Общее описание процесса принятия управленческих решений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БАРНАУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ Ю.Н. Копылов Методы принятия управленческих решений конспект лекций для студентов, обучающихся по направлению 080200.62 «Менеджмент» квалификация (степень) – бакалавр Конспект лекций рассмотрен и утвержден на заседании кафедры «Математика и информатика» 11января 2013 года (протокол № 5), рецензент к.ф-м.н., доцент Копылова Н.Т. Барнаул – 2013 ТЕМА 1 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В каждой организации разработка и принятие управленческого решения имеют свои особенности, определяемые характером и спецификой её деятельности, организационной структурой, системой коммуникаций, внутренней культурой. Тем не менее, для любого процесса принятия решения характерны следующие основные этапы принятия решения и их последовательность. 1-й этап. Выявление наличия проблемы: - интерпретация текущей ситуации; - уточнение целей; - выявление факта возникновения или существования проблемы; - определение степени критичности проблемы. 2-й этап. Структурирование проблемы: - уточнение оценочной системы; - уточнение симптомов проблемы; - сбор дополнительной информации; - структурирование и диагностика проблемы; - разработка прогноза развития ситуации. 3-й этап. Разработка управленческого решения: - формулировка ограничений и критериев принятия решения; - генерирование альтернативных вариантов решения; - оценка альтернатив; - прогнозирование возможных результатов решений; 4-й этап. Принятие и реализация решения: - принятие решения лицом принимающим решения (ЛПР); - реализация решения; - контроль реализации решения; - анализ эффективности решения. То есть большую роль играет стадия формирования решения, на которой осуществляется подготовка исходных данных и их обработка таким образом, чтобы были ясны последствия принятия решения. Непосредственно принятие решения – это изучение различных вариантов решения, их последствий и утверждение одного из них. Существует классификация принимаемых решений по степени неопределённости: 1. Принятие решений в условиях определённости. Понятие определённости весьма относительное, поскольку предполагает отбрасывание факторов, так или иначе влияющих на результаты принятия решения. Под определённостью понимается ситуация, при которой для каждого варианта решения известен набор последствий. Для расчётов, как правило, применяются детерминированные зависимости, а исходные данные достоверны. 2. Принятие решения в условиях риска. Каждый вариант решения характеризуется несколькими ситуациями, которые могут наступить с разной вероятностью. Вероятности могут быть оценены по статистическим данным. 3. Принятие решений в условиях неопределённости. Эти задачи возникают при условии неточной, неполной или слабо структурированной информации. Вероятности наступления событий не определяются. Чаще всего принимаются оперативные решения. Они принимаются часто в условиях определённости. Процесс их принятия является относительно рутинным. Тактические решения обычно принимаются управленцами среднего звена, ответственными за обеспечение достижения целей, поставленными лицами принимающими решения из верхнего звена. Во многих случаях часть параметров известно, часть – нет. Например, выбор поставщика может стать проблемой. Новый поставщик предлагает низкие цены, но неизвестны причины этого (возможно низкое качество). Стратегическим решениям присуща долгосрочность, комплексность, неструктурированность и непериодичность. Большинство характеристик, которые следует учесть, не могут быть определены. Существует классификация принимаемых решений по критериальности: 1. Однокритериальные 2. Многокритериальные Оперативные решения являются, как правило, однокритериальными. Для коммерческого предприятия, например, основным критерием является рост прибыли. Тактические и, особенно, стратегические решения, напротив, чаще являются многокритериальными. Так, для коммерческого предприятия при принятии решения нужно балансировать интересы всех “элементов” предприятия: собственников, цель которых – максимальная отдача на вложенный капитал или максимальная стоимость компании, а значит, наиболее интенсивное использование ресурсов; работников, цель которых – максимальное личное благосостояние, причем в ближайшей перспективе, что противоречит требованиям отдачи; самого бизнеса, нуждающегося в инновациях, вложения в которые ущемляют интересы собственников и работников – по крайней мере, на этапе монтажа и запуска. К базовым методам формирования решений относятся: метод экспертных оценок; прямой счёт (прямая задача); обратные вычисления (обратная задача); методы оптимизации (линейные, нелинейные); статистические (временные ряды, уравнения регрессии и т.д.); имитационное моделирование и т.д. Всё большее распространение в связи с развитием информационных технологий при принятии решений имеет математическое моделирование. Экономико-математическая модель (ЭММ) – это математическое представление существа исследуемого экономического процесса, проблемы, задачи. ЭММ могут классифицироваться по конкретному назначению: - балансовые – для реализации балансового метода планирования; - оптимизационные – для реализации принципа оптимальности; - трендовые – для математического описания долговременной тенденции; - имитационные – для машинной имитации исследуемой экономической системы и т.д. а также по типу используемого математического аппарата: - модели теории массового обслуживания; - модели теории игр; - матричные модели; - регрессионные модели и т.д. По масштабу решаемых задач модели можно разделить на: - макроэкономические – регулирующие народнохозяйственные, межотраслевые или межрегиональные взаимоотношения; - микроэкономические – модели внутрифирменного планирование и управления, модели взаимоотношений хозяйствующих субъектов. ТЕМА 2 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ Оптимизационные (экстремальные) модели в экономике возникают при практической реализации принципа оптимальности в управлении и планировании. Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое управленческое решение X = (x1, x2, … , xn), где xj, j = 1, … , n - его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности предприятия. Задачу условной оптимизации обычно записывают в виде: найти максимум или минимум функции f(X) = f(x1, x2, … , xn) (2.1) при ограничениях (2.2) xj ≥ 0, j = 1, 2, … n (2.3) Условия (2.2) принято называть функциональными ограничениями, поскольку левая часть ограничения является функцией от вектора переменных X, а (2.3) называют условиями неотрицательности переменных. Вектор X называется допустимым решением или планом задачи оптимального (математического) программирования, если он удовлетворяет системе ограничений (2.2) – (2.3), или, другими словами, ограничения (2.2)-(2.3) задают область допустимых решений D. А тот план X (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции f(x1, x2, … , xn) называется оптимальным планом (оптимальным поведением или просто решением) задачи оптимального (математического) программирования. Существует два варианта, когда невозможно получить решение по оптимизационной модели: 1) область допустимых решений может оказаться пустым множеством (задача противоречива) 2) целевая функция является неограниченной на области допустимых решений. Задачи оптимального программирования в наиболее общем виде классифицируют по следующим признакам. 1. По характеру взаимосвязи между переменными – a ) линейные, б) нелинейные. В случае а) все функциональные связи в системе ограничений и функция цели – линейные функции; наличие нелинейности хотя бы в одном из упомянутых элементов приводит к случаю б). 2. По характеру изменения переменных - а) непрерывные, б) дискретные. В случае а) значения каждой из управляющих переменных могут заполнять сплошь некоторую область действительных чисел; в случае б) все или хотя бы одна переменная могут принимать только целочисленные решения. 3. По учёту фактора времени – а) статические, б) динамические. В задачах a) моделирование и принятие решений осуществляется в предположении о независимости от времени элементов модели в течение периода времени, на который принимается планово-управленческое решение. В случае б) такое предположение принято не может быть и необходимо учитывать фактор времени. 4. По наличию информации о переменных – а) задачи в условиях полной определённости (детерминированные), б) задачи в условиях неполной информации, в) задачи в условиях неопределённости. В задачах б) отдельные элементы являются вероятными величинами, однако известны или дополнительными статистическими исследованиями могут быть установлены их законы распределения. В случае в) можно сделать предположение о возможных исходах случайных элементов, но нет возможности сделать вывод о вероятностях исходов. 