Общие сведения о волновых процессах

72 Ãëàâà 2 ÃËÀÂÀ 2  Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 2.1. Âîëíîâûå ïðîöåññû ..................................................................................................................................................... 73 2.2. Âîëíîâûå óðàâíåíèÿ äëÿ îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû ..................................................... 77 2.3. Ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû è âåêòîð Ãåðöà .................................................................. 78 2.4. Ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ......................................................................................................................... 86 2.5. Ïëîñêèå îäíîðîäíûå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäå .................................................................................................................................................................... 90 2.6. Ïëîñêèå îäíîðîäíûå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäå ñ ïîòåðÿìè .................................................................................................................................... 96 2.7. Ïîëÿðèçàöèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ................................................................................................... 100 2.8. Ñòîÿ÷àÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ............................................................................................................... 104 2.9. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä ...................................................... 106 2.10. Ïàäåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà ïëîñêóþ ïðîâîäÿùóþ ñðåäó .............................................................................................................................................................. 115 2.11(*). Ðàñïðîñòðàíåíèå ñèãíàëîâ (âîëíîâûõ ïàêåòîâ) â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå .................................................................................................................................................. 116 2.12(*). Öèëèíäðè÷åñêèå âîëíû ................................................................................................................................ 122 2.13(*). Ñôåðè÷åñêèå âîëíû ......................................................................................................................................... 133 *) Ñèìâîëîì «*» îòìå÷åíû ðàçäåëû è ïàðàãðàôû äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî è óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ìàòåðèàëà. Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 73 Ãëàâà 2. Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 2.1. Âîëíîâûå ïðîöåññû 2.1.1. Îáùèå îïðåäåëåíèÿ. Ñ ïîíÿòèåì âîëíîâîãî ïðîöåññà òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå êîëåáàíèÿ. Ïîä êîëåáàíèÿìè ïîíèìàþòñÿ äâèæåíèÿ èëè â áîëåå îáùåì ñëó÷àå ïðîöåññû, îáëàäàþùèå òîé èëè èíîé ñòåïåíüþ ïîâòîðÿåìîñòè âî âðåìåíè. Ïðè êîëåáàíèÿõ îáû÷íî ïðîèñõîäèò ïåðèîäè÷åñêîå ÷åðåäîâàíèå âî âðåìåíè ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ êàêîé-ëèáî ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû (òåìïåðàòóðû, ïëîòíîñòè âåùåñòâà, ïëîòíîñòè òîêà, íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî èëè ìàãíèòíîãî ïîëåé è ò.ä.). Âîëíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ïðîöåññ, îïèñûâàþùèé ðàñïðîñòðàíåíèå êîëåáàíèé â ïðîñòðàíñòâå. Ïðè âîëíîâîì ïðîöåññå ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ñðåäû, âîçíèêàåò âîçìóùåíèå, ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ â ýòîé ñðåäå è íåñóùåå ñ ñîáîé ýíåðãèþ. Âîëíû ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé îðèåíòàöèåé êîëåáàíèé âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùåé âîçìóùåíèå ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Åñëè êîëåáàíèå ýòîé âåëè÷èíû ïðîèñõîäèò âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ ïðîäîëüíîé. Òàê, íàïðèìåð, àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â òîì æå íàïðàâëåíèè, â êàêîì ïðîèñõîäèò ñìåùåíèå ïëîòíîñòè ÷àñòèö. Ó ïîïåðå÷íîé âîëíû êîëåáàíèå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùåé âîçìóùåíèå, ïðîèñõîäèò ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íàïðàâëåíèþ åå ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ïðèìåðîì ïîïåðå÷íîé âîëíû ñëóæèò ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ â íåîãðàíè÷åííîé èçîòðîïíîé ñðåäå.  ýòîì ñëó÷àå âåêòîðû íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ñîâåðøàþò êîëåáàíèÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèÿõ. Ïóñòü, íàáëþäàÿ íåêîòîðûé, íàïðèìåð, ýëåêòðîìàãíèòíûé ïðîöåññ, G ìû õàðàêòåðèçîâàòü åãî â òî÷êå 0 U âåêòîðíûìè ôóíêöèÿìè G G ìîæåì G G G G G ( U  W M W  + U  W MG W . G äðóãîé äîñòàòî÷íî îòäàë¸ííîé òî÷êå 0 U ïðîöåññ íå áóäåò íàáëþäàòüñÿ ( ( +  ) äî òåõ ïîð, ïîêà îí íå áóäåò ïåðåäàí ñðåäîé. G ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ W âG òî÷êå 0 U áóäóò íàáëþäàòüñÿ çíà÷åíèÿ âåêòîðíûõ G G G G G \ W è + U  W \  W .  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî â îñíîâå ïðîôóíêöèé ( U  W öåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ëåæèò ïðèíöèï áëèçêîäåéñòâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó âçàèìîäåéñòâèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâàì ñðåäû (â ÷àñòíîñòè, âàêóóìà), ÿâëÿþùåéñÿ «âìåñòèëèùåì» ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïðîöåññà.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðèíöèïîì ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ëþáîé ñðåäå ïðîèñõîäèò ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ. Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ïðîèñõîäèò âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ïîÿâëÿþùååñÿ â êàêîé-ëèáî òî÷êå ïðî- 74 ÃËÀÂÀ 2 ñòðàíñòâà ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âîçáóæäàåò â ñîñåäíèõ òî÷êàõ ìàãíèòíîå ïîëå è íàîáîðîò. Äàííîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà: ñëàãàåìûå, íàõîäÿùèåñÿ â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, ÿâëÿþòñÿ èñòî÷íèêàìè âåëè÷èí, íàõîäÿùèõñÿ â ëåâûõ ÷àñòÿõ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé.  G w '  w W z  ) âîçíèêíåò ÷àñòíîñòè, ïðè èçìåíåíèè âî âðåìåíè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ( G âåëè÷èíà, ðàâíàÿ URW + , ÷òî ýêâèâàëåíòíî ïîÿâëåíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êðèòåðèåì ïåðåõîäà îò êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà ê âîëíîâîìó ñëóæèò, òàê íàçûâàåìîå, óñëîâèå êâàçèñòàöèîíàðíîñòè: åñëè ëèíåéíûå ðàçìåðû ñèñòåìû /  Y7 (v — ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèÿ, T — âðåìÿ åãî çàìåòíîãî èçìåíåíèÿ), î ïðîöåññå â ñèñòåìå ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè ìîæíî ãîâîðèòü êàê î êîëåáàòåëüíîì.  ñëó÷àå / ! Y7 ïðîöåññ íóæíî ñ÷èòàòü âîëíîâûì, à ñèñòåìó — ðàñïðåäåë¸ííîé. Âîëíîâîé ïðîöåññ — ýòî îäíà èç âàæíåéøèõ ôîðì äâèæåíèÿ ìàòåðèè.  òîé èëè èíîé ìåðå âîëíîâûå ïðîöåññû ïðèñóùè âñåì áåç èñêëþ÷åíèÿ îáúåêòàì ìàòåðèàëüíîãî ìèðà. Êàê ïîêàçàëè ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ äèôðàêöèè è ðàññåÿíèÿ ìèêðî÷àñòèö, êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé äóàëèçì åñòü ôóíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî ìàòåðèè, âñëåäñòâèå ÷åãî äëÿ îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè. Âîëíîâûå ïðîöåññû áûâàþò ëèíåéíûìè è íåëèíåéíûìè. Ìåõàíèçìû ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàçëè÷íûõ âîëí, åñòåñòâåííî, ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà, íî íåñìîòðÿ íà èõ áîëüøîå ðàçíîîáðàçèå, â ïðîòåêàíèè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû ìîæíî âûäåëèòü ìíîãî îáùåãî. 2.1.2. Âîëíîâûå óðàâíåíèÿ.  òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå èìåþò ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà: G G G  w ( G  w +   ’ (     ’ +     (2.1.1) Y wW Y wW çàïèñàííûå îòíîñèòåëüíî íàïðÿæ¸ííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî èëè ìàãíèòíîãî ïîëåé. Óðàâíåíèÿ (2.1.1) íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè âîëíîâûìè óðàâíåíèÿìè. Ïîñðåäñòâîì ’  îáîçíà÷åí îïåðàòîð Ëàïëàñà; ïîñòîÿííàÿ v õàðàêòåðèçóåò ñâîéñòâà ñðåäû. Âîëíîâûå óðàâíåíèÿ (2.1.1) ñïðàâåäëèâû äëÿ ëèíåéíîé îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû. Ïîäîáíî òîìó, êàê óñëîæíÿÿ ìîäåëü ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, îïèñûâàåìîãî â òåîðèè êîëåáàíèé óðàâíåíèåì: G [ GW   Z [  (2.1.2) ãäå x — ñìåùåíèå êàêîé-ëèáî âåëè÷èíû, ñîâåðøàþùåé êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ, îò íåêîòîðîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ìîæíî ââîäèòü â (2.1.2) äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå, îòâåòñòâåííûå çà íåëèíåéíîñòü, çàòóõàíèå, âëèÿíèå âíåøíèõ ñèë (âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ) è ò.ä., ñîîòâåòñòâóþùèå îáîáùåíèÿ äëÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ ìîæíî ñäåëàòü è íà îñíîâå óðàâíåíèé (2.1.1). Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 75  ïðèñóòñòâèè èñòî÷íèêîâ ïðîöåññ âîçáóæäåíèÿ è ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí îïèñûâàåòñÿ íåîäíîðîäíûìè âîëíîâûìè óðàâíåíèÿìè: G G G  w ( G G G  w + G G   ’ (    I U  W  ’ +    I U  W  (2.1.3) Y wW Y wW G G ãäå I è I — íåêîòîðûå ôóíêöèè, õàðàêòåðèçóþùèå ðàñïðåäåë¸ííûå âíåøíèå âîçäåéñòâèÿ.  ëèíåéíîé äèñïåðãèðóþùåé è äèññèïàòèâíîé ñðåäàõ ìîãóò ïðîèñõîäèòü íåîáðàòèìûå ïðîöåññû ïåðåäà÷è ýíåðãèè âîëí ÷àñòèöàì ñðåäû. Ïðè ýòîì ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ñòàíîâèòñÿ ôóíêöèåé ÷àñòîòû. Ýòè ïðîöåññû äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ ââåäåíèåì â âîëíîâûå óðàâíåíèÿ (2.1.1) äîïîëíèòåëüíûõ ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ: G G G  w ( G G  w + G    ’ +     / +  ’ (     / ( (2.1.4) Y W Y w W w G G ãäå / (  / + — ëèíåéíûå îïåðàòîðû (â îáùåì ñëó÷àå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå), îïèñûâàþùèå äèñïåðñèþ è äèññèïàöèþ ñðåäû. Äèññèïàòèâíîñòü ñðåäû ìîæåò áûòü òàêæå ó÷òåíà ââåäåíèåì â v êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé H è P . Ðåøåíèÿ âîëíîâûõ óðàâíåíèé (2.1.1), (2.1.3), (2.1.4) äîëæíû íàõîäèòüñÿ ñ ó÷¸òîì íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, îòâå÷àþùèõ ôèçè÷åñêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è. Åñëè ñðåäà ÿâëÿåòñÿ àíèçîòðîïíîé, ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí îïèñûâàåòñÿ âîëíîâûìè óðàâíåíèÿìè íå âòîðîãî, à áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Òàêîãî òèïà çàäà÷è âñòðå÷àþòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â ïëàçìå èëè ôåððèòå, íàõîäÿùèõñÿ âî âíåøíèõ ïîñòîÿííûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ. Åñëè ñðåäà — íåîäíîðîäíàÿ, òî åñòü å¸ ïàðàìåòðû çàâèñÿò îò êîîðäèíàò, óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå âîëíîâîé ïðîöåññ, èìååò, ñðàâíèòåëüíî ñ (2.1.1), (2.1.3), (2.1.4), áîëåå ñëîæíûé âèä. Ïðè ýòîì ïàðàìåòð v2 íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èG íîé, à ñòàíîâèòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò: Y Y U . 2.1.3. Ãàðìîíè÷åñêèå âîëíû. Áîëüøîå ìåñòî â òåîðèè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ çàíèìàþò ãàðìîíè÷åñêèå âîëíû. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîîòâåòñòâóþùåå ãàðìîíè÷åñêîé âîëíå, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå: G  G G L ZW G G  L ZW ( (U H ( U H   (2.1.5) G  G G L ZW G G  L ZW + +U H + U H   G G ãäå ( è + G —G êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ïîëåé. Ïîäñòàâëÿÿ (2.1.5) â (2.1.1), äëÿ ôóíêöèé ( è + ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ G G G G ’ (  NHP (   ’ +  NHP +   (2.1.6) ãäå N ZG  F . GÅñëè ïîäñòàâèòü (2.1.5) â óðàâíåíèÿ (2.1.4), òî òàêæå ïîëó÷èì äëÿ âåêòîðîâ ( è + óðàâíåíèÿ âèäà (2.1.6), íî N  â ýòîì ñëó÷àå áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì çàâèñèò îò ÷àñòîòû è, âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé: > @ > N Z @ > N c Z  LN cc Z @  (2.1.7) 76 ÃËÀÂÀ 2 Óðàâíåíèÿ (2.1.6) íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè óðàâíåíèÿìè Ãåëüìãîëüöà.  äèñïåðãèðóþùèõ ëèíåéíûõ ñðåäàõ, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, âîçìóùåíèÿ, çàâèñÿùèå îò âðåìåíè ñëîæíûì îáðàçîì, ïðåäñòàâëÿþò â âèäå ñîâîêóïíîñòè ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí, ÷òî îáåñïå÷èâàåò ïåðåõîä îò âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ê óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà, îòíîñÿùåãîñÿ ê óðàâíåíèÿì ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà. Åñëè âîëíîâîé ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ îäíîé ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé, ýòîò ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîé âîëíîé. Åñëè âîëíîâîé ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ âåêòîðíîé ôóíêöèåé, ãîâîðÿò î âåêòîðíîé âîëíå. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîðíóþ âîëíó. 2.1.4. Ïëîñêèå, öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå âîëíû. Âîëíîâûå ïðîöåññû G â è ( îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäå â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà èçìåíåíèÿ âåêòîðîâ G + ðàçäåëÿþò íà ïëîñêèå, öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå âîëíû. Äàäèì èì îïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì ãàðìîíè÷åñêóþ ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó. Ïóñòü \ — ëþáàÿ èç G G êîìïîíåíò âåêòîðîâ ( è + . Òîãäà äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî ïðîöåññà (ñ ó÷¸òîì ñîîòíîøåíèé (2.1.5)) ìîæíî çàïèñàòü \ [ \ ] W \ P [ \ ] FRV > Z W  M [ \ ] @  (2.1.8) ãäå M [ \ ] — ôàçà ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòû ïîëÿ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ôðîíò âîëíû. Ïîä ôðîíòîì âîëíû áóäåì ïîíèìàòü ïîâåðõíîñòü ñ ôèêñèðîâàííîé (ïîñòîÿííîé) ôàçîé, òî åñòü ôàçà íà ýòîé ïîâåðõíîñòè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè â ëþáîé å¸ òî÷êå îäèíàêîâà. Äëÿ ïëîñêèõ âîëí õàðàêòåðíî ïåðåìåùåíèå ôðîíòà âäîëü îäíîãî âûáðàííîãî íàïðàâëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ó ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè 2= , ôàçà áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò êîîðäèíàòû ] : M N ] , òî åñòü óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ôðîíòà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ] FRQVW . Ñëåäîâàòåëüíî, ôðîíòîì ïëîñêîé âîëíû ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ôàçû ãàðìîíè÷åñêîãî ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî ñîîòíîøåíèåì (2.1.8), îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì M [ \ ] FRQVW  (2.1.9) òî åñòü â îáùåì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ôàçû íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, êàê äëÿ ïëîñêîé âîëíû. Åñëè íà ýòèõ ïîâåðõíîñòÿõ àìïëèòóäà \ P [ \ ] íå ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîãî çíà÷åíèÿ, âîëíà íàçûâàåòñÿ íåîäíîðîäíîé. Òî åñòü íåîäíîðîäíîé íàçûâàþò âîëíó, äëÿ êîòîðîé ïîâåðõíîñòè ðàâíûõ ôàç è àìïëèòóä íå ñîâïàäàþò. Ôîðìà ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ôàçû çàâèñèò îò óñëîâèé âîçíèêíîâåíèÿ è ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. Åñëè, íàïðèìåð, M [ \ ] NU  (2.1.10) ãäå U — êîîðäèíàòà öèëèíäðè÷åñêîé èëè ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ìû, ñîîòâåòñòâåííî, èìååì öèëèíäðè÷åñêóþ è ñôåðè÷åñêóþ âîëíû. Íà ðèñ. 2.1à ïîêàçàíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ïîëîæåíèÿ ôðîíòà öèëèíäðè÷åñêîé (ñôåðè÷åñêîé) âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ îò èñòî÷íèêà 4 (ðàñõîäÿùàÿñÿ îò èñòî÷íèêà âîëíà). Ó ñõîäÿùåéñÿ âîëíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ïîëîæåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ïîñòîÿííîé ôàçû ñòðåìÿòñÿ ê òî÷êå U  (ðèñ. 2.1á). