Обратная матрица

КУРС ЛЕКЦИЙ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ 3. Сегодня пятница, 23 октября 2020 г. 23.10.2020 План лекции 3. 3.1 Обратная матрица. 3.2 Ранг матрицы. 3.1 Обратная матрица. Пусть А – квадратная матрица n-го порядка. 1 (того же порядка n) Квадратная матрица A называется обратной для А, если выполняется условие: 1 1 A  A  A  A  E. 3. Обратная матрица Пусть А – невырожденная (det A≠0) квадратная матрица (1.2) порядка n. Е – единичная матрица того же порядка. Матрица А–1 называется обратной к матрице А, если выполняются равенства 1 1 A  A  А  А  Е. Теорема. ( О существовании обратной матрицы). Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля (det A0, т.е. когда матрица является невырожденной). Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу:  А11 А21 .... Аn1    1  А12 А22 .... Аn 2  1 A   det A .... .... ..... .....    А  А ..... А 2n nn   1n Aij – алгебраическое дополнение элемента aij. n =2. a 11  А   a 21  1  А11 A     А12 1 a12 . a22  А21 . А22  0. Обратная матрица: 1  a22  a12  A   .  a11     a21 1 n = 3.  a11  A  a21   a31 a12 a22 a32 a13   a23 .  a33  Обратная матрица: A11  1  1 А  A12 det A  A  13 A21 A22 A23 A31   A32 .  A33  Утверждение: 1 Обратная матрица A состоит из элементов, вычисляемых по следующему правилу: в i-ой строке матрицы A 1 стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы А, поделенные на величину определителя   det A.     1 A       A11  A12  A21  A22  A1n  A2 n         Ann     An1  An 2  Доказательство: Покажем, что  A11 A21 A A 1  12 22      A1n A2 n 1 A  A  E. An1   a11 a12   An 2   a21 a22      Ann   an1 an 2 a1n   a2 n   Cnn   ann  Выпишем первые два элемента 1-й строки матрицы Cnn . Тогда, из следствия теоремы 1 раздела 2.3 получаем равенство по первой нижеприведенной строчке, а, применяя теорему 2 из того же раздела, получаем вторую строчку: с11  A11a11  A21a21   An1an1   с12  A11a12  A21a22   An1an 2  0 Следовательно: сij i j  и сij i j  0. Поэтому:  0 1 C   0  0 1   0 0        0 1 Аналогично доказывается, что 1 A  A  E. 0  0  E.   1 Алгоритм построения обратной матрицы. Рассмотрим матрицу:  a11 a12 a a22 21  A    an1 an 2 a1n   a2 n  .   ann  Для нахождения обратной матрицы следует выполнить три действия: 1) Найти определитель матрицы   det A. А 2) Построить союзную матрицу:  A11 A 21 *  A     An1 A12 A22 An 2 A1n   A2 n  .   Ann  3) Выписать обратную матрицу: 1 * T A   (A ) .  1 Свойства обратных матриц: 1. 2. 1 1 1 ( A  B)  B  A 1 T T 1 (A )  (A ) 1 1 3. (A )  A 4. 1 det( A )  det A 1 Примеры нахождения обратных матриц Пример 2.4.1. Найти обратную матрицу для матрицы A, если  1 3 1    A   0 1 2  .  1 1 0    а) Вычислим определитель матрицы А, разложив его по элементам 3-й строки 1 3 1 4 3 1 5 1 1   det( A)  0 1 2  1  (1)   (1)  (1)   1 2 0 2 1 1 0  1  (5)  1  (2)  7 б) Найдем матрицу матрицы A11  (1)  2 A21  (1)  3 A31  (1)  4 3 ~ A алгебраических дополнений А: 1 2 1 A12  (1)   1; A22  (1)   5; A32  (1)  3 1 1 1 1 2 0 2  2; 3 4 5 1 1 1 1  2; A13  (1)   1; A23  ( 1)  1 1 0 2  2; 4 1 1 1 5 1 1 1 A33  ( 1)  6 3  1;  4; 1 3 0 1  1.  2 2 1   A   1 1 4 .  5 2 1   в) Построим обратную матрицу 1 ~Т A  ( A) .    