5. По числу критериев оценки альтернатив – а) простые, однокритериальные задачи, б) сложные, многокритериальные задачи. В задачах а) экономически приемлемо использование одного критерия оптимальности или удаётся специальными процедурами (например, “взвешиванием приоритетов”) свести многокритериальный поиск к однокритериальному (например, “взвешиванием параметров”). Пример: Задача о коврах. Фабрика может выпускать ковры четырёх видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого ковра, приведена в Таблице. Ресурсы Нормы расхода ресурсов на единицу изделия Наличие ресурсов Ковёр “Лужайка” Ковёр “Силуэт” Ковёр “Детский” Ковёр “Дымка” Труд 7 2 2 6 80 Сырьё 5 8 4 3 480 Оборудование 2 4 1 8 130 Цена 1 изделия 3 4 3 1 Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет минимальной. Математическая постановка задачи имеет вид: x1 - штук ковров "Лужайка" в плане выпуска; x2 - штук ковров "Силуэт" в плане выпуска; x3 - штук ковров "Детский" в плане выпуска; x4 - штук ковров "Дымка" в плане выпуска. Найти max (3*x1 + 4*x2 + 3*x3 + x4) при ограничениях 7*x1 + 2*x2 + 2*x3 + 6*x4 <= 80; 5*x1 + 8*x2 + 4*x3 + 3*x4 <= 480; 2*x1 + 4*x2 + x3 + 8*x4 <= 130; x1 , x2 , x3 , x4 >= 0. С каждой задачей линейного программирования по определённому правилу связана другая ЗЛП, называемая двойственной к исходной задаче. Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. Имея решение двойственной задачи, которое интерпретируется как совокупность условных оценок участвующих в производстве ресурсов, можно провести экономико-математический анализ оптимального плана исходной задачи и сделать ряд экономически содержательных выводов. Двойственная задача по отношению к исходной задаче составляется согласно следующим правилам: 1) целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, а целевая функция двойственной задачи – на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функциональных (то есть, за исключением условий неотрицательности переменных) ограничениях имеют вид , а в задаче на минимум – вид ; 2) матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи без учёта условий неотрицательности переменных, и аналогичная матрица в двойственный задаче получаются друг из друга транспонированием; 3) число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной задачи, а число функциональных ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче; 4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются правые части функциональных ограничений исходной задачи, а правыми частями в функциональных ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи; 5) каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записанному в виде неравенства , соответствует переменная связанная условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Правило построения двойственной задачи определяется системой соотношений: Исходная задача Двойственная задача В качестве исходной задачи из этих двух задач можно взять вторую. Тогда первая из этих задач станет двойственной задачей. В нашем примере пара: прямая и двойственная задача будет иметь вид: Универсальным методом решения задачи линейной оптимизации является симплекс-метод. Расчёты можно производить вручную путём построения довольно громоздких симплекс-таблиц. В случае 2-х переменных задача может быть решена графически. По системе ограничений на плоскости строится ОДР. Поскольку в линейной задаче с 2-мя переменными ограничения – полуплоскости (при знаке неравенства) или прямые (при знаке равенства) на плоскости, то в общем случае ОДР имеет вид многоугольника. Координаты одной из угловых точек являются оптимальным планом. В настоящее время уже нет практического смысла решать задачи линейной оптимизации вручную. В MS Excel имеется надстройка «Поиск решения», которая позволяет решать задачи с несколькими десятками переменных, причём результаты содержат решения как прямой, так и двойственной задач. На лист МS Excel вносится текстовая информация, числовая информация и формулы из математической постановки задачи, как показано на Рис. 2.1. Внесение текстовой информации не является обязательным. Для решения задачи с помощью команды Сервис (в Excel 2007 - Данные) - Поиск решения вызываем надстройку Поиск решения и задаём параметры путём указания адресов ячеек на листе Excel, содержащие необходимую информацию (Рис. 2. 2. Указываем адрес ячейки, содержащей целевую функцию - в данном случае F20, указываем, что ищется максимум функции, и в специальном окне задаём адреса ячеек, в которых мы хотим получить значения переменных - в примере это В19:Е19. В нижней части диалогового окна надстройки Поиск решения задаются ограничения . Рис. 2.1. Задание информации из постановки задачи на листе MS Excel Рис. 2.2. Задание параметров в диалоговом окне Поиск решения Для задания условий неотрицательности переменных нажимаем кнопку Параметры и попадаем в следующее диалоговое окно. В появившемся окне Параметры поиска решения нужно поставить метки Линейная модель и Неотрицательные значения. Нажав кнопку ОК возвращаемся в основное диалоговое окно Поиск решения. Все параметры заданы. Нажимаем кнопку Выполнить. Появляется диалоговое окно Результаты поиска решения. В нём появляется сообщение, указывающее удалось ли надстройке удовлетворить все заданные ограничения и найти решение. В поле Тип отчёта нужно выбрать Устойчивость. Отчёт об устойчивости появится на автоматически созданном новом листе Excel. Анализ отчёта об устойчивости в данном примере приведён далее (Рис. 2.4). Основные результаты появятся также на исходном листе Excel (Рис. 2.3). В данном примере оптимальной план (0; 30; 10; 0), то есть ковры 1-го и 4-го типов выпускать не нецелесообразно, 2-го типа ковров нужно выпускать 30 шт., 3-го - 10 шт. Стоимость продукции при этом будет составлять 150 тыс. руб. Ресурсы "труд" и "оборудование" будут потрачены полностью, поскольку левая часть ограничений получилась равной правой части в ограничениях на эти виды ресурсов. Из 480 кг сырья потрачено будет только 280 кг, то есть этот ресурс не является дефицитным. Рис. 2. 3. Результаты решения задачи на исходном листе Excel Отчёт об устойчивости содержит 2 таблицы. Первая, представленная на Рис. 2.4 содержит информацию, относящуюся к переменным и коэффициентам целевой функции. В 1-м столбце указаны адреса ячеек, в которых находятся найденные значения переменных, их названия указаны в столбце 2. В 3-м столбце представлены найденные значения переменных, то есть полученный оптимальный план. В 4-м столбце приведены значения нормированной стоимости, отличные от 0 для переменных, не вошедших в оптимальный план. Они указывают, на сколько изменится целевая функция (в нашем примере максимальный доход), если принудительно включить в оптимальный план 1 единицу соответствующего изделия. Так, если изготовить 1 ковер 1-го вида, доход уменьшится на 7 тыс. руб. относительно максимального дохода, а если изготовить 1 ковер 4-го вида - на 9,67 тыс. руб. В 5-м столбце приведены значения целевых коэффициентов - в нашем примере цены ковра каждого вида. Допустимое увеличение и допустимое уменьшение в 6-м и 7-м столбцах показывают предельные изменения кажого коэффициента ЦФ, при которых не будет изменяться структура плана выпуска продукции. Так, предельное увеличение цены ковра 1-го вида составляет 7 тыс. руб., при дальнейшем увеличении цены структура оптимального плана изменится - ковры этого вида станет целесообразно выпускать. Допустимое уменьшение в первой строке равно 10 в 30-й степени, можно считать, что бесконечности. Действительно, при снижении цены 1-го ковра на любую величину, его по-прежнему будет производить невыгодно, то есть стуктура плана выпуска продукции не изменится. Рис. 2.4. Отчёт об устойчивости - часть I. Рис. 2.5. Отчёт об устойчивости - часть II. Вторая таблица отчёта об устойчивости, представленная на Рис. 2.5. содержит информацию, относящуюся к ограничениям. В 1-м столбце указаны адреса ячеек, в которых находятся формулы, описывающие функции из левых частей ограничений, во 2-м представлены названия ресурсов, которые были введены нами в ходе решения задачи. В 3-м столбце указаны количество ресурсов, которые будут использованы в ходе выполнения оптимального плана производства. В 5-м столбце представлены запасы ресурсов по условию задачи. В данном примере 1-й и 3-й ресурсы (труд и оборудование) будут использованы полностью, а из 480 единиц 2-го ресурса (сырья) будет использовано только 280. Таким образом, ресурсы 1-го и 3-го вида являются дефицитными - они не позволяют фабрике получить более высокий доход. В 4-м столбце находится оптимальный план двойственной задачи - теневая цена. Она показывает на сколько увеличится доход, если запас дефицитного ресурса увеличить на 1 ед. В 6-м столбце (Допустимое увеличение) для дефицитных ресурсов приведены величины (150 и 30), на которые можно увеличить каждый из этих ресурсов, не изменяя запасы других ресурсов, чтобы максимально возможный доход при этом увеличивался. В 7-м столбце (Допустимое уменьшение) показан излишек ресурсов, не являющихся дефицитными. В данном примере излишек 2-го ресурса (сырья) составляет 200 ед., то есть при уменьшении запасов сырья не более, чем на 200 ед. оптимальный план и максимально возможный доход не изменятся. Специальные задачи линейного программирования. Существенное отличие от классической задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов имеют задачи, в которых набор неизвестных является не вектором (одноиндексные задачи), а матрицей (двухиндексные задачи). Примером может служить транспортная задача по критерию стоимости, которая формулируется следующим образом. В m пунктах отправления П1, П2, ... Пm, которые будем называть поставщиками, сосредоточено определённое количество единиц некоторого однородного продукта, которое обозначим ai, i=1, 2, … , m. Данный продукт потребляется в n пунктах P1, P2, ... Pm, которые будем называть потребителями; объём потребления обозначим bj, j = 1, 2, … , m. Известны расходы на перевозку единицы продукта из пункта Пi в пункт Pj, которые равны cij и приведены в матрице транспортных расходов C = ( cij ). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь продукт вывозится из пунктов Пi в пунктs Pj в соответствии с потребностью и общая величина транспортных расходов будет минимальной. Обозначим количество продукта, перевозимого из пункта Пi в пункт Pj через xij. Тогда целевая функция задачи будет иметь вид: найти (2.4) при ограничениях (2.5) Первое из условий (2.5) означает полное удовлетворение спроса во всех пунктах потребления; второе условие из (2.5) определяют полный вывоз продукции от всех поставщиков. Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (2.4)-(2.5) является условие . (2.6) Условие (2.6) означает, что суммарные запасы продукта у поставщиков равны суммарному спросу потребителей. В этом случае транспортная задача называется закрытой. Если баланс (2.6) не выполняется, задача является открытой, и одно из ограничений (2.5) принимает вид неравенства. Если в (2.6) стоит знак ≤, это значит, что суммарные мощности поставщиков превышают суммарные мощности потребителей, тогда поставщики не смогут поставить весь имеющийся запас, то есть в первом из неравенств (2.5) нужно поставить знак ≤. Наоборот, если в (2.6) стоит знак , это значит, что суммарные мощности поставщиков меньше суммарных мощностей потребителей, тогда потребители не смогут получить продукции в количестве равном своим потребностям, то есть во втором из неравенств (2.5) нужно поставить знак ≤. Рассмотрим пример решения транспортной задачи в MS Excel. Имеется 3 поставщика и 4 потребителя. Исходные данные представлены в таблице: внутри прямоугольники заданы затраты на перевозку 1 тонны продукции от поставщика с номером i, потребителю с номером j - cij. Слева заданы мощности поставщиков ai, сверху - мощности потребителей bj. Найти оптимальный план перевозок от поставщиков потребителям, исходя из минимизации общих затрат на перевозки. Мощности поставщиков Мощности потребителей 250 100 150 50 320 6 6 1 4 100 8 30 6 5 50 5 4 3 30 Математическая постановка рассматриваемой задачи имеет вид: xij - количество продукции в т, перевозимое от i-го поставщика j-му покупателю, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4. Сумма мощностей поставщиков 320 + 100 + 50 = 470. Сумма мощностей покупателей 250 + 100 + 150 + 50 = 550. Не все покупатели будут удовлетворены полностью. Найти min(6*x11 + 6*x12 + x13 + 4*x14 + 8*x21 + 30*x22 + 6*x23 + 5*x24 + + 5*x21 + 4*x22 + 3*x23 + 30*x24) при ограничениях: на поставщиков x11 + x12 + x13 + x14 = 320 x21 + x22 + x23 + x24 =100 x31 + x32 + x33 + x34 = 50 на потребителей x11 + x21 + x31 ≤ 250 x12 + x22 + x32 ≤ 100 x13 + x23 + x33 ≤ 150 x14 + x24 + x34 ≤ 50 неотрицательности переменных xij ≥ 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4. В левых частях ограничений на поставщиков стоит сумма отгрузок всем потребителям от одного поставщика. В левых частях ограничений на потребителей стоит сумма отгрузок одному потребителю от всех поставщиков. Поскольку сумма мощностей поставщиков меньше суммы мощностей потребителей, то сумма отгрузок каждого поставщика равна его мощности, а сумма отгрузок каждому потребителю меньше или равна его мощности. На лист MS Excel вносится входная информация из постановки задачи и единицами заполняется диапазон ячеек, в которых мы ожидаем получение искомых значений переменных xij, i = 1,2,3; j = 1, 2, 3, 4 (Рис. 2.6). Поскольку мы имеем матрицу неизвестных, то единицами заполняется прямоугольный диапазон B47:E49. Далее на листе Excel задаются функции, присутствующие в постановке задачи, то есть целевая фунция и функции из левых частей ограничений. Целевая функция задана на Рис. 2.6. в ячейке В52 с помощью функции СУММПРОИЗВ, аргументами которой являются диапазон ячеек, содержащих матрицу затрат B42:E44 и диапазон ячеек B47:E49, содержащих изменяемые. В результате работы этой функции все элементы двух диапазонов перемножаются попарно и складываются. В левых частях ограничений по поставщикам стоят суммы переменных по строкам (меняется второй индекс) - на Рис. 2.6. они заданы суммами в ячейках A47:A49. Левые части ограничений по потребителям содержат суммы переменных по столбцам (меняется первый индекс) - на Рис. 2.6. они заданы суммами в ячейках В50:E50. Для решения задачи с помощью команды Сервис - Поиск решения (Excel 2007: Данные - Поиск решения) вызываем надстройку Поиск решения и задаём необходимые параметры путём указания адресов ячеек на листе Excel, содержащих необходимую информацию (Рис. 2. 7.). Указываем адрес ячейки, содержащей целевую функцию – B52, указываем, что ищется минимум функции и в специальном окне задаём адреса ячеек, в которых мы хотим получить искомые значения переменных - В47:Е49. Рис. 2.6. Задание информации из постановки транспортной задачи на листе MS Excel . 2.7. Задание информации из постановки транспортной задачи в окне Поиск решения 2.8. Задание в Поиске решения ограничений по поставщикам С помощью кнопки Добавить вызывается специальное окно Добавление ограничения (Рис. 2.7.). При задании ограничений по поставщикам в левой части окна задаются левые части ограничения - функции, находящаяся в ячейках A47:A49, далее задаётся знак ограничений по поставщикам. Наконец, указываются правые части ограничений по поставщикам (мощности поставщиков), расположенные в ячейках A42:A44. Путём нажатия кнопки Добавить параметры ограничений по поставщикам перемещаются в основное диалоговое окно надстройки Поиск решения, а диалоговое окно Добавление ограничения готово к заданию параметров следующего ограничения. Аналогично задаётся ограничение по потребителям и, после нажатия кнопки ОК в окне Добавление ограничения происходит возврат в основное меню Поиска решения (Рис. 2.7.). Чтобы задать условия неотрицательности, нужно зайти в окно Параметры и сделать соответствующую отметку. После этого можно запускать в работу Поиск решения путём нажатия кнопки Выполнить. В появившемся окне Результаты поиска решения должно появиться надпись Решение найдено, иначе неверно введены параметры в Поиск решения, либо неверно произведена математическая формулировка задачи. После нажатия в окне Результаты поиска решения кнопки ОК результаты появляются на листе Excel, в котором произведено задание параметров. В данном примере получены результаты представленные на Рис. 2.9. Мы получили, что 1-й поставщик отгрузит 1-му потребителю 120 ед. продукции, 2-му - 50 ед. продукции, 3-му - 150 ед. продукции, 4-му потребителю 1-й поставщик отгружать продукцию не будет и т.д. Третий поставщик отгрузит все 50 ед. продукции 2-му потребителю. В итоге все потребители кроме 1-го полностью удовлетворят свои потребности. Первый потребитель из требуемых 250 единиц получит только 170. Общие затраты на перевозку продукции составят 2020 у.е. Рис. 2.9. Результаты решения транспортной задачи Модели целочисленного (дискретного) программирования возникают, когда на искомые переменные накладываются условия целочисленности, а область допустимых решений конечна. Это связано с физической неделимостью многих элементов расчёта: например, нельзя построить полтора завода, купить полтора автомобиля и т.д. В ряде случаев такие задачи решаются обычными методами с последующим округлением до целых чисел. Однако, такой подход оправдан, когда отдельная единица составляет очень малую часть всего объёма (например, товарных запасов). В противном случае он может внести значительные искажения в действительно оптимальное решение. Поэтому разработаны специальные методы решения целочисленных задач. В надстройке MS Excel имеются специальные возможности для решения задач целочисленного программирования. Отличие от приведённых выше алгоритмов решения задач заключается в задании дополнительного условия целочисленности переменных (Рис. 2.10). Аналогично в Поиске решения можно задать условие двоичности переменных (Рис. 2.10). Эта возможность оказывается полезной в таких типах задач как задача о назначениях, задача о выборе проектов для финансирования. Рассмотрим постановку задачи о назначениях. 2.10. Задание условий целочисленности (или двоичности) переменных Задача о назначениях – это распределительная задача, в которой для выполнения каждой работы требуется только один ресурс (человек, автомашина и т.д.) и каждый ресурс может быть использован только на одной работе. Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи. В качестве поставщиков выступают ресурсы с мощностями ai=1, i = 1, 2, ... , n, а в качестве потребителей – работы с мощностями bj=1, j = 1, ... , m. Известны также характеристики выполнения j-й работы с помощью i-го ресурса: cij. Требуется составить план распределения ресурсов между работами, так, чтобы общая характеристика выполнения всех работ была наилучшей. В разных задачах такая характеристика может быть разной – минимум времени, максимум продукции и т.