Обработка результатов измерений

Лекция 2. Обработка результатов измерений 1 Нормативные документы  РМГ 29-2013 ГСИ. Метрология. Основные термины и определения  ГОСТ Р 8.736-2011 Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения  МИ 2083-90 ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей 2 Лекция №2 1. Понятие погрешности. Классификация погрешностей. 2. Методы исключения и компенсации систематических погрешностей. Оценка случайных погрешностей. 3. Обработка результатов многократных и однократных измерений. Обработка результатов косвенных измерений. 3 Понятие погрешности. Классификация погрешностей. 4 Понятие погрешности Определение погрешности дается в нормативном документе РМГ 292013 ГСИ. Метрология. Основные термины и определения. Погрешность (результата измерения) - разность между измеренным значением величины и опорным значением величины. Измеренное значение (величины) - значение величины, которое представляет результат измерения. Опорное значение (величины) - значение величины, которое используют в качестве основы для сопоставления со значениями величин того же рода. Результат (измерения величины): Множество значений величины, приписываемых измеряемой величине вместе с любой другой доступной и существенной информацией. Результат измерения может быть представлен измеренным значением величины с указанием соответствующего показателя точности. К показателям точности относятся, например, среднее квадратическое отклонение, доверительные границы погрешности, стандартная неопределенность измерений, суммарная стандартная и расширенная неопределенности. 5 В предыдущей версии данного нормативного документа РМГ 2999 использовался следующий термин: Погрешность результата измерения - отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. Изменение термина вызвано изменением понятия результат измерения, которое в новой редакции включает в себя понятие точности. Истинное значение (величины) - значение величины, которое соответствует определению измеряемой величины. Другими словами, это значение величины, которое идеальным образом характеризует в количественном и качественном отношении соответствующую физическую величину Действительное значение (величины) - значение величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. 6 Классификация погрешностей По способу выражения: 1. Погрешность измерения (Δ), выраженная в единицах измеряемой величины, называется абсолютной: ∆ = |Х — Q|, где X – измеренное значение величины, Q – действительное (опорное) 2. Относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к опорному значению измеряемой величины:    100% Q 7 Классификация погрешностей по характеру их проявления 8 Систематические погрешности Систематическая погрешность измерения (ГОСТ Р 8.736-2011) – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью. В зависимости от характера изменения во времени систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессирующие, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону. В зависимости от характера изменения по диапазону измерений – на постоянные и пропорциональные. Постоянные погрешности – погрешности, которые в течение длительного времени, например, в течение времени выполнения всего ряда измерений, остаются постоянными (или – неизменными). Они встречаются наиболее часто. 9 Прогрессирующие погрешности – непрерывно возрастающие или убывающие погрешности. Например, погрешности вследствие износа из мерительных наконечников, контактирующих с деталью при контроле ее прибором активного контроля. Периодические погрешности – погрешности, значение которых является пери одической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора. Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, происходят вследствие совместного действия нескольких систематических погрешностей. Пропорциональные погрешности – погрешности, значение которых пропорционально значению измеряемой величины. Оставшуюся систематическую погрешность измерения после введения поправки называют неисключенной систематической погрешностью (НСП). Здесь поправка – значение величины, вводимое в показание с целью исключения систематической 10 погрешности. Причины, вызывающие появление систематических погрешностей Погрешности метода возникают из-за ошибок или недостаточной разработанности теории метода измерений. Сюда же можно отнести неправомерную экстраполяцию свойства, полученного в результате единичного измерения, на весь измеряемый объект. К погрешностям метода относят также влияние инструмента на свойства объекта (например, значительное измерительное усилие, изменяющее форму тонкостенной детали). Инструментальные погрешности связаны с погрешностями средств измерений, вызванными погрешностями изготовления, сборки или износа, старения составных частей средства измерений. 