Общая схема исследования функции и построения графика.

Лекция №18. Общая схема исследования функции и построения графика. План: 1. Общая схема исследования функции. 2. Примеры исследования функции. Пример. 1. Исследовать функцию и построить ее график. 1) Находим область определения функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ). 2) , т.е. функция нечетная. (график функции симметричен относительно начала координат) 3) Найдем точки пересечения с осями. с осью Ox: когда . с осью Oy когда Т.е. имеем одну точку пересечения с осями координат – это начало координат. Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1. 4) Найдем производную функции Находим критические точки: , т.е.  критические точки , x -1 (-1; 1) 1 f’(x) + – – – + f(x) max не сущ не сущ min Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 5) Найдем вторую производную функции . x -1 (-1; 0) (0; 1) 1 f”(x) – – + – + + f(x) - т.п. - т.п. - 6) Очевидно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой. Найдем наклонные асимптоты. Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x. 7) Построим график функции: Пример. 1. Провести полное исследование функции и построить ее график. 1) Данная функция определена для всех 2) Функция не является четной, нечетной, периодической. 3) Функция не имеет точек разрыва и пересекает ось Ox при и , а ось Oy – при . 4) Находим первую производную. при - не существует при x -3 -2 (-2; 0) f’(x) + + – + f(x) max min Видно, что точка х = -2 является точкой максимума, а точка х = 0 является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 5) Найдем вторую производную функции Вторая производная не равна нулю для любого конечного x. Поэтому точками перегиба могут быть только те точки кривой, в которой вторая производная не существует, т.е. при и . x -3 f”(x) + – – f(x) т.п. - 6) Вертикальных асимптот нет, так как данная функция не имеет бесконечных разрывов. Найдем наклонные асимптоты. Получили уравнение наклонной асимптоты . 7) По результатам исследования строим график функций.