полученное значение меньше табличного (), то гипотеза об однородности дисперсий принимается и переходим к следующему этапу расчета. Если больше или равно табличному значению (), то гипотеза об однородности дисперсий отклоняется и метод не дает ответа на вопрос о наличии или отсутствии тренда. Проверка ряда на наличие тренда Табличное значение зависит от уровня значимости и длины сравниваемых рядов. Значения критерия Фишера для 5%-ного уровня ошибки приведены ниже. Шаг 3. Проверка гипотезы об отсутствии тренда с помощью критерия Стьюдента: Проверка ряда на наличие тренда Окончательная проверка гипотезы об отсутствии тренда производится с использованием t-критерия Стьюдента, вычисляемого по формуле: где – среднеквадратичное отклонение разности средних: Если расчетное значение t меньше табличного значения , то гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Для определения табличного значения число степеней свободы принимается равным . Проверка ряда на наличие тренда Значения статистики Стьюдента приведены в таблице ниже. Методу свойственны весьма существенные дефекты. А именно: Проверка ряда на наличие тренда Замечание (ограничения метода). Метод применим только для рядов с монотонной тенденцией. Разность средних для двух отрезков в значительной степени зависит от того, какой угол наклона имеет тренд на каждом из выделенных отрезков. Если же ряд меняет общее направление развития (угол наклона тренда «переламывается»), то точка поворота тенденции может оказаться близкой к середине ряда, в силу этого средние двух отрезков ряда будут близки. Кроме того, величина среднеквадратического отклонения, с которой сравнивается разность средних, зависит в динамическом ряду не только от колеблемости уровней, но и от самого тренда. Иначе говоря, существование тренда сказывается на показателе среднеквадратического отклонения. Проверка ряда на наличие тренда Метод Фостера-Стьюарта. Этот метод дает более надежные результаты по сравнению с предыдущим. Кроме самого тренда он позволяет установить наличие тренда дисперсии. При отсутствии тренда дисперсии разброс уровней ряда постоянен, при наличии тренда дисперсии дисперсия увеличивается или уменьшается. В рамках метода по данным исследуемого ряда определяем величины и . Значения инаходятся путем последовательного сравнения уровней. Если какой-либо уровень ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней, то величине присваивается значение 1, в остальных случаях она равна 0. Если какой-либо уровень ряда меньше по своей величине каждого из предыдущих уровней, то величине присваивается значение 1, в остальных случаях она равна 0. Проверка ряда на наличие тренда Шаг 1. Сравнить каждый уровень исходного ряда начиная со второго, со всеми предыдущими уровнями, и построить две числовые последовательности: принимает значения 0 и 1: в случае, если не является наибольшем уровнем среди всех предшествующих уровней. принимает значения 0 и 1: в случае, если не является наименьшим уровнем среди всех предшествующих. Проверка ряда на наличие тренда Шаг 2. Вычисляем величины и : может находиться в пределах ( – как и выше означает число членов ряда. Если все уровни равны (нулевая дисперсия), то , если же они монотонно растут или падают, или колебания их чередуются, систематически увеличиваясь или падая, то . Проверка ряда на наличие тренда Определим пределы для : нижний предел равен - , верхний составляет . Нижний предел соответствует монотонно убывающему, а верхний - монотонно растущему ряду. Показателииасимптотически нормальны и имеют независимые распределения. Они существенно зависят от порядка расположения уровней во времени. Показатель применяется для обнаружения тенденций изменения дисперсии, – для обнаружения тенденций в средней. После того как для исследуемого ряда найдены фактические значения и , проверяется гипотеза о том, можно ли считать случайными разности и (где – математическое ожидание значения ). Проверка ряда на наличие тренда Шаг 3. Проверяем гипотезу – можно ли считать случайным отклонение от его математического ожидания : Для проверки гипотезы необходимо рассчитать значение tкритерия по формуле: где - стандартное отклонение рассчитанное по формуле: T 10 20 30 40 3,858 5,195 5,99 6,557 Табличное значение математического ожидания Проверка ряда на наличие тренда Необходимо сравнить с (при уровне значимости 0,05 и степени свободы ). В случае если , то для рассматриваемого ряда имеется тренд, т.