Одноканальная система массового обслуживания с отказами.

Лекция № 5. Одноканальная система массового обслуживания с отказами. 10 Исходя из названия лекции, можно догадаться, что речь пойдет о системах массового обслуживания обладающих лишь один каналом обслуживания, на вход которого подается клиентский поток или, говоря в общем, некоторый поток заявок. Естественно, что на канал СМО поступает всякий раз не одинаковое число клиентов (заявок), в различные промежутки времени количество клиентов разное. Это означает, что поток заявок обладает некоторой интенсивностью 𝝺. Как правило, в СМО используется поток заявок, распределенный по пуассоновскому закону. Можно сказать, что время между двумя рядом стоящими клиентами распределено по показательному закону вида ( ) . () Нужно отметить, что время между двумя заявками – это величина случайная и непрерывная. Кроме того, после поступления заявки в канал возникает другая случайная величина – это время обслуживания заявки одним каналом. Время обслуживания также распределено по закону Пуассона только со своим параметром : ( ) 20 . Параметры 𝝺 является интенсивностью потока заявок, а параметр – интенсивность потока обслуживания. Поскольку время обслуживания нельзя знать заранее точно, то, как правило, в расчетах пользуются усредненным значением этого параметра и находят не само время обслуживания заявки, а его математическое ожидание. Обозначим время обслуживания заявки через . Математическое ожидание для запишется так: ( 30 () ) . () Очевидно, что канал СМО может находиться в двух возможных состояниях. Первое – канал занят, второе – канал свободен. Запишем формулы, по которым можно определить основные характеристики работы СМО. 1. Абсолютная пропускная способность (A): () 2. Относительная пропускная способность (Q): () 3. Вероятность того, что заявке будет отказано в обслуживании, когда канал занят ( ): 1 () 4. Среднее время, в течение которого канал обслуживает одну заявку ( ): () 5. Среднее время, в течение которого канал простаивает без заявок ( ): () 6. Среднее время, в течение которого клиент (заявка) находится в системе ( ): () 40 50 Зная теперь, каким образом рассчитываются характеристики работы одноканальной СМО, найдем решение задачи о работе справочного бюро: Задача 1. Справочное бюро имеет одну телефонную линию, на которою в среднем приходит 0,4 вызова в минуту. Среднее время разговора 1,3 мин. Вызов, пришедший во время разговора, не обслуживается. Считая потоки вызовов пуассоновскими, найти абсолютную и относительную пропускную способности справочного бюро и вероятность отказа абоненту [Невежин В.П., Кружилов С.И., Сборник задач по курсу «ЭММ», с. 171]. Решение: Наличие одной телефонной лини в справочном бюро дает основания говорить о том, что это одноканальная СМО. Из условий задачи нам известно, что среднее время, в течение которого оператор дает справку абоненту по интересующему вопросу, составляет 1,3 минуты. Иначе можно сказать, что среднее время обслуживания мин. Также нам известна формула , из которой можно выразить интенсивность потока обслуживания . Отсюда, . Интенсивность потока заявок не что иное, как среднее число вновь приходящих заявок в минуту, т.е. 𝝺=0,4. Пользуясь формулами, найдем абсолютную пропускную способность (A), относительную пропускную способность (Q) и вероятность того, что заявке будет отказано в обслуживании, когда канал занят ( ). Для вероятности отказа можно по-другому сказать, что 34% всех входящих заявок не будет обслужено. 60 На этом лекция окончена. Всего хорошего! До встречи. 2