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå âîëíû â ñëó÷àå äèññèïàòèâíîé ñðåäû ÿâëÿþòñÿ íåîäíîðîäíûìè. Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 4 77 4 à) á) Ðèñ. 2.1 2.2. Âîëíîâûå óðàâíåíèÿ äëÿ îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäå îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà: G G G G w' G w% URW +  - URW (  (2.2.1) wW wW è ìàòåðèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè: G G G G G G G ' HD(  % PD+  - V (  -  Èç ñèñòåìû âåêòîðíûõ óðàâíåíèé (2.2.1) ìîæíî ïîëó÷èòü âåêòîðíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî íàïðÿæ¸ííîñòåé ýëåêòðè÷åñG G êîãî ( è ìàãíèòíîãî + ïîëåé. Ïðèìåíèì ê ïåðâîìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû (2.2.1) îïåðàöèþ rot: G G G w URW H D URW + URW (  URW H D -  (2.2.2) wW G Ïîäñòàâèì â ñîîòíîøåíèå (2.2.2) âûðàæåíèå äëÿ URW G ( èçGâòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû % PD+ : (2.2.1) è âîñïîëüçóåìñÿ ìàòåðèàëüíûì óðàâíåíèåì G  G G w + URW H D URW +  P D  URW H D -  (2.2.3)  wW Äëÿ îäíîðîäíîé ñðåäû ìàòåðèàëüíûå ïàðàìåòðû H D è P D íå çàâèñÿò îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò, ïîýòîìó âåëè÷èíó H D ìîæíî âûíåñòè èç-ïîä çíàêà îïåðàöèè rot. Òîãäà, ñ ó÷¸òîì òîæäåñòâà (Ï.3.6), ïîëó÷àåì âåêòîðíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî íàïðÿæ¸ííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ: G G G w +  URW  ’ +  H D P D (2.2.4) w W Àíàëîãè÷íî, ðàññìàòðèâàÿ âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.2.1) è ïðèìåíÿÿ ê íåìó îïåðàöèþ rot, íåñëîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî íàïðÿæ¸ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ: G G G ww (   ’ (  HDPD  JUDG 5  P D  (2.2.5) HD wW wW 78 ÃËÀÂÀ 2 ÏðèGâûâîäå óðàâíåíèÿ (2.2.5) áûëî ó÷òåíî, ÷òî äëÿ îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû: GLY ( H D 5 . Óðàâíåíèÿ (2.2.4) è (2.2.5) ïîëó÷èëè íàçâàíèÿ âåêòîðíûõ íåîäíîðîäíûõ âîëíîâûõ óðàâíåíèé (óðàâíåíèé ä‘Àëàìáåðà).  íèõ ïåðåä âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè ïðèñóòñòâóåò ïàðàìåòð H D P D , èìåþùèé ðàçìåðíîñòü [ñåê2/ì2]. Ýòîò ìíîæèòåëü îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôàçîâîãî ôðîíòà âîëíû. Ïîýòîìó ìîæíî ââåñòè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ôàçîâîé ñêîðîñòè:  Y  (2.2.6) H P D D Î÷åâèäíî, ÷òî ôàçîâàÿ ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè ñðåäû, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò ðàñïðîñòðàíåíèå âîëíû è ðàâíà ñêîðîñòè ñâåòà â ýòîé ñðåäå. Ñðàâíèâàÿ óðàâíåíèÿ ä‘Àëàìáåðà (2.2.4) è (2.2.5) ñ óðàâíåíèÿìè (2.1.3), ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî âåêòîðíûå ôóíêöèè G G G G G G G G G w - U W  I U  W H D JUDG 5 U  W  P D  I U  W  URW - U  W wW îïèñûâàþò èñòî÷íèêè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âîëíû. Ïðè ðàññìîòðåíèè ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â îáëàñòè G âíå èñòî÷íèêîâ ( 5 {   - {  ) íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ (2.2.4) è (2.2.5) ïåðåõîäÿò â îäíîðîäíûå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ (2.1.1). 2.3. Ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû è âåêòîð Ãåðöà G GLY %  ñ 2.3.1. Ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû. Èç óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà G ó÷¸òîì ôîðìóëû (Ï.3.4) ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè % ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: G G % URW $  (2.3.1) Ïîäñòàâëÿÿ (2.3.1) âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.2.1), ïîëó÷àåì: G ­° G w $ ½° URW ®(  (2.3.2) ¾  w W °¿ °̄ G Èçâåñòíî, ÷òî åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà D ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî G URW D  , òî ýòîò âåêòîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ãðàäèåíòà íåêîòîðîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè. Âñëåäñòâèå ýòîãî èç ñîîòíîøåíèÿ (2.3.2) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà íàïðÿæ¸ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ: G G w$ (  JUDG )   (2.3.3) wW ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè. ãäå ) — íåêîòîðàÿ G G ïðîèçâîëüíàÿ G Ôóíêöèè $ U  W è ) U  W â ýëåêòðîäèíàìèêå ïîëó÷èëè íàçâàíèÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ, ñîîòâåòñòâåííî. Íàïîìíèì, ÷òî ðàíåå äëÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ G áûë ââåä¸í ýëåêòðîñòàòè÷åñêèé ïîòåíöèàë ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (1.15.5): (  JUDG ) . Èç (2.3.3) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ íåñòàöèîíàðíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ óæå íåäîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü òîëüêî ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë, à íåîáõîäèìî çíàòü òàêæå çàêîí èç- Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 79 ìåíåíèÿ G âåêòîðíîãî ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà âî âðåìåíè, òî åñòü âåêòîðà $ . Îòìå÷åííûé ôàêò åù¸ ðàç ïîÿñíÿåò ïðîöåññ âîçíèêíîâåíèÿ è ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí: ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïîðîæäàåò ìàãíèòíîå è íàîáîðîò. Èç ñîîòíîøåíèé (2.3.1) è (2.3.3) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î ðàâíîïðàâèèG îïèñàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïàðîé ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ ) $ è ïàðîé G G âåêòîðîâ (  % . Ïîýòîìó èìååò ñìûñë çàïèñàòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ. Ñ ýòîé öåëüþ â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.2.1) ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ (2.3.1) è (2.3.3).  ðåçóëüòàòå èìååì: G G § w$ · G w  ¸  - H D ¨ JUDG )  URW P D URW $  (2.3.4) w W ¨© w W ¸¹ Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (Ï.3.6), äëÿ îäíîðîäíîé ñðåäû ( P D FRQVW ) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå: G G G G § w)· w $  ¨¨ GLY $  H D P D ¸¸  P D -  ’ $   HDPD JUDG (2.3.5)  wW ¹ wW © Íàëîæèì íà ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå: G w) GLY $  H D P D  (2.3.6) wW íàçûâàåìîå êàëèáðîâêîé Ëîðåíöà. Âîçìîæíîñòü G GââåäåíèÿG äîïîëíèòåëüíîé ñâÿçè ìåæäó ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèìè ïîòåíöèàëàìè $ U  W è ) U  W îáîñíîâûâàåòñÿ íåîäíîçíà÷íîñòüþ èõ îïðåäåëåíèÿ ôîðìóëàìè (2.3.1) è (2.3.3). Äåéñòâèòåëüíî, èç (2.3.1) G G % íå èçìåíÿòñÿ ïðè çàìåíàõ è (2.3.3) âèäíî, ÷òî çíà÷åíèÿ âåêòîðîâ ( è G G wD $ Ÿ $  JUDG D ) Ÿ )   (2.3.7) wW ãäå D — ïðîèçâîëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà. Äîïîëíèòåëüíàÿ ñâÿçü ìåæäó ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèìè ïîòåíöèàëàìè â âèäå (2.3.6) âûáðàíà èç ñîîáðàæåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî óïðîùåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.3.5), êîòîðîå â ýòîì ñëó÷àå ïåðåõîäèò â íåîäíîðîäíîå âåêòîðíîå óðàâíåíèå ä‘Àëàìáåðà: G G G w $  ’ $   HDP D  PD -  (2.3.8)  wW Äëÿ ñêàëÿðíîãî ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.2.1) ïîëó÷àåòñÿ ñêàëÿðíîå óðàâíåíèå ä‘Àëàìáåðà: w ) 5  HD wW  ýëåêòðîäèíàìèêå ââîäÿò îïåðàòîð ä‘Àëàìáåðà (âîëíîâîé îïåðàòîð): ’ )  H D P D ’  H D P D w wW   ’   w Y w W   (2.3.9) (2.3.10) 80 ÃËÀÂÀ 2 ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî óðàâíåíèÿ (2.3.8), (2.3.9) äëÿ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ çàïèñûâàþòñÿ â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå: G G 5 $  PD -  )   (2.3.11) HD G  îáëàñòè, ñâîáîäíîé îò èñòî÷íèêîâ ( 5 {  - {  ), ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû îïèñûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè óðàâíåíèÿìè ä‘Àëàìáåðà: G (2.3.12) $  )  Çàìåòèì, ÷òî âìåñòî êàëèáðîâêè Ëîðåíöà (2.3.6) íà ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû ìîæíî íàëîæèòü è äðóãèå óñëîâèÿ. Íàïðèìåð, ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ óñëîâèå êóëîíîâñêîé èëè ïîïåðå÷íîé êàëèáðîâêè: G (2.3.13) GLY $    ýòîì ñëó÷àå âìåñòî (2.3.8) è (2.3.9) äëÿ ïîòåíöèàëîâ ïîëó÷àþòñÿ äðóãèå óðàâíåíèÿ: G $ G  w)  P D -   JUDG  ') wW Y  5  HD (2.3.14) Êàê âèäíî èç (2.3.14), óðàâíåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà (1.15.6) äëÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, îòêóäà è âûòåêàåò ïåðâîå íàçâàíèå êàëèáðîâêè — êóëîíîâñêàÿ. Âòîðîå íàçâàíèå G GG ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ïëîñêèõ âîëí, êîãäà $ a H[S ^ L NU ` , êàëèáðîâêà (2.3.13) ýêâèâàëåíòíà Góñëîâèþ G G ïîïåðå÷íîñòè âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ïî îòíîøåíèþ ê âîëíîâîìó âåêòîðó N : N $  Çàïèøåì íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìóþ â ýëåêòðîäèíàìèêå ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ, ïîëó÷àþùóþñÿ ïðè íàëîæåíèè íà íèõ êàëèáðîâêè Ëîðåíöà: G G G w) 5 $  PD -  )   HDPD  GLY $   (2.3.15) HD wW Ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ (2.3.15) â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì Êîøè ïðåäñòàâèì â âèäå: ) [ \ ] W ¦G ) N W MN [ \ ]  (2.3.16) N Ïðàâóþ ÷àñòü âòîðîãî óðàâíåíèÿ (2.3.15) çàïèøåì â âèäå ðàçëîæåíèÿ: 5 [ \ ] W ¦G 5N W MN [ \ ]  (2.3.17) N  (2.3.16), (2.3.17) MN [ \ ] — ñèñòåìà îðòîíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ: ­   N z Nc  MN MNc G9 GNNc ® (2.3.18) ¯   N Nc  9 ³ ãäå k ÿâëÿåòñÿ íîìåðîì. Ïðåäñòàâëåíèÿ (2.3.16), (2.3.17) ñïðàâåäëèâû â òîì ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèè MN îáðàçóþò ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ðàñ- Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 81 ñìàòðèâàåìîãî îáú¸ìà V. Îíè (ïðåäñòàâëåíèÿ) ÿâëÿþòñÿ ðàçëîæåíèÿìè ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ãàðìîíèêàì, ïåðèîä è îðèåíòàöèÿ êîòîðûõ â ïðîñòðàíñòâå (x, G y, z) îïðåäåëÿþòñÿ âåêòîðîì N : G G G G N L Q [  M Q\  N Q] D  (2.3.19) G G G ãäå Q[  Q\  Q] — öåëûå ÷èñëà; L  M  N — åäèíè÷íûå îðòû âäîëü ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò; a — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü [ì]–1. Òàêèì îáðàçîì, ðàçëîæåíèÿ (2.3.16), (2.3.17) — ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé ) [ \ ] W  5 [ \ ] W â ïðîñòðàíñòâå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé MN .  êà÷åñòâå ôóíêöèé MN âûáåðåì:  MN GG ãäå NU /   GG H L NU  (2.3.20) N [ [  N \ \  N] ]  N[ SQ [  /  N\ SQ \  /  N] SQ]  /  (2.3.21) L — ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé ëèíåéíûå ðàçìåðû ðàññìàòðèâàåìîãî îáú¸ìà V.  ðåçóëüòàòå êîýôôèöèåíò a, âõîäÿùèé â (2.3.19), îïðåäåëÿåòñÿ êàê D S  / . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèè (2.3.20) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè êðàåâîé çàäà÷è íà óðàâíåíèè Ãåëüìãîëüöà: ' MN  N  M N ãäå N  (2.3.22)  N[  N\  N]  ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè: MN [ \ ] MN [  / \  / ]  /  (2.3.23)  âèäå (2.3.21) N[ , N\ è N] îïðåäåëÿþò ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé êðàåâîé çàäà÷è: (2.3.22), (2.3.23). Ðåøåíèÿ ýòîé êðàåâîé çàäà÷è îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, ïî êîòîðîé ìîæíî ïðîèçâîäèòü ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ) , óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ: ³)) G9  f   / Ïîäñòàâëÿÿ ) [ \ ] W ïîëó÷àåì: è 5 [ \ ] W ¦ â âèäå (2.3.16), (2.3.17) â óðàâíåíèå (2.3.15),   N F) M ) N N N N  HD ¦ F5N MN  N ãäå F   H D P D — ñêîðîñòü ñâåòà â ñðåäå ñ ïàðàìåòðàìè H D  P D . Óìíîæèâ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íà MNc è ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî îáú¸ìó 9 èñïîëüçîâàíèåì óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè (2.3.18), ïîëó÷àåì:   N F) ) N N F 5  HD N / , ñ (2.3.24) 82 ÃËÀÂÀ 2 Óðàâíåíèÿ (2.3.24) îáðàçóþò áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ àìïëèòóäíûõ êîýôôèöèåíòîâ ) N W ðàçëîæåíèÿ (2.3.16).  ðåçóëüòàòå îïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà ) [ \ ] W , ñîçäàâàåìîãî ïåðåìåííûì âî âðåìåíè çàðÿäîì, ðàñïðåäåë¸ííûì ñ ïëîòíîñòüþ 5 [ \ ] W â êîíå÷íîé îáëàñòè, ñâåëîñü ê ðåøåíèþ êðàåâîé çàäà÷è: (2.3.22), (2.3.23) è îïðåäåëåíèþ ôóíêöèé ) N W , ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé (2.3.24), êàæäîå èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà ñ âíåøíèì âîçäåéñòâèåì. Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû îñöèëëÿòîðîâ îïðåäåëÿþòñÿ êàê S Q [  Q \  Q ] F  / Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòèðóþùèé ïîòåíöèàë â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ) [ \ ] W ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì (2.3.16), áåñêîíå÷íóþ ñóììó ïîòåíöèàëîâ ñ àìïëèòóäàìè MN , ñîçäàâàåìûõ áåñêîíå÷íûì íàáîðîì èñòî÷íèêîâ. Ôóíêöèè 5N W â (2.3.24) èãðàþò ðîëü âíåøíåé ñèëû. Óðàâíåíèÿ (2.3.24) ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íûå ðåøåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ïîñëåäíèå îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, ïðè êîòîðûõ ðåøàåòñÿ óðàâíåíèå (2.3.15). Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3.24) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì k çàïèñûâàåòñÿ êàê ñóììà îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.3.24). Óêàçàííîå ÷àñòíîå ðåøåíèå íàõîäèòñÿ ìåòîäîì Ëàãðàíæà (ìåòîä âàðèàöèè ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé) è èìååò âèä: ZN )N W F H D ZN W ³ 5N W VLQ >ZN W  W @ GW  (2.3.25) W Ðåøåíèå â âèäå (2.3.25) ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì:   ) cN W  ) N W Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3.24) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: )N W $N FRV ZN W  %N VLQ ZN W  W F HD ³ 5N W W VLQ > ZN W  W @ GW  ZN (2.3.26) Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé — îáùåå ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì:   )Nc W ) N W  Êàê ñëåäóåò èç (2.3.25), â ýòîì ñëó÷àå $N %N  Ïîäñòàâèâ ) N W â âèäå (2.3.25) â (2.3.16), èìååì: W ) [ \ ] W F ¦ ³ HD 5N W N MN W VLQ > ZN W  W @ GW  ZN (2.3.27) Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 83 Îáîçíà÷àÿ êîîðäèíàòû òî÷åê ðàçìåùåíèÿ îáú¸ìíîãî çàðÿäà êàê ñîîòâåòñòâèè ñ (2.3.17), çàïèñûâàåì: [ c \c ]c , â ¦ 5N W MN [c \c ]c  5 [ c \c ]c W N Óìíîæèì çàïèñàííîå ðàâåíñòâî íà MNc [c \c ]c è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåìó ðàññìàòðèâàåìîìó îáú¸ìó V. Ñ ó÷¸òîì óñëîâèÿ îðòîíîðìèðîâàííîñòè ôóíêöèé MN (2.3.18) ïîëó÷àåì: ³ 5 [c \c ]c MN [c \c ]c G[cG\cG]c  5N W 9 G Ïîñêîëüêó ïðèðàùåíèå âåêòîðà N :  §¨ S ·¸ 'Q 'Q 'Q [ \ ] © / ¹ 'N[ 'N\ 'N] ïðè ìèíèìàëüíûõ 'Q [ 'Q \ 'Q]  è / o f (òî åñòü, ôàêòè÷åñêè, ïðè ïåðåõîäå ê ñâîáîäíîìó ïðîñòðàíñòâó) ïåðåõîäèò â ýëåìåíòàðíîå ïðèðàùåíèå: GN[ GN\ GN] GN  îò ñóììèðîâàíèÿ â (2.3.27) ìîæíî ïåðåéòè ê èíòåãðèðîâàíèþ. Ïîäñòàâëÿÿ â (2.3.27) 5N W è ó÷èòûâàÿ (2.3.20), ïîëó÷àåì: ) [ \ ] W ³ u H GG  L NU c f F ³ S  H D  GG G W VLQ >ZN W  W @ H L NU GN GW u ZN ³ W (2.3.28) 5 [ c \c ]c W G[ c G\c G]c  9 G G ãäå U c U [c \c ]c — êîîðäèíàòà òî÷êè èñòî÷íèêà. Ïðîèçâîäÿ â (2.3.28) èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷àåì: ) [ \ ] W  SHD ³ 9 5 [ c \c ]c W r 'U F 'U G[cG\cG]c  (2.3.29) ãäå 'U [  [c   \  \c   ]  ]c  ; çíàê «+» ñîîòâåòñòâóåò ïîëþ, ðàñïðîñòðàíÿþùåìóñÿ ê îáëàñòè èñòî÷íèêîâ, ïî êîòîðîé â (2.3.29) ïðîèçâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå; çíàê «–» ñîîòâåòñòâóåò ïîëþ, ðàñïðîñòðàíÿþùåìóñÿ îò óêàçàííîé îáëàñòè. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèòñÿ ðåøåíèå ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (2.3.15), êîòîðîå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: G $ [ \ ] W PD S ³ 9 G 'U - [ c \c ]c W r F 'U G[ c G\ c G] c  (2.3.30) Âûðàæåíèÿ (2.3.29), (2.3.30), âçÿòûå ñî çíàêîì «–», íîñÿò íàçâàíèÿ çàïàçäûâàþùèõ ïîòåíöèàëîâ, ñî çíàêîì «+» — îïåðåæàþùèõ. 