11 Погрешности, зависящие от оператора: вызванные, например, запаздыванием или опережением при регистрации сигнала, неправильным отсчетом десятых долей деления шкалы или постоянным чрезмерно грубым округлением результата измерений, параллаксом при отсчете по шкале. К погрешностям, вызванным воздействием окружающей среды и условий измерений, относят  неправильную установку и взаимное расположение средств измерений, являющихся частью единого комплекса, несогласованность их характеристик;  нестабильность источников питания;  влияние внешних температурных, гравитационных радиационных и других внешних полей.  нежесткость поверхности, на которую установлено средство измерений, и др. 12 Случайные погрешности Случайная погрешность (ГОСТ Р 8.736-2011) – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью. Причин, вызывающих случайные погрешности измерений, может быть много, например  перекосы элементов приборов в их направляющих,  нерегулярные изменения моментов трения в опорах,  изменение внимания оператора, округления показаний средства измерений,  колебания температуры окружающей среды, влажности и др. 13 Грубые погрешности (промахи) Грубая погрешность измерения (ГОСТ Р 8.736-2011) погрешность измерения, существенно превышающая зависящие от объективных условий измерений значения систематической и случайной погрешностей. Наиболее часто они допускаются неквалифицированным персоналом при неправильном обращении со средством измерения, неверным отсчетом показаний, ошибками при записи. Иногда они могут возникать при изменении условий измерений (например, внезапное изменение напряжения питающей сети или неучтенное изменение окружающей температуры при длительном измерительном эксперименте). 14 Методы исключения и компенсации систематических погрешностей. Оценка случайных погрешностей. 15 Исключение систематических погрешностей Методы обнаружения:  сравнение результатов измерений с другими, полученными с использованием более точных методов и средств измерений;  замена средства измерений на аналогичное в случае, если оно предположительно является источником систематической погрешности Неисправленный результат измерений величины – результат измерений величины, полученный до введения в него поправки в целях устранения систематических погрешностей. Поправка – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности. Поправка на систематическую погрешность, вводимая в результат измерений, равна ей по абсолютному значению и противоположна по знаку. 16 Результат измерения, в который внесены поправки на систематическую погрешность, называют исправленным результатом измерений. Q = X + Ca Влияние систематической погрешности можно исключить введением безразмерного поправочного множителя. Согласно РМГ 29-2013 поправочный множитель – числовой коэффициент, на который умножают показание с целью исключения влияния систематической погрешности. Q = CмХ Поправки и поправочные множители могут определяться теоретически или экспериментально, могут быть представлены в виде числа или функции, заданной графически, таблично или с помощью аналитических выражений. Пример 1. При взвешивании массы груза весы показывают 50,7 кг. Систематическая погрешность градуировки весов Δs = + 0,3 кг. Указать исправленный результат измерений. Решение. Исправленный результат измерений: 50,7кг + (− 0,3 кг) = 50,4 кг. 17 Исключение систематических погрешностей при планировании и выполнении измерений Поправки в результат измерения вносятся после выполнения эксперимента. Другой способ – устранение источников погрешностей до начала измерений, на этапе их планирования (непосредственное устранение или защита измерительной аппаратуры и объекта измерений от его влияния). В случае технической или метрологической неисправности отдельного средства измерений погрешность может быть уменьшена путем ремонта, регулировки, настройки прибора и его последующей поверки (калибровки). Внешние влияющие факторы: климатические; электрические и магнитные; внешние нагрузки; ионизирующие излучения, газовый состав атмосферы и т. д. 18 Нормальные условия С целью уменьшения погрешности измерений к условиям их проведения предъявляются жесткие требования. Для конкретных областей измерений устанавливают единые условия, называемые нормальными: Влияющая величина Номинальное значение влияющей величины Температура окружающей среды 20 °С (293 К) Давление окружающего