д. Математическая постановка имеет следующий вид: xij – факт назначения или неназначения i-го ресурса на j-ю работу, то есть . Найти максимум или минимум функции при ограничениях: по поставщикам (ресурсам) - по потребителям (работам) - Целевая функция выражает общую характеристику выполнения работ. Условия по поставщикам означают, что каждый ресурс может быть назначен только на одну работу. Аналогично, условия по потребителям означают, что на каждую работу может быть назначен ровно один ресурс. Задача имеет решение, если сумма мощностей поставщиков равна сумму мощностей потребителей, то есть количество ресурсов равно количеству работ: n = m. Если количество ресурсов меньше количества работ (n < m), то не все работы будут обеспечены ресурсами и в условиях по потребителям нужно ставить знак <= (меньше или равно), при этом в условии по поставщикам остаётся равенство. Если количество ресурсов больше количества работ (n > m), то не все ресурсы будут использованы при выполнении работ и в условиях по поставщикам нужно ставить знак <= (меньше или равно), при этом в условии по потребителям остаётся равенство. Основные понятия и общие сведения о методах реализации моделей нелинейного программирования. Задача оптимизации является нелинейной, если нелинейной является хотя бы одна функция, входящая в постановку задачи, а именно: целевая функция или левая часть функционального ограничения. Задачи нелинейного программирования несравненно сложнее задач ЛП и для них не существует общего универсального метода решения (аналогичного симплексному методу). Особое место занимают задачи типа: найти max(min)Z = f(x1, x2, … , xn) при ограничениях gi(x1, x2, … , xn) = 0, i = 1, … , m, для решения которых можно воспользоваться классическим методом оптимизации Лагранжа, или методом разрешающих множителей. При этом предполагается, что функции f и gi непрерывны вместе со своими первыми частными производными. Для решения задачи составляют функцию Лагранжа Определяют частные производные этой функции по переменным xj и множителям Лагранжа λi, приравнивают их нулю и получают систему уравнений: Решая систему, получаем множество стационарных точек, в которых функция Z может иметь экстремальные значения. При этом, как правило, неизвестен способ определения точек глобального максимума или минимума. Однако, если решения системы найдены, то для определения глобального максимума или минимума достаточно найти значения целевой функции в соответствующих точках области определения. Методы сетевого планирования и управления. Сетевой моделью (сетевым графиком, сетью) называется экономико-математическая модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научно-исследовательского, производственного и др.), в их логической и технологической последовательности и связи. Анализ сетевой модели, представленный в графической или табличной (матричной) форме, позволяет, во-первых, более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта и, во-первых, определить оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, например, сокращение сроков выполнения всего комплекса работ. Математический аппарат сетевых моделей базируется на теории графов. Графом называется совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами. Если рассматриваемые пары вершин являются упорядоченными, то есть на каждом ребре задаётся направление, то граф называется ориентированным; в противном случае – неориентированным. Последовательность неповторяющихся ребер, ведущая от некоторой вершины к другой, образует путь. Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь, их соединяющий; в противном случае граф называется несвязным. Граф, в котором два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины, называют плоским. Если граф имеет цикл, содержащий все ребра по одному разу, то такой граф называют эйлеровым. Если этот цикл является к тому же простым (вершины не повторяются) то граф называют гамильтоновым. В экономике чаще всего используются два вида графов: дерево и сеть. Дерево представляет собой связный граф без циклов, имеющий исходную вершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями. Сеть – это ориентированный конечный связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток). То есть, сетевая модель - граф виды «сеть». Основные понятия СМ: событие, работа и путь. Работа характеризует материальное действие, требующее использование ресурсов, или логическое, требующее лишь взаимосвязи событий. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой чисел (i, j), где i – номер событие, из которого работа выходит, а j – номер события, в которое она входит. Каждая работа имеет определённую продолжительность t(i, j). К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками. Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. События свершаются в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него. События обозначаются одним числом и при графическом представлении СМ изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер (i = 1, 2, ... N). В СМ имеется начальное событие (с номером 1), из которого только выходят, и конечное событие (с номером N), в которое работы только входят. Путь – это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную длину, называют критическим и обозначают Lкр, а его продолжительность tкр. Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведёт к срыву срока всего комплекса работ. Кратчайший путь – это путь, имеющий наименьшую продолжительность от исходного события до завершающего (Рис. 2.11.). Рис.2.11. Критический (синий) и кратчайший (серый) пути. Основные характеристики СМ и методы их расчёта СМ имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряжённости выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов. Однако перед расчётом СМ следует убедиться, что она удовлетворяет следующим основным требованиям: 1. События правильно пронумерованы, то есть для каждой работы (i, j) i < j. При невыполнении этого требования необходимо использовать алгоритм перенумерации событий, который заключается в следующем: • нумерация событий начинается с исходного события, которому присваивается №1; • из исходного события вычеркивают все исходящие из него работы (стрелки), и на оставшейся сети находят событие, в которое не входит ни одна работа, ему и присваивают №2; • затем вычёркивают работы, выходящие из события №2, и вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа, и ему присваивают №3, и так продолжается до завершающего события, номер которого должен быть равен количеству событий в сетевом графике; • если при очередном вычеркивании работ одновременно несколько событий не имеют входящих работ, то их нумеруют очередными номерами в произвольном порядке. 2. Отсутствуют тупиковые события (кроме завершающего), то есть такие, за которыми не следует хотя бы одна работа. 3. Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа. 4. Отсутствуют циклы, то есть замкнутые пути, соединяющие события с ним же самим. При невыполнении указанных требований бессмысленно приступать к вычислениям характеристик событий, работ и критического пути. Для событий рассчитывают три характеристики: ранний и поздний срок совершения события, а также его резерв. Ранний срок свершения события определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного до рассматриваемого события, причём tp(1)=0, а tp(N) = tкр(L): Поздний срок свершения события характеризует самый поздний допустимый срок, к которому должно совершаться событие, не вызывая при этом срыва свершения конечного события: Этот показатель определяется «обратным ходом», начиная с завершающего события, с учётом соотношения tП(N) = tР(N). Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв R(i): R(i) = tП(i) - tР(i). Резерв показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличении срока выполнения всего комплекса работ. Полный резерв времени показывает, насколько можно увеличить время выполнения конкретной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится. Независимый резерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие – начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ. Путь характеризуется двумя показателями – продолжительностью и резервом. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Резерв определяется как разность между длинами критического и рассматриваемого путей. Из этого определения следует, что работы, лежащие на критическом пути, и сам критический путь имеют нулевой резерв времени. Резерв времени пути показывает, насколько может увеличиться продолжительность работ, составляющий данный путь, без изменения продолжительности общего срока выполнения всех работ. Методы оптимизации сетевых моделей реализованы в существующих автоматизированных системах планирования и управления. Таких систем существуют достаточно много. Одной из них явялется система MS Project 2007. Программа MS Project 2007 даёт возможность формировать сетевые графики, определять время проведения работ, назначать необходимые ресурсы, проводить анализ результатов, управлять ресурсами и финансами. Пробную версию можно найти на официальном сайте Microsoft Office по адресу: http://www.microsoft.com (после регистрации пользователь получает ссылку на ключ по электронной почте). ТЕМА 3. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ Одна из основных задач в экономических исследований – анализ зависимостей между переменными. Зависимость может быть функциональной или статистической. Функциональная связь характеризуется полным соответствием между изменением факторной переменной и изменениями факторной переменной и изменениями результативной величины: каждому значению факторной переменной (или набора факторных переменных) соответствует определённое значение результативной переменной. Так величина начисления заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов. Статистической зависимостью называется связь переменных, на которую накладывается влияние случайных факторов. Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества разнообразных факторов приводит к тому, что одному и значению факторной переменной соответствует распределение значений результативной переменной. Большинство зависимостей в экономике имеют статистический характер. Эконометрика – это наука, которая даёт количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эконометрическое моделирование состоит из следующих этапов: 1. На постановочном этапе формулируются конечные цели моделирования, определяется наборы возможных исследуемых (объясняемых) переменных и факторных (объясняющих) переменных . 2. На предварительном этапе осуществляется предварительный анализ экономической сути изучаемого явления, возможностей сбора и обработки статистических данных. 3. На этапе параметризации производится выбор общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в неё связей. Модель с одной объясняющей и одной объясняемой переменными – модель парной регрессии. Если объясняющих (факторных) переменных используется две или более, то говорят модели множественной регрессии. При этом, в качестве вариантов могут быть выбраны линейная, экспоненциальная, гиперболическая, показательная и другие виды функций, связывающие эти переменные. 4. Информационный этап заключается в сборе информации (проведение наблюдений, использование материалов отчётности и т.д.) и предварительном анализе данных (проверка аномальных значений показателей, сглаживание, тестирование на наличие тенденции). 5. Идентификация модели посвящена определению неизвестных параметров (коэффициентов) модели с использованием имеющегося набора данных. Наибольшее распространение для оценки параметров получил метод наименьших квадратов. 6. Проверка (верификация) модели и прогнозирование предполагает сопоставление реальных и модельных данных, проверку адекватности модели, оценку точности модельных данных. Если модель адекватна и имеет приемлемую точность, то на её основе строится прогноз – точечный и интервальный. Временными рядами называют последовательность наблюдений одного явления (показателя), упорядоченная по времени. Наблюдения (уровни) проводятся, как правило, в равноотстоящие моменты времени. Если во временном ряду проявляется длительная тенденция изменения (увеличения или уменьшения) экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Кроме тренда во временных рядах могут иметь место более или менее регулярные колебания. Большинство экономических показателей имеют сезонные колебания. В общем случае временной ряд можно представить в виде , где - тренд, - регулярные компоненты (суточные, сезонные, циклические и т.д.), - случайная компонента, t = 1, 2, … ,T, - количество наблюдений. Для проверки временного ряда на наличие тренда существуют специальные методы: • метод проверки разности средних уровней - основан на разбиении всего набора данных на части и сравнении средних значений этих частичных наборов. • метод Фостера-Стьюарта – основан на построении специальных последовательностей путём сравнения каждого наблюдения со всеми предыдущими и исследовании этих последовательностей Построение, исследование, прогнозирование с помощью MS Excel рассмотрим на конкретном примере линейной модели временного ряда. Пример: В течение десяти последовательных недель фиксировался доход предприятия Y(t). Временной ряд Y(t) этого показателя приведён в таблице. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y(t) 8 10 9 12 13 17 14 16 15 23 Требуется: 1) Построить линейную модель Yр(t) = a0 + a1 * t, где Yp(t) – расчётные значения временного ряда. 2) Оценить адекватность модели 3) Оценить точность модели 4) Осуществить прогноз дохода на 2 следующие недели (доверительный интервал рассчитать при доверительной вероятности P = 70%). Решение: 1) Построение линейной модели временного ряда Yр(t) = a0 + a1 * t, то есть нахождение значений a0 и a1 по данным наблюдений возможно в MS Excel несколькими способами. Здесь рассматривается применение надстройки РЕГРЕССИЯ с помощью которой можно получить не только коэффициенты уравнения, но и ряд других параметров, которые могут использоваться при исследовании модели и прогнозировании. Для вызова надстройки необходимо задать команду (Excel 2007): Данные – Анализ – Анализ данных – Регрессия. Диалоговое окно надстройки РЕГРЕССИЯ нужно заполнить, как показано на рисунках 3.1., 3.2. Рис. 3.1. Задание входных данных для надстройки РЕГРЕССИЯ Рис. 3.2. Задание Параметров вывода в диалоговом окне надстройки РЕГРЕССИЯ Результаты работы надстройки РЕГРЕССИЯ выводятся в 4 таблицы, которые представлены на рисунке 3.3. Рис. 3.3. Результаты расчёта с помощью надстройки РЕГРЕССИЯ Искомые параметры линейного уравнения регрессии находятся в 3-й таблице в столбце с названием «Коэффицинты». Линейная модель временного ряда по данным наблюдеий из примера имеет вид: Yр(t) = 6,53 + 1,3 * t. 2) Проверка адекватности модели реальному процессу (проверка предпосылок МНК) выполняется путём исследования ряда остатков Ei = Yi - Ypi, где Yi - значения исследуемой переменной в i-м наблюдении, Ypi - значение исследуемой переменной, рассчитанное по уравнению модели путём подстановки в него значений факторных переменных X (во временном ряде - t) из i-го наблюдения. В результатах работы надстройки РЕГРЕССИЯ ряд остатков имеется в последней таблице в столбце «Остатки».Проверяется ряд критериев. Если все они выполняются, то модель можно считать адекватной реальному процессу. Если хотя бы один из критериев не выполняется модель нельзя признать адекватной, соответственно, её не рекомендуется применять для прогнозирования исследуемого процесса. 2.1. Для проверки равенства нулю математического ожидания уровней (членов) ряда остатков применяется t - критерий. Строится t - статистика и сравнивается с табличным критическим значением t(α, n-1), где α - уровень значимости (то есть полученный в результате проверки критерия вывод справедлив с вероятностью 1- α), n - число наблюдений, используемых в качестве исходных данных при построении модели. Значение t - статистики определяется по формулам где - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков , - среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки. На уровне значимости α (чаще всего выбирается равным 0,05 – 0,1) гипотеза отклоняется, если , где - критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1-α) и степенями свободы. Расчёты по данным из примера приведены на рисунках 3.6., 3.7. Для линейной модели t – критерий выполняется автоматически, поскольку = 0. 2.2 Проверка случайности ряда остатков осуществляется с помощью критерия поворотных точек. Уровень (элемент, член) ряда остатков является поворотной точкой, если он одновременно больше или одновременно меньше соседних уровней. При проверке выполнения критерия определяется число поворотных точек в ряде остатков Р и сравнивается с критическим числом Ркр. Если Р > Ркр, то критерий выполняется. Число поворотных точек может быть определено разными методами: а) сравнивается каждый элемент ряда остатков в столбце значений с соседними вручную; б) сравнивается каждый элемент ряда остатков в столбце значений с соседними с помощью формулы MS Excel (например, с помощью функций ЕСЛИ, ЗНАК); в) сравнивается каждый элемент ряда остатков с соседними на диаграмме вручную. Разумеется, при большом количестве наблюдений эффективнее применять функции MS Excel. Заметим, что первый и последний элемент не могут быть поворотными точками, поскольку у них имеется только один соседний элемент. Число Ркр определяется по формуле: Ркр = 2*(n-2)/3 - 1,96 * корень((16 * n -29)/90). Далее, на Рис. 3.4. на примере показано заполнение колонки, отражающей количество поворотных точек вручную, рядом приведена формула, с помощью которой получается такой же результат. Наконец, на диаграмме отражён ряд остатков, все внутренние элементы которого являющиеся поворотными точками выделены более крупными маркерами. Рис. 3.4. Схема проверки выполнения критерия поворотных точек Критерий поворотных точек в примере выполняется, поскольку число Р превышает число Ркр (Рис 3.5.). Рис. 3.5. Результаты проверки выполнения критерия поворотных точек 2.3. Проверка отсутствия автокорреляции в ряде остатков Ei осуществляется с помощью критерия Дарбина - Уотсона (d - критерия). Рассчитывается d - статистика и сравнивается с критическими значениями d1 и d2. Расчётная d - статистика должна быть в интервале от 0 до 4. Критические значения d1 < d2 находятся в пределах от 0 до 2. При сравнении d - статистики с критическими значениями d1 и d2 возникает один из следующих вариантов: а) 0 < d < d1 - d-статиcтика меньше первого (меньшего) критического значения. В этом случае d-критерий не выполняется, автокорреляция в ряде остатков присутствует. б) d1 < d < d2 - d-статистика лежит между критическими значениями. В этом случае мы не можем сделать вывод о выполнимости критерия. Требуется дополнительно вычислять первый коэффициент автокорреляции r1 и сравнивать (по модулю) с критическим значением r1кр. Если модуль (абсолютное значение) r1 - статистики меньше r1кр, то критерий выполняется. Если же модуль r1 - статистики больше чем r1кр, то критерий не выполняется. в) d2 < d < 2 - d-статистика лежит в пределах от d2 до 2. Вывод - критерий выполняется, можно считать, что автокорреляция в ряде остатков отсутствует. г) 2 < d < 4 - d-статистика лежит в пределах от 2 до 4. В этом случае вычисляется d' = 4 - d. Новая статистика d' будет лежать в пределах от 0 до 2. Проверяем, какой из вариантов а) - в) выполняется для d' и делаем соответствующий вывод. Критические значения d1, d2, r1кр находятся по таблицам. Расчётные d-статистика и r1-статистика находятся по формулам: Схема расчётов и результаты проверки критерия Дарбина – Уотсона приведены на рисунках 3.6., 3.7. В рассматриваемом примере мы получили (Рис. 3.7.) значение d-статистики, равное 2,36 и значение r1-статистики, равное -0,35. Поскольку значение d-статистики попадает в интервал от 2 до 4 (случай г)), то вычислеятся d' = 4 - 2,36 = 1,64. Критические значения равны: d1 = 1,08; d2 = 1,36; r1крит = 0,36. Критерий Дарбина-Уотсона выполняется, поскольку d' попадает в интервал от d2 до 2 (случай в)), гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряде остатков принимается. Значение r1-статистики можно было не рассчитывать. 