84 ÃËÀÂÀ 2 Îòìåòèì, ÷òî íàëè÷èå äâóõ òèïîâ ðàâíîïðàâíûõ ðåøåíèé (çàïàçäûâàþùèõ è îïåðåæàþùèõ) ó ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.3.15) ñâÿçàíî ñ èíâàðèàíòíîñòüþ îïåðàòîðà ä‘Àëàìáåðà îòíîñèòåëüíî âðåìåíè. Âûáîð çàïàçäûâàþùåãî ðåøåíèÿ âûäåëÿåò íàïðàâëåíèå òå÷åíèÿ âðåìåíè, ÷òî íåèçáåæíî ïðè îïèñàíèè ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ. Îäíàêî â ðÿäå ñëó÷àåâ íå èñêëþ÷åíà âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ îïåðåæàþùèõ ðåøåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè íàëè÷èè â ñðåäå ðàçëè÷íîãî ðîäà íåîäíîðîäíîñòåé, ïîÿâëÿþòñÿ îòðàæ¸ííûå âîëíû, êîòîðûå ìàòåìàòè÷åñêè è îïèñûâàþòñÿ îïåðåæàþùèìè ðåøåíèÿìè. Òàêèì îáðàçîì, íàëè÷èå äâóõ òèïîâ ðàâíîïðàâíûõ ðåøåíèé ó ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.3.15) ôèçè÷åñêè ñâÿçàíî ñ âîçìîæíîñòüþ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðÿìûõ è îòðàæ¸ííûõ âîëí â ñðåäå ñ íåîäíîðîäíîñòÿìè. 2.3.2. Âåêòîðû Ãåðöà. Íàðÿäó ñ âåêòîðíûì è ñêàëÿðíûì ïîòåíöèàëàìè â ýëåêòðîäèíàìèêå ââîäÿò òàêæå ýëåêòðè÷åñêèé è ìàãíèòíûé âåêòîðû Ãåðöà. Ïðåäñòàâèì ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ) â âèäå G (2.3.31) )  GLY Q H  G ïîãäå âåêòîð Q H íàçûâàþò ýëåêòðè÷åñêèì âåêòîðîì Ãåðöà (ïîëÿðèçàöèîííûì G òåíöèàëîì). Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ G ñâÿçè ìåæäó âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì $ è ýëåêòðè÷åñêèì âåêòîðîì Ãåðöà Q H âîñïîëüçóåìñÿ êàëèáðîâêîé Ëîðåíöà (2.3.6), êîòîðàÿ ñ ó÷¸òîì (2.3.31) ïðèíèìàåò âèä: G § G wQ H · ¸  GLY ¨ $  H D P D ¨ w W ¸¹ © Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî G w H (2.3.32) $ HD PD  wW G G G Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû ( è + ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç âåêòîð Ãåðöà QH (ñì. ñîîòíîøåíèÿ (2.3.1) è (2.3.3)) ñëåäóþùèì îáðàçîì: G Q G + G Q ­° w H  URW ®HD PD PD wW °¯ ½° G ¾ ( °¿ G GH w Q H JUDG GLYQ  HD PD  wW  G Äëÿ îáëàñòåéG ïðîñòðàíñòâà, ñâîáîäíûõ îò ýëåêòðè÷åñêèõ èñòî÷íèêîâ ( âåêòîð Ãåðöà Q H óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó âîëíîâîìó óðàâíåíèþ: G GH w Q H ’ Q  HD PD   wW êîòîðîå ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèé: w H w § ¨ JUDG GLY URW URW wW wW ¨ © G Q  G Q H  HD PD (2.3.33)  5  ), (2.3.34) G w Q H · ¸ w W ¸¹ G G G w § w Q H · ¨ URW URW Q H  JUDG GLY Q H  HD PD ¸   ¸ wW ¨ W w © ¹ Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 85 G ïîëó÷àþùèõñÿ ïîäñòàíîâêîé (2.3.33) â óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà (2.2.1) ïðè -  . Ïðè âûâîäå (2.3.34) ïîëàãàëîñü, ÷òî äèýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòè H D è P D íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàò ( H D FRQVW , P D FRQVW ). Ñòðîãî ãîâîðÿ, èç ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî G GH w Q H ’ Q  HD PD   wW (2.3.35) FRQVW  Ïîñêîëüêó çíà÷åíèå êîíñòàíòû â ïðàâîé ÷àñòè (2.3.35) íå âëèÿåò íà îïðåäåëåíèå ïîëÿ, å¸ ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, ÷òî è ïðèâåä¸ò ê óðàâíåíèþ (2.3.34).  òîì ñëó÷àå, êîãäà ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñîçäà¸òñÿ èñòî÷íèêîì ýëåêòðè÷åñêîãî òèïà (ýëåêòðè÷åñêèì ìîìåíòîì), ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàë óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì: G  w ) GLY 3  ’ )  H D P D  (2.3.36) HD wW G G G w3 w $    PD ’ $  HDPD (2.3.37) wW w W G ãäå 3 — âåêòîð ïîëÿðèçàöèè. Ñ èñïîëüçîâàíèåì (2.3.31) è (2.3.32) óðàâíåíèÿ (2.3.36) è (2.3.37) ñâîäÿòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà Ãåðöà: G w H 3 ’ H  HD PD   (2.3.38) HD w W Êîãäà ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñîçäà¸òñÿ èñòî÷íèêîì ìàãíèòíîãî Gòèïà (ìàãíèòG íûì Gìîìåíòîì, õàðàêòåðèçóåìûì ïëîòíîñòüþ ìàãíèòíîãî òîêà -u P  URW 0 , ãäå 0 — âåêòîð íàìàãíè÷èâàíèÿ), èç äâóõ óðàâíåíèé (2.3.36), (2.3.37), ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ) {  , îñòà¸òñÿ òîëüêî îäíî: G G G w $  URW  ’ $  H D P D (2.3.39) w W G Ââîäÿ ìàãíèòíûé âåêòîð Ãåðöà Q P ñîîòíîøåíèåì: G Q G Q G $ G Q PD URW P  ïîëó÷àåì îòíîñèòåëüíî íåãî èç (2.3.39) óðàâíåíèå: G GP wQ P ’ Q  HD PD   wW G   PD G G Ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðû ( è + âûðàæàþòñÿ ÷åðåç G (â (2.2.1) -  ): G ( G Q ª HP w P º G   URW «  » + HD wW »¼ «¬ F G QP (2.3.40) ñëåäóþùèì îáðàçîì G P HP wQG P JUDG GLY Q    wW F (2.3.41) 86 ÃËÀÂÀ 2 G Äëÿ îáëàñòåé ïðîñòðàíñòâà, ñâîáîäíûõ îò èñòî÷íèêîâ, ìàãíèòíûé âåêòîð Ãåðöà Q P òàêæå óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó âîëíîâîìó óðàâíåíèþ: G HP wQG P  P (2.3.42)  ’ Q  F wW  ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ñ ýëåêòðè÷åñêèìè è ìàãíèòíûìè òîêàìè (2.2.1) îáùåå èõ ðåøåíèå ÷åðåç ýëåêòðè÷åñêèé è ìàãíèòíûé âåêòîð Ãåðöà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñóïåðïîçèöèåé ðåøåíèé (2.3.33) è (2.3.41): G ( G + G HP wQG  ª HP wQG P º JUDG GLY Q   URW «   » HD wW »¼ F wW «¬ F G HP wQG P  ª HP wQG º  JUDG GLY Q P   URW «  » wW P wW (2.3.43) F «¬ F »¼ D Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî (2.3.38) è ìàãíèòíîãî (2.3.40) âåêòîðîâ Ãåðöà èìåþò îäèí è òîò æå âèä (îäèíàêîâûå ïî ôîðìå), îòëè÷àþòñÿ ëèøü ôóíêöèÿìè, ñòîÿùèìè â ïðàâîé ÷àñòè, ïîñêîëüêó ïîëÿ, îïèñûâàåìûå ýòèìè óðàâíåíèÿìè, ñîçäàþòñÿ ðàçëè÷íûìè èñòî÷íèêàìè. Áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî óðàâíåíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî âåêòîðîâ Ãåðöà èìåþò îäèíàêîâûé âèä, ïðè èõ ðåøåíèè èñïîëüçóþò ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè. Äîïóñòèì, íàøëè ðåøåíèå (2.3.38). Ïî íåìó ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðG óðàâíåíèÿ G ìóë (2.3.33) íàõîäèì ïîëÿ ( è + . Ïîëÿ, ñîçäàâàåìûå èñòî÷íèêîì ìàãíèòíîãî òèïà è îïèñûâàåìûå óðàâíåíèåì (2.3.40), ïîëó÷àþòñÿ ïðîñòîé çàìåíîé: G G G G 3 o 0  HD œ  PD  ( œ +  Ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (2.3.38), (2.3.40), ïîëó÷àåìûå ïî ìåòîäèêå, îïèñàííîé â ï. 2.3.1, çàïèñûâàþòñÿ â âèäå: G QH [ \ ] W G Q P [ \ ] W  SHD ³ G 3 [c \c ]c W r 'U 9  SPD 'U F ³ 9 G 0 [c \c ]c W r 'U 'U F G[cG\cG]c G[cG\cG]c 2.4. Ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä Ïðè èññëåäîâàíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé è âîëí ÷àùå âñåãî èìåþò äåëî ñ ïîëÿìè, èçìåíÿþùèìèñÿ âî âðåìåíè ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó, òî åñòü êîëåáëþùèìèñÿ ñ îïðåäåë¸ííîé ÷àñòîòîé. Òàêèå ïîëÿ íàçûâàþò ìîíîõðîìàòè÷åñêèìè èëè ãàðìîíè÷åñêèìè. Ìàòåìàòè÷åñêè ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ çàêîíàìè ( M [ \ ] ): G G ( M U  W ( PM U FRV ZW  D M  (2.4.1) G G + M U W + PM U FRV ZW  E M  Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 87 ãäå ( PM  + PM — äåéñòâèòåëüíûå àìïëèòóäû; Z — êðóãîâàÿ ÷àñòîòà; ZW  D M  ZW  E M — ïîëíûå ôàçû êîëåáàíèé ñîñòàâëÿþùèõ; D M  E M — íà÷àëüíûå ôàçû êîëåáàíèé ñîñòàâëÿþùèõ. Ïåðèîäîì êîëåáàíèÿ T íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèé îòðåçîê âðåìåíè, äëÿ êîòîðîãî G G G G G G G G ( U W  7 ( U W  + U W  7 + U W  Ïåðèîä è ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì 7 S  Z   I  (2.4.2) ãäå f — ÷àñòîòà êîëåáàíèé, îïðåäåëÿåìàÿ êàê ÷èñëî êîëåáàíèé â ñåêóíäó. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì (ñ äðóãèìè â îáùåì G G G ñëó÷àå çíà÷åíèÿìè íà÷àëüíûõ ôàç) çàïèñûâàþòñÿ ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðîâ ' % - . Èíòåðåñ ê ãàðìîíè÷åñêèì ïðîöåññàì îïðåäåë¸í òðåìÿ ôàêòîðàìè. Âî-ïåðâûõ, áîëüøèíñòâî èçëó÷àþùèõ óñòðîéñòâ ñîçäà¸ò ïîëÿ, çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè êîòîðûõ áëèçêà ê ãàðìîíè÷åñêîé, ÷òî îáóñëîâëåíî ñâîéñòâàìè ðåçîíàíñíûõ ñèñòåì, ïðèìåíÿåìûõ â ðàäèîòåõíèêå. Âî-âòîðûõ, ëþáîé ïðîöåññ ñ ïðîèçâîëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè â ëèíåéíîé ñðåäå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå èíòåãðàëà èëè ðÿäà Ôóðüå, òî åñòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Â-òðåòüèõ, ñóùåñòâóåò óäîáíûé è ïðîñòîé ìàòåìàòè÷åñêèé ìåòîä (ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä), ïîçâîëÿþùèé ïðè àíàëèçå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé èñêëþ÷àòü èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà âðåìÿ è òåì ñàìûì ñóùåñòâåííî èõ óïðîùàòü. Ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ÿâëÿåòñÿ îáùèì äëÿ âñåõ ëèíåéíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.  äàííîì ðàçäåëå îí ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíèòåëüíî ê îïèñàíèþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ (2.4.1) â âèäå: G G G G G G G G ( U W 5H >( U H LZW @  + U  W 5H >+ U H LZW @  (2.4.3) ãäå G G LD G G LE (M U ( PM U H M  + M U + PM U H M  M [ \ ]  G G G G G G Âåêòîðû ( U è + U ñ ñîñòàâëÿþùèìè ( M U  + M U íàçûâàþòñÿ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé, G Gè ìàãíèòíîãî G G ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèâ êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ( U  + U â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ êàêîé-ëèáî G G ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé çàäà÷è, äëÿ ïîëó÷åíèÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé ïîëåé (  + , óìíîæàåì ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû íà âðåìåííîé ìíîæèòåëü H L ZW è áåð¸ì âåùåñòâåííûå ÷àñòè îò ïðîèçâåäåíèé. Àíàëîãè÷íî (2.4.3) ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèÿ è äëÿ äðóãèõ âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: G G G G G G G G ' U  W 5H >' U H LZW @  % U  W 5H >% U H LZW @  (2.4.4) G G G G G G - U  W 5H > M U H LZW @  5 U  W 5H >U U H LZW @  G G G G G G G ãäå ' U  % U  M U  U U — êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàöèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè îò ôóíêöèé (2.4.3), (2.4.4) â ìåòîäå êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ñâîäèòñÿ ê ïðîñòîìó óìíîæåíèþ ýòèõ ôóíêöèé íà âåëè÷èíó L Z , òî åñòü w (2.4.5) Ÿ LZ  wW 88 ÃËÀÂÀ 2 Èñïîëüçóÿ ïåðåõîä (2.4.5), ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (1.13.1) äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: G G G G G G URW (  LZ %  URW + LZ '  M  M  (2.4.6) G G GLY ' U  U  GLY %   Ïðè ýòîì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè èìååò âèä: G (2.4.7) U L GLYM  Z  Çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (2.4.6) äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäå, îïèñûâàåìîé ìàòåðèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè (1.11.2). Ïîäñòàâëÿÿ (1.11.2) â ñèñòåìó (2.4.6), ïîëó÷àåì: G G G V · G G URW (  L ZP D +  URW + LZH  §¨ H  L ¸(  M  ZH ©  ¹ (2.4.8) G G H D GLY ( U  U  GLY +   Ïðè ðàññìîòðåíèè ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ïîëåé â ìàòåðèàëüíûõ ïðîâîäÿùèõ ñðåäàõ ââîäÿò êîìïëåêñíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû: V . H HL (2.4.9) ZH  Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû ìîæåò áûòü êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé è ïðè óñëîâèè V G  , òî G åñòü â íåïðîâîäÿùåé ñðåäå. Ýòî èìååò ìåñòî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîðû ' è ( ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà ïî ôàçå íà óãîë J , êîãäà H H Z . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè G G ' H  H( H  L J  ìîæíî çàïèñàòü: G G ' H H FRV J  L VLQ J (  Òîãäà ïîä äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ñëåäóåò ïîíèìàòü âåëè÷èíó: H Hc  L Hcc H FRV J  L H VLQ J  G G Çàïàçäûâàíèå ïî ôàçå âåêòîðà ' W îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ( W íàáëþäàåòñÿ íà äîñòàòî÷íî âûñîêèõ ÷àñòîòàõ, êîãäà ïðîÿâëÿþòñÿ èíåðöèîííûå ñâîéñòâà ñðåäû. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ äèýëåêòðè÷åñêèì ãèñòåðåçèñîì. Åñëè â ñðåäå îäíîâðåìåííî ïðîòåêàþò òîêè ïðîâîäèìîñòè è íàáëþäàåòñÿ äèýëåêòðè÷åñêèé ãèñòåðåçèñ, ñîñòàâëÿþùèå êîìïëåêñíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè âû÷èñëÿþòñÿ êàê Hc H FRV J Hcc H VLQ J  V  H Z  Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü, âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä, õàðàêòåðèçóåò ýëåêòðè÷åñêèå ñâîéñòâà âåùåñòâà ïðè äàííîé ÷àñòîòå. Ÿ ìíèìàÿ ÷àñòü ìîæåò áûòü îáóñëîâëåíà êàê ïðîâîäèìîñòüþ ñðåäû, òàê è âûñîêî÷àñòîòíûì äèýëåêòðè÷åñêèì ãèñòåðåçèñîì. Îáà ôàêòîðà ïðèâîäÿò ê ïîòåðÿì ýíåðãèè âûñîêî÷àñòîòíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ â ñðåäå. Ñ ÷èñòî ìàêðîñêîïè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îíè (îáà ôàêòîðà) íå ðàçëè÷èìû; â ÷àñòíîñòè, è òîò, è äðóãîé ïðèâîäÿò ê âûäåëåíèþ òåïëà. Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 89 Ïî àíàëîãèè ñ êîìïëåêñíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ââîäèòñÿ êîìïëåêñíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü P Z , çàâèñÿùàÿ îò ÷àñòîòû: G G % Z P P Z + Z  ÂG çàïèñè P PG H[S  L J âåëè÷èíà J õàðàêòåðèçóåò îòñòàâàíèå ïî ôàçå âåêòîðà % îò âåêòîðà + . Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå, â ðàìêàõ ìåòîäà êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ââîäÿò êîìïëåêñíûå äèýëåêòðè÷åñêóþ è ìàãíèòíóþ ïðîíèöàåìîñòè ñëåäóþùèì ôîðìàëüíûì îáðàçîì: H Hc  LHcc P Pc  LPcc  (2.4.10) Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, íàëè÷èå ìíèìûõ ÷àñòåé ó äèýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòåé ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè ïîòåðü â ñðåäå. Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè ïîòåðü â ñðåäå â ýëåêòðîäèíàìèêå ââîäÿò ïàðàìåòðû: Hcc Pcc WJ G  WJ G  (2.4.11) Hc Pc ãäå âåëè÷èíà G íàçûâàåòñÿ óãëîì äèýëåêòðè÷åñêèõ ïîòåðü, à âåëè÷èíà G — óãëîì ìàãíèòíûõ ïîòåðü. Îáû÷íî ïîä ïàðàìåòðîì òàíãåíñ óãëà äèýëåêòðè÷åñêèõ ïîòåðü ( WJ G ) ïîíèìàþò âåëè÷èíó: Hcc  Hc . Ñ ó÷åòîì (2.4.11) ñîîòíîøåíèÿ (2.4.10) ìîæíî ïåðåïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå: H Hc   L WJ G P Pc   L WJ G _ H _ H L G P _ P _ H L G  (2.4.12) Âåëè÷èíó ïàðàìåòðà WJ G ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå îäíîãî èç êðèòåðèåâ êëàññèôèêàöèè ìàòåðèàëüíûõ ñðåä. Åñëè WJ G !!  ïðè V !! ZH D , ñðåäà ÿâëÿåòñÿ ïðîâîäíèêîì, åñëè WJ G   ïðè V  ZH D , òî ñðåäà îòíîñèòñÿ ê êëàññó äèýëåêòðèêîâ. Çàïèøåì âîëíîâûå G óðàâíåíèÿ (2.2.4) è (2.2.5) îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíûõ àìïëèG òóä âåêòîðîâ + è ( äëÿ ñðåäû ñ ýëåêòðè÷åñêèìè ïîòåðÿìè ( Pcc  ). Ñ ó÷¸òîì (2.4.7) è (2.4.9) âîëíîâûå óðàâíåíèÿ (2.2.4), (2.2.5) ïåðåõîäÿò â íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà: G G G ’+  N  +  URW M  G G G (2.4.13) ’(  N  ( H D JUDG U  LZP D M  Z H H P D — âîëíîâîå ÷èñëî äëÿ ñðåäû ñ ïîòåðÿìè, îòíîñèòåëüíî êîìïãäå N ëåêñíûõ àìïëèòóä ïîëÿ. Âîëíîâîå ÷èñëî äëÿ ïðîâîäÿùåé ñðåäû ( V z  ) ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì: § V · ¸ (2.4.14) Z H P  P ¨¨ H  L H  Z ¸¹ © Âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü âîëíîâîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé ïîñòîÿííîé è îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå ôàçû âîëíû íà åäèíèöå äëèíû; ìíèìàÿ ÷àñòü N , íàçûâàåìàÿ êîýôôèöèåíòîì çàòóõàíèÿ, ïîêàçûâàåò óìåíüøåíèå àìïëèòóäû âîëíû íà åäèíèöå äëèíû. N 90 ÃËÀÂÀ 2 G Åñëè â ñðåäå îòñóòñòâóþò òîêè ïðîâîäèìîñòè ( M  ), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ V  , è ìîæíî ïðåíåáðå÷ü äèýëåêòðè÷åñêèì ãèñòåðåçèñîì, òî âîëíîâîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì: N N Z HD PD . (2.4.15) G Ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñòîðîííèõ èñòî÷íèêîâ M  U íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà (2.4.13) ïåðåõîäÿò â îäíîðîäíûå: G G G G (2.4.16) ’ +  N +   ’ (  N (   Óðàâíåíèÿ (2.4.16) îïèñûâàþò ïðîöåññû ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â îáëàñòè âíå èñòî÷íèêîâ. Ïî àíàëîãèè ñ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî Gïîëÿ ìîæíî ââåñòè êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû äëÿ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ $  ) : G G G G $ U  W 5H >$ U H L ZW @  (2.4.17) G G ) U  W 5H >M U H L ZW @  G G G ãäå ôóíêöèè $ U  M U íàçûâàþòñÿ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ ñîîòâåòñòâåííî. G G G Êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû + è ( âûðàæàþòñÿ ñ ó÷¸òîì (2.3.1) è (2.3.3) ÷åðåç $ è M ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G G G (2.4.18) + PDURW$ (  JUDG M  LZ$ G Ïðè ýòîì êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû $ è M ñâÿçàíû óðàâíåíèåì: G (2.4.19) GLY$  LZH P M  Êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ îáû÷íî îïðåäåëÿþòñÿ èç íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé Ãåëüìãîëüöà: G G G ’ $  N $  P M  (2.4.20) ’M  NM  H U  2.5. Ïëîñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäå Ïåðåéä¸ì ê ðàññìîòðåíèþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â îäíîðîäíîì èçîòðîïíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïîñòîÿííûìè e è m, â êîòîðîì îòñóòñòâóþò ñòîðîííèå òîêè è çàðÿäû. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä: G G G G w' w% URW +  URW (   wW wW (2.5.1) G G ' % GLY   GLY   G G G G ãäå ' H  H (  % P P +  Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.5.1) ïî âðåìåíè, ñ ó÷¸òîì âòîðîãî óðàâíåíèÿ èìååì: G G  w ( URW URW ( H  H    (2.5.2) P P wW Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ G Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå GLY ( 91 G G G   URW URW ( ’ GLY (  ’ ( G G  w ( ' (     Y wW G  ’ (  òî (2.5.3) ãäå Y F  HP . G Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âåêòîð + ïîä÷èíÿåòñÿ òàêîìó æå äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà: G G  w + (2.5.4) '+     Y wW G G Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå êîìïîíåíòû âåêòîðîâ ( è + ïîä÷èíÿþòñÿ ñêàëÿðíîìó âîëíîâîìó óðàâíåíèþ:  w <  (2.5.5) Y w W  G G ãäå ïîä < ïîíèìàåòñÿ ëþáàÿ èç êîìïîíåíò âåêòîðîâ ( èëè + . Ïðîñòåéøèìè ðåøåíèÿìè âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (2.5.5) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïëîñêèå âîëíû. Ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíîé íàçûâàåòñÿ âîëíà ñî ñëåäóþùèìè õàðàêòåðèñòèêàìè: 1. ×èñòî ïîïåðå÷íàÿ âîëíà (TEM) — âåêòîðû ïîëÿ ëåæàò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ. 2. Ôðîíò âîëíû — ïëîñêîñòü. 3. Âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà â äàííîé ñðåäå. ïîëÿ ñâÿçàíû ÷åðåç âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû G 4. Âåêòîðû G _( __+ _ PD  HD = . âîëíû, â Òàêèì îáðàçîì, åñëè âûáðàòü îñü 2= ïåðïåíäèêóëÿðíîé ôðîíòó G G ìîíîõðîìàòè÷åñêîé ïëîñêîé âîëíå êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ïîëåé ( è + áóäóò çàâèñåòü òîëüêî îò êîîðäèíàòû z. Äëÿ ïëîñêèõ âîëí îïåðàòîð Ëàïëàñà ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó ’  w   w ]  , à âîëíîâîå óðàâíåíèå (2.5.5) ñòàíîâèòñÿ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîìåðíûì: '<  w <  w< (2.5.6)  w ]  Y w W  Çàïèñü (2.5.6) ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç äâóõ êàíîíè÷åñêèõ ôîðì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. Åñëè îò ïåðåìåííûõ ] è W ïåðåéòè ê õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïåðåìåííûì x è h: ] ] [ W  K W  Y Y óðàâíåíèå (2.5.6) ïðåîáðàçóåòñÿ êî âòîðîé êàíîíè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà:  w < (2.5.7)  w[ wK Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.5.7), ïîëó÷àåìîå ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê [Ë2.11], èìååò âèä: < < [  < K < W  ]  Y  < W  ]  Y  ãäå < [ è < K — ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. (2.5.8) 92 ÃËÀÂÀ 2 < G + G 6 G N  G ( = ; Ðèñ. 2.2 Ôóíêöèÿ < W  ]  Y îïèñûâàåò ïëîñêóþ âîëíó, áåãóùóþ â íàïðàâëåíèè îñè 2= . Ïëîñêîñòü, íà êîòîðîé ôàçà âîëíû ïîñòîÿííà, ïåðåäâèãàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñî ñêîðîñòüþ Y . Ôóíêöèÿ < W  ]  Y îïèñûâàåò âîëíó, áåãóùóþ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Âîçìóùåíèÿ, áåãóùèå òîëüêî â îäíó ñòîðîíó (íàïðèìåð, â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè OZ), ìîãóò áûòü îïèñàíû äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà: w<  w< (2.5.9)   w] Y wW Åñëè âìåñòî W ââåñòè «ëîêàëüíîå âðåìÿ» W W  ]  Y , òî åñòü íàáëþäàòü çà âîëíîé, äâèãàÿñü âìåñòå ñ íåé ñî ñêîðîñòüþ å¸ ðàñïðîñòðàíåíèÿ, òî â íîâûõ ïåðåìåííûõ W è ] óðàâíåíèå (2.5.9) ïðèìåò âèä w < ] W (2.5.10)  w] Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âîëíà, íå èçìåíÿþùàÿ ôîðìû ñâîåãî ïðîôèëÿ ïðè èçìåíåíèè ] , òî åñòü ñòàöèîíàðíàÿ âîëíà: < < W . Ðàññìîòðèì ïëîñêóþ ãàðìîíè÷åñêóþ ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âäîëü îñè OZ â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäå ñ ïàðàìåòðàìè H P . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â îáëàñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû îòñóòñòâóþò èñòî÷íèêè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òîãäà êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà âåêòîðà íàïðÿæ¸ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà (2.4.16): G G (2.5.11) ’ (  N (   Ïîñêîëüêó ó ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè OZ, íàïðÿæ¸ííîñòü G ïîëÿ ( íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò x è y: ’ G   G] . Ðàññìîòðèì ñòðóêòóðó ïîëÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîéG âîëíû. Íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ âîëíîâûì âåêòîðîì GN . Òàê G êàê ïëîñêàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ïîïåðå÷íîé, âåêòîðû íàïðÿæ¸ííîñòåé ( è + áóäóò êîëåáàòüñÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, îïðåäåëÿåìîG ðèñ. 2.2 èçîáðàæåíî ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ ïëîñêîé âîëíû, ïðè ìó âåêòîðîì N . Íà G G êîòîðîì âåêòîð ( ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ âäîëü îñè OX, à âåêòîð + — âäîëü îñè OY. Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ ([ ] 93 W W W FRQVW $ ] Y W  W O Ðèñ. 2.3 Òàê êàê íàïðàâëåíèå ïåðåíîñà âîëíîé ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåG G G ëÿåòñÿ âåêòîðîì Óìîâà–Ïîéíòèíãà 6 G> ( + @ , òî î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû íàïðàâëåíèå âåêòîðà 6 áóäåò ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîG ðà N (ðèñ. 2.2). Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà (2.5.11) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: G G ( [ $P H  LN ]  %P H LN ]  (2.5.12) > @ ãäå $P  %P — ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå èç êðàåâûõ óñëîâèé.  ðåøåíèè (2.5.12) ïðèñóòñòâóþò äâà ñëàãàåìûõ: ïåðâîå îïèñûâàåò ïëîñêóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè OZ; âòîðîå — â LM è %P % H L \ ïðåäñòàâëÿïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Âåëè÷èíû $P $ H þò ñîáîé àìïëèòóäû ýòèõ âîëí, à M \ — íà÷àëüíûå ôàçû. G Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå âåêòîðà íàïðÿæ¸ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ( ñ ó÷¸òîì (2.4.3) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G G ( ] W 5H >( ] H L ZW @ [ ^$ FRV ZW  N ]  M  % FRV ZW  N ]  \ ` Íà ðèñ. 2.3 ïðåäñòàâëåíû ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùåé ( [ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè OZ, äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè W è W . Íà ðèñóíêå ïîêàçàí ïåðèîä ïðîñòðàíñòâåííîãî èçìåíåíèÿ ïîëÿ âäîëü êîîðäèíàòû z, íàçûâàåìûé äëèíîé âîëíû: O S  N . Ðàññìîòðèì õàðàêòåðèñòèêè ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. 1. Äëèíà âîëíû — ýòî ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, êîëåáëþùèìèñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè âîëíû ]  ] O , â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè t ôàçû â ýòèõ òî÷êàõ äîëæíû îòëè÷àòüñÿ íà S : >ZW  N ] @  >ZW  N ] @ S   ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñâÿçü ìåæäó äëèíîé âîëíû è âîëíîâûì ÷èñëîì: S O  (2.5.13) N 2. Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû v — ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôàçû âäîëü îñè OZ, 94 ÃËÀÂÀ 2 òî åñòü ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôàçîâîãî ôðîíòà ( Z W  N ] FRQVW ) ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èç óðàâíåíèÿ: G ^Z W  N ]`   GW Ïðîâîäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ äëÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè: G] Z (2.5.14) Y  GW N Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè ñðåäû, â êîòîðîé îíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ. Òàê êàê N Z H D P D , òî äëÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè ñïðàâåäëèâà è äðóãàÿ ôîðìóëà: Y  F HDP D HP  (2.5.15) ãäå F   H P  |  ˜  [ì/ñ] — ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â âàêóóìå (ñêîðîñòü ñâåòà). Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.5.15) ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ñðåäå â HP ðàç ìåíüøå, ÷åì ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå. Âåëè÷èíà HP Q ïîëó÷èëà íàçâàíèå îòíîñèòåëüíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñòðóêòóðó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäå. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä âåêòîðîâ äëÿ îáëàñòè, â êîòîðîé îòñóòñòâóþò ñòîðîííèå òîêè è çàðÿäû: G G G G (2.5.16) URW + LZ H D ( URW (  LZ P D +  Ïðè çàïèñè ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.5.16) áûëè èñïîëüçîâàíû ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.11.2) äëÿ îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû.  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïëîñêàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü (ïðîòèâ) îñè OZ, çàïèøåì ñèñòåìó (2.5.16) â ïðîåêöèÿõ íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: G+ \ G] G(\ G] G+ [ LZH D ( \  +] G] G([ LZP D + [   LZP D + \  (] G]  LZH D ( [    (2.5.17) Èç (2.5.17) ñðàçó ñëåäóåò âûâîä î ïîïåðå÷íîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïëîñêîé âîëíû, òàê êàê ïðîäîëüíûå ñîñòàâëÿþùèå (] +]  . Êðîìå òîãî, âèäèì, ÷òî G G ñèñ+ è : òåìà (2.5.17) äîïóñêàåò äâà âîçìîæíûõ âàðèàíòà îðèåíòàöèè âåêòîðîâ ( G G G G G G G G ( [ ( [  + \ + \ è ( \ ( \  +  [ + [ . Ðèñ. 2.2 ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû âäîëü îñè OZ. Èç ñèñòåìû (2.5.17) äëÿ ñîñòàâëÿþùåé ([ íåòðóäíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà: G ( [ G]   N ( [  (2.5.18) Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçè- Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 95 öèþ (2.5.12) äâóõ ïëîñêèõ âîëí, áåãóùèõ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ ïî îòíîøåíèþ ê îñè OZ. Ðàññìîòðèì ïëîñêóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âäîëü îñè OZ.  ýòîì ñëó÷àå â ðåøåíèè (2.5.12) íåîáõîäèìî ïîëîæèòü %P  . Îïðåäåëèì ñîñòàâëÿþùóþ + \ èç ïÿòîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.5.17): N $ H  L N] Z PD P +\ N (  Z PD [ (2.5.19) Èç (2.5.19) ñëåäóåò, ÷òî îòíîøåíèå ( [  + \ íå çàâèñèò îò ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû z è îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ïàðàìåòðàìè ñðåäû. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ââåñòè ïàðàìåòð = ([ +\ Z PD N PD  HD (2.5.20) > (2.5.21) G G êîòîðûé óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó àìïëèòóäàìè âåêòîðîâ ( è + ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ïàðàìåòð Z íàçûâàåòñÿ èìïåäàíñîì, èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì ñðåäû. Âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå äëÿ ñðåäû áåç ïîòåðü ( H D  P D — âåùåñòâåííû) ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîé âåëè÷èíîé, èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ â òàêîé ñðåäå êîëåáëþòñÿ â ôàçå. Äëÿ âàêóóìà âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: = P H S @ G G Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ïîëåé ( è + ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè OZ, îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G G G $ ( [ $P H  L N]  + \ P H  L N]  (2.5.22) = Ñîîòâåòñòâåííî, ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû çàïèøóòñÿ êàê G G G ( ] W 5H ^( ] H L ZW ` [ $ FRV ZW  N ]  M  (2.5.23) G G G $ + ] W 5H ^+ ] H L ZW ` \ FRV ZW  N ]  M  = Íà ðèñ. 2.4 ïðèâåäåíû ðàñïðåäåëåíèÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû âäîëü êîîðäèíàòû z â íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Êàê âèäíî èç ðèñ. 2.4, ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ñîâïàäàþò ïî ôàçå. Ðàññìîòðåííàÿ â ýòîì ðàçäåëå ïëîñêàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, òàê êàê ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå òàêîé âîëíû íå çàâèñèò îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò x è y, è ïîýòîìó äëÿ íå¸ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ïîâåðõíîñòè ðàâíûõ ôàç è ïîâåðõíîñòè ðàâíûõ àìïëèòóä ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé. Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Äðóãèì òèïîì ïëîñêèõ âîëí ÿâëÿþòñÿ íåîäíîðîäíûå âîëíû, ó êîòîðûõ ïëîñêîñòè 96 ÃËÀÂÀ 2  $ $= ([ ] +\ ]  ([ ] W FRQVW +\ ]  ] O Ðèñ. 2.4 ðàâíûõ ôàç è ïëîñêîñòè ðàâíûõ àìïëèòóä ðàñïîëîæåíû ïîä óãëîì äðóã ê äðóãó. Òàêèå âîëíû, â ÷àñòíîñòè, âîçíèêàþò ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïëîñêèõ âîëí âáëèçè ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Îíè áóäóò ðàññìîòðåíû â äàëüíåéøåì. 2.6. Ïëîñêèå îäíîðîäíûå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäå ñ ïîòåðÿìè Ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ñðåäå ñ ïîòåðÿìè (äèññèïàöèåé ýíåðãèè). Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïîòåðè â ìàòåðèàëüíîé ñðåäå ìîæíî ó÷åñòü ïóòåì ââåäåíèÿ â îòíîñèòåëüíûå äèýëåêòðè÷åñêóþ è ìàãíèòíóþ ïðîíèöàåìîñòè ìíèìûõ ÷àñòåé: Hc  L Hcc  P Pc  L Pcc  H (2.6.1) Âîëíîâîå ÷èñëî äëÿ òàêîé ñðåäû òàêæå ñòàíîâèòñÿ êîìïëåêñíûì: N N c  L N cc  (2.6.2) Ñ ó÷¸òîì (2.4.12) êîìïëåêñíîå âîëíîâîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå: N r N r N _ H _ _ P _ H  LG H  LG ^ P ` _ H _ _ P _ FRV ª G  G P  º  L VLQ ª G  GP  º  ¬ ¼ ¬ ¼ (2.6.3) G Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ( ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü (ïðîòèâ) îñè OZ â ñðåäå ñ ïîòåðÿìè, èìååò âèä: G G G ( c  L N cc  (    N (2.6.4) G ] Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.6.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ïëîñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ: G G (2.6.5) (] [ ^$P H Ncc] H  L Nc]  %P H Ncc] H L Nc] `  Âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðîòèâîïîëîæíî áåãóùèõ âîëí îïðå- Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ äåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: G G ( ] W 5H >( ] H L ZW @ G [ ^ $ H  Ncc] FRV ZW  N c ]  M  % H Ncc] FRV ZW  N c ]  \ 97 ` (2.6.6) Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ðåøåíèå (2.6.6). Ïåðâîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò ïëîñêóþ çàòóõàþùóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè OZ. Ìíîæèòåëü $ H[S N cc ] íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäíûì, à FRV ZW  N c ]  M — ôàçîâûì. Àìïëèòóäà ýòîé âîëíû óìåíüøàåòñÿ ïî çàêîíó H[S N cc ] . Òàê êàê àìïëèòóäà óìåíüøàåòñÿ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû âäîëü îñè OZ, âîëíà ÿâëÿåòñÿ çàòóõàþùåé. Âòîðîå ñëàãàåìîå â ðåøåíèè (2.6.6) îïðåäåëÿåò ïëîñêóþ çàòóõàþùóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ ïðîòèâ îñè OZ. Òàêèì îáðàçîì, â ìàòåðèàëüíîé ñðåäå ñ äèññèïàöèåé ýíåðãèè ïëîñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû âñåãäà ÿâëÿþòñÿ çàòóõàþùèìè. Ðàññìîòðèì õàðàêòåðèñòèêè ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ñðåäå ñ ïîòåðÿìè. 1. Äëèíà âîëíû O ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ôàçû âîëíû íà S , îäíàêî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðèîäîì ïîëÿ îíà óæå íå ÿâëÿåòñÿ, êàê ýòî èìåëî ìåñòî äëÿ âîëí â îäíîðîäíûõ ñðåäàõ áåç ïîòåðü. 2. Ôàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ ïëîñêîé âîëíû — âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî âîëíîâîãî ÷èñëà, ïîêàçûâàåò èçìåíåíèå ôàçû âîëíû ïðè ïðîõîæäåíèè å¸ ôðîíòîì ðàññòîÿíèÿ z = 1ì (â ñèñòåìå ÑÈ). Ôàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì âîëíîâîãî ÷èñëà äëÿ ñðåäû áåç ïîòåðü è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Z S (2.6.7)  Y O  ëèòåðàòóðå ÷àñòî ôàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé ðàñïðîñòðàíåíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâàìè E èëè J . 3. Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ïëîñêîé âîëíû â ñðåäå ñ ïîòåðÿìè îïðåäåëÿåòñÿ êàê F  Y (2.6.8) 5H ^ H P ` 4. Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ D — ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî âîëíîâîãî ÷èñëà ( D { N cc ). Îí ïîêàçûâàåò óìåíüøåíèå àìïëèòóäû âîëíû ïðè ïðîõîæäåíèè åå ôðîíòîì ðàññòîÿíèÿ z = 1ì â ñðåäå ñ ïîòåðÿìè. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ: âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ D , îïðåäåëÿåò ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì àìïëèòóäà ïëîñêîé âîëíû óìåíüøàåòñÿ â e ðàç.  ýëåêòðîäèíàìèêå î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóþò ïàðàìåòð / N ccO (l — ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ôàçîâûì ôðîíòîì âîëíû), íàçûâàåìûé çàòóõàíèåì. Ïðè÷¸ì ñóùåñòâóþò äâà ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ óêàçàííîãî ïàðàìåòðà: 1. / N ccO [íåïåð]; NccO 2. /  OJ H |  N ccO [äÁ]. Nc Ðàññìîòðèì ñòðóêòóðó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïëîñêîé çàòóõàþùåé âîëíû. Èç ðåøåíèÿ (2.6.5) âûäåëèì ïëîñêóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè OZ: G G (2.6.9) (] [ $P H Ncc] H  L Nc]  98 ÃËÀÂÀ 2 Ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæ¸ííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ + \ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èç âûðàæåíèÿ (2.5.19), â êîòîðîì íåîáõîäèìî çàìåíèòü k íà N è P D íà PP : N N (2.6.10) +\ $P H  L N ] (  Z P P Z P P [ Ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì ñðåäû áåç ïîòåðü ââåäåì êîìïëåêñíîå âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû: ([ +\ = Z P P N = P  H (2.6.11) Ñ ó÷¸òîì (2.4.12) ôîðìóëó (2.6.11) äëÿ êîìïëåêñíîãî âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü â äðóãîì âèäå: = = P H § G  GP · _P _ ¸ H[S ¨¨ L _H _  ¸¹ © = P = _ P _ L M= H  _H _ (2.6.12) GG   ãäå M = Âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ñîñòàâëÿþùèõ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïëîñêîé çàòóõàþùåé âîëíû â îäíîðîäíîé ñðåäå çàïèñûâàþòñÿ êàê G G G G $ (] [ $P H  Ncc] H  LNc ]  + ] \ P H  Ncc] H  LNc ]  (2.6.13) = Ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæ¸ííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû â ñðåäå ñ ïîòåðÿìè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G G ( ] W 5H ^( ] H L ZW ` [ $ H Ncc] FRV ZW  N c ]  M  (2.6.14) G G G $  Ncc] H FRV ZW  N c ]  M  M =  + ] W 5H ^+ ] H L ZW ` \ = G G  îòëè÷èå îò íåçàòóõàþùåé ïëîñêîé âîëíû â ñðåäå ñ ïîòåðÿìè âåêòîðû ( è + ñäâèíóòû ìåæäó ñîáîé ïî ôàçå íà óãîë M = . Íà ðèñ. 2.5 ïðèâåäåíû ðàñïðåäåëåíèÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ïëîñêîé çàòóõàþùåé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû âäîëü êîîðäèíàòû z â íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè.  çàêëþ÷åíèå ðàçäåëà ïîëó÷èì ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé êîìïëåêñíîãî âîëíîâîãî ÷èñëà N è âûÿâèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëîñêèõ âîëí â äèýëåêòðèêàõ è ïðîâîäíèêàõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ñðåäå îòñóòñòâóþò ìàãíèòíûå ïîòåðè: P P H  òàêîé ñðåäå: N Nc  L Ncc Hc  L Hcc  Hcc V  HZ N HcP   L WJ G  Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé èìååì: Nc N Hc P N cc N Hc P      WJ G         WJ G   (2.6.15) Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ  $ ([ ] +\ ]  99 ([ ]  W FRQVW +\ ]  ] O Ðèñ. 2.5 Âûðàæåíèÿ (2.6.15) óäîáíî ðàññìîòðåòü â äâóõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ. 1. Äèýëåêòðèê ( WJ G   ).  ýòîì ñëó÷àå êîìïëåêñíîå âîëíîâîå ÷èñëî ìîæíî ðàçëîæèòü â ñòåïåííîé ðÿä ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó WJ G : ^ `  Hc P   L WJ G       Èç ðàçëîæåíèÿ (2.6.16) ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî WJ G V  ZHHc , ñëåäóåò: N | N (2.6.16) V = P N (2.6.17) N N cc | WJ G  Hc   Î÷åâèäíî, ÷òî ôàçîâûå ïîñòîÿííûå ïëîñêèõ âîëí â äèýëåêòðèêå ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò ñ âîëíîâûì ÷èñëîì äëÿ ñðåäû áåç ïîòåðü. Çàòóõàíèå âîëíû, îïðåäåëÿåìîå ïàðàìåòðîì N cc , òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíûì â ñèëó ìàëîñòè WJ G . Äðóãîé îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â äèýëåêòðèêå ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ îò ÷àñòîòû (íåò äèñïåðñèè). N c | N Hc P 2. Ïðîâîäíèêè ( WJ G !!  ).  ýòîì ñëó÷àå: WJ G   L  N N HcP  (2.6.18)  Èç âûðàæåíèÿ (2.6.18) íàõîäèì âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî âîëíîâîãî ÷èñëà: N | N  L WJ G N WJ G ZP D V (2.6.19)     ïðîâîäíèêàõ, êàê âèäíî èç ôîðìóëû (2.6.19), çàòóõàíèå ÿâëÿåòñÿ çíà÷èòåëüíûì âñëåäñòâèå áîëüøîé âåëè÷èíû óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòè V . Ïîñêîëüêó N c âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì V , òî çíà÷èòåëüíî óìåíüøàåòñÿ äëèíà âîëíû. Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.6.19) ñëåäóåò, ÷òî ôàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ çàâèñèò îò ÷àñòîòû ïî çàêîíó N c a Z ; G ýòî ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíèåì äèñïåðñèîííûõ ñâîéñòâ ïðîâîäÿùåé ñðåäû. G Âåêòîð + îòñòàåò îò âåêòîðà ( ïî ôàçå íà S   . Ïðè ïàäåíèè ïëîñêîé âîëíû íà ïîâåðõíîñòü ïðîâîäíèêà, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò êîîðäèíàòà ]  (âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè OZ), êàê ñëåäóåò èç N c | N cc | N 100 ÃËÀÂÀ 2 < = G G 6 N < G + G ( 2 = G 6 G N G + 2 G ( ; ; à) á) Ðèñ. 2.6 (2.6.9) è (2.6.19), ïîëå óáûâàåò â e ðàç íà ðàññòîÿíèè îò ïîâåðõíîñòè:  ] '  ZP D V Âåëè÷èíà ' — ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ ïîëÿ â ïðîâîäíèê, íàçûâàåìàÿ òîëùèíîé ñêèí-ñëîÿ; P D — àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïðîâîäíèêà. Òàêèì îáðàçîì, ïðîâîäÿùàÿ ñðåäà âñåãäà ÿâëÿåòñÿ äèñïåðãèðóþùåé, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ïðîèñõîäèò èñêàæåíèå åå ïðîôèëÿ, ïîñêîëüêó ôàçîâàÿ ñêîðîñòü è êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ ñïåêòðàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âîëíû ðàçíûå. 2.7. Ïîëÿðèçàöèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí G Ïîëÿðèçàöèÿ — ýòî íàïðàâëåíèå êîëåáàíèé âåêòîðà ( ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âîëíû â ïðîñòðàíñòâå. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ó êîòîðîãî â òî÷êå íàáëþäåíèÿ GP ïðîñòðàíñòâà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî óñòàíîâèòü íàïðàâëåíèå âåêòîðà ( , íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçîâàííûì. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ó êîòîðîãî íàïðàâëåíèå âåêG òîðà ( â òî÷êå P ìåíÿåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì, íàçûâàåòñÿ íåïîëÿðèçîâàííûì. G Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîëÿ è âåêòîð ( , íàçûâàþò ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàöèè. Åñëè ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â òî÷êå P íå ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, ïîëå èìååò ëèíåéíóþ ïîëÿðèçàöèþ. Åñëè æå ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè â òî÷êå P ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âðàùàåòñÿ, òî ïîëÿðèçàöèÿ íàçûâàåòñÿ âðàùàþùåéñÿ. 2.7.1. Ëèíåéíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû âûáåðåì äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ^; < =` òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îñü OZ ñîâïàäàëà ñ íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.  ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæ¸ííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû èìåþò âèä (ðèñ. 2.6à): Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ G ( G G [ $P H  LN ]  + 101 G $ \ P H  LN ]  = (2.7.1) G G G òî åñòü âåêòîðû ( è + êîëåáëþòñÿ â ïëîñêîñòè ^;2<` . Âåêòîð ( ëåæèò â ïëîñêîñòè {XOZ}, è ïîýòîìó G ãîâîðÿò, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ïîëÿðèçîâàíà â ïëîñêîñòè {XOZ}. Âåêòîð N íà ðèñ. 2.6à õàðàêòåðèçóåò íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Òàê êàê ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà âî âðåìåíè íå èçìåíÿåòñÿ, òàêîé òèï ïîëÿðèçàöèè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì. Ó äðóãîé ïëîñêîé âîëíû, ïîëÿðèçîâàííîé â ïëîñêîñòè ^<2=` è ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ òàêæå âäîëü îñè OZ (ðèñ. 2.6á), âåêòîðû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëÿ èìåþò âèä: G ( G G G % \ %P H  LN ]  +  [ P H  LN ]  (2.7.2) = G G G G Íàëè÷èå çíàêà «–» â âûðàæåíèè äëÿ + ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âåêòîðû (  +  6 äîëæíû îáðàçîâûâàòü ïðàâóþ òðîéêó. Ðàññìîòðèì ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ïëîñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ñ ëèíåéíûìè ïîëÿðèçàöèÿìè, ïîëÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (2.7.1) è (2.7.2): G G G G G (2.7.3) ( (  ( [ $P  \ %P H  LN ]  LM Ïóñòü íà÷àëüíûå ôàçû îáåèõ âîëí ñîâïàäàþò, òî åñòü $P $ H L M  %P % H . Òîãäà ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæ¸ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñóììàðíîé âîëíû ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G G [ $  \ % H Ncc] FRV ZW  N c ]  M ( ] W (2.7.4) G [c & H  Ncc] FRV ZW  N c ]  M  G ãäå [c G G [ FRV T  \ VLQ T WJ T %  $ & $  %   ðåçóëüòàòå ñóììàðíàÿ âîëíà áóäåò ïîëÿðèçîâàíà â ïëîñêîñòè ^ ; c2=` , ðàñïîëîæåííîé ïîä óãëîì T ê ïëîñêîñòè ^;2=` — ïëîñêîñòè ïîëÿðè< çàöèè ïåðâîé âîëíû (ðèñ. 2.7). Çàäàâàÿ ðàçëè÷íûå àìïëèòóäû ;c G âîëí A è B, ìîæíî ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå íàêëîíû ïëîñêîñòè (\ ( ïîëÿðèçàöèè ^ ; c2= ` . Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ äâóõ ïëîñêèõ âîëí, ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííûõ â ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ, îáëàäàþùèõ îäèíàêîâûìè ôàçàìè è ðàçëè÷íûìè àìïëèòóT ([ ; äàìè, ïîëó÷àåòñÿ òàêæå ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà ñ  ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàöèè, ïîâåðíóòîé íà íåêîòîðûé óãîë îòÐèñ. 2.7 íîñèòåëüíî ïëîñêîñòåé ïîëÿðèçàöèè èñõîäíûõ ïëîñêèõ âîëí. 2.7.2. Êðóãîâàÿ è ýëëèïòè÷åñêàÿ ïîëÿðèçàöèÿ âîëí. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ïëîñêèõ âîëí, ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííûõ â ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ, îáëàäàþùèõ îäèíàêîâûìè àìïëèòóäàìè è ðàçíîñòüþ íà÷àëüíûõ ôàç, 102 ÃËÀÂÀ 2 < ] Z < FRQVW G ( G N FRQVW ; ;  W G ( ZW  M = à) á) Ðèñ. 2.8 G S   . Ïóñòü âåêòîð ( âòîðîé âîëíû îòñòà¸ò ïî íà÷àëüíîé ôàçå îò âåêòîðàâíîé G ðà ( ïåðâîé âîëíû íà S   : G G ( [ $P H  LN ]  $P $ H L M  (2.7.5) G G ( \ %P H  LN ]  %P $ H L M  S    Íàéä¸ì èõ ñóïåðïîçèöèþ: G G G G G (2.7.6) ( (  ( [ $P  \ %P H  L N ]  Ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: G G G (2.7.7) ( ] W $ H Ncc] ^[ FRV ZW  N c ]  M  \ VLQ ZW  N c ]  M `  â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè. Óãîë Êîìïîíåíòû ( [ è ( \ íå îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè G c T ZW  N ]  M îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ âåêòîðà ( ïî îòíîøåíèþ ê îñè OX. Íàëè÷èå â G âûðàæåíèè äëÿ T ñëàãàåìîãî ZW ãîâîðèò î òîì, ÷òî âåêòîð ( âðàùàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé Z âîêðóã íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, à åãî êîíåö äâèæåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè G êðóãîâîãî öèëèíäðà, îñü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ îñüþ OZ. Âðàùåíèå âåêòîðà ( îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ, ñìîòðÿùåãî â íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü íàâñòðå÷ó âîëíå).  ìîG ìåíò âðåìåíè W FRQVW êîíåö âåêòîðà ( äâèæåòñÿ ïîGëåâîâèíòîâîé êðóãîâîé ñïèðàëè. Íà ðèñ. 2.8à ïîêàçàíà òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ âåêòîðà ( â ïëîñêîñòè ] FRQVW ; íà ðèñ. 2.8á ïðåäñòàâëåíî ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðèG ÷åñêîãî ïîëÿ ïðè W FRQVW . Âîëíà, ó êîòîðîé âåêòîð ( âðàùàåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ, ñìîòðÿùåãî â íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, íàçûâàåòñÿ âîëíîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèè ñ ëåâûì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ. G Åñëè âåêòîð (G âòîðîé ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííîé âîëíû îïåðåæàåò ïî íà÷àëüíîé ôàçå âåêòîð ( ïåðâîé âîëíû íà S   : G G ( [ $P H  LN ]  $P $ H L M  (2.7.8) G G ( \ %P H  LN ]  %P $ H L M  S    G òî ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ âåêòîðà ( ñóììàðíîé âîëíû áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæå- Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ íèåì: 103 G ( ] W G G (2.7.9) $ H Ncc] ^[ FRV ZW  N c ]  M  \ VLQ ZW  N c ]  M `  G Ó òàêîé âîëíû êîíåö âåêòîðà ( âðàùàåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè êðóãîâîãî öèëèíäðà ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ, ñìîòðÿùåãî â íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ âîëíîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèè ñ ïðàâûì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ.  ýëåêòðîäèíàìèêå ñóùåñòâóåò òåîðåìà, ñîãëàñíî êîòîðîé ëþáàÿ ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà íà ñóììó äâóõ âîëí êðóãîâûõ ïîëÿðèçàöèé ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè íàïðàâëåíèÿìè âðàùåíèÿ. Äàííîå óòâåðæäåíèå ìîæåò áûòü ëåãêî äîêàçàíî: G ( G [ $P H  LN $P  G G G $P G $ [  L \ H  LN ]  P [  L \ H  LN   G G G G $ [  H L S   \ H  LN ]  P [  H  L S   \ H  LN ]   ] ] Ïðè ñëîæåíèè äâóõ ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííûõ â ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ ïëîñêèõ âîëí ñ ðàçëè÷íûìè àìïëèòóäàìè è íà÷àëüíûìè ôàçàìè: G ( G ( G [ $P H  LN ]  G \ %P H  LN ]  $P $ HL M  %P % HL \  ïîëó÷àåòñÿ âîëíà ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè, êîíåö âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîòîðîé äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó. Ïðè ýòîì èçìåíÿåòG ñÿ íå òîëüêî íàïðàâëåíèå âåêòîðà ( â ïðîñòðàíñòâå, íî è åãî âåëè÷èíà (ðèñ. 2.9). Íàïðàâëåíèå âðàG ùåíèÿ âåêòîðà ( ìîæåò áûòü êàê ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (ëåâîå íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ), òàê è ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ïðàâîå íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ) îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ, ñìîòðÿùåãî â íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Âîëíó ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè ïîìîùè äâóõ ýëåìåíòàðíûõ èçëó÷àòåëåé, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî äðóã ê äðóãó è çàïèòàíû ñèíôàçíî. (2.7.10) < ] FRQVW G ( W  ; Ðèñ. 2.9 2.7.3. Âåðòèêàëüíàÿ è ãîðèçîíòàëüíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ.  çàêëþ÷åíèå ðàçäåëà ïðèâåä¸ì åù¸ äâà îáùåïðèíÿòûõ îïðåäåëåíèÿ òèïà ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè G ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. Åñëè âåêòîð ( èçìåíÿåòñÿ â ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé çåìíîé ïîâåðõíîñòè, òàêàÿ ïîëÿðèçàöèÿ íîñèò íàçâàíèå ãîðèçîíòàëüíîé. Åñëè æå âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èçìåíÿåòñÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé çåìíîé ïîâåðõíîñòè, òî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî âîëíà îáëàäàåò âåðòèêàëüíîé ïîëÿðèçàöèåé. 