воздуха 101,3 кПа Относительная влажность воздуха Плотность воздуха Магнитная индукция (напряженность магнитного поля) и напряженность электростатического поля 65% 1,2 кг/м3 Соответствует характеристикам поля Земли в данном географическом районе 19 Мероприятия по устранению влияющих факторов • Термостатирование – предупреждающее появление температурной погрешности (воздушное и жидкостное). • Экранирование – защита от влияния магнитного поля Земли и от магнитных полей, образованных постоянными и переменными токами. • Для амортизации колебаний (вибраций) используют различного рода поглотители – губчатую резину, эластичные подвесы; используют стабилизирующие платформы и т. п. • Использование барокамер с постоянным давлением, а также температурой и влажностью 20 Характерной чертой рассматриваемых далее способов исключения систематических погрешностей является необходимость проведения повторных измерений, поэтому они применяются в основном при измерениях стабильных параметров. Метод замещения – разновидность метода сравнения. Сравнение производится путем замены измеряемой величины известной величиной, воспроизводимой мерой, таким образом, чтобы воздействием известной величины привести средство измерения в то состояние, которое оно имело при воздействии измеряемой величины. 21 Метод противопоставления (перестановки). Измерения проводят два раза, причем так, чтобы причина, вызывающая погрешность при первом измерении, оказала противоположное действие на результат второго измерения. Метод компенсации погрешности по знаку два этапа, выполняемых так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в показания средства измерения на каждом этапе с разными знаками. За результат измерения принимают среднее арифметическое двух измерений, при этом систематические погрешности взаимно компенсируются. В алгебраической форме это можно выразить следующим образом: Q1 = Q + Θ; Q2 = Q – Θ; Q = 0,5(Q1 + Q2), где Q1 и Q2 – результаты двух измерений; Θ – систематическая погрешность, природа которой известна, но неизвестно значение; Q – значение измеряемой величины, свободное от данной погрешности. 22 Оценка случайных погрешностей Влияние случайной погрешности можно уменьшить с помощью многократного измерения (не меньше 4) искомой величины с последующим определением характеристик случайной погрешности методами теории вероятности и математической статистики. Оценки, получаемые по статистическим данным, являются случайными величинами, и их значения зависят от объема экспериментальных данных. Оценка состоятельная, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины. Оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины. В том случае, когда можно найти несколько несмещенных оценок, лучшей из них считается та, которая имеет наименьшую дисперсию. Такая оценка называется эффективной. 23 Оценку измеряемой величины Q, за которую принимают среднее арифметическое значение исправленных результатов 1 n измерений, вычисляют по формуле Q Q  n i 1 i где Qi – i-й результат измерений; n – число исправленных результатов измерений. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного значения (среднего значения или математического ожидания). Для нормального закона распределения оценку среднего квадратического отклонения отдельных результатов измерений, входящих в серию из n независимых равноточных измерений, вычисляют по формуле  Q  Q  n S i 1 2 i n1 Ее называют средней квадратической погрешностью (СКП) 24 Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического (оценки измеряемой величины) S Q вычисляют по формуле: S SQ  n Для количественной оценки и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться предельная погрешность, интервальная оценка, оценки числовых характеристик закона распределения. Предельная погрешность – это максимальная погрешность, которая может появиться в конкретном измерительном эксперименте. Такая оценка не содержит информации о характере закона распределения, часто бывает завышенной и в настоящее время применяется редко. 25 Квантильная оценка результата измерений позволяет найти вероятность, с которой значение случайной величины (результата измерения) находится в интервале от Q1 до Q2. Такой интервал называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью. Доверительный интервал Квантильная оценка 26 Принято границы доверительного интервала указывать симметрично относительно среднего арифметического значения, а половину доверительного интервала устанавливать кратной СКО среднего арифметического и принимать за оценку случайной погрешности результата измерения. Принято также применять термин доверительные границы случайной погрешности. Доверительные границы случайной погрешности находят по формуле   t  SQ где t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и формы закона распределения. 