2.4. Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению осуществляется с помощью R/S - критерия. По ряду остатков определяется R/S - статистика и сравнивается с двумя критическими значениями R/S1 и R/S2. Если R/S - статистика попадает в интервал между R/S1 и R/S2, то критерий выполняется, ряд остатков соответствует нормальному распределению. R/S1 и R/S2 определяются по специальным таблицам, расчётное значение R/S - статистики находится по формуле: . Здесь Emax, Emin - максимальный и минимальный элементы ряда остатков. Поскольку максимальный элемент ряда остатков больше 0, а минимальный меньше 0, то в результате абсолютные значения этих элементов складываются Схема расчётов и результаты проверки R/S - критерия приведены на рисунках 3.6., 3.7.: Рис. 3.6. Схема расчётов при проверке t-критерия, критерия Дарбина - Уотсона и R/S – критерия Рис. 3.7. Результаты расчётов при проверке t-критерия, критерия Дарбина - Уотсона и R/S – критерия В рассматриваемом примере (Рис. 3.7.) расчётное значение R/S - статистики равно 3,35, критические значения при n=10 и альфа = 0,1 равны 2,76 и 3,69. Поскольку R/S - статистика попадает в интервал между критическими значениями, то R/S - критерий выполняется. 3) Средняя относительная ошибка аппроксимации Eотн.ср. выражается в процентах и характеризует точность модели. Приемлемая точность модели в практических задачах может определяться из соображений экономической целесообразности в конкретной ситуации. В учебных целях применяется критерий, в соответствии с которым точность считается удовлетворительной, если Eотн.ср. меньше 15%. Не рекомендуется применять для анализа и прогноза модели с неудовлетворительной точностью, то есть, когда Eотн.ср. больше 15%. . Схема и результаты расчёта Eотн.ср. в примере приведены на рисунках 3.8., 3.9. Рис. 3.8. Схема расчётов для определения средней относительной ошибки аппроксимации Рис. 3.9. Результаты расчётов для определения средней относительной ошибки В рассматриваемом примере (Рис. 3.9) получено Eотн.ср = 9,92 %. Поскольку полученное значение средней относительной ошибки аппроксимации меньше 15%, то можно сделать вывод, что точность линейной модели Yp(t) = 6,533 + 1,303 * t удовлетворительная. 4) Точечный прогноз по уравнению линейной парной модели Yp = a0 + а1 *t определяется по формуле: , где k – период упреждения, то есть на сколько шагов перёд мы хотим получить прогноз. Для построения интервального прогноза рассчитывается размах прогнозного интервала: . Тогда с вероятностью (1-альфа) будет выполняться интервальный прогноз: . Проиллюстрируем построение прогноза на рассматриваемом примере временного ряда, линейная модель которого имеет вид Yp(t) = 6,533 + 1,303 * t, на два периода вперёд, то есть для tпрогн = 11 и tпрогн = 12. По условию задачи альфа = 0,3, то есть мы хотим иметь уверенность, что прогноз выполнится с вероятностью 1-0,3 = 0,7 (70%). Число наблюдений в примере n = 10. Число факторных переменных m = 1. На Рис. 3.10. представлена схема расчётов при построении точечного и интервального прогнозов. В расчётах используются коэффициенты из результатов РЕГРЕСИИ: в ячейке В34 расположен коэффициент а0 = 6,533, а в ячейке В35 - коэффициент а1 = 1,303. Результаты расчётов представлены на Рис 3.11. Рис. 3.10. Схема расчётов точечного и интервального прогнозов по линейной модели Рис. 3.11. Результаты расчётов при построении точечного и интервального прогнозов. ТЕМА 4. УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ЛОГИСТИКИ И МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Методы управления запасами. Управление запасами заключается в установлении той или иной периодичности поставок, их объёмов, регулярности и наилучших сроков выполнения. Совокупность правил, по которым принимаются эти решения, называют системой управления запасами. Модель Уилсона (классическая система управления запасами, модель наиболее экономичного размера партии) Рассмотрим работу склада, на котором хранятся товарные запасы, расходуемые на снабжение потребителей. Работа склада сопровождается множеством отклонений от идеального режима. Учесть все отклонения практически невозможно, поэтому при моделировании работы склада обычно делаются следующие предположения: • скорость расходования запасов со склада - постоянная величина, которую обозначим М (единиц товарных запасов в единицу времени); • объём партии пополнения Q есть постоянная величина, так что система управления запасами – это система с фиксированным размером заказа; • время разгрузки прибывшей партии пополнения запасов мало, будем считать его равным нулю; • время от принятия решения о пополнении до прихода заказанной партии есть постоянная величина так, что если нужно, чтобы она пришла точно в определённый момент, то её следует заказать в момент времени на ранее; • на складе не происходит систематического накопления или перерасхода запасов. Если через Т обозначить время между двумя последовательными поставками, то обязательно выполнение равенства: Q = MT. То есть, в момент поступления очередного заказа, товарный запас как раз достигает нулевой отметки. Расходы склада, не зависящие от объёма партии, называют накладными. Сюда входят почтово-телеграфные расходы, командировочные, некоторая часть транспортных расходов и др. Накладные расходы будем обозначать через К. Издержки хранения запасов будем считать пропорциональными величине хранящихся запасов и времени их хранения. Издержки на хранение одной единицы запасов в течение одной единицы времени называют величиной удельных издержек хранения; мы будем обозначать через h. Таким образом, затраты склада за время Т при размере партии пополнения Q в случае идеального режима работы склада равны . После деления этой функции на постоянную величину Т с учётом равенства получим выражение для величины затрат на пополнение и хранение запасов, приходящихся на единицу времени: . Это и будет целевой функцией, минимизация которой позволит указать оптимальный режим работы склада. Найдём объём заказываемой партии Q , при котором минимизируется функция средних затрат склада за единицу времени, т.е. функция . Задачу на минимум можно решить методами дифференциального исчисления: , откуда находим точку минимума . Эта формула называется формулой Уилсона. Используя формулу Уилсона, в сделанных ранее предположениях об идеальной работе склада можно получить ряд расчётных характеристик работы склада в оптимальном режиме: оптимальный средний уровень запаса ; оптимальная периодичность пополнения запасов ; оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени . Пример. На склад доставляют цемент на барже по 1500 т. В сутки со склада потребители забирают 50 т цемента. Накладные расходы по доставке партии цемента равны 2 тыс. руб. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток равны 0,1 руб. Требуется определить: 1) длительность цикла, среднесуточные накладные расходы и издержки хранения; 2) эти же величины для размеров партии в 500 т и в 300 т; 3) каковы оптимальный размер заказываемой партии и расчётные характеристики работы склада в оптимальном режиме. Решение. Параметры работы склада: М = 50 т/сут.; К =2 тыс. руб.; h = 0,1 руб/т·сут.; Q =1500 n/ 1. Длительность цикла: среднесуточные накладные расходы: среднесуточные издержки хранения: 2. Аналогичные расчёты проведём для : среднесуточные накладные расходы: среднесуточные издержки хранения: и для : среднесуточные накладные расходы: среднесуточные издержки хранения: 3. Найдём оптимальный размер заказываемой партии по формуле Уилсона: ; оптимальный средний уровень запаса ; оптимальная периодичность пополнения запасов ; оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени . Классическая модель с допущением дефицита В некоторых случаях издержки хранения продукции являются гораздо более высокими, чем издержки, связанные с отсутствием запаса в течение небольшого промежутка времени. Для этого разработаны модели управления запасами, моделирующие два вида ситуаций: 1. при наличии дефицита заказы покупателей не выполняются и никак не учитываются на будущее; 2. заказы покупателей выполняются с задержкой, т.