104 ÃËÀÂÀ 2 ; ; G ( G ( G + G 6 G 6 = < G + = < Ðèñ. 2.10 2.8. Ñòîÿ÷àÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà Ðàññìîòðèì äâå ïëîñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû îäíîé è òîé æå ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ (ðèñ. 2.10). G G Êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû (L  +L L   ýòèõ âîëí ñ ó÷¸òîì (2.6.13) ïðåäñòàâèì â ñëåäóþùåì âèäå: G G G G $ ( [ $P H  LN ]  + \ P H  LN ]  = (2.8.1) G G G G %P LN ] LN ] ( [ %P H  +  \ H  = ãäå $P  %P — àìïëèòóäû ïåðâîé è âòîðîé âîëí ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëàãàåì, ÷òî ïëîñêèå âîëíû îáëàäàþò îäèíàêîâûìè àìïëèòóäàìè ( $ ðàçëè÷íûìè íà÷àëüíûìè ôàçàìè ( M z \ ): $P $ H L M  %P $ HL \  (2.8.2) Íàéäåì ñóïåðïîçèöèþ ýòèõ âîëí: G G G G ( (  ( [ $P H  LN ]  %P H LN ] G [ $ H LM H  LN ]  H L\ H LN ] G [ $ H L G + M \   G G +  + (2.8.3) M\· § FRV ¨ N ]  ¸  ¹ © G \ $P H  LN = ]  %P H LN %) è ] G \ $ H LM H  LN ]  H L\ H LN ] = G \ M\· §   $ L H L M  \   VLQ ¨ N ]  ¸ =  ¹ © (2.8.4) Äëÿ óïðîùåíèÿ âûðàæåíèé (2.8.3) è (2.8.4) ñäåëàåì íåêîòîðûå äîïóùåíèÿ. Âîïåðâûõ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ñðåäå áåç ïîòåðü ( N N ). Âî-âòîðûõ, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëüíûå ôàçû âîëí ðàâíû íóëþ ( M \  ).  Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ ([ ] $ 105 W W FRQVW ] W O +\ ] $ = W ] W Ðèñ. 2.11 G G ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèÿ äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé âåêòîðîâ ( è + ïðèíèìàþò âèä: G G ( ] W [ $ FRV N] FRV ZW  (2.8.5) G G $ + ] W \ VLQ N] VLQ ZW  = PD  HD  ãäå = Çàìåòèì, ÷òî â âûðàæåíèÿõ (2.8.5) îòñóòñòâóåò ôàçîâûé ìíîæèòåëü âèäà FRV Z W B N] , îòâå÷àþùèé çà ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí âäîëü (ïðîòèâ) êîîðäèíàòû z. Ñëåäîâàòåëüíî, âîëíà, ïîëå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèÿìè (2.8.5), íå ÿâëÿåòñÿ áåãóùåé. G Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæèòåëü Acos(kz) îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû ïîëÿ ( âîëíû âäîëüG êîîðäèíàòû z. Èç (2.8.5) òàêæå ñëåäóåò, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ðàñïðåäåëåíèå ( ] ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ, êîîðäèíàòû íóëåé è ìàêñèìóìîâ êîòîðîé ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íå èçìåíÿþòñÿ (ðèñ. 2.11). Òàêîé ýëåêòðîìàãíèòíûé ïðîöåññ â òåîðèè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ ïîëó÷èë íàçâàíèå ñòîÿ÷åé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Íóëè â ðàñïðåäåëåíèè ïîëÿ íàçûâàþòñÿ óçëàìè ñòîÿ÷åé âîëíû, à ìàêñèìóìû — ïó÷íîñòÿìè.  êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîé ñóùåñòâóåò ñòîÿ÷àÿ âîëíà, âî âðåìåíè ïðîèñõîäèò ãàðìîíè÷åñêèé ïðîöåññ. Ïðîñòðàíñòâåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé ñòîÿ÷åé âîëíû ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà l/4, à ðàçíîñòü ôàç ïîëåé — p/2. Ïîýòîìó ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñòîÿ÷åé âîëíû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñòî ðåàêòèâíûé ïðîöåññ áåç ïåðåíîñà â ñðåäíåì çà ïåðèîä êîëåáàíèé ýíåðãèè. Íà ðèñ. 2.11 ïðèâåäåíû ïðîñòðàíñòâåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ñòîÿ÷åé âîëíû â ñðåäå áåç ïîòåðü â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè. 106 ÃËÀÂÀ 2 = ãðàíèöà ðàçäåëà T ñðåäà 2 T  H   P   V ; Tc H  P  V ñðåäà 1 Ðèñ. 2.12 2.9. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ïàäåíèè ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ ñðåä, îáëàäàþùèõ ðàçëè÷íûìè ìàòåðèàëüíûìè ïàðàìåòðàìè H L  P L  V L L   . Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â âèäå îäíîé ïëîñêîé îäíîðîäíîé âîëíû íå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è, òàê êàê íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà â êàæäîì èç äâóõ ïîëóïðîñòðàíñòâ, äîëæíû òàêæå óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä. 2.9.1. Çàêîíû îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ. Åñëè íà ãðàíèöó äâóõ îäíîðîäíûõ ñðåä ñ ðàçíûìè ôèçè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ïàäàåò ïëîñêàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà, îíà ðàçäåëÿåòñÿ íà äâå âîëíû: ïðîõîäÿùóþ âî âòîðóþ ñðåäó (ïðåëîìëåííóþ) è îòðàæåííóþ. Ñóùåñòâîâàíèå äâóõ âîëí âûòåêàåò èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, òàê êàê ëåãêî âèäåòü, ÷òî èõ íåâîçìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè íå ïîñòóëèðîâàòü íàëè÷èÿ êàê ïðîõîäÿùåé, òàê è îòðàæåííîé âîëí. Ïóñòü ãðàíèöà ðàçäåëà ìåæäó äâóìÿ ïîëóáåñêîíå÷íûìè îäíîðîäíûìè ñðåäàìè ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ ]  äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ñðåäû, ðàñïîëîæåííûå ñíèçó ( ]   ) è ñâåðõó ] !  îò ãðàíèöû ]  , õàðàêòåðèçóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ìàòåðèàëüíûìè ïàðàìåòðàìè H  P  V è H   P   V . Ïóñòü íà ýòó ãðàíèöó âîëíà èç ïåðâîé ñðåäû ïàäàåò ïîä óãëîì T ê îñè OZ ïëîñêàÿ G ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ G (ðèñ. 2.12) ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé Z è âîëíîâûì âåêòîðîì N N P  ( N Z H DP D  G P — åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ôðîíòó ïàäàþùåé âîëíû). Ïëîñêîñòü ïàäåíèÿ, G ñîäåðæàùóþ âåêòîð N è îñü OZ, ñîâìåñòèì ñ ïëîñêîñòüþ G XOZ. G N P , ïðåëîìëåíÎáîçíà÷èì âåêòîð îòðàæåííîé âîëíû ÷åðåç N G âîëíîâîé G G G íîé ÷åðåç N N P , ãäå P  P — åäèíè÷íûå âåêòîðû, îïðåäåëÿþùèå íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí; N Z H DP D . ×åðåç G G G T  T  T îáîçíà÷èì óãëû, êîòîðûå âåêòîðû P  P  P îáðàçóþò ñ îñüþ OZ (ðèñ. 2.12). Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 107 Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ïàäàþùåé, îòðàæ¸ííîé è ïðîøåäøåé âîëí. Äëÿ ïàäàþùåé âîëíû: G G G G ( ( H[S >  LN P  U @  (2.9.1) G G G > P  u ( @ G G H[S>  L N P  U @  + = äëÿ îòðàæåííîé âîëíû: G G G G ( ( H[S>  LN P  U @  G G (2.9.2) G G G >P u ( @ + H[S>  LN P  U @  = äëÿ ïðåëîìëåííîé âîëíû: G G G G ( ( H[S>  LN P  U @  G G (2.9.3) G G G >P u ( @ + H[S>  LN P  U @  = G Çäåñü U ^ [  ] ` — ðàäèóñ-âåêòîð, îïèñûâàþùèé ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû ñîïðîòèâëåíèå âîëí â ïëîñêîñòè G XOZ; =L = P L  H L — õàðàêòåðèñòè÷åñêîå G G i-ñðåäû L  ; ( — àìïëèòóäà ïàäàþùåé âîëíû; ( è ( — íåèçâåñòíûå àìïëèòóäû îòðàæ¸ííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí ñîîòâåòñòâåííî. ê òðåáîâàíèþ Ïðè ]  äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ñâîäÿùèåñÿ G G íåïðåðûâíîñòè òàíãåíöèàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ( è + ñóììàðíîãî ïîëÿ: G G G G G G ( ( W  + + W  W  ( W W  + W G G Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ]  íåèçâåñòíûå àìïëèòóäû ( è ( äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì: G G G G G G G G G > ]G ( @HLN PU  > ]G (@HLN PU > ]G ( @HLN PU  (2.9.4) G G G G G G G G G > ]G >PG  ( @@ HLN PU  > ]G >PG  (@@ HLN PU == > ]G >PG  ( @@ HLN PU   Ïîñêîëüêó ðàâåíñòâà (2.9.4) äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé [ è \ íà ãðàíèöå ]  òî ìîæíî ïðèðàâíÿòü ôàçîâûå ìíîæèòåëè: G G G G G G N P  U N P  U N P  U  Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî (ñì. ðèñ. 2.12) G G P ^ VLQT   FRVT`  P G ^ VLQT   FRVT`  P ^ VLQT  FRVT`  èìååì N VLQ T N VLQ T (2.9.5) N VLQ T  Åñëè âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ èç ïåðâîé ñðåäû âî âòîðóþ: P ] FRV T t  P] FRV T d  P] FRV T t  108 ÃËÀÂÀ 2 Q ! Q Q T  Q ! Q Q ! Q T  T  T  T  T ! T à) á) â) Ðèñ. 2.13 Èç ñîîòíîøåíèé (2.9.5) ñëåäóþò çàêîí îòðàæåíèÿ äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû îò ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåä Tc S  T (2.9.6) T è çàêîí Ñíåëëèóñà: VLQ T N Y  (2.9.7) VLQ T N Y ãäå Y — ôàçîâûå ñêîðîñòè âîëí â ïåðâîé è âòîðîé ñðåäàõ. Ôîðìóëèðîâêà çàêîíà Ñíåëëèóñà: ïðè ïàäåíèè ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà ïëîñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ èçîòðîïíûõ ñðåä ñèíóñû óãëîâ ïàäåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ îòíîñÿòñÿ êàê ôàçîâûå ñêîðîñòè ïëîñêèõ âîëí â ñîîòâåòñòâóþùèõ (íåïîãëîùàþùèõ) ñðåäàõ. Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå (2.9.7) ïîäðîáíåå. Òàê êàê N Z H DP D , ìîæíî çàïèñàòü: VLQ T VLQ T H P H P Q  Q ãäå Q H P — îòíîñèòåëüíûå ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ïåðâîé è âòîðîé ñðåä ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè N ! N (òî åñòü Q ! Q ), ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïåðâàÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ «îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäîé», ÷åì âòîðàÿ. Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.9.7) ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå óãîë ïðåëîìëåíèÿ áîëüøå óãëà ïàäåíèÿ ( T ! T ) (ðèñ. 2.13à). Ïîýòîìó ïðè íåêîòîðîì îñòðîì óãëå T T îêàæåòñÿ, ÷òî óãîë ïðåëîìëåíèÿ T — ïðÿìîé è ëó÷ âî âòîðîé ñðåäå íàïðàâëåí âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà (ðèñ. 2.13á). Ñîãëàñíî (2.9.7), óñëîâèåì âîçíèêíîâåíèÿ òàêîé ñèòóàöèè ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî ( T S   ): Q VLQ T  Q Åñëè òåïåðü óâåëè÷èòü óãîë ïàäåíèÿ T ! T , òî ïðèä¸ì ê íåðàâåíñòâó Q  Q VLQ T !  , ïðè êîòîðîì âåùåñòâåííûå óãëû ïðåëîìëåíèÿ T îòñóòñòâóþò, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïðåëîìëåííîé âîëíû íå áóäåò.  ýòîì ñëó÷àå ïàäàþùàÿ âîëíà áóäåò ïîðîæäàòü òîëüêî îòðàæ¸ííóþ (ðèñ. 2.13â) è ïîëå, ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùåå âî âòîðîé ñðåäå â íàïðàâëåíèè OZ è ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ â ýòîé Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 109 ñðåäå âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà. Äàííîå ÿâëåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ îò íåïîãëîùàþùåé ñðåäû. Ïðè ýòîì, íàïðèìåð, êîìïîíåíòà ([ ïðîøåäøåãî ïîëÿ áóäåò èìåòü êîîðäèíàòíóþ çàâèñèìîñòü: ([ ( FRV T H L Z HP VLQ T [ F  Z H F HP  Q VLQ T  ]  ãäå F   HP  Q Q  Q  èç êîòîðîé âèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ ïîëÿ âî âòîðîé ñðåäå â íàïðàâëåíèè îñè OZ âû÷èñëÿåòñÿ êàê Z  HP Q VLQ T    F à ïîñòîÿííàÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîëÿ âî âòîðîé ñðåäå âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà: D Z HP VLQ T . F Ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîëÿ âî âòîðîé ñðåäå âäîëü îñè OX áóäåò: N[ F  HP VLQ T Ïðè óñëîâèè Q VLQ T   âîëíà âî âòîðîé ñðåäå îêàçûâàåòñÿ çàìåäëåííîé. Ðàññìîòðèì òåïåðü äðóãîé ñëó÷àé. Ïóñòü âòîðàÿ ñðåäà çíà÷èòåëüíî îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíàÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîé, òî åñòü Q !! Q (èëè N !! N ).  ýòîì ñëó÷àå èç ñîîòíîøåíèÿ (2.9.7) ñëåäóåò, ÷òî íåçàâèñèìî îò âåëè÷èíû óãëà ïàäåíèÿ T óãîë ïðåëîìëåíèÿ T o  , òî åñòü ïðè ëþáîì óãëå ïàäåíèÿ íà ñðåäó ñ áîëüøèì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n, ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà âõîäèò â íå¸ ïî÷òè ïî íîðìàëè. Y[ 2.9.2. Ïðåëîìëåíèå âîëí ïðè íàëè÷èè ïîãëîùåíèÿ â ñðåäå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà âòîðàÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ ïîãëîùàþùåé ( N Nc  LNcc ).  ýòîì ñëó÷àå çàêîí Ñíåëëèóñà (2.9.7) íåîáõîäèìî ïåðåïèñàòü â êîìïëåêñíîì âèäå: N VLQ T VLQ T  Nc  LNcc Ðåàëüíî óãîë ïàäåíèÿ ìîæåò áûòü òîëüêî âåùåñòâåííûì è ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ â ïðåäåëàõ  y S   (  d VLQ T d  ). Îäíàêî, òàê êàê ïðàâàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ, èíòåðïðåòèðóþùåãî çàêîí Ñíåëëèóñà ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé, òî âåëè÷èíà, îáîçíà÷åííàÿ êàê VLQ T òàêæå áóäåò êîìïëåêñíîé. G Êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà ïîëÿ ( ïðåëîìëåííîé âîëíû, èñõîäÿ èç (2.9.3), îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì: G G (2.9.8) ( ( H  L N [ VLQ T  ] FRV T  Òàê êàê âåëè÷èíà N VLQ T ÿâëÿåòñÿ âñåãäà âåùåñòâåííîé, òî ïðîèçâåäåíèå N[ N VLQ T òàêæå äîëæíî áûòü âåùåñòâåííûì. Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç çàêîíà Ñíåëëèóñà (2.9.7). Âìåñòå ñ òåì âåëè÷èíà N FRV T N   VLQ T N  N VLQ T ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé è ïðåäñòàâèìà â âèäå N FRV T N]  L D , ãäå N]  D — âåùå- 110 ÃËÀÂÀ 2 = ] N [ [  N] ] T ñðåäà 2 FRQVW FRQVW T T ; ñðåäà 1 T Ðèñ. 2.14 ñòâåííûå ôóíêöèè. Ïîýòîìó âûðàæåíèå (2.9.8) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå: G (2.9.9) ( (H  D ] H  L N[ [  N] ]  Òàê êàê ïàðàìåòð D !  , âûðàæåíèå (2.9.9) îïèñûâàåò ïîëå, çàòóõàþùåå âäîëü êîîðäèíàòû z. Ïîýòîìó ïîâåðõíîñòè ðàâíûõ àìïëèòóä ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû âî âòîðîé (ïîãëîùàþùåé) ñðåäå áóäóò îïèñûâàòüñÿ óðàâíåíèåì ] FRQVW  Âåëè÷èíà N [ [  N] ] â ôàçîâîì ìíîæèòåëå H[S ^  L N[ [  N] ] ` âûðàæåíèÿ (2.9.9) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôàçó ïðîøåäøåé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, ïîýòîìó ðàâåíñòâî N [ [  N] ] FRQVW ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå ïëîñêîñòåé ðàâíûõ ôàç. Î÷åâèäíî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ïëîñêîñòè ðàâíûõ àìïëèòóä è ôàç íå ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé, à îðèåíòèðîâàíû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà ïîä óãëîì T (ðèñ. 2.14). Ïîâåðõíîñòü ðàâíûõ ôàç ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôðîíò âîëíû. Ñëåäîâàòåëüíî, â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ âîëíîâîãî ôðîíòà âîëíà áóäåò èìåòü ðàçëè÷íûå àìïëèòóäû. Ïëîñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, äëÿ êîòîðûõ ïîâåðõíîñòè ðàâíûõ ôàç è àìïëèòóä íå ñîâïàäàþò, íàçûâàþò íåîäíîðîäíûìè. Óãîë T ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ðàâíûõ ôàç è àìïëèòóä â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì: WJ T N[ N] N VLQ T 5H ^ N  N VLQ  T `  Î÷åâèäíî, ÷òî T ÿâëÿåòñÿ òàêæå èñòèííûì óãëîì ïðåëîìëåíèÿ. 2.9.3. Ôîðìóëû Ôðåíåëÿ è ñòðóêòóðà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí íåîáõîäèìî îáðàòèòüñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé (2.9.4), ïîëó÷åííîé èç çàïèñè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ ïàäåíèÿ ïëîñêèõ ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí, ïîñêîëüêó íà êîG íå÷íûé ðåçóëüòàò áîëüøîå âëèÿíèå îêàçûâàåò îðèåíòàöèÿ âåêòîðà ( ïàäàþùåé Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 111 âîëíû — ëåæèò ëè îí â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ âîëíû èëè æå ïåðïåíäèêóëÿðåí äàííîé ïëîñêîñòè, òî åñòü ëåæèò â ïëîñêîñòè ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè ïðîöåññîâ íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä âûäåëÿþò äâà òèïà ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè âîëí: 1. H-ïîëÿðèçàöèÿ (ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ). Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ è, ñîîòâåòñòâåííî, ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè ðàçäåëà ñðåä, èìååò òîëüêî ñîñòàâëÿþùóþ ( \ (ðèñ. 2.12). Ìàãíèòíîå ïîëå ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ è èìååò ñîñòàâëÿþùèå + [ è +] .  îïòèêå òàêóþ ïîëÿðèçàöèþ íàçûâàþò S-ïîëÿðèçàöèåé. 2. E-ïîëÿðèçàöèÿ (ïàðàëëåëüíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ). Ìàãíèòíîå ïîëå ïàäàþùåé âîëíû ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàëëåëüíî ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä, èìååò òîëüêî ñîñòàâëÿþùóþ + \ (ðèñ. 2.12). Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ è èìååò ñîñòàâëÿþùèå ( [ è ( ] .  îïòèêå òàêóþ ïîëÿðèçàöèþ íàçûâàþò P-ïîëÿðèçàöèåé. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä äëÿ âîëíû ñ ïðîèçâîëüíîé ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèåé ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê ðåçóëüòàò ñóïåðïîçèöèè äâóõ âîëí óêàçàííûõ ïîëÿðèçàöèé. Ïàäåíèå âîëíû H-ïîëÿðèçàöèè. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïàäåíèå ïëîñêîé âîëíû H-ïîëÿðèçàöèè.  