27 Доверительные вероятности при различных значениях t для нормального закона распределения при числе независимых наблюдений n > 50 (при n < 50 используются коэффициенты Стьюдента). t P, % 0,50 0,75 38 55 1,00 1,25 68 79 1,50 1,75 87 92 2,00 2,50 3,00 4,00 95,4 98,8 99,7 99,99 В целях единообразия оценивания случайных погрешностей интервальными оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0,95. В случаях особо точных и/или ответственных измерений допускается применять другую доверительную вероятность. 28 Значение коэффициента Стьюдента n-1 Р=0,90 Р=0,95 Р=0,98 Р=0,99 n-1 Р=0,90 Р=0,95 Р=0,98 Р=0,99 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ∞ 2,92 2.353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,86 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1.746 4,303 3.182 2.776 2.571 2,447 2,365 2,306 2,262 2.228 2.201 2.179 2,16 2,145 2,133 2.120 6,965 4.541 3.747 3.365 3,143 2,998 2,896 2,821 2.764 2.718 2.681 2,65 2,624 2,602 2.583 9,925 5.841 4.604 4.032 3,707 3,499 3,355 3,25 3.169 3.106 3.055 3,012 2,997 2,947 2.921 1.740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1.714 1,711 1.708 1,706 1,703 1,701 1.699 1,697 1,645 2.110 2.101 2,093 2,086 2,08 2,074 2.069 2.064 2.060 2,056 2,052 2,048 2.045 2,043 1,96 2.567 2.552 2,539 2,528 2,518 2,508 2.500 2.492 2.485 2,479 2,473 2,467 2.462 2,457 2,326 2.898 2.878 2,861 2,845 2,831 2,819 2.807 2.797 2.787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,75 2,576 29 Исключение грубых погрешностей При оценке грубых погрешностей приходится прибегать к обычным методам проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат единичного измерения Xi не содержит грубой погрешности, а является одним из значений случайной величины. Обычно проверяют наибольшее Xmax и наименьшее Xmin значения результатов измерений. Для проверки гипотез используются следующие критерии. 1. Критерий Шовене 2. Критерий Романовского. 3. Критерий Граббса 30 3. Критерий Граббса Вычисляют критерии Граббса G1 и G2, предполагая, что наибольший Qmax или наименьший Qmin результат измерений вызван грубыми погрешностями: Q  Qmin Qmax  Q G2  G1  S S Сравнивают G1 и G2 с теоретическим значением GT критерия Граббса при выбранном уровне значимости q = 1 – P. Если G1 > GT, то Qmax исключают как маловероятное значение. Если G2 > GТ, то Qmin исключают как маловероятное значение. Если G1 ≤ GT то Qmax не считают промахом и его сохраняют в ряду результатов измерений. Если G2 ≤ GT, то Qmin не считают промахом и его сохраняют в ряду результатов измерений. 31 Одно наибольшее или одно наименьшее значение при уровне значимости q n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Свыше 1% 1,155 1,496 1,764 1,973 2,139 2,274 2,387 2,482 2,564 2,636 2,699 2,755 2,806 2,852 2,894 2,932 2,968 3,001 Свыше 5% 1,155 1,481 1,715 1,887 2,02 2,126 2,215 2,29 2,355 2,412 2,462 2,507 2,549 2,585 2,62 2,651 2,681 2,709 n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 36 38 40 Свыше 1% 3,031 3,06 3,087 3,112 3,135 3,157 3,178 3,199 3,218 3,236 3,253 3,27 3,286 3,301 3,33 3,356 3,381 Свыше 5% 2,733 2,758 2,781 2,802 2,822 2,841 2,859 2,876 2,893 2,908 2,924 2,938 2,952 2,965 2,991 3,014 3,036 32 4. Критерий 3S (или три сигма) − наиболее распространенный. Он используется, когда количество единичных измерений 20 < n ≤ 50. Сущность правила состоит в том, что если случайные величины распределены нормально, то абсолютные величины их отклонения от математического ожидания не превосходят утроенной СКП. Сомнительный результат Xi должен быть исключен из единичных измерений, если |X – Xi| >3S. 33 Неисключенная систематическая погрешность (НСП) НСП характеризуется ее границами. При числе неисключенных систематических погрешностей m ≤ 3 m границы Θ определяют по формуле:    i i 1 где Θi – граница i-й составляющей НСП. При числе неисключенных систематических погрешностей m ≥ 4, при отсутствии данных о виде распределения НСП, которые рассматривают как случайные величины, их распределение принимают равномерными, и вычисления границ НСП m проводят по формуле:    k   2i i 1 где k – коэффициент, определяемый выбранной доверительной вероятностью Р (при Р = 0,95 k = 1,1; при Р =0,99 k = 1,4). 34 Обработка результатов многократных и однократных измерений. Обработка результатов косвенных измерений. 