е. гипотеза об отсутствии тренда отвергается. Шаг 4. Можно ли считать случайные отклонения от нуля: Для этого рассчитываем значение t-критерия по формуле: , где - стандартное отклонение вычисляется по формуле: Если для данного ряда тренда дисперсии уровней ряда нет, и гипотеза принимается. Сглаживание временного ряда Сглаживание временного ряда, т.е. замена фактических уровней расчетными значениями, имеющими меньшую колеблемость, чем исходные тенденции является простым методом выявления тенденции развития. Соответствующие преобразования называются фильтрированием. Сглаживание временных рядов используется при устранении аномальных наблюдений. Способы устранения случайных факторов делятся на две большие группы: • способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда; • способы «аналитического» выравнивания, т.е. определение счала функционального выражения тенденции ряда, а затем, новых, расчетных значений ряда. Определение устойчивости решений Cтационарные точки (фиксированные, равновесные, точки покоя) системы, . Если в некоторой окрестности стационарной точки фазовая траектория приближается к (убывает), то является асимптотически устойчивой точкой (или аттрактором). Если в некоторой окрестности стационарной точки фазовая траектория удаляется от (возрастает), то является неустойчивой точкой (или репеллером). Определение устойчивости решений Теорема Ляпунова об устойчивости в первом приближении. Пусть – нелинейная динамическая система (оригинальная система), – линейная аппроксимация оригинальной системы в окрестности стационарной точки (то есть разложение функции в ряд Тейлора). Если является аттрактором (репеллером) линейной аппроксимации, то является аттрактором (репеллером) оригинальной системы. В случае устойчивости особой точки по Ляпунову вывод об устойчивости оригинальной системы сделать невозможно. Определение устойчивости решений Используя теорему Ляпунова об устойчивости в первом приближении, определим устойчивость стационарных точек динамической системы: Стационарные точки динамической системы являются корнями алгебраического уравнения: Динамическая система имеет две стационарные точки: . Линейная аппроксимация правой части динамической системы стационарной точки имеет вид: Причем, по определению стационарных точек в окрестности Определение устойчивости решений Для рассматриваемой системы линейная аппроксимация имеет вид Рассмотрим особенности последнего выражения в стационарных точках. Для стационарной точки имеем . Фазовая траектория является прямой с отрицательным тангенсом угла наклона (убывающая зависимость). Следовательно, стационарная точка – аттрактор. Стационарная точка . Фазовая траектория является прямой с положительным тангенсом угла наклона (возрастающая зависимость). Следовательно, стационарная точка – репеллер. Бифуркации Бифуркация – качественная перестройка фазового портрета динамической системы при малых изменениях ее параметров (бифуркационных параметров). Значения параметров, при которых происходят бифуркации, бифуркационными значениями или точками бифуркации системы. называются Бифуркационная диаграмма – изображение смены всех возможных динамических режимов системы при изменении значения бифуркационного параметра. На диаграмме устойчивые режимы принято изображать сплошной линией, а неустойчивые – пунктирной. Выделяют два класса бифуркаций: локальные (бифуркации равновесий) и глобальные. Бифуркации равновесий Бифуркации равновесий – это бифуркации динамических систем, в которых меняется число равновесных точек и/или меняется их устойчивость. Седло-узловая бифуркация. Рассмотрим динамическую систему , где , – бифуркационный параметр. Найдем стационарные точки: при , при и не существуют при . Далее рассмотрим фазовую траекторию и бифуркационную диаграмму. Таким образом, точка – точка седло узловой бифуркации. Бифуркации обмена устойчивостью Транскритическая бифуркация (бифуркация обмена устойчивостью) Будем рассматривать динамическую систему , где , – бифуркационный параметр. Находим стационарные точки: и при , при , и при . Точка – точка бифуркации обмена устойчивостью. Вилообразная бифуркация Задана динамическая система соответствующая случаю сверхкритической (надкритической) бифуркация «вилки» , где , – бифуркационный параметр. Находим стационарные точки: и при , при и при . Точка – точка бифуркации.