ýòîì ñëó÷àå, êàê îòìå÷åíî âûøå, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå èìååò òîëüêî ñîñòàâëÿþùóþ ( \ , à ìàãíèòíîå — + [ è +] . Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëåé âñåõ âîëí. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ïàäàþùåé âîëíû: G G ( \ ( H  L N [ VLQ T  ] FRV T  G ( G G + [ FRV T  ] VLQ T H  L N [ VLQ T  ] FRV T  = Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ïðåëîìëåííîé âîëíû: G ( G + Ýëåêòðîìàãíèòíîå G ( G + G \ ( H  L N [ VLQ T  ] FRV T  G ( G [ FRV T  ] VLQ T H  L N [ VLQ T  ] FRV T  = ïîëå îòðàæ¸ííîé âîëíû: G \ ( H  L N [ VLQ T  ] FRV T  G ( G   [ FRV T  ] VLQ T H  L N [ VLQ T  ] FRV T  = Ïîòðåáóåì, ÷òîáû íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñG òè G êàñàòåëüíûõ ê ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä (òàíãåíöèàëüíûõ) êîìïîíåíò âåêòîðîâ ( è + .  äàííîì ñëó÷àå òàêèìè êîìïîíåíòàìè ÿâëÿþòñÿ ( \ è + [ . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè z = 0 èìåþò âèä: 112 ÃËÀÂÀ 2 (\  (\ (\  +[  +[ +[  Ïîäñòàâëÿÿ â ýòè óñëîâèÿ ñîñòàâëÿþùèå ïîëåé, ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ àìïëèòóä ( è ( (àìïëèòóäà ïàäàþùåé âîëíû ( ñ÷èòàåòñÿ çàäàííîé): (  ( (   ( FRV T  ( FRV T = (2.9.10)  ( FRV T  = Ðåøàÿ ñèñòåìó (2.9.10), íàõîäèì êîýôôèöèåíòû Ôðåíåëÿ U A è W A , ñâÿçûâàþùèå àìïëèòóäû îòðàæåííîé è ïðîøåäøåé âîëí ñ àìïëèòóäîé ïàäàþùåé âîëíû: UA ( ( WA ( ( = FRV T  = FRV T = FRV T  = FRV T = FRV T = FRV T  = FRV T U A H L MA  WA H L MA (2.9.11)  îòðàæåíèÿ U A è ïðîõîæäåíèÿ W A óêàçûâàÍèæíèé èíäåêñ « A » ó êîýôôèöèåíòîâ G åò íà òî, ÷òî ïàäàþùåå ïîëå ( ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ (ïëîñêîñòè XOZ). Ïàäåíèå âîëíû E-ïîëÿðèçàöèè.  ñëó÷àå E-ïîëÿðèçàöèè, êàê îòìå÷åíî âûøå, ïîëå èìååò ñîñòàâëÿþùèå + \ , ( [ è (] . Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëÿ â äàííîì ñëó÷àå. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ïàäàþùåé âîëíû: G G G ( ( [ FRV T  ] VLQ T H LN [ VLQ T  ] FRV T  G G (  \  H  LN [ VLQ T  ] FRV T  + = Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ïðåëîìëåííîé âîëíû: G G G ( ( [ FRV T  ] VLQ T H  LN [ VLQ T  ] FRV T  G G (  \  H  LN [ VLQ T  ] FRV T  + = Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå îòðàæ¸ííîé âîëíû: G G G (  ( [ FRV T  ] VLQ T H  LN [ VLQ T  ] FRV T  G G ( +  \  H  LN [ VLQ T  ] FRV T  = Âîñïîëüçîâàâøèñü ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïðè z = 0: ([  ([ ([  +\  +\ +\  Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 113 ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ àìïëèòóä ( è ( : (  ( FRV T = (  ( ( FRV T  = (   ñëó÷àå E-ïîëÿðèçàöèè ðàñ÷¸ò êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ U_ _ è ïðîõîæäåíèÿ G W_ _ öåëåñîîáðàçíî ïðîâîäèòü ÷åðåç âåêòîð + , îïðåäåëÿÿ èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì: U_ _ +\ ]   W_ _ +\ ]  ( =  ( = ]  G ãäå íèæíèé èíäåêñ «| | » óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ïîëå ( ïàäàþùåé âîëíû ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ (ïëîñêîñòè XOZ). Êîýôôèöèåíòû Ôðåíåëÿ, ñâÿçûâàþùèå àìïëèòóäû îòðàæåííîé è ïðîøåäøåé âîëí ñ àìïëèòóäîé ïàäàþùåé âîëíû, íàéäåííûå èç ïðèâåä¸ííîé âûøå ñèñòåìû óðàâíåíèé, çàïèñûâàþòñÿ êàê: +\ ]  (  ( +\ U_ _ = FRV T  = FRV T   = FRV T  = FRV T W_ _ = FRV T = FRV T  = FRV T _ U __ _ H _ W __ _ H LM _ _ LM _ _   (2.9.12) Ñîîòíîøåíèÿ (2.9.11) è (2.9.12) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Ôðåíåëÿ. Çàïèøåì èõ äëÿ ñëó÷àÿ íåìàãíèòíûõ ñðåä P P   . Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå VLQ T VLQ T H H =  = WA  VLQ T FRV T  VLQ T  T òî UA U __  VLQ T  T  VLQ T  T WJ T  T  WJ T  T W __  VLQ T FRV T  VLQ T  T FRV T  T (2.9.13) (2.9.14) Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ñðåäàõ 1 è 2 (ñì. ðèñ. 2.12) îòñóòñòâóþò ïîòåðè, òî åñòü ïðîíèöàåìîñòè ñðåä H è H  — ÷èñòî äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíû.  ýòîì ñëó÷àå óãëû T è T — âåùåñòâåííû (ñëó÷àé ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ ïîêà èñêëþ÷àåì) è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, ñòîÿùèå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë (2.9.13) è (2.9.14), òàêæå âåùåñòâåííû. Ñëåäîâàòåëüíî, ôàçà êàæäîé èç êîìïîíåíò ïîëÿ îòðàæåííîé è ïðîøåäøåé âîëí ëèáî ðàâíà ôàçå ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòû ïàäàþùåé âîëíû, ëèáî îòëè÷àåòñÿ îò íå¸ íà S . Òàê êàê çíàêè êîýôôèöèåíòîâ W A è W_ _ ñîîòâåòñòâåííî ñîâïàäàþò ñî çíàêàìè ( è + , òî ôàçû ïðåëîìëåííûõ âîëí ðàâíû ôàçàì ïàäàþùèõ âîëí. Äëÿ îòðàæåííîé âîëíû ôàçà áóäåò çàâèñåòü îò îòíîøåíèÿ T è T . Åñëè îïòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü âòîðîé ñðåäû áîëüøå, ÷åì ïåðâîé ( H  ! H ), òî T  T . Ïîýòîìó, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (2.9.13), U A   è ôàçû îòðàæ¸ííîé è ïðîøåäøåé âîëí îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà S . Ïðè òåõ æå îáñòîÿòåëüñòâàõ çíà÷åíèå WJ T  T â U_ _ ïîëîæèòåëüíî, íî çíàìåíàòåëü WJ T  T ïðè T  T ! S   ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì.  ýòîì ñëó÷àå ôàçû + è + îòëè÷àþò- 114 ÃËÀÂÀ 2 _ UA _ MA _ U _ __ MA _ UA _ M_ _ U S      T S S S _U__ _ M_ _ T  à) M __ T S á) Ðèñ. 2.15 ñÿ äðóã îò äðóãà íà S . Àíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå ìîæíî ïðîâåñòè äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âòîðàÿ ñðåäà îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíàÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîé. Äëÿ íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ T  è èç çàêîíà Ñíåëëèóñà ñëåäóåò, ÷òî T  . Òîãäà ñîîòíîøåíèÿ (2.9.11) è (2.9.12) ïðèíèìàþò áîëåå ïðîñòîé âèä: UA =  = =  WA  =  = =  = U _ _  UA  W _ _ WA  (2.9.15) (2.9.16) 2.9.4. Ïîëÿðèçàöèÿ âîëí ïðè îòðàæåíèè è ïðåëîìëåíèè. Óãîë Áðþñòåðà. Ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ Ôðåíåëÿ (2.9.13) è (2.9.14) îò ïàðàìåòðîâ ñðåä. Ïîâåäåíèå êîýôôèöèåíòà U A äëÿ âîëíû H-ïîëÿðèçàöèè íå èìååò êàêèõ-ëèáî îñîáåííîñòåé.  ÷àñòíîñòè, îáðàùåíèå U A â íóëü âîçìîæíî ëèøü ïðè îäèíàêîâûõ H è H  , êîãäà îòðàæåíèå èñ÷åçàåò åñòåñòâåííûì îáðàçîì âìåñòå ñ èñ÷åçíîâåíèåì ãðàíèöû ðàçäåëà. Êîýôôèöèåíò U _ _ äëÿ E-ïîëÿðèçîâàííîé âîëíû îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè T  T S   . Óãîë T , êàê ëåãêî âèäåòü, â ýòîì ñëó÷àå ( P P  ) îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà H  (2.9.17) H Óãîë T T , îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì (2.9.17), íàçûâàåòñÿ óãëîì Áðþñòåðà, èëè óãëîì ïîëíîé ïîëÿðèçàöèè. Âòîðîå íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè ïàäåíèè ïðîèçâîëüíî ïîëÿðèçîâàííîé âîëíû íà ãðàíèöó ïîä óãëîì T îòðàæåííàÿ âîëíà îêàçûâàåòñÿ H-ïîëÿðèçîâàííîé. Ïðè èçìåíåíèè óãëà ïàäåíèÿ â èíòåðâàëå  d T  d T ìîäóëü U _ _ óáûâàåò îò âåëè÷èíû WJ T U_ _ UA H  H  H H U (2.9.18) ïðè T  äî íóëÿ ïðè T T ; ïðè èçìåíåíèè T îò T äî S   êîýôôèöèåíò U_ _ âûðàñòàåò îò 0 äî 1. Ôàçà êîýôôèöèåíòà U _ _ ïðè  d T d T ðàâíà íóëþ; ïðè T d T d S   îíà ðàâíà S , òî åñòü èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì ïðè ïåðåõîäå T ÷åðåç óãîë Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 115 T . Ñäâèã ôàçû êîýôôèöèåíòà U A äëÿ âîëíû ñ ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïîëÿðèçàöèåé ðàâåí S . Íà ðèñ. 2.15 ïðèâåäåíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé ìîäóëåé è ôàç êîýôôèöèåíòîâ Ôðåíåëÿ îò óãëà ïàäåíèÿ äëÿ äâóõ ïîëÿðèçàöèé âîëíû ïðè èçìåíåíèè óãëà ïàäåíèÿ T îò 0 äî S   . 2.10. Ïàäåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà ïëîñêóþ ïðîâîäÿùóþ ñðåäó Ðàññìîòðèì îòðàæåíèå è ïðåëîìëåíèå ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà ãðàíèöå ðàçäåëà «äèýëåêòðèê-ïðîâîäíèê», èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.14. Ïóñòü íà ãðàíèöó ðàçäåëà èç ïåðâîé ñðåäû ïàäàåò ïëîñêàÿ âîëíà ïîä óãëîì T ê îñè OZ. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü ÷òî ïåðâàÿ ñðåäà — âîçäóõ, òî åñòü P H  V   Ñâîéñòâà âòîðîé ñðåäû (ïðîâîäíèêà) áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü íåêîòîðîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ H  è óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòüþ V  Ïîëîæèì P   , ÷òî ñïðàâåäëèâî äëÿ áîëüøèíñòâà ìåòàëëîâ. Êàê èçâåñòíî, äëÿ ïðîâîäíèêà âñëåäñòâèå ïîòåðü, âûçûâàåìûõ ïðîâîäèìîñòüþ V , ïðè ðàññìîòðåíèè ãàðìîíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ââîäÿò îòíîñèòåëüíóþ êîìïëåêñíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü: LV H  Hc    (2.10.1) ZH  ýòîì ñëó÷àå âîëíîâîå ÷èñëî â ïðîâîäíèêå áóäåò êîìïëåêñíûì: N N H N Hc  L V ZH  Nc  L Ncc  (2.10.2) Ñ ó÷¸òîì ï. 2.9.2, âîëíà â ïðîâîäíèêå (ïðåëîìëåííàÿ) ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé íåîäíîðîäíîé âîëíîé. 2.10.1. Ïðèáëèæåííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ Ùóêèíà-Ëåîíòîâè÷à. Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå äëÿ ïðîâîäÿùåé ñðåäû âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå V  ZH  !!  . Ïîýòîìó ïðè ïàäåíèè ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû èç âîçäóõà íà ïðîâîäíèê, îïòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü êîòîðîãî âî ìíîãî ðàç áîëüøå îïòè÷åñêîé ïëîòíîñòè âîçäóõà, âíå çàâèñèìîñòè îò óãëà ïàäåíèÿ T âîëíû ïðåëîìëåííàÿ âîëíà áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ôàêòè÷åñêè ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè ïðîâîäèíèêà ( T o  ). Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòåé ðàâíûõ ôàç â ïðîâîäíèêå ìîæíî áðàòü ïëîñêîñòè ] FRQVW , êîòîðûå áóäóò ñîâïàäàòü ñ ïîâåðõíîñòÿìè ðàâíûõ àìïëèòóä. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáûå ïîëÿ â ïåðâîé ñðåäå (âîçäóõå) ñîçäàþò âî âòîðîé âîëíó, áëèçêóþ ê ïëîñêîé îäíîðîäíîé âîëíå, ôðîíò êîòîðîé ïàðàëëåëåí ãðàíèöå. Êîãäà âòîðàÿ ñðåäà — ïðîâîäíèê, âîëíîâîé ïðîöåññ îòíîñèòåëüíî áûñòðî çàòóõàåò. Ðàññòîÿíèå ' , íà êîòîðîì ïîëå â ïðîâîäíèêå óìåíüøàåòñÿ â e ðàç, îïðåäåëÿåòñÿ êàê '   ZP P V è íàçûâàåòñÿ ãëóáèíîé ïðîíèêíîâåíèÿ. Èç ôîðìóëû (2.6.19) ñëåäóåò, ÷òî ãëóáèíà ãëóáèíà ïðîïðîíèêíîâåíèÿ '   Ncc . Íàïðèìåð, äëÿ ìåäè íà ÷àñòîòå I  — óæå ïîðÿäêà  ˜  ìì. íèêíîâåíèÿ ' a 0.2 ìì, à íà I   116 ÃËÀÂÀ 2 Åñëè ðàçìåðû ïðîâîäÿùåãî òåëà çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäÿò ãëóáèíó ïðîíèêíîâåíèÿ ' , ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëå â í¸ì ñîñðåäîòî÷åíî âáëèçè ïîâåðõíîñòè. Ýòî ÿâëåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå ïîâåðõíîñòíîãî ýôôåêòà.  çàðóáåæíîé ëèòåðàòóðå ÷àùå óïîìèíàåòñÿ äðóãîå íàçâàíèå — ñêèí-ýôôåêò (îò àíãë. skin — «êîæà»). Íàëè÷èå ñêèí-ýôôåêòà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ãëóáîêèå ñëîè ïðîâîäíèêà íå îêàG çûâàþò íèêàêîãî âëèÿíèÿ íà ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû ó åãî ãðàíèöû. Âåêòîðû ( G è + âíóòðè ïðîâîäíèêà âñåãäà ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè ê ãðàíèöå ðàçäåëà ñëîåâ, òàê êàê âîëíà ïëîñêàÿ è ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íîðìàëüíî ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà. Ïîýòîìó, âîîáùå ãîâîðÿ, ó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âîëíû â ïðîâîäíèêå âáëèçè ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåä ( ]  ) áóäóò ïðèñóòñòâîâàòü òîëüêî òàíãåíöèàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå, òî åñòü G G G G (2.10.3) ( ( W  + G + W G Âî âòîðîé (ïðîâîäÿùåé) ñðåäå âåêòîðû ( è + ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì: G G G (2.10.4) (  = >]  +  @  G ãäå ] — åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé âäîëü îñè OZ (âíóòðü ïðîâîäÿùåé ñðåäû); = P  H HH   Hc  LV   Z H Òî÷íûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â ïëîñêîñòè ]  (ãðàíèöà «âîçäóõ-ïðîâîäíèê») çàíèñûâàþòñÿ êàê G G G G (2.10.5) ( W ( W  + W + W  G G G G G G  G ãäå ( ( (  ( ( + +  Ñ ó÷åòîì (2.10.3) è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2.10.5) ñîîòíîøåíèåì (2.10.4) ìîæíî ñâÿçàòü ïîëÿ â ïåðâîé îáëàñòè: G G G (2.10.6) (  = >]  +  @  G G Ðàâåíñòâî (2.10.6) óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ïîëÿìè ( è + â ïåðâîé (íåïðîâîäÿùåé) ñðåäå íà ãðàíèöå ñ ïðîâîäíèêîì ÷åðåç âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå âòîðîé ñðåäû. Îíî (ðàâåíñòâî) íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ÙóêèíàËåîíòîâè÷à. Çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (2.10.6) äëÿ ñëó÷àÿ íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì.  çàêëþ÷åíèå çàïèøåì ãðàíè÷íîå óñëîâèå Ùóêèíà-Ëåîíòîâè÷à (2.10.6) â ïðîåêöèÿõ íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò äëÿ ãåîìåòðèè, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 2.12: ( [ = + \  ( \  = + [  (2.10.6) 2.11(*). Ðàñïðîñòðàíåíèå ñèãíàëîâ (âîëíîâûõ ïàêåòîâ) â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå  ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ðàññìàòðèâàëîñü ðàñïðîñòðàíåíèå ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí. Îäíàêî ñòðîãî ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò. Áîëåå òîãî, ÷òîáû ïåðåäàòü ïîñðåäñòâîì âîëíû êàêóþ-ëèáî èíôîðìàöèþ, íåîáõîäèìî å¸ ïðîìîäóëèðî- Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 117 âàòü.  ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ìîäóëèðîâàííóþ âîëíó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ãàðìîíè÷åñêèõ ïëîñêèõ âîëí. Ìàòåìàòè÷åñêè ïðîáëåìà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà âäîëü îñè 2= â äèñïåðãèðóþùåé èçîòðîïíîé ñðåäå ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ w \   w \  / \  (2.11.1) w ] Y w W  îïèñûâàþùèé äèñïåðñèþ ñðåãäå / — äåéñòâóþùèé íà \ ëèíåéíûé îïåðàòîð, G G äû; \ — êàêàÿ-ëèáî ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðîâ ( èëè + . Äëÿ èçîòðîïíîé îäíîðîäíîé ñðåäû [Ë.8]  w / \ f ³ F W \ W  W GW  Y w W   ãäå c — ýëåêòðè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü ñðåäû. Ïåðåéäåì ê èçó÷åíèþ çàêîíîìåðíîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå ïëîñêèõ íåìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí, áåãóùèõ â íàïðàâëåíèè îñè 2= . Òàêèå âîëíû ìîãóò âîçáóæäàòüñÿ ëèáî íà ãðàíèöå ñðåäû (íàïðèìåð, èñòî÷íèêîì, ðàñïîëîæåííûì ïðè ]  ), ëèáî ïóò¸ì ñîçäàíèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ñêàæåì ïðè W  , íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâåííî-ðàñïðåäåëåííîãî âîçìóùåíèÿ. Íèæå ðàññìîòðèì òîëüêî ïåðâûé ñëó÷àé. 2.11.1. Êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíîâîãî ïàêåòà. Ïóñòü äèñïåðãèðóþùàÿ ñðåäà çàíèìàåò ïîëóïðîñòðàíñòâî ] t  è íà åå ãðàíèöå çàäàí âõîäíîé ñèãíàë \ W ]  \  W  (2.11.2) G G ãäå ïîä \ ïîíèìàåòñÿ êàêàÿ-ëèáî ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðîâ ( è + . Ïðåäñòàâèì \  W â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå: f ³) Z H \ W L ZW GZ  (2.11.3) f ãäå å¸ ÷àñòîòíûé ñïåêòð îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé  S )Z f ³ \ W H  L ZW GW  (2.11.4) f Äëÿ ëèíåéíîé ñðåäû ñïåêòðàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå ) Z ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, ïîýòîìó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.11.1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå íàáîðà ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí*) f \ W ] ½° ­° 5H ® ) Z H[S^L >ZW  N Z ]@ ` GZ¾  °¿ °̄ f ³ (2.11.5) Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (2.11.5) â óðàâíåíèå (2.11.1), ìîæíî óñòàíîâèòü çàêîí äèñ*)  äàëüíåéøåì ñèìâîë ðåàëüíîé ÷àñòè îò êîìïëåêñíîé ôóíêöèè ïðè çàïèñè ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé ïîëåé â ýòîì ðàçäåëå áóäåì îïóñêàòü 118 ÃËÀÂÀ 2 ïåðñèè, îïðåäåëÿåìûé âèäîì îïåðàòîðà / \ . Èñêîìîå ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷åðåç ïàäàþùóþ íà ãðàíèöó âîëíó. Ïîäñòàâëÿÿ â ðåøåíèå (2.11.5) âûðàæåíèå (2.11.4), ïîëó÷àåì  S \ W ] f f ³ ³ \ W H[S ^L >Z W  Wc  N Z ]@ ` GZ GWc  (2.11.6) f f Íàèáîëüøèé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ñèãíàëû ñ óçêèì ñïåêòðîì ÷àñòîò, íàçûâàåìûå êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèìè ñèãíàëàìè èëè âîëíîâûìè ïàêåòàìè. Äëÿ òàêîãî ïàêåòà âûñîêî÷àñòîòíûé èìïóëüñ ìîæíî îïèñàòü ôóíêöèåé \ W $ W H L ZW  (2.11.7) ãäå $ W — êîìïëåêñíàÿ, ìåäëåííî èçìåíÿþùàÿñÿ âî âðåìåíè àìïëèòóäà, Z — íåêîòîðàÿ ñðåäíÿÿ ÷àñòîòà. Âûðàæåíèå (2.11.6) ñ ó÷åòîì (2.11.7) ïðèíèìàåò âèä \ W ]  S f f ³ ³ $ Wc H[S^L > ZZ f f Ïîëîæèâ â âûðàæåíèè (2.11.8) ] $ W  S W  Wc  N Z ]  ZW @ ` GZGWc  (2.11.8)  è ñðàâíèâ åãî ñ ñîîòíîøåíèåì (2.11.7), ïîëó÷èì f f ³ ³ $ Wc H[S ^ L > Z  Z W  W c @ ` GZ GW c  (2.11.9) f f Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ÷àñòîòíûé ñïåêòð âîëíîâîãî ïàêåòà ÿâëÿåòñÿ óçêèì 'Z  Z , ðàçëîæèì ôóíêöèþ N Z â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè Z Z : N Z N Z  GN  § G N · Z  Z  ¨¨  ¸¸ Z  Z       © GZ ¹ GZ Z  Z (2.11.10) Âûðàæåíèå äëÿ ïîëÿ âîëíîâîãî ïàêåòà ïîëó÷èì, ïîäñòàâèâ ðàçëîæåíèå (2.11.10) â (2.11.8): \ W ] $ W ] H[S > L Z W  N ] @  (2.11.11) ãäå $ W ]  S ­ ª º ° $ W c H[S ® L « W  W c  §¨ GN ·¸ ] » Z  Z  © GZ ¹ Z » ° «¬ f f  ¼ ¯ f f ³ ³  § G N · °½  L ¨  ¸ ] Z  Z      ¾ GZ GW c  G Z  © ¹ Z °¿ N (2.11.11à) N Z  Ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ òî÷íîñòü ðåçóëüòàòà çàâèñèò îò òîãî, ñêîëüêî ó÷èòûâàåòñÿ ÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè (2.11.10). ×èñëî ó÷òåííûõ ÷ëåíîâ â (2.11.10) îïðåäåëÿåò íîìåð ïðèáëèæåíèÿ òåîðèè äèñïåðñèè. Òàê, â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, êîãäà GN · N Z N  §¨ ¸ Z  Z  (2.11.12) © G Z ¹ Z ïîëó÷àåì âûðàæåíèå Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ H L ZW  N] u \ W ]  u S 119 f f ­° ª º · $ W c H[S ® L «W  W c  §¨ GN ¸ ] » Z  Z © GZ ¹ Z »¼ °̄ «¬ f f ³ ³ ½° ¾ GZ GW c  °¿ êîòîðîå, ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòíîøåíèÿ (2.11.9), ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ª º L Z W N ] GN · \ W ] $ «W  §¨ ¸ ]» H    ¬ © GZ ¹ Z ¼ (2.11.13) Òàêèì îáðàçîì, â ïåðâîì äèñïåðñèîííîì ïðèáëèæåíèè âîëíîâîé ïàêåò (2.11.7) GZ  GN Z . ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ áåç èçìåíåíèé ôîðìû ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ X  Âîëíîâîé ïàêåò òîëüêî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ ôîðìû. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ èçìåíåíèÿ åãî ôîðìû äîñòàòî÷íî ó÷åñòü â ðàçëîæåíèè (2.11.10) êâàäðàòè÷íûé ÷ëåí. Ïîñêîëüêó ïëîñêèå âîëíû çàâèñÿò îò t è z è â êàæäîé òî÷êå z â ïðèíöèïå ñâîÿ âðåìåííàÿ ôîðìà èìïóëüñà, ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü ïîëÿ òîëüêî îò âðåìåíè.  âûðàæåíèè äëÿ ïîëÿ \ W ] çàìåíèì âåëè÷èíû N ] GN  GZ Z ]  è G N  G Z Z ] ñîîòâåòñòâåííî íà M Z  Mc Z  Mcc Z , ãäå M Z — íàáåã ôàçû  äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû ñ ÷àñòîòîé Z  . Òîãäà ñ ó÷åòîì êâàäðàòè÷íîãî ÷ëåíà â ðàçëîæåíèè (2.11.10) èìååì \W ãäå : H L >ZW  M Z @  S f f ³ ³ c $ W c H L : > W  W  Mc Z @  L :Mcc Z   GW cG:  f f Z  Z . Äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ Mcc §¨ :  © è ó÷èòûâàÿ, ÷òî f ³ H[S W c  W  Mc ·  ¸ Mcc ¹  S D L SD   GD  L f ïîëó÷àåì \W   L L > ZW  M Z H S @ f ³ ª W c  W  Mc  º S H[S « L » GW c   Mcc Mcc ¼ ¬ $ W c f Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå W c  W  Mc  Mcc  S [   (2.11.14) îêîí÷àòåëüíî èìååì \W   L L >ZW M H  Z @ f ³ $ W  Mc  [ SMcc Z f H S  L [  G[  (2.11.15) 120 ÃËÀÂÀ 2 )Z  'Z ) Z Z Ðèñ. 2.16 Åñëè âåëè÷èíà Mcc Z ìàëà, òî âûðàæåíèå (2.11.15) ïåðåõîäèò â (2.11.13), ïîñêîëüêó f ³ H[S  L S [    G[  L f Òàêèì îáðàçîì, èñêàæåíèå ñèãíàëà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (2.11.15), êîòîðîå ìîæåò áûòü êîíêðåòèçèðîâàíî ïðè çàäàíèè ôîðìû íà÷àëüíîãî ñèãíàëà, òî åñòü ôóíêöèè $ W . 2.11.2. Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëíîâîãî ïàêåòà.  ïðåäñòàâëåíèè (2.11.5) äèñïåðñèîííûå ñâîéñòâà ñðåäû îïðåäåëÿþòñÿ çàâèñèìîñòüþ N N Z . Íà ïðàêòèêå ñïåêòð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà (âîëíîâîãî ïàêåòà) ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì â íåêîòîðûõ ïðåäåëàõ ÷àñòîò >Z  'Z Z  'Z@ , ãäå Z — öåíòðàëüíàÿ ÷àñòîòà ñïåêòðà; 'Z — ïîëîñà ÷àñòîò, â êîòîðîé ëåæàò çíà÷åíèÿ âñåõ ñïåêòðàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñèãíàëà. Îáû÷íî ñïåêòð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà ÿâëÿåòñÿ óçêèì 'Z  Z . Îáîçíà÷èì N N Z è â âûðàæåíèè (2.11.5) ïåðåéä¸ì îò èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòîòå ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî âîëíîâîìó ÷èñëó: N  'N \ W ] ³ )N H 5H L > Z N W  N ]@ (2.11.16) GN  N  'N ãäå ÷åðåç )N îáîçíà÷åíî çíà÷åíèå àìïëèòóäû ïîëÿ ñïåêòðàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ) ZN .  ñëó÷àå óçêîé ïîëîñû ÷àñòîò ( 'Z  Z  'N  N ) ôóíêöèþ Z Z N ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì ( N  N ) â îêðåñòíîñòè òî÷êè N : Z Z  GZ GN N N N  N  G Z GN  N  N     (2.11.17) N N Ïîäñòàâëÿÿ (2.11.17) â âûðàæåíèå (2.11.16) è óäåðæèâàÿ òîëüêî äâà ïåðâûõ ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì: N  'N ­ L ª« G Z ° GN \ W ] | 5H ® H L >ZW  N ]@ )N H ¬ °̄ N  'N  ³ N N W  ] º» N  N ¼ ½ ° GN ¾  °¿ (2.11.18) Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 121  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ýëåêòðîìàãíèòíûé ñèãíàë ñ ïðÿìîóãîëüíîé ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèåé (ðèñ. 2.16).  äàííîì ñëó÷àå àìïëèòóäà )N ) ïðè N  'N d N d N  'N ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé â âûðàæåíèè (2.11.18) è å¸ ìîæíî âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà. Êðîìå òîãî, â ýòîì âûðàæåíèè ïåðåéä¸ì îò èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ïåðåìåííîé k ê íîâîé ïåðåìåííîé N  N . Òîãäà ïîëó÷èì: 'N L ª G Z ­ « GN ° \ W ] | 5H ® ) H L >ZW N ]@ H ¬ N °̄  'N ³ N W  ]º» N N ¼ ½ ° G N  N ¾  °¿ (2.11.19) Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ýâîëþöèè èìïóëüñà: \ W ] |  ) VLQ ª §¨ «¬ © GZ GN N N GZ GN N N W  ] ·¸ 'N º »¼ ¹ FRV Z  W  N ]  M  W] (2.11.20) Ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ ñèãíàëà, îïèñûâàåìîãî âûðàæåíèåì (2.11.20), ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 2.17. Çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (2.11.20) îïèñûâàåò ìîäóëèðîâàííóþ ãàðìîíè÷åñêóþ âîëíó. Ñîìíîæèòåëü âèäà ª§ VLQ « ¨ ¬© GZ GN GZ GN N N N N · º W  ] ¸ 'N » ¹ ¼ W] îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå îãèáàþùåé âîëíîâîãî ïàêåòà, à âûðàæåíèå FRV Z W  N ]  M ñîîòâåòñòâóåò ãàðìîíè÷åñêîé âîëíå ÷àñòîòû Z è îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âûñîêî÷àñòîòíîé ñîñòàâëÿþùåé ñèãíàëà (çàïîëíåíèÿ). Âåëè÷èíà Y Z  N — ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé âûñîêî÷àñòîòíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèãíàëà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âíóòðè îãèáàþùåé. Ýòà ñêîðîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà, òàê êàê íå îïèñûâàåò äâèæåíèå îãèáàþùåé âîëíîâîãî ïàêåòà. 2.11.3. Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà — ñêîðîñòü äâèæåíèÿ îãèáàþùåé, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåòñÿ êàê G] GZ X  (2.11.21) GW GN è íàçûâàåòñÿ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ. Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü — ýòî ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ îãèáàþùåé âîëíîâîãî ïàêåòà. Îïðåäåëèì ñâÿçü ìåæäó ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòÿìè: GY GZ G (2.11.22) X > Y N@ Y  N GN  GN GN  çàâèñèìîñòè îò çíàêà ïðîèçâîäíîé GY  GN ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ìîæåò áûòü ëèáî áîëüøå, ëèáî ìåíüøå ôàçîâîé. Åñëè GY  GN   , òî X  Y è òàêàÿ äèñïåðñèÿ íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé, åñëè GY  GN !  , òî X ! Y è äèñïåðñèÿ íàçûâàåòñÿ àíîìàëüíîé. Óñëîâèå GY  GN  ñâèäåòåëüñòâóåò îá îòñóòñòâèè äèñïåðñèè ( X Y ). 122 ÃËÀÂÀ 2 \ ] W FRQVW X GZ GN ] Y Z N Ðèñ. 2.17 2.12(*). Öèëèíäðè÷åñêèå âîëíû 2.12.1. Ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. Áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå íàõîäèò ñèñòåìà öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàò. Îíà ïðèìåíèìà ê ñëó÷àþ îñåâîé ñèììåòðèè ïîëÿ èëè ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âîëíû. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îáû÷íî èñïîëüçóþò ýëåêòðè÷åñêèé è ìàãíèòíûé âåêòîðû Ãåðöà (ñì. ï.2.3.2). Íèæå ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ, êàê ñèñòåìó, îáðàçîâàííóþ ñåìåéñòâîì êðóãîâûõ öèëèíäðîâ, ò.å. ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ íåçàâèñèìûìè, íåïðåðûâíûìè è îäíîçíà÷íûìè êîîðäèíàòàìè U M ] .  ýëåêòðîäèíàìèêå ÷àñòî äëÿ óäîáñòâà ðàñ÷åòîâ ââîäÿò ìàãíèòíûå çàðÿäû UP GP è òîêè M , ÷åðåç êîòîðûå îïðåäåëÿåòñÿ ìàãíèòíûé âåêòîð Ãåðöà. Çàïèøåì G G ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ñ ìàãíèòíûìè òîêàìè (7.2.1) ÷åðåç âåêòîðû  è  P äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä: G G G G G G G G  H U  W 5H ª  H U H LZW º ,  P U  W 5H ª  P U H LZW º . (2.12.1) ¬ ¼ ¬ ¼ Îíè èìåþò ñëåäóþùèé âèä ( P FRQVW H FRQVW ): G G G G ( JUDG GLY  H  NHP H  LZPP URW  P  (2.12.2) G G G G + JUDG GLY  P  NHP P  LZPP URW  H  Ñ Gó÷åòîì G òîãî, ÷òî äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ $H è $ P ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ G LZHP G H G P LZHP G P (2.12.3) $H  $   F F G G íåòðóäíî, èñõîäÿ èç (7.2.23), ïîëó÷èòü äëÿ âåêòîðî⠁ H   P íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà: G G G G L G L GP (2.12.4) ’ H  NHP H M  ’ P  NHP P M  ZHH ZHH Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 123 Âûáîð óðàâíåíèé (7.2.23) èëè (2.12.4) (âûáîð òåõ èëè èíûõ ïîòåíöèàëîâ) äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷ ýëåêòðîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ äåëîì ïðèâû÷êè.G Äëÿ âûÿñíåíèÿ ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà Ãåðöà  H , îïèñûâàþùåãî âîëíû â äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäå, ðàññìîòðèì åãî ñâÿçü ñ âåêòîðîì ïîëÿG G G G ðèçàöèè 3 . Òàê êàê ' H(  3 , òî G H GLY ( 5  5c  (2.12.5) G ãäå 5c  GLY 3 — îáú¸ìíàÿ ïëîòíîñòü ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ, 5 — îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ ïðîâîäèìîñòè. Ðàññìîòðèì ÷èñòî ïîëÿðèçàöèîííûå ÿâëåíèÿ, òî åñòü ïîëîæèì 5  . Äëÿ ñêàëÿðíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà â ñëó÷àå ñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ èìååì (ñì. ñîîòíîøåíèÿ (2.3.14)): ’ )  5c  HH (2.12.6) G GLY  H , òî èç (2.12.6) ñëåäóåò, ÷òî G §  GH 3 · GLY ¨¨ ’   (2.12.7) ¸  HH ¸¹ © Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â âèäå èíòåãðàëà (çàïàçäûâàþùåå ðåøåíèå) çàïèñûâàåòñÿ êàê Òàê êàê ) G H  SHH ³ 9 G§ 'U G ·  U c ¸¸ 3 ¨¨ W  Y © ¹G9 c 'U (2.12.8) G G ãäå 'U U  U c  Âûðàæåíèå (2.12.8) îïðåäåëÿåò ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåêòîðà Ãåðöà è îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó åãî èíîãäà íàçûâàþò «ïîëÿðèçàöèîííûì ïîòåíöèàëîì»: îí íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàí ñ âåêòîðîì ýëåêòðè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè. Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê èíòåãðàëüíîìó ñîîòíîøåíèþ äëÿ ìàãíèòíîãî âåêòîðà Ãåðöà: G P  SPP ³ 9 G § 'U G ·  U c ¸¸ 0 ¨¨ W  Y © ¹G9 c 'U (2.12.9) G ãäå 0 — âåêòîð íàìàãíè÷åííîñòè. Âîëíîâûì óðàâíåíèÿì ìîãóò óäîâëåòâîðÿòü ïîëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ âîëí. Îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ ýëåêòðîäèíàìèêè ñîñòîèò â ðåøåíèè âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ïðè çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ. Îäíàêî äàëåêî íå äëÿ ëþáûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ìîæíî ïîäîáðàòü ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé óðàâíåíèå ðàçðåøèìî.  ýòîé ñâÿçè áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå èìååò ñèñòåìà öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàò. Íàèáîëåå òèïè÷íûì ñëó÷àåì, îõâàòûâàþùèì áîëüøîå ÷èñëî ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ çàäà÷, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, ïîëå, îïèñûâàåòñÿ îäíîé ñîñòàâëÿþùåé âåêòîG G êîãäà G ðà Ãåðöà, íàïðèìåð,  H  ]H ]  Êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèé (2.12.4) è (2.12.8), ýòà 124 ÃËÀÂÀ 2 ñèòóàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ (ìàãíèòíûõ) òîêîâ èëè ïîñòîÿííîãî â ïðîñòðàíñòâå íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ ýëåêòðè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷èâàíèÿ. Çàïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå èç (2.12.4) äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ëèíåéíûé òîê ïðîâîäèGH ìîñòè M îðèåíòèðîâàí âäîëü îñè ] (ðàññìàòðèâàåì ãàðìîíè÷åñêèå ïðîöåññû): G G L GH ']H  NHP]H M] . (2.12.10) ZHH Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïåðåïèñûâàåì êàê (ñ M]H  ): w]H wU   w]H  w]H w]H     NHP]H U wU U wM w] . (2.12.11) Ïîäñòàâèì â (2.12.11) ôóíêöèþ ]H (2.12.12) I U M \ ]  òåì ñàìûì áóäåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì  °­  w § wI ·  w §  wI · °½  ® ¨U ¸  ¨ ¸ ¾  N HP U °¯ U wU © wU ¹ U wM © U wM ¹ °¿   w \ \ w] J  ãäå J — íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îòêóäà  ­° w § wI ·  w §  wI · ½°   ® ¨U ¸  ¨ ¸ ¾  N HP  J I U °¯ wU © wU ¹ U wM © U wM ¹ °¿ w \ w]  J \  (2.12.13)  Òàê êàê ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ èç (2.12.13) åñòü ôóíêöèÿ: \ $H L J]  $H  L J]  (2.12.14) ãäå $  $ — ïîñòîÿííûå, òî ñ ó÷¸òîì ïðèíÿòîé â êíèãå ãàðìîíè÷åñêîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè H[S ^LZW` ñîñòàâëÿþùóþ ]H ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: ]H I U M $H LK]  $H  LK] H LZW  (2.12.15) Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (2.12.15) îïðåäåëÿåò ñîáñòâåííóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþ ïðîòèâ îñè ] , âòîðîå ñëàãàåìîå — âîëíó ïî îñè ] . Çíàíèå âèäà ] -îé ñîñòàâëÿþùåé êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû âåêòîðà Ãåðöà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîçâîëÿåò îïðåäåëåèòü âçàèìíóþ îðèåíòàöèþ G G âåêòîðîâ ( è % â ïëîñêîñòè ] FRQVW . Íåòðóäíî äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøëåíèé (2.3.33), ÷òî äëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû ( H P — ñêàëÿðû): (U +U  (M +M  (2.12.16) Îáùèå ñâåäåíèÿ î âîëíîâûõ ïðîöåññàõ 125 G G Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû ( è % â ïëîñêîñòè ] FRQVW ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó. Àíàëîãè÷íî, äîêàçûâàåòñÿ G G G ñîîòíîøåíèå (2.12.16) äëÿ ñëó÷àÿ ëèíåéíûõ ìàãíèòíûõ òîêîâ, êîãäà  P  ]P ]  G G G G G G Ïîëÿ, íàéäåííûå äëÿ ñëó÷àå⠁ H  ]H ] è  P  ]P ] â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, îáðàçóþò ñîâîêóïíîñòü âîëí òèïà ( è òèïà + . Êàê óæå áûëî óïîìÿíóòî, èìè ìîæíî óäîâëåòâîðèòü áîëüøîå ÷èñëî ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ ðàçëè÷íûõ öèëèíäðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé. Îäíàêî äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû â ïåðâîì èç óðàâíåíèé (2.12.13) ïåðåìåííûå ðàçäåëÿëèñü, ò.å. ÷òîáû ìîæíî áûëî ôóíêöèþ I U M ïðåäñòàâèòü â âèäå: I U M (2.12.12à) I U I M è ïîëó÷èòü äâà óðàâíåíèÿ (äëÿ I è I ). Ïîäñòàâèâ (2.12.12à) â ïåðâîå óðàâíåíèå èç (2.12.13) ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ: G I  S I  GM  G § GI · ª    º U ¨U ¸  N  J U  S ¼» I GU © GU ¹ ¬« (2.12.17)  ãäå S — ïîñòîÿííàÿ ðàçäåëåíèÿ. Ðåøåíèå äëÿ I èìååò âèä I H LSM  Âòîðîå óðàâíåíèå èç (2.12.17) ïîñëå çàìåíû   N J U (2.12.18) U äàåò § · GI G ¨ U N  J ¸ N  J  ª U   S º I ¬ ¼ ¸ N  J GU ¨© N  J GU ¹ U  èëè U Îòñþäà U G § GI · ª  U  U  S º I ¼ GU ¨© GU ¸¹ ¬ G I GU  U GI GU  ª U   S º I ¬ ¼  (2.12.19)  èëè G I GU    GI ª S º  «  » I U GU ¬« U  »¼  (2.12.20) Ýòî óðàâíåíèå Áåññåëÿ, ðåøåíèÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ öèëèíäðè÷åñêèå ôóíêöèè. ×àñòíûé âèä öèëèíäðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïðåäñòàâëÿþò ôóíêöèè Áåññåëÿ -S U è