е. после получения очередного заказа. Изменение уровня запасов в обеих ситуациях представлено на рисунках 4.1., 4.2. Рис. 4.1.Изменение уровня запасов с учётом планирования дефицита для ситуации 1 Рис.4.2. Изменение уровня запасов с учётом планирования дефицита для ситуации 2 Случай невыполнения заявок. Введём дополнительные обозначения: S – максимальный размер дефицита (максимально возможное число единиц товара, которое могло бы быть реализовано за время его отсутствия в каждом цикле); Cd – годовая стоимость отсутствия единицы продукции в запасе (потеря доверия клиентов, непроданная продукция и т.д.). Издержки торгового склада в этом случае определяются по формуле: Издержки ТС = Стоимость подачи заказа+ Стоимость хранения + Штраф за дефицит, Где под Q следует понимать Qопт , то есть оптимальный размер заказа. Решениями этой задачи будут величины: . Случай выполнения заявок. В случае выполнения заявок максимальный уровень запасов будет равен не Qопт, а Издержки ТС = Стоимость подачи заказа+ Стоимость хранения + Штраф за дефицит, Решениями этой задачи будут величины: . Методы теории массового обслуживания СМО – это система, в которой, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, а с другой происходит их удовлетворение. Рис.4.3. Структура СМО Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t ровно k требований задаётся формулой: , где λ – параметр, интенсивность входящего потока заявок. Для оценки качества функционирования рассматриваемой системы используют следующие основные критерии: Рассмотрим пример расчёта характеристик замкнутой СМО. Рассмотрим n- канальную СМО с отказами, т.е. в системе имеется п приборов, на которые поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ=. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает её. Следует определить: вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t , получит отказ; абсолютную и относительную пропускную способность СМО; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (другими словами, среднее число занятых каналов). Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале XX века. Датским математиком Эрлангом. 1. Вероятность отказа в обслуживании (формулы Эрланга) , где ; - нагрузка на систему. 2. Относительная пропускная способность В, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена, . 3. Абсолютную пропускную способность А получим, умножая интенсивность потока заявок λ на В: . 4. Cреднее число занятых каналов . Пример. На строительном участке в инструментальной мастерской работают два мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда оба мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он покидает мастерскую, не ожидая обслуживания. Статистика показал, что среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 18; среднее время, которое затрачивает мастер на заточку или ремонт равно10 мин. Оценить основные характеристики работы данной мастерской как СМО с отказами. Сколько мастеров должно работать в мастерской, чтобы вероятность обслуживания рабочих была выше 85%? Рис.4.4. Расчёт характеристик СМО в Excel Расчёты проведём в Excel. Видно (Рис. 4.4.), что СМО перегружена: из двух мастеров занято в среднем М=1,4, а из обращающихся в мастерскую рабочих около Ротк =53% остаются необслуженными. Из таблицы видно, что минимальное число каналов обслуживания (мастеров), при котором вероятность обслуживания работников будет выше 85% ( вероятность отказа ниже 15%), равно . Имитация с применением метода Монте-Карло, использование средств Excel Метод Монте-Карло – это метод статистического моделирования, позволяющий воспроизводить на компьютере случайные величины с заданными законами распределения. Отдельные реализации этих с.в. называют псевдослучайными числами. Процедуры получения таких чисел называют датчиками псевдослучайных чисел. Непрерывное равномерное распределение (р.р.) моделирует функция Excel =СЛЧИС(), которая возвращает случайное число из интервала от 0 до 1. Для моделирования в Excel дискретного р.р. целых чисел, принимающих значения от x до y, используется формула: =ЦЕЛОЕ (Х+(Y-X+1)*СЛЧИС()) В общем случае генерирование случайных чисел основывается на использовании фундаментального соотношения теории вероятности: где xi - случайные числа с законом распределения, соответствующим плотности распределения (нижний предел интеграла равен 0, если необходимы только положительные числа); Pi – случайные числа с р.р. в интервале от 0 до 1. Например, используя это соотношение для получения случайных чисел с показательным законом распределения , иметь . Примеры применения имитационного моделирования в задаче СМО Пример 1. С помощью табличной модели проведём имитацию функционирования инструментальной мастерской, в которой работают два мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда оба мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он покидает мастерскую, не ожидая обслуживания. Статистика показал, что среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 18; среднее время, которое затрачивает мастер на заточку или ремонт равно10 мин(1/6 часа). Дать оценку вероятности отказа в обслуживании в этой двухканальной СМО с отказами в предположении, что входящий поток рабочих – это простейший поток (λ = 18), а время обслуживания следует экспоненциальному закону (μ = 6). Решение. Имитационный эксперимент проведём с использованием MS Excel. На рисунке 4.5. представлен моделирующий алгоритм (табличная имитационная модель) при числе испытаний N= 15. Рис.4.5 Табличное представление имитации Для получения случайных чисел с показательным законом распределения использовано соотношение. Случайные числа Piс равномерным их распределениемв интервале от 0 до 1 получены с помощью функции =СЛЧИС() Мастер функций (Математические). Эти числа содержатся в ячейках $C$4:$Q$4 (рис.4.5). Пятнадцать реализаций с.в. длительности интервала τ (в часах) между очередными поступлениями требований (рабочих) содержатся в ячейках $C$5:$Q$5. Для получения, например, содержимого ячейки С5 использована функция =(-1/18)*LN(C4). Соответственно, кумулятивным образом (строка 7) на временной оси [0, T] зафиксировано время Тi(i=1,2,…,15) поступления требований (в минутах, с округлением). Для получения реализаций с.в. длительности обслуживания t(в минутах, с округлением) в соответствующую ячейку электронной таблицы (строки 8 и 10) записывается формула =60*(-1/6)*LN(СЛЧИС()). Далее последовательно сравниваются время окончания обслуживания каналами (строки 9 и 11) и время поступления требований (строка 7); соответственно, в счётчике отказов (строка 12) фиксируется 0 (требование принято к обслуживанию) или 1 (требованию отказано в обслуживании). В соответствии со счётчиком отказов (в ячейках $C$12:$Q$12) зафиксировано 8 отказов, т.е. статистическая оценка вероятности отказа в данной СМО при N =15 равна (8/15) =0,53. ТЕМА 5. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ И РИСКА Методы теории игр Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтных ситуаций, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игра – это упрощённая математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведётся по определённым правилам. Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша, которая может задаваться аналитически либо таблично (матрицей, её называют матирцей игры или платёжной матрицей). Игра, в которой выигрыши и проигрыши игроков задаются матрицей, называется матричной. Игра, в которой один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой, называется игрой с нулевой суммой. Под стратегией в игре понимают совокупность правил, определяющих выбор игроком одного из возможных вариантов действий. Задачи теории игр 1. Выбор оптимальной стратегии 2. Определение размера выигрыша 3. Определение наилучшей стратегии на предприятии с учётом представлений о других участниках игры (конкурентах), их ресурсах и возможных поступках Постановка задачи: • имеется множество конфликтующих сторон, принимающих решения, интересы которых не совпадают; • сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные игрокам; • определен набор возможных конечных состояний игры (например, выигрыш, ничья, проигрыш); • всем игрокам заранее известны функции выигрыша (платежи), соответствующие каждому возможному конечному состоянию. Пример. В игре участвуют два игрока, каждый из них может записать независимо от другого 1,2 и 3. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами; и наоборот: если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, игра заканчивается в ничью. У первого игрока три стратегии: A1 (записать 1), А2 (записать 2) и А3 (записать 3); у второго игрока также три стратегии: В1, В2, В3. Задача первого игрока - максимизировать свой выигрыш, задача второго игрока - минимизировать свой проигрыш. Матрица игры, или платёжная матрица, имеет вид . Найдём наилучшую стратегию первого игрока. Если игрок выбрал стратегию A1, то в худшем случае он получит выигрыш При выборе стратегии А2 выигрыш составит , а при выборе стратегии А3 - соответственно . Предвидя такую возможность, первый игрок должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш: . Аналогично определяется наилучшую стратегию второго игрока. Второй игрок при выборе стратегии В1 в худшем случае получит проигрыш При выборе стратегии или проигрыш составит соответственно ; Второй игрок выбирает стратегию, при которой его проигрыш будет минимальным: Величина α – гарантированный выигрыш игрока – называется, нижней ценой игры. Стратегия, обеспечивающая получение выигрыша α, называется максиминной. Величина β – гарантированный проигрыш игрока – называется, верхней ценой игры. Стратегия, обеспечивающая получение проигрыша β, называется минимаксной. Для матричных игр справедливо неравенство Если , то такая игра называется игрой с седловой точкой. Элемент матрицы, соответствующий паре оптимальных стратегий, называется седловой точкой. Этот элемент является ценой игры. Таким образом, решением игры, рассмотренной выше, будут оптимальные стратегии: A3* (i = 3 – третья строка), В3* (j = 3 – третий столбец); цена игры ν. Игры с природой Игры с природой – это игры, в которых неопределённость вызвана не сознательным противодействием противника, а недостаточной осведомлённостью об условиях, в которых действуют стороны. Например, заранее неизвестна погода в некотором регионе или покупательский спрос на некоторую продукцию. Условия такой игры обычно представляются таблицей решений, в которой строки а1, а2,…, аm соответствует стратегиям ЛПР (лица, принимающего решения), а столбцы b1, b2,…, bn - стратегиям природы; aij – выигрыш ЛПР, соответствующий каждой паре стратегий аi, bj . Возможные стратегии b1 b2 … bn a1 a11 a12 … a1n … … … … … am am1 am2 … amn В рассматриваемой ситуации при выборе из множества { а1, а2,…, аm} наилучшего решения обычно используют следующие критерии. 1. Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она выбирается из условия И совпадает с нижней ценой игры. Критерий Вальда является пессимистическим: считается, что природа будет действовать наихудшем для человеком способом. 2. Критерий максимума. Он выбирается из условия . 3. Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле , где – степень оптимизма (показатель пессимизма – оптимизма) изменяется в диапазоне [0, 1]. Критерий Гурвица придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При критерий превращается в критерий Вальда, а при – в критерий максимума. На оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем больше последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем ближе к единице. 4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесёт человек(фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии: . Элементы матрицы рисков находятся по формуле , где – максимальный элемент в столбце исходной матрицы. Оптимальная стратегия определяется выражением . При принятии решений в условиях неопределённости следует оценивать различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учётом результатов дополнительных исследований. Пример. В приближении посевного сезона фермер имеет четыре альтернативы: A1 - выращивать кукурузу, А2 – пшеницу, А3 – овощи или А4 – использовать землю под пастбища. Платежи, связанные с этими возможностями, зависят от количества осадков, которые условно можно разделить на четыре категории: : В1- сильные осадки , В2 - умеренные, В3 – незначительные, В4 – засушливый сезон. Платёжная матрица оценивается следующим образом: . Какое управленческое решение должен принять фермер? Решение. 1. Согласно критерию Вальда рекомендуется применять максиминную стратегию: . Следует использовать землю под пастбища. 2. Воспользуемся критерием Сэвиджа. Составим матрицу рисков, элементы которой находим по формуле : . Оптимальная стратегия определяется выражением . В соответствии с этим критерием следует сеять пшеницу. 3. Воспользуемся критерием Гурвица. Оптимальная стратегия определяется по формуле Предположим, что степень оптимизма . Тогда Т.е. следует принять решение о выращивании овощей. 4. Если допустить, что известно распределение вероятностей для различных состояний природы, например эти состояния равновероятны (), то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша: Так как максимальное значение имеет , то следует сеять пшеницу. Таблица Решения, принятые в зависимости от используемого критерия Решение Критерий Число решений, принятых по разным критериям Вальда Гурвица Сэвиджа МО выигрыша A1 - A2 х х 2 A3 х 1 A4 х 1 Из таблицы видно, что оптимальное поведение во многом зависит от принятого критерия выбора наилучшего решения, поэтому выбор критерия является наименее простым и наиболее ответственным вопросом в исследовании операций. Экспертные методы принятия решений Неполная формализация управленческих процессов, недостаточная полнота и достоверность их информационного обеспечения часто не позволяют применять для принятия решения строгие математические методы. В этих условиях при выработке решений в зависимости от конкретной управленческой ситуации прибегают к методам экспертных оценок. Для широкого круга не формализуемых задач экспертные процедуры являются эффективным, а в ряде случаев и единственным средством их решения. Можно привести многочисленные примеры применения экспертных оценок для решения задач прогнозирования, планирования, оперативного управления контроля. Сущность метода экспертных оценок заключается в проведении квалифицированными специалистами-экспертами интуитивно-логического анализа проблемы с количественной оценкой суждений и формальной обработкой результатов. Получаемое в результате обработки обобщённое мнение принимается как решение проблемы. Задача экспертного оценивания состоит, как правило, в получении группового объективного мнения на основе некоторой совокупности индивидуальных субъективных мнений экспертов. Одним из наиболее эффективных методов экспертных оценок является метод Дельфи. Пример 4. Десять экспертов оценили прогнозные значения экономического показателя: Эксперт 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Прогноз 16,9 13,8 11,9 12,3 16,3 12,0 16,1 20,6 16,8 13,1 Требуется методом Дельфи найти точечный и интервальный прогнозы. Решение. Расположив результаты оценок в порядке возрастания, получим следующий ряд: 11,9 12,0 12,3 13,1 13,8 16,1 16,3 16,8 16,9 20,6 В качестве точечного прогноза принимают медиану полученного ряда. Медиана – это среднее, полученное путём выявления «центрального» значения в перечне данных, расположенных в ранжированном порядке (иначе говоря, медиана – это значение признака у средней единицы ранжированного ряда). В общем виде при наличии п значений медиана это значение с порядковым номером [(n+1)/2]. В последовательности из 10 данных значений медиана будет отвечать [(10+1)/2]=[5,5] – му порядковому номеру (т.е. номеру, который находится посередине между 5-м и 6-м значениями). Таким образом, медиана равна (13,8+16,1)/2 =14,95. При интервальном прогнозе в качестве нижней и верхней границ доверительного интервала принимают значения первого и третьего квартиля соответственно (при межквартильном размахе доверительная вероятность прогноза 50%). Определим значения первого и третьего квартиля: • нижний (первый) квартиль Q1 значение ранжированного ряда с порядковым номером ([(n+1)/4] = 2,75 (между 2-м и 3-м значениями): Q1 = 12 + 0,75 * (12,3 - 12) = 12,225; • верхний (или третий) квартиль Q3 - значение ранжированного ряда с порядковым номером ([3(n+1)/4] = 8,25 (между 8-м и 9-м значениями): Q3 = 16,8 + 0,25 (16,9 – 16,8) = 16,825. Межквартильный размах включает 50% центральных значений. Второй квартиль есть не что иное, как медиана. При этом и межквартильный размах . Метод статистической обработки результатов экспертных оценок При статистической обработке результатов экспертных оценок (значение прогнозируемой величины, данное i-м экспертом, i=1,2,…,п) в качестве точечной оценки принимают среднее значение прогнозируемой величины: Далее определяется дисперсия D и оценка j для доверительного интервала: , , где t- коэффициент Стьюдента для заданного уровня доверительной вероятности р и числа степеней свободы п-2. Доверительные границы для значения прогнозируемой величины (верхняя и нижняя границы) вычисляются по формуле . Пример 5. Десять экспертов оценили прогнозные значения экономического показателя. Методом статистической обработки результатов экспертизы найти точечный и интервальный прогнозы (). Результаты экспертного опроса Эксперт i 1 2 3 4 1 21,3 1,31 1,72 2 19,2 -0,79 0,62 3 17,9 -2,09 4,37 4 18,2 -1,79 3,20 5 20,9 0,91 0,83 6 18,0 -1,99 3,96 7 20,7 0,71 0,50 8 23,7 3,71 13,76 9 21,2 1,21 1,46 10 18,8 -1,19 1,42 Сумма 199,9 - 31,85 Решение. В качестве точечной оценки принимают средне значение прогнозируемой величины: . Для нахождения дисперсии D и оценки j для доверительного интервала используются графы 3 и 4 таблицы (t = СТЬЮДРАСПРОБР(0,4; 8)=0,88): , Верхняя граница доверительного интервала нижняя граница . ЛИТЕРАТУРА 1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие. – М.: Вузовский учебник, 2012 2. Кане М.М., Иванов Б.В., Корешков В.Н., Схиртладзе А.Г. Системы, методы и инструменты менеджмента качества: учебное пособие. – СПб.: Питер, 2008 3. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. – 2-е изд., испр. и доп. -М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012 Оглавление ТЕМА 1 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 2 ТЕМА 2 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ 4 ТЕМА 3 ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 17 ТЕМА 4 УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ЛОГИСТИКИ И МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 25 ТЕМА 5 ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ И РИСКА 36 ЛИТЕРАТУРА 41