2 1  5  1 1 A   2 1 2 7  1  1 4 1 Пример Найти обратную матрицу к матрице A11 A21 A31  1 0 0   . А  1  1 0 . А1  1  A A A 1 0 1  12 22 32   det A    A13 A23 A33  det A  1. Решение Пример Найти обратную матрицу к матрице A11 A21 A31  1 0 0   . А  1  1 0 . А1  1  A A A 1 0 1  12 22 32   det A    A13 A23 A33  det A  1. 11  1 A11  (1) Решение 01   1, Найти обратную матрицу к матрице 1 0 0  А  1  1 0 . 1 0 1    Пример det A  1 11  1 A11  (1) Решение A12  (1)1 2 0 1 10 1 1  1  1 Найти обратную матрицу к матрице 1 0 0  А  1  1 0 . 1 0 1    Пример det A  1 11  1 A11  (1) Решение A12  (1)1 2 A13  (1)1 3 01 10   1,   1, 11 1 1 1, 1 0 Пример Найти обратную матрицу к матрице A11 A21 A31   1 0 0  А  1  1 0 . А1  1  A12 A22 A32 . 1 0 1   det A  A    13 A23 A33   1    1  1 A     1   . 1  11  1 0  1   A11  (1)  1,   det A  1. Решение A12  (1)1 2 A13  (1)1 3 0 1 1 0  1, 1 1 1 1  1, 1 0 Пример Найти обратную матрицу к матрице A11 A21 A31   1 0 0  А  1  1 0 . А1  1  A12 A22 A32 . 1 0 1   det A  A    13 A23 A33  A21  (1)21 Решение A22  (1)2 2 A23  (1) 23  1      0, A1  1    1    01 1   1     10  1, 11 0 0 10 10  0, Пример Решение Найти обратную матрицу к матрице A11 A21 A31   1 0 0  А  1  1 0 . А1  1  A12 A22 A32 . 1 0 1   det A  A    13 A23 A33  11   0, A1  11 11  01  1  1   11 A21  (1)21 0 0 A22  (1) 2 2 10 A23  (1) 23 11 10 10  1,  0, 0    1 .     0   Пример Решение Найти обратную матрицу к матрице A11 A21 A31   1 0 0  А  1  1 0 . А1  1  A12 A22 A32 . 1 0 1   det A  A    13 A23 A33  A21  (1)21 0 0 A22  (1) 2 2 10 A23  (1) 23 01 11 10 10  0,  1,  0,  1 0   1  1 A     1 1  . 1   1    Пример Найти обратную матрицу к матрице A11 A21 A31   1 0 0  А  1  1 0  А1  1  A12 A22 A32  1 0 1   det A  A    13 A23 A33  0  1 0   A31  (1)  0 11 11  1 0 AA   1 1  0  11   1 1  1  3 2   A32  (1) 0 Решение 10 31 0 0 3 3 1 0 A33  (1) 1 1  1 Пример Решение Найти обратную матрицу к матрице A11 A21 A31   1 0 0  А  1  1 0  А1  1  A12 A22 A32  1 0 1   det A  A    13 A23 A33   1 0 0   1 0 0     1  1 A     1 1 0    1  1 0 . 1     1 0 1 1  1      1 0 0 1   1     1 1  1 0  1  1 0    0 1 0 .   AA    1 0 1   1 0 1  0 0 1  3.2 Ранг матрицы. Ранг матрицы (m строк, n столбцов). Рангом матрицы А называется наибольший порядок r ее миноров, отличных от нуля. Обозначение rang(А)=r. При этом любой минор порядка r, отличный от нуля, называется базисным. Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k-го порядка М, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-го порядка, и вся процедура повторяется. Метод элементарных преобразований. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, которые осуществляются над строками или столбцами данной матрицы, называемыми рядами. Элементарными преобразованиями считаются: 1) транспонирование матрицы; 2) перестановка двух параллельных рядов; 3) вычеркивание ряда, состоящего из нулей; 4) умножение всех элементов ряда на число (не ноль) 5) прибавление к элементам ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных число. Используя элементарные преобразования, матрицу размера m×n можно привести к такому виду, когда все элементы, кроме a11 , a22 ,..., arr , где r  min (m, n), равны нулю. Тогда ранг матрицы равен r. Пример 2.5.1. Найти ранг матрицы: Решение: 1 0  2 4 3  1 2 1 4 2  . A 0 1 1 3 1    4 7 4 4 5  1 способ. Метод окаймляющих миноров. Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля: M2  4 3 2 1  2  0. Минор 3-го порядка, окаймляющий минор М2: 2 4 3 M 3  1 2 1  1  0. 1 1 Найдем миноры 4-го порядка, окаймляющие М3 2 4 3 1 1 2 1 4  0, 1 1 3 4 7 4 4 2 4 3 0 1 2 1 2  0. 1 1 1 4 7 4 5 Таким образом, наибольший порядок миноров, отличных от нуля, равен 3. Следовательно, rang(A)=3. 2 способ: Метод элементарных преобразований. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы А. Для упрощения дальнейших вычислений сначала транспонируем матрицу А. Приведем полученную матрицу к верхнетреугольному виду. Количество ненулевых строк этой матрицы и будет равно рангу данной матрицы. 1 0 4 3 4   2  1 4 3 4   1 4  4 2 1 7  (1)  4 2 1 7  (2)  0 18 13 23  (3)        3 1 1 4    3 1 1 4    0 13 10 16         1  4 3  4 2 1 4 9  6 12        0 2 1 5  0 2 1 5 0 2 1 5       3 4  3 4   1 4  1 4  1 4 3 4  (3)  0 1 3 1 (4)  0 1 3 1 (5)  0 1 3 1  0 13 10 16   0 0 29 29   0 0 1 1 .        18 13  23  41  41       0  0 0  0 0 0 0 2 1 5 7 7       (1): переставили местами1-ю и 4-ю строки; (2): к элементам 2-й строки прибавили соответственные элементы 1-й строки, умноженные на 4; из элементов 3-й (4-й) строк вычли соответственные элементы 1-й строки, умноженные на 3 (на 2); (3): элементы 4-й строки поделили на 3, затем вычли соответственные элементы 5-й строки, после чего полученную 4-ю строку и 2-ю строку поменяли местами; (4): из элементов 3-й (4-й, 5-й) строк вычли соответственные элементы 1-й строки, умноженные на 13 (на -18, на 2); (5): поделили элементы 3-й, 4-й, 5-й строк соответственно на 29, на -41, на 7; вычли из 4-й и 5-й строк элементы 3-й строки. В полученной верхнетреугольной матрице три нулевые строки, следовательно rang(A)=3. Ответ: rang(A)=3. (1): переставили местами1-ю и 4-ю строки; (2): к элементам 2-й строки прибавили соответственные элементы 1-й строки, умноженные на 4; из элементов 3й (4-й) строк вычли соответственные элементы 1-й строки, умноженные на 3 (на 2); (3): элементы 4-й строки поделили на 3, затем вычли соответственные элементы 5-й строки, после чего полученную 4-ю строку и 2-ю строку поменяли местами; ( (4): из элементов 3-й (4-й, 5-й) строк вычли соответственные элементы 1-й строки, умноженные на 13 (на -18, на 2); (5): поделили элементы 3-й, 4-й, 5-й строк соответственно на 29, на -41, на 7; вычли из 4-й и 5-й строк элементы 3-й строки. В полученной верхнетреугольной матрице три нулевые строки, следовательно rang(A)=3. Ответ: rang(A)=3. 2.4 Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение обратной матрицы. 2.Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы. 3. Перечислите свойства обратной матрицы. 4. Дайте понятие минора к-го порядка данной матрицы. 5. Что называется рангом матрицы? 6. В чём состоит метод окаймления минора при нахождении ранга матрицы? 7. Какие преобразования над строками (столбцами) матрицы называются элементарными? 8. Как найти ранг матрицы при помощи элементарных преобразований? ЗА ВНИМАНИЕ