35 Правила округления при обработке результатов измерений (ГОСТ Р 8.736-2011) 1. Точность результатов измерений и точность вычислений при обработке результатов измерений должны быть согласованы с требуемой точностью получаемой оценки измеряемой величины. 2. Погрешность оценки измеряемой величины следует выражать не более чем двумя значащими цифрами. Две значащие цифры в погрешности оценки измеряемой величины сохраняют:  при точных измерениях;  если первая значащая цифра не более трех. 3. Число цифр в промежуточных вычислениях при обработке результатов измерений должно быть на две больше, чем в 36 окончательном результате. Правила округления при обработке результатов измерений (ГОСТ Р 8.736-2011) 4. Погрешность при промежуточных вычислениях должна быть выражена не более чем тремя значащими цифрами. 5. Сохраняемую значащую цифру в погрешности оценки измеряемой величины при округлении увеличивают на единицу, если отбрасываемая цифра неуказываемого младшего разряда больше либо равна пяти, и не изменяют, если она меньше пяти. 37 Обработка результатов многократных измерений Проводится в соответствии с ГОСТ Р 8.736-2011 Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения При статистической обработке группы результатов прямых многократных независимых измерений выполняют следующие операции: 1. Исключают известные систематические погрешности из результатов измерений. 2. Вычисляют оценку измеряемой величины (среднее n 1 арифметическое): Q   Qi n i 1 38 Вычисляют среднее квадратическое Qi  Q   отклонение результатов измерений (СКП): S  i 1 n1 S Вычисляют СКП среднего SQ  арифметического: n 3. Проверяют наличие грубых погрешностей при помощи критерия 3S и при необходимости исключают их. 4. Проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению. 5. Вычисляют доверительные границы случайной погрешности (доверительную случайную погрешность) оценки измеряемой величины: ε = ±tSQ, t – коэффициент Стьюдента. n 2 39 m 6. Вычисляют границы НСП оценки    k   2i i 1 измеряемой величины: 7. Вычисляют доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины.  Если Θ < 0,8SQ, то систематической погрешностью Θ можно пренебречь и ∆ = ε.  Если Θ > 8SQ , то случайной погрешностью можно пренебречь и ∆ = ± Θ.  Если не выполняются оба неравенства, то абсолютная погрешность результата:   KS  , где  2i K , S    SQ2  m i 1 3  2i SQ   i 1 3   Результат измерений записывается в стандартном виде m Q Q 40 Однократные прямые измерения При таких измерениях заранее известно, что при известной точности средства измерений и условиях измерения погрешность не будет больше определенного значения с заданной вероятностью Р. Однократные измерения возможны, когда: • объем априорной информации об объекте измерений такой, что его однократные измерения не вызывают сомнений; • погрешности метода измерений либо заранее устранены, либо оценены; • метрологические характеристики средств измерений соответствуют установленным нормам. Если методическая и субъективная погрешности, которые могут возникать при измерении физической величины, не превышают 15% погрешности используемого средства измерений, то за погрешность измерений принимают непосредственно погрешность самого средства измерений. 41 При однократных измерениях отделить случайную погрешность от систематической невозможно и, чтобы избежать грубой погрешности, измеряют физическую величину 2-3 раза и за результат измерений принимают среднее арифметическое (статистической обработке эти измерения не подвергаются). При нормальных условиях измерений погрешность результата прямого однократного измерения равна пределу допускаемой основной абсолютной погрешности Δ средства измерений, определяемой по нормативно-технической документации. Результат измерения представляют в виде Xср±Δ, Р, где Xср – результат измерения физической величины, полученный средством измерений (среднее арифметическое значение из 2-3 единичных измерений); Р – доверительная вероятность, как правило, Р = 0,95. 42 Обработка результатов косвенных измерений Методика обработки результатов косвенных измерений определена в методических рекомендациях МИ 2083-90 ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей. При проведении косвенных измерений значение искомой величины получают на основании известной зависимости, связывающей ее с другими величинами, определяемыми прямыми измерениями, т.е. косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи Y = f (X1, X2, ... Xi), где Xi (i = 1, ..., n) – аргументы функции Y, подлежащие прямым измерениям. Каждый из аргументов Xi измеряется с некоторой погрешностью, которая вносит свой вклад в результат 43 косвенного измерения.  44 45